turunan




Uraian materi kegiatan Belajar
Perhatikan gambar di bawah ini !

         Y                       B(b,f(b))
      f(b)




      f(c)                                           C(c,f(c))            y = f(x)

      f(d)
                                                                   D(d,f(d))

                                                                                          X
      O                     a          b          c          d          e         


Tampak bahwa pada interval a < x < b dan d < x < e grafik fungsi naik dan pada interval b < x < c dan c < x < d grafik fungsi turun.
Titik B(b,f(b)) disebut titik balik maksimum / titik ekstrim maksimum.
Titik D(d,f(d)) disebut titik balik minimum / titik ekstrim minimum.
Titik C(c,f(c)) disebut titik belok horizontal.

Syarat-syarat fungsi naik, turun dan stasioner :
·        Fungsi naik jika  > 0.
·        Fungsi turun jika  < 0.
·        Nilai stasioner jika  = 0.

Jenis-jenis stasioner :
·        Titik balik maksimum jika  = 0 dan  < 0.
·        Titik balik minimum jika  = 0 dan  > 0.
·        Titik belok horizontal  jika  = 0 dan  = 0.


Contoh:

1. Tentukan interval dari fungsi f(x) = x2 – 6x jika fungsinya :
a.  naik
b. turun

Jawab;
f(x) = x2 – 6x
 = 2x – 6
a. Fungsi naik jika  > 0.
              2x – 6 > 0
              2x > 6
              x > 3
    Jadi fungsi naik pada interval x > 3.
b. Fungsi turun jika  < 0.
              2x – 6 < 0
              2x < 6
              x < 3
    Jadi fungsi turun pada interval x > 3.

2. Diketahui  f(x) = 3x5 – 5x3, tentukan :
a. interval dimana f(x) naik
b. interval dimana f(x) turun
c. titik stasioner dan jenisnya

Jawab:
f(x) = 3x5 – 5x3
 = 15x4 – 15x2

a. Fungsi naik    ®          > 0
                                      15x4 – 15x2 > 0
    Pembuat nol : 15x4 – 15x2 = 0
                            15x2(x2 – 1) = 0
                            15x2(x – 1)(x + 1) = 0
                             x = 0 Ú x = 1 Ú x = -1
    Titik uji:

              +          -           -           +
                        -1         0           1

Untuk x < -1, misal x = -2 ® (-2) = 15(-2)2(-2 – 1)(-2 + 1) > 0
Untuk -1 < x < 0, misal x =  ® () = 15()2( – 1)(  + 1) < 0
Untuk 0 < x < 1, misal x =  ® () = 15()2( – 1)(  + 1) < 0
Untuk x > 1, misal x = 2 ® (2) = 15(2)2(2 – 1)(2 + 1) > 0
Jadi fungsi naik pada interval x < -1 atau x > 1.

b. Fungsi turun    ®         < 0
    Fungsi turun pada interval -1 < x < 0 atau        0 < x < 1.

c. Syarat stasioner ®      = 0
Diperoleh pembuat nol : x = -1, x = 0, x = 1
Untuk x = -1 ® f(-1) = 3(-1)5 – 5(-1)3 = -3 + 5 = 2 ® (-1, 2) titik maksimum
Untuk x = 0 ® f(0) = 3(0)5 – 5(0)3 = 0 ® (0, 0) titik belok
Untuk x = 1 ® f(1) = 3(1)5 – 5(1)3 = 3 - 5 = 2 ® (1, -2) titik minimum

Cara lain:
f(x) = 3x5 – 5x3
 = 15x4 – 15x2
= 60x3- 30x

Nilai stasioner tercapai jika  = 0.
15x4 – 15x2 = 0
  15x2(x2 – 1) = 0
  15x2(x – 1)(x + 1) = 0
   x = 0 Ú x = 1 Ú x = -1

Titik stasionernya :
    x1 = 0 ® y = f(0) = 3(0)5 – 5(0)3 = 0 ® (0, 0)
    x2 = 1 ® y = f(1) = 3(1)5 – 5(1)3 = 3 - 5 = 2 ® (1, -2)
    x3 = -1 ® y = f(-1) = 3(-1)5 – 5(-1)3 = -3 + 5 = 2 ® (-1, 2)

Jenisnya :
x1 = 0 ® (0) = 60(0)3 – 30(0) = 0 ® (0, 0)  titik belok
x2 = 1 ® (1) =  60(1)3 – 30(1) = 30 > 0 ® (1, -2)  titik balik minimum
            x3 = -1 ® (-1) = 60(-1)3 – 30(-1) = -30 < 0  ® (-1, 2)  titik balik maksimum

Penggunaan Maksimum / Minimum
Contoh:
1. Tinggi h meter suatu roket setelah t detik adalah : h(t) = 500t – 5t2.
    a.  Setelah berapa detik roket mencapai tinggi maksimum?
    b.  Berapa meter tinggi maksimum itu?
   
    Jawab:
h(t) = 500t – 5t2
 = 500 – 10t
a.       Roket mencapai tinggi maksimum ®  = 0
500 – 10t = 0
10t = 500
t = 50
Jadi roket mencapai tinggi maksimum setelah 50 detik.
b.      t = 50 ® h(50) = 500(50) – 5(50)2
     = 25.000 – 12.500
     = 12.500
Jadi tinggi maksimum = 12.500 m.

2. Fungsi y = x2 + 2x -  mempunyai minimum 2. Carilah m !
Jawab:
y = x2 + 2x -
 = 2x + 2
Minimum dicapai ®  = 0
              2x + 2 = 0
              2x = -2
              x = -1
y = 2 Ù x = -1 ® 2 = (-1)2 + 2(-1) -
                          3 = -
                          m =

V.  Alat/Bahan/Sumber belajar
1.      Modul konsep limit fungsi dan turunan fungsi
2.      Buku matematika program keahlian teknologi, kesehatan dan pertanian untuk SMK dan MAK kelas XII karangan Kasmina dkk.

VI. Penilaian
Teknik                       :  Tugas individu, Kuis, Ulangan harian.
Bentuk Instrumen       :  Tertulis uraian singkat dan pilihan ganda, Lesan.
Contoh Instrumen      :
Soal :
1.      Kaplingan tanah berbentuk persegi panjang dengan keliling 40 m, tentukan ukuran kaplingan tanah tersebut agar luasnya mencapai maksimum !
2.      Dua bilangan bulat positif mempunyai jumlah 60, tentukan hasil kali terbesar dua bilangan tersebut !
3.      Suatu tabung tanpa tutup mempunyai volume 64π cm3, tentukan ukurannya agar tabung tersebut mempunyai luas minimum !
4.      Tinggi h meter suatu peluru setelah ditembakkan t detik dinyatakan h(t) = –5t2 + 800t, tentukan tinggi maksimum roket tersebut !
5.      Sebuah kotak tanpa tutup dan alasnya berbentuk persegi, jumlah luas kelima sisinya 192 dm2, tentukan ukuran kotak tersebut supaya volumenya maksimum !

Kunci Jawaban :
1).     Panjang = 10 m dan lebar = 10 m                             
2).     Misal bilangan itu x dan y maka x = 30 dan y = 30                            
3).     r = 4 cm dan t = 4 cm
4).     hmaximum = 32 000 m             
5).     Panjang alas x = 8 dm dan tinggi t = 7/8 dm
Penilaian :
Nomor 1 skor 1
Nomor 2 skor 1
Nomor 3 skor 3
Nomor 4 skor 2
Nomor 5 skor 3
Nilai betul semua 10.

                                                                                               
Sulang,     Juli 2010
Mengetahui,
Kepala SMK Annuroniyahi                                         Guru Penyusun



Aly Muhtarom, S. Pd. I                                              Mahmudah, S. Pd.

Komentar

Postingan populer dari blog ini

FAKTA, KONSEP DAN PRINSIP DALAM MATEMATIKA

8 SMP Soal Pembahasan Garis Singgung Lingkaran

Turunan Fungsi