STATISTIK DESKRIPTIF





PENDAHULUAN


Jika seseorang melakukan suatu penelitian mereka akan memperoleh data. Kebanyakan data yang mereka peroleh dikumpulkan dalam  bentuk angka. Metode-metode deskriftif dipergunakan untuk mengorganisasikan dan meringkas data numeric tersebut. Beberapa bentuk penyajian data numeric terseut diperlukan untuk bantuan interpretasi dan mendapatkan informasi dari data tersebut. Statistik deskriftif berkenaan dengan bagaimana mentabulasi data, presentasinya kedalam bentuk-bentuk grafik atau gambar-gambar serta perhitungan-perhitungan pengukuran deskriftif tersebut. Dengan melakukan perhitungan deskriftif tersebut akan dapat diketahui cirri-ciri khusus dari data itu. Mengingat hal tersebut dalam tulisan ini akan disajikan  sebagian data deskriftif khusus mengenai  Quartil, Desil dan Persentil

A. KUARTIL  (Quartile)
Kuartil adalah suatu titik yang menunjukkan sekian perempat frekuensi dibagian bawah dan sekian perempat  lainnya dibagian atas distribusi. Pada hakekatnya kuartil adalah sama dengan 25 % frekuensi. Jadi kuartil ke 1 dan diberi kode Q1 adalah suatu titik yang membatasi 25% frekuensi dibagian bawah distribusi dan 75% frekuensi dibagian atas distribusi.








Contoh:   Dari suatu penelitian diperoleh data Umur Wanita Pengusaha Kota    Mataram NTB Tahun 2003

Tabel  1:  Distribusi  Umur Wanita Pengusaha Kota Mataram NTB Tahun 2003

Umur
(Tahun)
Frekunsi
(f)
Frekuensi  Kumulatif (Cf)
70 – 79
2
120
60 – 69
4
118
50 – 59
27
114
40 – 49
52
87
30 – 39
29
35
20 - 29
6
6

N = 120


Untuk data yang telah disajikan  dalam bentuyk tabel frekuensi digunakan rumus sebagai berikut:

 
               
=    Batas bawah nyata dari klas yang mengandung nilai Kuartil Pertama
=  Frekuensi kumulatif sebelum batas bawah klas yang mengandung nilai    Kuartil Pertama
=   Frekuensi dari kelas yang mengandung nilai Kuartil Pertama
=   Luas klas (interval) dari klas yang mengandung nilkai Kuartil Pertama

Berdasarkan tabel diatas  maka nilai Q1 adalah;

 Q1       =  29,5 +   (  30 – 6  ) 10   
                                               29
            =  29,5 +    240
                                              29
            =  29,5 + 8,28

                =   37,78 




Q2        =  39,5 +   (  60 – 35 ) 10   
                                               52

            =  39,5 +    250
                                              52

            =  39,5 + 4,81

                =   44,31


B. Desil (Decile)
Desil adalah suatu titik yang  menunjukkan sekian puluh persden frekuensi dibagian bawah dan sekian puluh persen lainnya ada dibagian atas 
Untuk data yang telah disajikan  dalam bentuk tabel frekuensi digunakan rumus sebagai berikut:


Dimana
               
           =    Batas bawah nyata dari klas yang mengandung nilai D1
C      =  Frekuensi kumulatif sebelum batas bawah klas yang mengandung nilai   D1
         =   Frekuensi dari kelas yang mengandung nilai D1
          =   Luas klas (interval) dari klas yang mengandung nilai D1

Berdasarkan tabel diatas  maka nilai D1 adalah;

 D1       =  29,5 +   (  12 – 6  ) 10   
                                               29
            =  29,5 +    60
                                              29
            =  29,5 + 2,07

                =   31,57 



 D5       =  39,5 +   (  60 – 35  ) 10   
                                               52
            =  39,5 +    250
                                              52
            =  39,5 + 4,81

                =   44,31 sama dengan nilai Q2

C. Persentil (Percentile)

Persentil adalah suatu titik yang menunjukkan sekian prosen dibagian bawah distribusi dan sekian prosen dibagian atas distribusi. Misalnya P10 berarti pada titik itu menunjukkan 10% frekuensi terletak dibaagian bawah dan 90% terletak dibagian atasnya dengan demiakian P10 sama dengan D1

           =    Batas bawah nyata dari klas yang mengandung nilai P1
C      =  Frekuensi kumulatif sebelum batas bawah klas yang mengandung nilai  P1
         =   Frekuensi dari kelas yang mengandung nilai P1
 i          =  Luas klas (interval) dari klas yang mengandung nilkai P1

Berdasarkan tabel diatas  maka nilai P1 adalah;

 P1        =  19,5 +   (  1,2 – 0 ) 10   
                                               6
            =  19,5 +    12
                                              6
            =  19,5 + 2,0

                =   21,5 


 P25       =  29,5 +   (  30 – 6  ) 10   
                                               29
            =  29,5 +    240
                                              29
            =  29,5 + 8,28

                =   37,78 sama dengan nilai Q1


 P50       =  3,5 +   (  60 – 35 ) 10   
                                               52
            =  3,5 +    250
                                              52
            =  3,5 + 4,81

                =   44,31 (sama dengan nilai Q2 dan D5) 


Interval kelas
Variabel X1:
  1. Rentang Nilai =218 – 121= 97
  2. Banyaknya Kelas  (BK) = 1 + 3,3 log 239=8,85=9 kelas
  3. Nilai panjang kelas (1)
I=R/BK=97/9=10,7≈11

  1. Tabel

Kelas Interval

Titik Tengah (X)
frekuensi (f)
 (fk)
121 - 131
126
4
4
132 -142
137
5
9
143 -153
148
13
22
154 -164
159
23
45
165- 175
170
79
124
176 - 186
181
56
180
187 - 197
192
38
218
198 - 208
203
14
232
209 - 219
214
7
239
Jumlah
-
239
-


Variabel X2:
  1. Rentang Nilai =285 – 187= 98
  2. Banyaknya Kelas  (BK) = 1 + 3,3 log 239=8,85=9 kelas
  3. Nilai panjang kelas (i)
i=R/BK=98/9≈11








  1. Tabel

Kelas Interval

Titik Tengah (X)
frekuensi (f)
 (fk)
187-197
192
6
6
198-208
203
8
14
209-219
214
30
44
220-230
225
38
82
231-241
236
71
153
242-252
247
47
200
253-263
258
23
223
264-274
269
12
235
275-285
270
4
239
Jumlah
-
239
-






Variabel X3:
  1. Rentang Nilai =188 – 114= 74
  2. Banyaknya Kelas  (BK) = 1 + 3,3 log 239=8,85=9 kelas
  3. Nilai panjang kelas (i)
i=R/BK=74/9=8,2≈9
  1. Tabel

Kelas Interval

Titik Tengah (X)
frekuensi (f)
 (fk)
114 – 122
118
4
4
123 –131
127
0
4
132 –140
136
23
27
141–149
145
44
71
150– 158
154
57
128
159 – 167
163
63
191
168-176
172
33
224
177-185
181
13
237
186-194
190
2
239
Jumlah
-
239
-


Variabel Y:
      1. Rentang Nilai =3,6-2,0=1,6
  1. Banyaknya Kelas  (BK) = 1 + 3,3 log 239=8,85=9 kelas
  2. Nilai panjang kelas (1)
I=R/BK=1,6/9=0,18≈0,2

  1. Tabel

Kelas Interval

Titik Tengah (X)
frekuensi (f)
 (fk)
2,0-2,1
2,05
5
5
2,2-2,3
2,25
8
13
2,4-2,5
2,45
36
49
2,6-2,7
2,65
55
104
2,8-2,9
2,85
72
176
3,0-3,1
3,05
33
209
3,2-3,3
3,25
22
231
3,4-3,5
3,45
7
238
3,6-3,7
3,65
1
239
Jumlah
-
239
-
















KORELASI

A.     Pegertian
Korelasi adalah salah satu teknik statistik yang digunakan untuk mengetahui hubungan antara dua variabel  atau lebih yang sifatnya kuantitatif. Misalnya kita ingin menyelidiki apakah ada hubungan antara jam kerja dengan penghasilan, latar belakang pendidikan orang tua dengan prestasi belajar siswa, antara ekonomi orang tua dengan prestasi belajar siswa, antara moral kerja guru dengan hasil belajar pendidikan agama Islam, antara banyaknya pengunjung dengan jumlah orang yang berbelanja  dan lain-lain.
Dua variabel dikatakan berkorelasi apabila perubahan pada variabel yang satu akan diikuti pada perubahan pada variabel yang lain dengn arah yang sama atau dapat juga dengan arah yang berlawanan. Bila dua variabel tersebut dinyatakan dengan dalam X dan Y maka apabila variabel X berubahvariabel Y pun akan berubah dan sebaliknya.
Arah hubungan antara dua variabel (direction of correlation) dapat dibedakan
1.       Korelasi positif yaitu apabila kenaikan nilai variabel X selalu disertai dengan kenaikan variabel Y dan sebaliknyaturunnya nilai variabel X akan selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y.
2.       Korelasi negatif yaitu apabila kenaikan variabel X selalu disertai dengan menurunnya nilai variabel Y dan sebaliknya turunnya nilai variabel X akan selalu diikuti naiknya variabel Y
3.       Tidak berkorelasi yaitu apabila kenaikan variabel X kadang-kadang disertai naiknya variabel Y atau disertai turunnya nilai variabel Y dan sebaliknya turunnya nilai variabel X kadang-kadang disertai naiknya variabel Y atau turunnya nilai variabel Y. Pada variabel ini hubungannya tidak teratur kadang searah kadang berlawanan arah.

B.     Koefesien Korelasi
Biasanya besar kecilnya hubungan dinyatakan dalam bilangan. Bilangan yang menyatakan besar kecilnya itu disebut koefesien korelasi. Koefesien korelasi bergerak diantara 0,000 -  + atau diantara 0,000 -  -1.000, tergantung kepada arah korelasinya, positif, nihil atau negatif. Bilamana dua variabel mempunyai koefesien korelasi sebesar +1,000 maka disebut korelasi positif sempurna dan bilamana mempunyai koefesien korelasi sebesar –1.000, disebut korelasi negatif sempurna serta mendekati 0 berarti hubungannya lemah atau tidak ada hubungan.
Salah satu syarat dalam penggunaan teknik korelasi adalah bahwa hubungan antara variabel X dan variabel Y adalah hubungan linier. Adapun hubungan tersebut dapat disajikan dalam diagram diagram scater (diagram pencar) dibawah ini.
         Y                                                  Y                                  Y


 

                                
      X                                    X                                    X
Korelasi  Linier               Korelasi Linier              Korelasi Tak Linier
Positif                               Negatif

C.     Menghitung Koefesien Korelasi
Untuk mengetahui berapa skor besar koefesien korelasi harus dilakukan perhitungan. Adapun untuk menghitung koefesien korelasi ini ada beberapa metode antara lain seperti tabel berikut:
1.       Korelasi Product Moment
2.       Rank Correlation (Jenjang Spearman)
3.       Korelasi Jenjang Kendall
4.       Korelasi phi
5.       Korelasi Tetrachorik
6.       Korelasi Serial
7.       Korelasi Point Serial
8.       Korelasi Berganda

1.       Korelasi Product moment
Contoh: mencari koefesien korelasi antara variabel ekonomi keluarga (X) dan prestasi belajar siswa SMU bidang studi ekonomi (Y).
Adapun rumus yang biasa digunakan sebagai berikut:
                
      Σxy
rxy   =
             N SDx SDy

Dimana :         rxy    = koefesien korelasi antara x dan y
xy    = produk nilai x kali y
SDx  = Standar Deviasi variabel x
SDy = Standar Deviasi variabel y
N     = Jumlah subyek yang diteliti









Tabel 01
Sub.
X
Y
x
x2
y
y2
xy
1
2
3
4
5
6
7
8
1
130
20
-30
900
-8
64
+240
2
132
24
-28
784
-4
16
+112
3
152
28
 -8
  64
0
 0
     0
4
142
23
-18
324
-5
25
 +90
5
184
37
+24
576
+9
81
+216
6
190
32
+30
900
+4
16
+120
7
150
25
-10
100
-3
9
 +30
1
2
3
4
5
6
7
    8
8
170
23
+10
100
-5
25
 -50
9
181
29
+21
441
+1
1
 +21
10
164
35
+4
16
+7
49
 +28
11
175
32
+15
225
+4
16
 +60
12
135
22
-25
625
-6
36
+150
13
147
24
-13
169
-4
16
  +52
14
162
26
+2
4
-2
4
    -4
15
136
21
-24
576
-7
49
  +168
16
178
35
+18
324
+7
49
+126
17
172
30
+12
144
+2
4
 +24
18
165
28
+5
25
0
0
    0
19
160
27
0
0
-1
1
    0
20
148
25
-12
144
-3
9
 +36
21
180
34
+20
400
-6
36
+120
22
149
25
-11
121
-3
9
 +33
23
188
26
+28
784
+8
64
+224
24
167
29
+7
49
+1
1
   +7
25
162
27
+2
4
-1
1
   -2
26
145
23
-15
225
-5
25
+75
27
150
29
-10
100
+1
1
 -10
28
160
30
0
0
+2
4
    0
29
172
31
+12
144
+3
9
 +36
30
154
30
-6
36
+2
4
  -12

 4800
840
0
8304
0
624
1890
          

               ΣX                 4800
X =                    =                     = 160           x  =    X - X
               N                    30

                ΣY                840
Y =                    =                    =  28              y =  Y - Y
                N                    30

SDx =   Σx2  =  8304  = 16,64 
                 N            30
                                             

SDy =   Σy2   = √624    = 4,56
                 N            30                                

            Σxy                             1890
Jadi  rxy  =                                        =                                    = 0,830
                    N SDx SDy                    (30) (1,64) (4,56)
Dengan menggunakan rumus yang kedua:
                 ∑xy
rxy =
             √ (Σx2) (Σy2) 
  
                   1890
    =
             √ (8304) (624) 
  
     =     0,830
Selanjutnya hasil perhitungan dikonsultasikan dengn “r” tabel dengan asumsi rh > rtabel dan rh < rtabel tidak signifikan.
Apabila digunakantaraf signifikansi 5% rtabel = 0,361 dan taraf signifikansi 1% rtabel= 0,463
Karena 0,361 < 0,830 > 0,463 maka kita katakan signifikan baik dites dengan taraf signifikansi 1% maupun 5%.






Contoh lain 02. Nilia kedisiplinan dan prestasi belajar

Responden
X
Y
X2
Y2
XY
A
5
45
25
2025
235
B
4
45
16
2025
180
C
3
39
9
1521
117
D
5
38
25
1444
190
E
3
34
9
1156
102
F
2
21
4
441
42
G
2
26
4
676
52
H
1
16
1
256
16
I
4
40
16
1600
160
J
3
24
9
576
72
N = 10
X=32
Y=328
X2=118
Y2=1170
XY=1166

Kemudian kita menggunakan Rumus Product Moment

    N∑XY-(∑X) (∑Y)
rxy   =      
  {(N∑X2 - (∑X)2  (N∑Y2-(∑Y)2}
rxy   =   Koefesien korelasi yang dicari
N   =   Subyek
X   =    nilai variabel X
Y   =    nilai variabel Y
XY =    Perkalian variabel X dan Y
Selanjutnya angka-angka tersebut kita masukkan ke dalam rumus Product Moment sehingga perhitungan sebagai berikut:
                        10.1166 – 32.328
rxy   =      
     (10.118 – 32.32)   (10.11720-328.328)

=      0,884

Selanjutnya angka korelasi yang diperoleh ini harus dibandingkan dengan angka kritik tabel korelasi “r”. Lihat tabel r Product Moment. Untuk taraf signifikansi 5% angka kritiknya adalah 0,632.

2. Rank Correlation (Jenjang Spearman)
Korelasi jenjang spearman ini untuk mencari derajat hubungan antara dua variabel yakni variabel bebas (X) dan variabel terikat (Y). Data yang akan dianalisis dengan korelasi jenjang spearman harus mempunyai skala yang memungkinkan untuk dibuat jenjang (rangking) Adapun rumus yang dipakai sebagai berikut:
                           6Σd2
rs  = 1 –        
                          n(n2-1) 

Keterangan
rs             =  Koefesien korelasi jenjang sperman
d         =  selisih antara angka rangking (jenjang) antara variabel yang satu dengan variabel yang lain
n          = banyaknya subyek pemilik nilai
Contoh: Untuk mengetahui apakah nilai matematika ada hubungannya dengan nilai statistika, maka diambil sample 10 mahasiswa yang menempuh kedua mata kuliah tersebut sebagai berikut:
Matematika (X)  =  65,40,70,75,55,85,50,80,45,60
Statistika      (Y) =  70,45,65,75,50,80,55,85,40,60
Tabel 03
No.Suby
X
Y
Rank X
Rank Y
d
d2
1
65
70
5
4
1
1
2
40
45
10
9
1
1
3
70
65
4
5
-1
1
4
80
75
2
3
-1
1
5
55
50
7
8
-1
1
6
85
80
1
2
-1
1
7
50
55
8
7
1
1
8
75
85
3
1
2
4
9
45
40
9
10
-1
1
10
60
60
6
6
0
0
N=10


55
55
0
12
    
                       6Σd2
rs         =    1 –        
                          n(n2-1) 

                           6(12)
           =    1 –        
                         10 (102-1) 

                             72
           =    1 –        
                         10 (102-1) 
                          
           =    1 –   0,07272       
                        
        =   0,9273 

Jika dilakukan pengujian dengan menggunakan taraf kepercayaan 95% dan n = 10-1 = 9  maka rtab 0,683. Bila dipakai asumsi rs > rtab = mempunyai korelasi yang meyakinkan. rs < rtab = tidak signifikan
Karena 0,9273 > 0,683 maka dapat disimpulkan bahwa nilai matematika mempunyai korelasi yang meyakinkan dengan nilai statistik.
Pada peristiwa jenjang kembar akan terjadi rank yang kembar.
Contoh; Dari 5 calon salesmen yang diuji mengenai teknik penjualan kemudian ditugaskan untuk melakukan penjualan. Apakah variabel X menyatakan nilai ujian dan Y menyatakan hasil penjualan, yang masing-masing besarnya adalah:

Tabel 04
No.Suby
X
Y
Rank X
Rank Y
d
d2
1
6
7
6
4
2
4
2
5
6
9
8,5
-0,5
0,25
3
7
8
3
1
2
4
4
6
6
6
8,5
-2,5
6,25
5
7
7
3
4
-1
1
6
5
6
9
8,5
0,5
0,25
7
8
7
1
4
-3
9
8
5
6
9
8,5
-0,5
0,25
9
6
7
6
4
2
4
10
7
7
3
4
-1
1






30
                            6Σd2
rs         =    1 –        
                          n(n2-1) 

                           6(30)
           =    1 –        
                         10 (102-1) 

                             180
           =    1 –        
                         10x99 
                           
           =    1 –    0,818            =   0,18 

Jika dilakukan pengujian dengan menggunakan taraf kepercayaan 95% dengan d.f n-1 = 9 maka rtab 0,683. Bila dipakai asumsi rs > rtab = mempunyai korelasi yang meyakinkan. rs < rtab = tidak signifikan
Karena 0,18 < 0,683 maka dapat disimpulkan bahwa nilai matematika mempunyai tidak mempunyai hubungan nilai statistik.

3. Korelasi Jenjang Kendal
Korelasi jenjang Kendal ini mempunyai kegunaan yang hampir sama dengan korelasi  jenjang spearman. Misalnya kita ingin mengetahui seberapa jauh penilaian dua orang juri (sebut saja A dan B) terdapat 4 orang peserta (sebut saja PQR da S yang sedang mempergunakan busana muslim.
Juri A menilai bahwa;                Juri A menilai bahwa;
P mendapat rangking 1                         R mendapat rangking 1
R mendapat rangking 2                         P mendapat rangking 2
S mendapat rangking 3                         S mendapat rangking 3
Q mendapat rangking 4                         Q mendapat rangking 4


Dari data tersebut di atas dapat dicari dengan menggunakan rumus
       JNP
τ =
        Jumlah Pasangan

Dimana:
τ           =   (Baca “tau”) merupakan koefesien jenjang kendall
 JNP    =    Jumlah nilai pasangan

Adapun angkah-langkh untuk menghitung korelasi jenjang kendall adalah sebagai berikut:
a.       Mengurutkan peserta berdasarkan penilaian salah satu juri berdasarkan rangking misalnya berdasarkan rangking juri B
Tabel 05
Nilai Rangking
        JURI

R
P
S
Q
A
2
1
3
4
B
1
2
3
4
Maka bersadarkan juri A dapat diketahui pasangan sebagai berikut: RP,RS,RQ,PS,PQ,SQ. Banyaknya psangan ini dapat dicari dengan menggunakan rumus kombinasi yaitu :
                    n!
nC2  =
                2!(n-2)!

                  4!
4C2 =
                2!(4-2!)
               4.3.2.1
      =                    
                2.1.2.1
     =     6 pasangan
b.       Berdasarkan pasangan tersebut, kita lihat urutan rangkingnya apakah benar atau salah. Urutan dianggap benar jika dari rangking kecil ke rangking besar dan dianggap salah jika dari rangking besar ke rangking kecil. Jika menurut juri penilaian benar berdasarkan urutan rangking kecil ke besar diberi nilai +1 dan jika penilaian itu salah dari rangking besar kekecil diberi penilaian –1.
Jumlah nilai pasangan (JNP) tersebut adalah ;
RP +  RS  + QR +  PS +  PQ +  SQ
(-1) + (+1)+ (+1)+ (+1)+ (+1)+ (+1)
c.       Dengan menggunakan rumus di atas harga koefesien korelasi jenjang kendall dapat diketahui
       JNP
τ =
        Jumlah Pasangan

        4     
τ =                                    = 0,6667
                    6  
Karena τ = 0,6667, maka dapat dikatakan bahwa ada hubungan yang cukup tinggi antara penilaian kedua juri tersebut terhadap keempat pragawati. Jika tanda positif berarti terjadi hubungan yang searah artinya semakin tinggi pemberian rangking oleh juri A semakin tinggi pula pemberian rangking oleh juri B dan sebaliknya.
4.       Korelasi Phi
Analisis korelasi ini untuk mencari hubungan antara satu variabel bebas (X) dan satu variabel tergantung (Y) jika data kedua variabel itu bersifat dikotomi atau asli. Adapun rumus yang digunakan sebagai berikut:
Ad-bc
Φ  = 

Komentar

Postingan populer dari blog ini

FAKTA, KONSEP DAN PRINSIP DALAM MATEMATIKA

8 SMP Soal Pembahasan Garis Singgung Lingkaran

Turunan Fungsi