Teknik Otomasi Industri untuk SMK Jilid 1

Pusatnya Download Buku Gratis: Teknik Otomasi Industri untuk SMK Jilid 1: Judul : Teknik Otomasi Industri untuk SMK Jilid 1 ...

Matematika X Sekolah Menegah Kejuruan

Pusatnya Download Buku Gratis: Matematika X Sekolah Menegah Kejuruan: Judul : Matematika X Sekolah Menegah Kejuruan ...

kemampuan seseorang

Bakat dalam pengertian bahasa atau dalam pengertian yang umum kita pahami,adalah kelebihan / keunggulan alamiah yang melekat pada diri kita dan menjadi pembeda antara kita dengan orang lain. Talent dengan “natural power to do something well.” Dalam kamus Marriam-Webster’s, dikatakan “natural endowments of person.” Dalam percakapan sehari-hari kita sering mengatakan dia berbakat di nyanyi, di bisnis, di IT dan seterusnya. Kalau kita perhatikan praktek hidup, amat sangat jarang ada orang yang hanya diberi satu kemampuan saja. Dalam diri setiap manusia ada sekian kemampuan. Orang yang hebat di bidang IT tidak berarti hanya dibekali kemampuan tekun dalam meng-otak-atik komputer. Ia juga punya kemauan keras, punya disiplin, kreatif, mau mempelajari hal-hal baru dan seterusnya. Seorang tokoh agama tidak berarti hanya dibekali kemampuan spiritual sensibility saja. Ia juga punya kemampuan lain yang mendukung keunggulannya, seperti verbal, sosial, dan lain-lain. Antara potensial & Aktual Untuk meng-aktual-kan energi potensial itu dibutuhkan pembangkit, pengolahan atau pendeknya bisa disebut proses aktualisasi. Proses aktualisasi seperti apa saja yang bisa kita lakukan? Di bawah ini saya mencoba mendaftar proses yang bisa kita lakukan berdasarkan temuan ilmiyah para ahli atau juga pengalaman orang lain yang sudah menemukannya: 1. Hasrat sejati (inner calling) Di sini yang perlu kita lakukan adalah menemukan keinginan-keinginan yang selalu mendorong kita untuk meraihnya atau melakukannya. Konon, di setiap diri manusia sudah dipasang semacam stasiun radio yang selalu menyuarakan dorongan kepada kita untuk melakukan sesuatu yang sifatnya sangat spesifik. Inilah yang disebut hasrat sejati – yaitu sebuah hasrat yang terus menggelora di dalam diri kita. Supaya hasrat sejati itu teratur dan tersalurkan, cobalah merumuskan dan memperjuangkan tujuan hidup yang sudah kita buat berdasarkan kemampuan kita hari ini.“Setiap orang memiliki bara api yang menyala-nyala di dalam hatinya untuk meraih sesuatu. Tujuan hidup adalah alat untuk menemukannya dan menjaganya supaya tetap menyala.” 2. Pembuktian diri Membuktikan diri artinya kita memunculkan ide, gagasan atau keinginan lalu kita memperjuangkannya sampai berhasil. Agar kita tidak terlalu sering gagal, pilihlah yang kira-kira bisa kita lakukan dengan kapasitas yang kita miliki hari ini. Semakin banyak yang bisa kita realisasikan, semakin tahu di mana sebetulnya keunggulan dan kelemahan kita. “Selama Anda belum bisa melihat hasil karya Anda, selama itu pula Anda belum tahu kemampuan Anda”. Biasanya, selama kita belum bisa membuktikan apa yang sanggup kita lakukan (menghasilkan kreasi atau karya), penilaian kita tentang kemampuan kita masih belum akurat. Terkadang kita hanya merasa mampu padahal belum tentu kita memiliki kemampuan. Pembuktian adalah jalan untuk mengetahui apakah kita sudah memiliki kemampuan atau baru merasa mampu. 3. Perbandingan positif Ini juga bisa kita lakukan. Tehniknya, kita dapat membuat perbandingan antara kita dengan orang lain. Orang lain itu bagaikan cermin buat kita. Mengetahui di mana keunggulan dan kelemahannya, biasanya akan menunjukkan di mana keunggulan dan kelemahan kita. Tehnik melihat dan melakukan sesuatu dengan orang lain (bersinergi atau bekerja sama) inilah yang pernah dilakukan Bruce Lee. Cuma ada satu yang perlu dicatat. Model perbandingan yang kita butuhkan adalah perbandingan positif. Maksudnya, kita membandingkan diri kita dengan orang lain, bukan untuk tujuan yang macam-macam, tetapi murni untuk memperbaiki diri. 4. Pengasahan (Practicing) Konon, sekitar tahun 1998, tim ahli dari Universitas Exter di Amerika pernah melakukan studi terhadap kehidupan orang-orang berprestasi, seperti Mozart, Picasco, dan macam-macam. Hasilnya, mereka merekomendasikan kepada umat manusia untuk membuang mitos yang selama ini diyakini. Mitos seperti apa yang biasa kita yakini? Kita sering meyakini bahwa orang-orang berprestasi tinggi itu meraih prestasinya karena Tuhan “mengistimewakan” mereka dengan bakat yang dimiliki sementara kita bukan seperti mereka. Mengapa keyakinan semacam ini disebut mitos? Telaah di lapangan menyimpulkan, ternyata bukan karena bakat semata yang membuat mereka berhasil. Memang benar, mereka meraih prestasi tinggi karena punya bakat, ada peluang, ada dukungan dan ada pelatihan, tetapi faktor yang paling banyak mendukung keberhasilan mereka adalah “practicing” atau mengasah bakat, keunggulan atau kelebihan alamiah yang melekat pada dirinya. “Orang selalu berkata kepada saya bahwa bakat saya dan kejelian saya yang menjadi alasan kesuksesan saya. Mereka tidak pernah berkata tentang praktek, praktek, dan praktek yang saya jalankan.” (Ted Williams, 1918) 5. Penempatan / penyaluran Tidak semua keunggulan alamiah itu berada di lokasi yang sangat jauh dari kita sehingga kita perlu mencarinya setengah mati. Ada kalanya bisa muncul dari hobi, kegemaran-kegemaran kecil, kegiatan tertentu yang kita lakukan tanpa beban seperti orang main-main atau dari hal-hal yang sangat dekat dengan kebiasaan kita sehari-hari. Di sini yang dibutuhkan adalah menyalurkan atau menempatkannya pada saluran atau bidang-bidang yang kira-kira menguntungkan kita lalu kita perbaiki dan kita kembangkan. Ada lima hal yang mendasari seseorang untuk mengaktualkan bakat potensialnya, yaitu seperti berikut: 1. Bakat (Talent) 2. Kemauan keras untuk maju. 3. Dedikasi (cinta pekerjaan atau profesi) 4. Pembinaan dan Latihan 5. Training – diri 3 Hal yang menjelaskan bahwa supaya bakat seseorang itu muncul dan bermanfaat bagi orang itu (ter-aktualkan), yaitu: 1. Kemampuan memahami diri (tahu kelebihan, tahu kelemahan, tahu tujuan, dst) 2. Kemampuan membuat keputusan hidup yang bagus (berpikir positif, ber-aksi positif, bergaul di lingkungan kondusif, dst) 3. Kemampuan menaati disiplin–diri (kemauan, ketekunan, kegigihan, dst) Harus diakui memang bahwa ada rahasia Tuhan di balik istilah bakat itu. Maksudnya, bakat dalam arti keunggulan alamiah (potensi) memang dimiliki oleh semua orang, tetapi kenyataannya ada orang yang tahu (“ditunjukkan”) harta karunnya lebih dini sementara yang lain tidak. Ada bakat tertentu yang punya nilai sendiri untuk masa tertentu sementara yang lain tidak atau belum. Mengapa ini harus terjadi, tentu kita tidak tahu seratus persennya. Selamat mengeksplorasi bakat Anda.

kemampuan

Kemampuan Verbal Kemapuan verbal adalah kemampuan untuk memahami bahasa, baik secara lisan maupun tulisan. Kemampuan Numerik Kemampuan numerik adalah kemampuan yang berhubungan dengan angka, dan kemampuan untuk berhitung. Kemampuan Spasial Kemampuan Spasial adalah kemampuan untuk membayangkan suatu benda atau objek secara tepat. Setelah mengetahui arah bakat, ada baiknya Anda perlu mengetahui bidang pekerjaan yang sesuai denagn bakat. Bidang pekerjaan yang sesuai pada arah bakat verbal, yaitu sebagai berikut. Literary Literary merupakan jenis pekerjaan yang berkaitan dengan literatur atau referensi, seperti mengarang, menulis, atau membaca. Orang yang memiliki kecerdasan literary mampu berkarier dengan baik dalam bidang sastra, bahasa, jurnalistik atau kewartawanan, pendidik atau pengajar, editor, penulis atau penerjemah. Clerical Clerical merupakan jenis pekerjaan yang berkaitan dengan kegiatan administrasi. Orang yang memiliki kecerdasan clerical mampu berkarier dengan baik dalam bidang pengelolaan tata usaha, kepustakaan, sekretaris, atau administrasi. Musical Musical merupakan jenis pekerjaan yang berhubungan dengan musik, baik memainkan alat musik, menyanyi, menciptkan lagu, atau kegiatan yang berkaitan dengan seni. Orang yang memiliki kecerdasan musical mampu berkairer dengan baik menjadi pemusik, guru musik, pencipta lagu, atau komposer. Persuasive Persuasive merupakan jenis pekerjaan yang mampu mempengaruhi, mengarahkan, ataupun menasihati orang lain untuk mengikuti keinginannya. Orang yang memiliki kecerdasan persuasive mampu berkarier dengan baik dalam bidak dakwah ( da'i ), motivator, humas ( hubungan masyarakat ), pemasaran ( sales), atau personalia. 2. Bidang pekerjaan yang sesuai dengan arah minat numerikal sebagai berikut. Mechanical Mechanical merupakan jenis pekerjaan yang berhubungan denagn mesin dan pealatan mekanis. Orang yang memiliki kecerdasan mechanical mampu berkarier denagn bauk dalam bidang permesinan. Computational Computational merupakan jenis pekerjaan yang berhubungan denagn angka dan hitungan. orang yang memiliki kecerdasan computational mampu berkarier dengan baik dalam bidang akutan, teller, ahli keuangan, arsitek, dan ahli matematika. 3. Bidang pekerjaan yang sesuai dengan arah minat spasial sebagai berikut. Practical Practical merupakan jenis pekerjaan yang sifatnya praktis, berkaitan langsung dengan penerapan. Orang yang memiliki kecerdasan practical mampu berkarier denagn baik dalam bidang penerbangan, tata busana, perancang, arsitek, progammer, dan ahli komputer. Outdoor Outdoor merupakan jenispekerjaan yang dilakukan diluar ruangan atau tempat terbuka. Orang yang memilki kecerdasan outdoor mampu berkarier degan baik dalam bidang penyidik, antropolog, ahli kehutanan, dan ahli pertambangan. Jadi penulis sudah memaparkan sebagian pekerjaan yang sesuai dengan bakat dan kemampuan Anda, tetapi sekali lagi saya menekankan pilih lah sesuai hati dan nurani Anda karena KUNCI KESUKSESAN ADA DITANGAN ALLAH DAN ANDA SENDIRI

kemampuan dan Bakat

PENDAHULUAN Belajar ataupun bekerja pada bidang-bidang yang diminati terlebih lagi didukung dengan bakat serta talenta yang sesuai, akan memberi semangat dalam mempelajari atau menjalaninya. Tapi serimgkali remaja memilih suatu jurusan atau bidang studi ksrena terbawa dan ikut teman-temannya, atau memilih bidang yang sedang popular, tanpa sempat mencerna terlebih dahulu dan memahami bidang yang akan dipelajari, menjadi apa setelah selesai sekolah ataupun lebih jauh lagi mengenali bidang pekerjaan seperti apa yang akan digelutinya sesuai dengan latar belakang pendidikannya tersebut. Mengembangkan bakat dan minat bertujuan agar seseorang belajar atau dikemudian hari bisa bekerja di bidang yang diminatinya dan sesuai dengan kemampuan serta bakat dan minat yang dimilikinya sehingga mereka bisa mengembangkan kapabilitas untuk belajar serta bekerja secara optimal dengan penuh antusias. Pengertian Bakat Bakat adalah kemampuan bawaan yang merupakan potensi yang masih perlu dikembangkan atau dilatih untuk mencapai suatu kecakapan, pengetahuan dan keterampilan khusus. Sehubungan dengan cara berfungsinya, ada 2 jenis bakat, yaitu: 1. Kemampuan pada bidang khusus. Misalnya bakat musik, melukis, dll. 2. Bakat khusus yang dibutuhkan sebagai perantara untuk merealisir kemampuan khusus , misalnya bakat melihat ruang (dimensi) dibutuhkan untuk merealisasi kemampuan di bidang taknik arsitek. Bakat bukanlah merupakan sifat tunggal, melainkan merupakam sekelompok sifat yang secara bertimgkat membentuk bakat. Bakat baru muncul bila ada kesempatan untuk berkembang atau dikembangkan. Sehingga mungkin saja seseorang tidak mengetahui dan mengembangkan bakatnya sehingga tetap merupakan kemampuan yang latent. Pengertian Minat Menurut John Holland, minat adalah aktivitas atau tugas-tugas yang membangkitkan perasaan ingin tahu, perhatian, dan memberi kesenangan atau kenikmatan. Minat dapat menjadi indikator dari kekuatan seseorang di area tertentu di mana dia akan termotivasi untuk mempelajarinya dan menunjukkan kinerja yang tinggi. Bakat akan sulit berkembang dengan baik apabila tidak diawali dengan adanya minat pada bidang yang akan ditekuni. Tes Bakat Tes bakat bertujuan membantu memberikan gambaran mengenai kemampuan seseorang di berbagai minatnya di bidang-bidang tertentu, untuk kemudian merencanakan dan membuat keputusan mengenai pilihan pendidikan atau pekerjaan. Melalui tes bakat akan diperoleh gambaran mengenai berbagai bidang kemampuan dan minat seseorang. Hasil tes bakat tidak dapat menentukan dengan mutlak pekarjaan atau karir apa yang harus dijalani. Setiap orang mempunyai bakat-bakat tertentu, masing-masing dalam bidang dan derajat yang berbeda-beda. Guru, orang tua, pembimbing perlu mengenal bakat anak-anaknya sehingga dapat memberikan pendidikan dan menyediakan pengalaman sesuai dengan kebutuhan masing-masing. Mengembangkan Bakat dan Minat Remaja Masa remaja merupakan masa peralihan dari masa anak ke masa dewasa. Pada periode ini anak mencapai kematangan fisik dan diharapkan pula disertai dengan kematangan emosi dan perkembangan sosialnya. Karena masa peralihan maka remaja pada umumnya masih ragu-ragu akan perannya dan menimbulkan krisis identitas. Dalam usaha menemukan jati dirinya dalam arti mengatahui kebutuhan-kebutuhan pribadi serta tujuan yang ingin dicapai dalam hidupnya, maka pengembangan bakat dan minat remaja sangat penting. Dan dalam mengembangkan kompetensinya remaja tetap membutuhkan bimbingan dari orang tua dan lingkungan rumah maupun sekolah. Beberapa hal yang perlu dilakukan orang tua, guru atau lingkungan terdekat anak untuk mengambangkan bakat dan minat adalah: a. sejak usia dini cernati berbagai kelebihan, ketrampilan dan kemampuan yang tampak menonjol pada anak. b. Bantu anak dalam meyakini dan fokus pada kelebihan dirinya. c. Kembangkan konsep diri positif pada anak. d. Perkaya anak dengan berbagai wawasan, pengetahuan, serta pengalaman di berbagai bidang. e. Usahakan berbagai cara untuk meningkatkan minat anak untuk belajar dan menekuni bidang-bidang yang menjadi kelebihannya. f. Tingkatkan motivasi anak untuk mengembangkan dan melatih kemampuannya. g. Stimulasi anak untuk meluaskan kemampuannya dari satu bakat ke bakat yang lain. h. Berikan penghargaan dan pujian untuk setiap usaha yang dilakukan anak. i. Sediakan fasilitas atau sarana untuk mengembangkan bakat anak. j. Dukung anak untuk mengatasi berbagai kesulitan dan hambatan dalam mengembangkan bakatnya. k. Jalin hubungan baik antara orang tua, guru, dengan anak atau remaja. Hal-hal yang perlu dicermati dalam mengembangkan bakat dan minat remaja, yaitu: a. Mengikuti minat teman. Usia remaja adalah masa perkembangan yang ditandai dengan solidaritas tinggi terhadap teman-teman sebayanya. Remaja kurang memahami siapa dirinya, memiliki kebutuhan yang besar untuk berada dan diakui dalam kelompoknya. Hal ini seringkali membuat remaja mengikuti minat temannya, memilih bidang yang sebenarnya kurang sesuai dengan bakat dan minatnya. Untuk memilih bidang-bidang yang akan dikembangkannya, remaja perlu berdiskusi, mencari masukan dan bertukar pikiran dengan orang tuanya. b. Penelusuran bakat dan minat secara dangkal. Memperhatikan bakat dan minat anak membutuhkan usaha yang serius dan berkesinambungan. Tes bakat pada umumnya memadukan kemampuan intelektual ataupun ketrampilan dengan bakat dan minat yang dimiliki seseorang. Kemampuan tinggi tanpa didukung oleh minat akan membuat anak bisa berhasil dalam pendidikannya akan tetapi antusiasme untuk mempelajarinya kurang tinggi minat dan bakat yang tinggi di suatu bidang tanpa didukung kemampuan akan membuat seseorang membutuhkan tenaga dan usaha ekstra keras untuk mencapainya. Selain hal tersebut tentunya di manapun seseorang belajar dan bekerja dibutuhkan motivasi belajar, daya juang dan ketekunan. Banyak orang tidak selalu mudah menemukan bakat dan minat yang tepat, karena beberapa hal: a. Siswa belum secara sengaja menjajagi kemampuan, bakat serta minatnya. b. Kurangnya wawasan bidang studi atau lapangan pekerjaan yang ada. c. Tidak ada masukan dari lingkungan mengenai kelebihan dalam kemampuan atau bakatnya. d. Siswa belajar tanpa tahu kegunaan dan tujuan dari bidang studi yang dipelajarinya. e. Bidang yang diminati dan bakat yang dimiliki bervariasi. f. Bakat yang ada belum terasah atau kurang mendapat kesempatan untuk dikembangkan sehimgga tidak nampak. g. Perasaan tidak mampu atau tidak berbakat dari pribadi yang bersangkutan ataupun dari lingkungannya. Seseorang bisa mengenal bidang studi atau pekerjaan tertentu karena: a. Memperoleh informasi mengenai berbagai bidang studi atau pekerjaan. Membuka wawasan anak dengan mencari atau memberi informasi, misalnya membawa anak dalam lingkungan orang tua membuat anak tahu dan kenal bidang yang digeluti orang tua. Terlebih lagi ketika orang tua menceritakan berbagai hal positif mengenai lingkup kerjanya, manfaatnya untuk orang lain ataupun lingkungan, akan membawa anak untuk menjadi ahli kimia. b. Berkaitan dengan pelajaran di sekolah. Misalnya seorang anak tertarik di bidang kimia karena gurunya mengajar kimia sedemikian menariknya sehingga dia memutuskan untuk menjadi ahl kimia. c. Seorang siswa SMA berniat masuk Fakultas Kedokteran akan tetapi pada saat dia akan mendaftar dia bahwa Bioteknologi masa kini sedang populer dan menarik, dan setelah mencoba menjajagi dia kemudian memilih bioteknologi dan berhasil berprestasi dengan baik karena suka. d. Secara kebetulan atau tidak sengaja mendapat informasi. Jadi manusia memiliki banyak kemampuan dan bakat yang masih merupakan potensi namun hanya sedikit sekali dari kemampuan tersebut teraktualisasi.

Pedih

ya…Allah… begitu hampa hari ini ku rasa kepala berat, jiwa sarat, hati ingin menangis, hendak memekik namun tenggorokan ngandat karena punya kekasih, namun tiada satupun yang ku miliki derai air hujan begitu jua derai tangis hati ku dingin nya malam begitu jua dingin jiwa ku kemana hendak ku lepas semua ? Ya… Allah…… malam ini ku berharap pada mu deras lah hujan, agar hamba bisa tidur di alam terbuka Mu dengan siraman air hujan, mungkin ini yang terbaik di malam ini penyejuk kehampaan penyegar pada kegersangan

MENANTI SEBUAH JAWABAN

dikala zaman sudah terbalik waktu mulai brgulir cepat hidup terasa begitu singkat arahpun tiada tujuan lantas kemanakah jiwa ini dimanakah jati diri ini siapakah sebenarnya diri ini kenapa diri ini ada tida satupun jawaban sunyi, sepi, tanpa suara yang ada hanya kepiluan sedih, sakit, kecewa, merana adakah sedikit harapan itu lalu dimanakah itu harapan pertanyaan demi pertanyaan terucap namun tak ada jawaban

ANDAI KAU TAHU

Saatku Terdiam Dan Sendiri Pandangan Kosong Tanpa Arti Terbayang Wajahmu Dihati Direlung Jiwa Yang Hampir Mati Mawar Yang Kau Berikan Waktu Itu Kini Harumnya Tak Seperti Dulu Bahkan Kelopaknyapun Sudah Layu Hanya Durinya Yang Masih Tajam Melukai Hatiku Andai Kau Tahu Hatiku Hancur Olehmu Menunggumu Didepan Pintu Hati Brharap Kau Akan Kembali Padaku Menghmpiriku Dengan Senyuman Dibibirmu Dan Berkata ? Aku Kembali Untukmu

SEJARAH MATEMATIKA

Matematika Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas Langsung ke: navigasi, cari

Euklides, matematikawan Yunani, abad ke-3 SM, seperti yang dilukiskan oleh Raffaello Sanzio di dalam detail ini dari Sekolah Athena.[1] Matematika (dari bahasa Yunani: μαθηματικά - mathēmatiká) adalah studi besaran, struktur, ruang, dan perubahan. Para matematikawan mencari berbagai pola,[2][3] merumuskan konjektur baru, dan membangun kebenaran melalui metode deduksi yang kaku dari aksioma-aksioma dan definisi-definisi yang bersesuaian.[4] Terdapat perselisihan tentang apakah objek-objek matematika seperti bilangan dan titik hadir secara alami, atau hanyalah buatan manusia. Seorang matematikawan Benjamin Peirce menyebut matematika sebagai "ilmu yang menggambarkan simpulan-simpulan yang penting".[5] Di pihak lain, Albert Einstein menyatakan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan."[6] Melalui penggunaan penalaran logika dan abstraksi, matematika berkembang dari pencacahan, perhitungan, pengukuran, dan pengkajian sistematis terhadap bangun dan pergerakan benda-benda fisika. Matematika praktis telah menjadi kegiatan manusia sejak adanya rekaman tertulis. Argumentasi kaku pertama muncul di dalam Matematika Yunani, terutama di dalam karya Euklides, Elemen. Matematika selalu berkembang, misalnya di Cina pada tahun 300 SM, di India pada tahun 100 M, dan di Arab pada tahun 800 M, hingga zaman Renaisans, ketika temuan baru matematika berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru yang mengarah pada peningkatan yang cepat di dalam laju penemuan matematika yang berlanjut hingga kini.[7] Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran/medis, dan ilmu sosial seperti ekonomi, dan psikologi. Matematika terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti statistika dan teori permainan. Para matematikawan juga bergulat di dalam matematika murni, atau matematika untuk perkembangan matematika itu sendiri, tanpa adanya penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadi latar munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian.[8] Daftar isi [sembunyikan] 1 Etimologi 2 Sejarah 3 Ilham, matematika murni dan terapan, dan estetika 4 Notasi, bahasa, dan kekakuan 5 Matematika sebagai ilmu pengetahuan 6 Bidang-bidang matematika 6.1 Besaran 6.2 Ruang 6.3 Perubahan 6.4 Struktur 6.5 Dasar dan filsafat 6.6 Matematika diskret 6.7 Matematika terapan 7 Lihat pula 8 Catatan 9 Referensi 10 Pranala luar [sunting] Etimologi Kata "matematika" berasal dari bahasa Yunani Kuno μάθημα (máthēma), yang berarti pengkajian, pembelajaran, ilmu, yang ruang lingkupnya menyempit, dan arti teknisnya menjadi "pengkajian matematika", bahkan demikian juga pada zaman kuno. Kata sifatnya adalah μαθηματικός (mathēmatikós), berkaitan dengan pengkajian, atau tekun belajar, yang lebih jauhnya berarti matematis. Secara khusus, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), di dalam bahasa Latin ars mathematica, berarti seni matematika. Bentuk jamak sering dipakai di dalam bahasa Inggris, seperti juga di dalam bahasa Perancis les mathématiques (dan jarang digunakan sebagai turunan bentuk tunggal la mathématique), merujuk pada bentuk jamak bahasa Latin yang cenderung netral mathematica (Cicero), berdasarkan bentuk jamak bahasa Yunani τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), yang dipakai Aristotle, yang terjemahan kasarnya berarti "segala hal yang matematis".[9] Tetapi, di dalam bahasa Inggris, kata benda mathematics mengambil bentuk tunggal bila dipakai sebagai kata kerja. Di dalam ragam percakapan, matematika kerap kali disingkat sebagai math di Amerika Utara dan maths di tempat lain. [sunting] Sejarah Sebuah quipu, yang dipakai oleh Inca untuk mencatatkan bilangan. Artikel utama untuk bagian ini adalah: Sejarah matematika Evolusi matematika dapat dipandang sebagai sederetan abstraksi yang selalu bertambah banyak, atau perkataan lainnya perluasan pokok masalah. Abstraksi mula-mula, yang juga berlaku pada banyak binatang[10], adalah tentang bilangan: pernyataan bahwa dua apel dan dua jeruk (sebagai contoh) memiliki jumlah yang sama. Selain mengetahui cara mencacah objek-objek fisika, manusia prasejarah juga mengenali cara mencacah besaran abstrak, seperti waktu — hari, musim, tahun. Aritmetika dasar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian) mengikuti secara alami. Langkah selanjutnya memerlukan penulisan atau sistem lain untuk mencatatkan bilangan, semisal tali atau dawai bersimpul yang disebut quipu dipakai oleh bangsa Inca untuk menyimpan data numerik. Sistem bilangan ada banyak dan bermacam-macam, bilangan tertulis yang pertama diketahui ada di dalam naskah warisan Mesir Kuno di Kerajaan Tengah Mesir, Lembaran Matematika Rhind. Sistem bilangan Maya Penggunaan terkuno matematika adalah di dalam perdagangan, pengukuran tanah, pelukisan, dan pola-pola penenunan dan pencatatan waktu dan tidak pernah berkembang luas hingga tahun 3000 SM ke muka ketika orang Babilonia dan Mesir Kuno mulai menggunakan aritmetika, aljabar, dan geometri untuk penghitungan pajak dan urusan keuangan lainnya, bangunan dan konstruksi, dan astronomi.[11] Pengkajian matematika yang sistematis di dalam kebenarannya sendiri dimulai pada zaman Yunani Kuno antara tahun 600 dan 300 SM. Matematika sejak saat itu segera berkembang luas, dan terdapat interaksi bermanfaat antara matematika dan sains, menguntungkan kedua belah pihak. Penemuan-penemuan matematika dibuat sepanjang sejarah dan berlanjut hingga kini. Menurut Mikhail B. Sevryuk, pada Januari 2006 terbitan Bulletin of the American Mathematical Society, "Banyaknya makalah dan buku yang dilibatkan di dalam basis data Mathematical Reviews sejak 1940 (tahun pertama beroperasinya MR) kini melebihi 1,9 juta, dan melebihi 75 ribu artikel ditambahkan ke dalam basis data itu tiap tahun. Sebagian besar karya di samudera ini berisi teorema matematika baru beserta bukti-buktinya."[12] [sunting] Ilham, matematika murni dan terapan, dan estetika Sir Isaac Newton (1643-1727), seorang penemu kalkulus infinitesimal. Artikel utama untuk bagian ini adalah: Keindahan matematika Matematika muncul pada saat dihadapinya masalah-masalah yang rumit yang melibatkan kuantitas, struktur, ruang, atau perubahan. Mulanya masalah-masalah itu dijumpai di dalam perdagangan, pengukuran tanah, dan kemudian astronomi; kini, semua ilmu pengetahuan menganjurkan masalah-masalah yang dikaji oleh para matematikawan, dan banyak masalah yang muncul di dalam matematika itu sendiri. Misalnya, seorang fisikawan Richard Feynman menemukan rumus integral lintasan mekanika kuantum menggunakan paduan nalar matematika dan wawasan fisika, dan teori dawai masa kini, teori ilmiah yang masih berkembang yang berupaya membersatukan empat gaya dasar alami, terus saja mengilhami matematika baru.[13] Beberapa matematika hanya bersesuaian di dalam wilayah yang mengilhaminya, dan diterapkan untuk memecahkan masalah lanjutan di wilayah itu. Tetapi seringkali matematika diilhami oleh bukti-bukti di satu wilayah ternyata bermanfaat juga di banyak wilayah lainnya, dan menggabungkan persediaan umum konsep-konsep matematika. Fakta yang menakjubkan bahwa matematika "paling murni" sering beralih menjadi memiliki terapan praktis adalah apa yang Eugene Wigner memanggilnya sebagai "Ketidakefektifan Matematika tak ternalar di dalam Ilmu Pengetahuan Alam".[14] Seperti di sebagian besar wilayah pengkajian, ledakan pengetahuan di zaman ilmiah telah mengarah pada pengkhususan di dalam matematika. Satu perbedaan utama adalah di antara matematika murni dan matematika terapan: sebagian besar matematikawan memusatkan penelitian mereka hanya pada satu wilayah ini, dan kadang-kadang pilihan ini dibuat sedini perkuliahan program sarjana mereka. Beberapa wilayah matematika terapan telah digabungkan dengan tradisi-tradisi yang bersesuaian di luar matematika dan menjadi disiplin yang memiliki hak tersendiri, termasuk statistika, riset operasi, dan ilmu komputer. Mereka yang berminat kepada matematika seringkali menjumpai suatu aspek estetika tertentu di banyak matematika. Banyak matematikawan berbicara tentang keanggunan matematika, estetika yang tersirat, dan keindahan dari dalamnya. Kesederhanaan dan keumumannya dihargai. Terdapat keindahan di dalam kesederhanaan dan keanggunan bukti yang diberikan, semisal bukti Euclid yakni bahwa terdapat tak-terhingga banyaknya bilangan prima, dan di dalam metode numerik yang anggun bahwa perhitungan laju, yakni transformasi Fourier cepat. G. H. Hardy di dalam A Mathematician's Apology mengungkapkan keyakinan bahwa penganggapan estetika ini, di dalamnya sendiri, cukup untuk mendukung pengkajian matematika murni.[15] Para matematikawan sering bekerja keras menemukan bukti teorema yang anggun secara khusus, pencarian Paul Erdős sering berkutat pada sejenis pencarian akar dari "Alkitab" di mana Tuhan telah menuliskan bukti-bukti kesukaannya.[16][17] Kepopularan matematika rekreasi adalah isyarat lain bahwa kegembiraan banyak dijumpai ketika seseorang mampu memecahkan soal-soal matematika. [sunting] Notasi, bahasa, dan kekakuan Leonhard Euler. Mungkin seorang matematikawan yang terbanyak menghasilkan temuan sepanjang masa Artikel utama untuk bagian ini adalah: Notasi matematika Sebagian besar notasi matematika yang digunakan saat ini tidaklah ditemukan hingga abad ke-16.[18] Pada abad ke-18, Euler bertanggung jawab atas banyak notasi yang digunakan saat ini. Notasi modern membuat matematika lebih mudah bagi para profesional, tetapi para pemula sering menemukannya sebagai sesuatu yang mengerikan. Terjadi pemadatan yang amat sangat: sedikit lambang berisi informasi yang kaya. Seperti notasi musik, notasi matematika modern memiliki tata kalimat yang kaku dan menyandikan informasi yang barangkali sukar bila dituliskan menurut cara lain. Bahasa matematika dapat juga terkesan sukar bagi para pemula. Kata-kata seperti atau dan hanya memiliki arti yang lebih presisi daripada di dalam percakapan sehari-hari. Selain itu, kata-kata semisal terbuka dan lapangan memberikan arti khusus matematika. Jargon matematika termasuk istilah-istilah teknis semisal homomorfisme dan terintegralkan. Tetapi ada alasan untuk notasi khusus dan jargon teknis ini: matematika memerlukan presisi yang lebih dari sekadar percakapan sehari-hari. Para matematikawan menyebut presisi bahasa dan logika ini sebagai "kaku" (rigor). Lambang ketakhinggaan ∞ di dalam beberapa gaya sajian. Kaku secara mendasar adalah tentang bukti matematika. Para matematikawan ingin teorema mereka mengikuti aksioma-aksioma dengan maksud penalaran yang sistematik. Ini untuk mencegah "teorema" yang salah ambil, didasarkan pada praduga kegagalan, di mana banyak contoh pernah muncul di dalam sejarah subjek ini.[19] Tingkat kekakuan diharapkan di dalam matematika selalu berubah-ubah sepanjang waktu: bangsa Yunani menginginkan dalil yang terperinci, namun pada saat itu metode yang digunakan Isaac Newton kuranglah kaku. Masalah yang melekat pada definisi-definisi yang digunakan Newton akan mengarah kepada munculnya analisis saksama dan bukti formal pada abad ke-19. Kini, para matematikawan masih terus beradu argumentasi tentang bukti berbantuan-komputer. Karena perhitungan besar sangatlah sukar diperiksa, bukti-bukti itu mungkin saja tidak cukup kaku.[20] Aksioma menurut pemikiran tradisional adalah "kebenaran yang menjadi bukti dengan sendirinya", tetapi konsep ini memicu persoalan. Pada tingkatan formal, sebuah aksioma hanyalah seutas dawai lambang, yang hanya memiliki makna tersirat di dalam konteks semua rumus yang terturunkan dari suatu sistem aksioma. Inilah tujuan program Hilbert untuk meletakkan semua matematika pada sebuah basis aksioma yang kokoh, tetapi menurut Teorema ketaklengkapan Gödel tiap-tiap sistem aksioma (yang cukup kuat) memiliki rumus-rumus yang tidak dapat ditentukan; dan oleh karena itulah suatu aksiomatisasi terakhir di dalam matematika adalah mustahil. Meski demikian, matematika sering dibayangkan (di dalam konteks formal) tidak lain kecuali teori himpunan di beberapa aksiomatisasi, dengan pengertian bahwa tiap-tiap pernyataan atau bukti matematika dapat dikemas ke dalam rumus-rumus teori himpunan.[21] [sunting] Matematika sebagai ilmu pengetahuan Carl Friedrich Gauss, menganggap dirinya sebagai "pangerannya para matematikawan", dan mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan". Carl Friedrich Gauss mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan".[22] Di dalam bahasa aslinya, Latin Regina Scientiarum, juga di dalam bahasa Jerman Königin der Wissenschaften, kata yang bersesuaian dengan ilmu pengetahuan berarti (lapangan) pengetahuan. Jelas, inipun arti asli di dalam bahasa Inggris, dan tiada keraguan bahwa matematika di dalam konteks ini adalah sebuah ilmu pengetahuan. Pengkhususan yang mempersempit makna menjadi ilmu pengetahuan alam adalah di masa terkemudian. Bila seseorang memandang ilmu pengetahuan hanya terbatas pada dunia fisika, maka matematika, atau sekurang-kurangnya matematika murni, bukanlah ilmu pengetahuan. Albert Einstein menyatakan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, maka mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan."[6] Banyak filsuf yakin bahwa matematika tidaklah terpalsukan berdasarkan percobaan, dan dengan demikian bukanlah ilmu pengetahuan per definisi Karl Popper.[23] Tetapi, di dalam karya penting tahun 1930-an tentang logika matematika menunjukkan bahwa matematika tidak bisa direduksi menjadi logika, dan Karl Popper menyimpulkan bahwa "sebagian besar teori matematika, seperti halnya fisika dan biologi, adalah hipotetis-deduktif: oleh karena itu matematika menjadi lebih dekat ke ilmu pengetahuan alam yang hipotesis-hipotesisnya adalah konjektur (dugaan), lebih daripada sebagai hal yang baru."[24] Para bijak bestari lainnya, sebut saja Imre Lakatos, telah menerapkan satu versi pemalsuan kepada matematika itu sendiri. Sebuah tinjauan alternatif adalah bahwa lapangan-lapangan ilmiah tertentu (misalnya fisika teoretis) adalah matematika dengan aksioma-aksioma yang ditujukan sedemikian sehingga bersesuaian dengan kenyataan. Faktanya, seorang fisikawan teoretis, J. M. Ziman, mengajukan pendapat bahwa ilmu pengetahuan adalah pengetahuan umum dan dengan demikian matematika termasuk di dalamnya.[25] Di beberapa kasus, matematika banyak saling berbagi dengan ilmu pengetahuan fisika, sebut saja penggalian dampak-dampak logis dari beberapa anggapan. Intuisi dan percobaan juga berperan penting di dalam perumusan konjektur-konjektur, baik itu di matematika, maupun di ilmu-ilmu pengetahuan (lainnya). Matematika percobaan terus bertumbuh kembang, mengingat kepentingannya di dalam matematika, kemudian komputasi dan simulasi memainkan peran yang semakin menguat, baik itu di ilmu pengetahuan, maupun di matematika, melemahkan objeksi yang mana matematika tidak menggunakan metode ilmiah. Di dalam bukunya yang diterbitkan pada 2002 A New Kind of Science, Stephen Wolfram berdalil bahwa matematika komputasi pantas untuk digali secara empirik sebagai lapangan ilmiah di dalam haknya/kebenarannya sendiri. Pendapat-pendapat para matematikawan terhadap hal ini adalah beraneka macam. Banyak matematikawan merasa bahwa untuk menyebut wilayah mereka sebagai ilmu pengetahuan sama saja dengan menurunkan kadar kepentingan sisi estetikanya, dan sejarahnya di dalam tujuh seni liberal tradisional; yang lainnya merasa bahwa pengabaian pranala ini terhadap ilmu pengetahuan sama saja dengan memutar-mutar mata yang buta terhadap fakta bahwa antarmuka antara matematika dan penerapannya di dalam ilmu pengetahuan dan rekayasa telah mengemudikan banyak pengembangan di dalam matematika. Satu jalan yang dimainkan oleh perbedaan sudut pandang ini adalah di dalam perbincangan filsafat apakah matematika diciptakan (seperti di dalam seni) atau ditemukan (seperti di dalam ilmu pengetahuan). Adalah wajar bagi universitas bila dibagi ke dalam bagian-bagian yang menyertakan departemen Ilmu Pengetahuan dan Matematika, ini menunjukkan bahwa lapangan-lapangan itu dipandang bersekutu tetapi mereka tidak seperti dua sisi keping uang logam. Pada tataran praktisnya, para matematikawan biasanya dikelompokkan bersama-sama para ilmuwan pada tingkatan kasar, tetapi dipisahkan pada tingkatan akhir. Ini adalah salah satu dari banyak perkara yang diperhatikan di dalam filsafat matematika. Penghargaan matematika umumnya dipelihara supaya tetap terpisah dari kesetaraannya dengan ilmu pengetahuan. Penghargaan yang adiluhung di dalam matematika adalah Fields Medal (medali lapangan),[26][27] dimulakan pada 1936 dan kini diselenggarakan tiap empat tahunan. Penghargaan ini sering dianggap setara dengan Hadiah Nobel ilmu pengetahuan. Wolf Prize in Mathematics, dilembagakan pada 1978, mengakui masa prestasi, dan penghargaan internasional utama lainnya, Hadiah Abel, diperkenalkan pada 2003. Ini dianugerahkan bagi ruas khusus karya, dapat berupa pembaharuan, atau penyelesaian masalah yang terkemuka di dalam lapangan yang mapan. Sebuah daftar terkenal berisikan 23 masalah terbuka, yang disebut "masalah Hilbert", dihimpun pada 1900 oleh matematikawan Jerman David Hilbert. Daftar ini meraih persulangan yang besar di antara para matematikawan, dan paling sedikit sembilan dari masalah-masalah itu kini terpecahkan. Sebuah daftar baru berisi tujuh masalah penting, berjudul "Masalah Hadiah Milenium", diterbitkan pada 2000. Pemecahan tiap-tiap masalah ini berhadiah US$ 1 juta, dan hanya satu (hipotesis Riemann) yang mengalami penggandaan di dalam masalah-masalah Hilbert. [sunting] Bidang-bidang matematika Sebuah sempoa, alat hitung sederhana yang dipakai sejak zaman kuno. Disiplin-disiplin utama di dalam matematika pertama muncul karena kebutuhan akan perhitungan di dalam perdagangan, untuk memahami hubungan antarbilangan, untuk mengukur tanah, dan untuk meramal peristiwa astronomi. Empat kebutuhan ini secara kasar dapat dikaitkan dengan pembagian-pembagian kasar matematika ke dalam pengkajian besaran, struktur, ruang, dan perubahan (yakni aritmetika, aljabar, geometri, dan analisis). Selain pokok bahasan itu, juga terdapat pembagian-pembagian yang dipersembahkan untuk pranala-pranala penggalian dari jantung matematika ke lapangan-lapangan lain: ke logika, ke teori himpunan (dasar), ke matematika empirik dari aneka macam ilmu pengetahuan (matematika terapan), dan yang lebih baru adalah ke pengkajian kaku akan ketakpastian. [sunting] Besaran Pengkajian besaran dimulakan dengan bilangan, pertama bilangan asli dan bilangan bulat ("semua bilangan") dan operasi aritmetika di ruang bilangan itu, yang dipersifatkan di dalam aritmetika. Sifat-sifat yang lebih dalam dari bilangan bulat dikaji di dalam teori bilangan, dari mana datangnya hasil-hasil popular seperti Teorema Terakhir Fermat. Teori bilangan juga memegang dua masalah tak terpecahkan: konjektur prima kembar dan konjektur Goldbach. Karena sistem bilangan dikembangkan lebih jauh, bilangan bulat diakui sebagai himpunan bagian dari bilangan rasional ("pecahan"). Sementara bilangan pecahan berada di dalam bilangan real, yang dipakai untuk menyajikan besaran-besaran kontinu. Bilangan real diperumum menjadi bilangan kompleks. Inilah langkah pertama dari jenjang bilangan yang beranjak menyertakan kuarternion dan oktonion. Perhatian terhadap bilangan asli juga mengarah pada bilangan transfinit, yang memformalkan konsep pencacahan ketakhinggaan. Wilayah lain pengkajian ini adalah ukuran, yang mengarah pada bilangan kardinal dan kemudian pada konsepsi ketakhinggaan lainnya: bilangan aleph, yang memungkinkan perbandingan bermakna tentang ukuran himpunan-himpunan besar ketakhinggaan. Bilangan asli Bilangan bulat Bilangan rasional Bilangan real Bilangan kompleks [sunting] Ruang Pengkajian ruang bermula dengan geometri – khususnya, geometri euclid. Trigonometri memadukan ruang dan bilangan, dan mencakupi Teorema pitagoras yang terkenal. Pengkajian modern tentang ruang memperumum gagasan-gagasan ini untuk menyertakan geometri berdimensi lebih tinggi, geometri tak-euclid (yang berperan penting di dalam relativitas umum) dan topologi. Besaran dan ruang berperan penting di dalam geometri analitik, geometri diferensial, dan geometri aljabar. Di dalam geometri diferensial terdapat konsep-konsep buntelan serat dan kalkulus lipatan. Di dalam geometri aljabar terdapat penjelasan objek-objek geometri sebagai himpunan penyelesaian persamaan polinom, memadukan konsep-konsep besaran dan ruang, dan juga pengkajian grup topologi, yang memadukan struktur dan ruang. Grup lie biasa dipakai untuk mengkaji ruang, struktur, dan perubahan. Topologi di dalam banyak percabangannya mungkin menjadi wilayah pertumbuhan terbesar di dalam matematika abad ke-20, dan menyertakan konjektur poincaré yang telah lama ada dan teorema empat warna, yang hanya "berhasil" dibuktikan dengan komputer, dan belum pernah dibuktikan oleh manusia secara manual. Geometri Trigonometri Geometri diferensial Topologi Geometri fraktal [sunting] Perubahan Memahami dan menjelaskan perubahan adalah tema biasa di dalam ilmu pengetahuan alam, dan kalkulus telah berkembang sebagai alat yang penuh-daya untuk menyeledikinya. Fungsi-fungsi muncul di sini, sebagai konsep penting untuk menjelaskan besaran yang berubah. Pengkajian kaku tentang bilangan real dan fungsi-fungsi berpeubah real dikenal sebagai analisis real, dengan analisis kompleks lapangan yang setara untuk bilangan kompleks. Hipotesis Riemann, salah satu masalah terbuka yang paling mendasar di dalam matematika, dilukiskan dari analisis kompleks. Analisis fungsional memusatkan perhatian pada ruang fungsi (biasanya berdimensi tak-hingga). Satu dari banyak terapan analisis fungsional adalah mekanika kuantum. Banyak masalah secara alami mengarah pada hubungan antara besaran dan laju perubahannya, dan ini dikaji sebagai persamaan diferensial. Banyak gejala di alam dapat dijelaskan menggunakan sistem dinamika; teori kekacauan mempertepat jalan-jalan di mana banyak sistem ini memamerkan perilaku deterministik yang masih saja belum terdugakan. Kalkulus Kalkulus vektor Persamaan diferensial Sistem dinamika Teori chaos Analisis kompleks [sunting] Struktur Banyak objek matematika, semisal himpunan bilangan dan fungsi, memamerkan struktur bagian dalam. Sifat-sifat struktural objek-objek ini diselidiki di dalam pengkajian grup, gelanggang, lapangan dan sistem abstrak lainnya, yang mereka sendiri adalah objek juga. Ini adalah lapangan aljabar abstrak. Sebuah konsep penting di sini yakni vektor, diperumum menjadi ruang vektor, dan dikaji di dalam aljabar linear. Pengkajian vektor memadukan tiga wilayah dasar matematika: besaran, struktur, dan ruang. Kalkulus vektor memperluas lapangan itu ke dalam wilayah dasar keempat, yakni perubahan. Kalkulus tensor mengkaji kesetangkupan dan perilaku vektor yang dirotasi. Sejumlah masalah kuno tentang Kompas dan konstruksi garis lurus akhirnya terpecahkan oleh Teori galois. Teori bilangan Aljabar abstrak Teori grup Teori orde [sunting] Dasar dan filsafat Untuk memeriksa dasar-dasar matematika, lapangan logika matematika dan teori himpunan dikembangkan, juga teori kategori yang masih dikembangkan. Kata majemuk "krisis dasar" mejelaskan pencarian dasar kaku untuk matematika yang mengambil tempat pada dasawarsa 1900-an sampai 1930-an.[28] Beberapa ketaksetujuan tentang dasar-dasar matematika berlanjut hingga kini. Krisis dasar dipicu oleh sejumlah silang sengketa pada masa itu, termasuk kontroversi teori himpunan Cantor dan kontroversi Brouwer-Hilbert. Logika matematika diperhatikan dengan meletakkan matematika pada sebuah kerangka kerja aksiomatis yang kaku, dan mengkaji hasil-hasil kerangka kerja itu. Logika matematika adalah rumah bagi Teori ketaklengkapan kedua Gödel, mungkin hasil yang paling dirayakan di dunia logika, yang (secara informal) berakibat bahwa suatu sistem formal yang berisi aritmetika dasar, jika suara (maksudnya semua teorema yang dapat dibuktikan adalah benar), maka tak-lengkap (maksudnya terdapat teorema sejati yang tidak dapat dibuktikan di dalam sistem itu). Gödel menunjukkan cara mengonstruksi, sembarang kumpulan aksioma bilangan teoretis yang diberikan, sebuah pernyataan formal di dalam logika yaitu sebuah bilangan sejati-suatu fakta teoretik, tetapi tidak mengikuti aksioma-aksioma itu. Oleh karena itu, tiada sistem formal yang merupakan aksiomatisasi sejati teori bilangan sepenuhnya. Logika modern dibagi ke dalam teori rekursi, teori model, dan teori pembuktian, dan terpaut dekat dengan ilmu komputer teoretis. Logika matematika Teori himpunan Teori kategori [sunting] Matematika diskret Matematika diskret adalah nama lazim untuk lapangan matematika yang paling berguna di dalam ilmu komputer teoretis. Ini menyertakan teori komputabilitas, teori kompleksitas komputasional, dan teori informasi. Teori komputabilitas memeriksa batasan-batasan berbagai model teoretis komputer, termasuk model yang dikenal paling berdaya - Mesin turing. Teori kompleksitas adalah pengkajian traktabilitas oleh komputer; beberapa masalah, meski secara teoretis terselesaikan oleh komputer, tetapi cukup mahal menurut konteks waktu dan ruang, tidak dapat dikerjakan secara praktis, bahkan dengan cepatnya kemajuan perangkat keras komputer. Pamungkas, teori informasi memusatkan perhatian pada banyaknya data yang dapat disimpan pada media yang diberikan, dan oleh karenanya berkenaan dengan konsep-konsep semisal pemadatan dan entropi. Sebagai lapangan yang relatif baru, matematika diskret memiliki sejumlah masalah terbuka yang mendasar. Yang paling terkenal adalah masalah "P=NP?", salah satu Masalah Hadiah Milenium.[29] Kombinatorika Teori komputasi Kriptografi Teori graf [sunting] Matematika terapan Matematika terapan berkenaan dengan penggunaan alat matematika abstrak guna memecahkan masalah-masalah konkret di dalam ilmu pengetahuan, bisnis, dan wilayah lainnya. Sebuah lapangan penting di dalam matematika terapan adalah statistika, yang menggunakan teori peluang sebagai alat dan membolehkan penjelasan, analisis, dan peramalan gejala di mana peluang berperan penting. Sebagian besar percobaan, survey, dan pengkajian pengamatan memerlukan statistika. (Tetapi banyak statistikawan, tidak menganggap mereka sendiri sebagai matematikawan, melainkan sebagai kelompok sekutu.) Analisis numerik menyelidiki metode komputasional untuk memecahkan masalah-masalah matematika secara efisien yang biasanya terlalu lebar bagi kapasitas numerik manusia; analisis numerik melibatkan pengkajian galat pemotongan atau sumber-sumber galat lain di dalam komputasi. Fisika matematika Mekanika fluida Analisis numerik Optimisasi Teori peluang Statistika Matematika keuangan Teori permainan Biologi matematika Kimia matematika Ekonomi matematika Teori kontrol [sunting] Lihat pula Portal Matematika Definisi matematika Dyscalculia Daftar topik matematika dasar Daftar topik matematika Mathematical anxiety Permainan matematis Model matematika Masalah matematika Struktur matematika Matematika dan seni Lomba matematika Pendidikan matematika Portal Matematika Pola Filsafat matematika Abacus Tulang Napier, Jangka sorong Penggaris dan Kompas Perhitungan biasa Kalkulator dan komputer Bahasa pemrograman Sistem komputer aljabar Notasi sederhana Internet Analisis statistik software SPSS SAS R

“Contextual Teaching and Learning (CTL)”

KATA PENGANTAR Bismillaahirrohmaanirrohim, “Ahamdulillah”, penulis sepatutnya panjatkan kehadirat Allah SWT, atas limpahan Rahmat serta Hidayah-Nya, sehingga resume “ Model Pembrlajaran Contextual Teaching and Learning ” ini dapat tersusun dan terselesaikan sesuai dengan harapan. Selanjutnya Shalawat serta Salam senantiasa tercurahkan selalu kepada junjungan alam Nabi Besar Muhammad SAW, kepada keluarganya dan sahabatnya, karena berkat beliaulah kita dapat merasakan bagaimana lezatnya Iman dan Islam yang selalu terpatri dalam dada ummatnya dan semoga dengan Iman dan Islam ini, kita selamat dunia dan akhirat. Penyusun menyadari dengan sepenuhnya, bahwa terselesaikannya makalah ini juga berkat adanya dukungan dari berbagai pihak, terlebih dari sumbangsih dari Tim Penyusun dan arahan-arahan dari dosen serta literatur-literatur yang relevan. Oleh karena itu penyusun mengucapkan banyak terima kasih kepada dosen dan teman-teman kelompok yang ikut serta berfartisivasi dalam menyusun resume ini. Sekian dan Wass. . . DAFTAR ISI HALAMA JUDUL……………………………………………………………...........i KATA PENGANTAR……………………………………………………………….ii DAFTAR ISI…………………………………………………………………...........iii BAB I : PENDAHULUAN Latar Belakang……………………………………………………………1 Tujuan …………………………………………………………………… Rumusan Masalah……………………………………………………….1 BAB II: MODEL PEMBELAJARAN CTL Pengertian ………………………………………………………………3 Penerapan CTL Dalam Pembelajaran …………………………………13 BAB III : PENUTUP Kesimpulan…………………………………………………………….23 Saran …………………………………………………………………..23 DAFTAR PUSTAKA……………………………………………………………..24 PENDAHULUAN Latar Belakang Berangkat dari tujuan pendidikan, bahwa ingin untuk mencapai sesuatu yang ingin dicapai oleh segenap kegiatan pendidikan. Didalam pendidikan terdapat unsure-unsur pendidikan, diantaranya yaitu; subjek yang dibimbing (peserta didik), orang yang membimbing (pendidik), interaksi antara peserta didik dengan pendidik, materi pendidikan dan sebagainya. Hubungan antara unsur-unsur pendidikan tersebut agar terciptanya hubungan yang baik atau sesuai dengan apa yang kita inginkan, perlu adanya model pembelajaran untuk mmenyatukan hubungan antara unsur-unsur pendidikan tersebut agar lebih baik. Model pembelajaran itu merupakan salah satu cara pendidik untuk menyampaikan materi pelajaran atau untuk membimbing peserta didiknya. Didalam resume ini, kami susun model pembelajaran CTL (Contextual Teaching and Learning) yaitu model pembelajaran yang membantu peserta didik (siswa) untuk memahami materi ajar dan mengaitkannya dalam kehidupan sehari-hari atau kehidupan nyata. jadi, disini siswa diajak untuk berfikir yang rasionnal artinya tidak monoton pada materi saja, malainkan dapat menerapkannya dalam kehidupan yang mereka alami. Tujuan Tujuan umum: Untuk mencapai tujuan pendidikan yang lebih baik Untuk menciptakan suasana belajar yang efektif dan menyenangkan Membantu guru untuk melakukan pembelajaran khususnya pada model CTL Tujuan khusus: Sebagai pedoman untuk microteaching yaitu praktik untk melakukan pembelajaran dikampus (kelas) Sebagai tugas kelompok yang dikumpulkan kepada dosen Rumusan Masalah Apa yang dimaksud dengan model pembelajaran CTL Bagaimana peenerapannya didalam pembelajaran Langkah-langkah apa yang dilakukan didalam model pembelajaran CTL

MODEL PEMBELAJARAN CTL (CONTEXTUAL TEACHING AND LEARNING) Pengertian Contextual Teaching and Learning (CTL) merupakan proses pembelajaran yang holistik dan bertujuan membantu siswa untuk memahami makna materi ajar dengan mengaitkannya terhadap konteks kehidupan mereka sehari-hari (konteks pribadi, sosial dan kultural), sehingga siswa memiliki pengetahuan/ ketrampilan yang dinamis dan fleksibel untuk mengkonstruksi sendiri secara aktif pemahamannya. CTL disebut pendekatan kontektual karena konsep belajar yang membantu guru mengaitkan antara materi yang diajarkannya dengan situasi dunia nyata siswa dan mendorong siswa membuat hubungan antara pengetahuan yang dimilikinya dengan penerapannya dalam kehidupan mereka sebagai anggota masyarakat. Rasional Dalam Contextual teaching and learning (CTL) diperlukan sebuah pendekatan yang lebih memberdayakan siswa dengan harapan siswa mampu mengkonstruksikan pengetahuan dalam benak mereka, bukan menghafalkan fakta. Disamping itu siswa belajar melalui mengalami bukan menghafal, mengingat pengetahuan bukan sebuah perangkat fakta dan konsep yang siap diterima akan tetapi sesuatu yang harus dikonstruksi oleh siswa. Dengan rasional tersebut pengetahuan selalu berubah sesuai dengan perkembangan jaman. Pemikiran Tentang Belajar Proses belajar anak dalam belajar dari mengalami sendiri, mengkonstruksi pengetahuan, kemudian memberi makna pada pengetahuan itu. Transfer belajar; anak harus tahu makna belajar dan menggunakan pengetahuan serta ketrampilan yang diperolehnya untuk memecahkan masalah dalam kehidupannya. Siswa sebagai pembelajar; tugas guru mengatur strategi belajar dan membantu menghubungkan pengetahuan lama dengan pengetahuan baru, kemudian memfasilitasi kegiatan belajar. Pentingnya lingkungan belajar; siswa bekerja dan belajar secara di panggung guru mengarahkan dari dekat. Penilaian Otentik prosedur penilaian yang menunjukkan kemampuan (pengetahuan, ketrampilan sikap) siswa secara nyata. Penekanan penilaian otentik adalah pada; pembelajaran seharusnya membantu siswa agar mampu mempelajari sesuatu, bukan pada diperolehnya informasi di akhr periode, kemajuan belajar dinilai tidak hanya hasil tetapi lebih pada prosesnya dengan berbagai cara, menilai pengetahuan dan ketrampilan yang diperoleh siswa. Penerapan CTL dalam pembelajaran Kembangkan pemikiran bahwa anak akan belajar lebih bermakna dengan cara bekerja sendiri, menemukan sendiri dan engkonstruksi sendiri pengetahuan dan ketrampilan baru. Lakukan sejauh mungkin kegiatan inkuiri untuk semua toipik. Kembangkan sifat keingin tahuan siswa dengan cara bertanya. Ciptakan masyarakat belajar (belajar dalam kelompok-kelompok). Hadirkan model sebagai contoh dalam pembelajaran. Lakukan refleksi pada akhir pertemuan. Lakukan penilaian otentik yang betul-betul menunjukkan kemampuan siswa. Terdapat lima karakteristik penting dalam proses pembelajaran yang menggunakan pendekatan CTL seperti dijelaskan oleh Dr. Wina Sanjaya, M.Pd (2005:110),sebagaiberikut: Pembelajaran merupakan proses pengaktifan pengetahuan yang sudah ada (activtinging knowledge), artinya apa yang akan dipelajari tidak terlepas dari pengetahuan yang sudah dipelajari, dengan demikian pengetahuan yang akan diperoleh siswa adalah pengetahuan yang utuh yang memiliki keterkaitan satu sama lain. Pembelajaran kontekstual adalah belajar dalam rangka memperoleh dan menambah pengetahuan baru (acquiring knowledge). Pengetahuan baru itu diperoleh dengan cara deduktif, artinya pembelajaran dimulai dengan mempelajari secara keseluruhan, kemudian memperhatikan detailnya. Pemahaman pengetahuan (understanding knowledge), artinya pengetahuan yang diperoleh bukan untuk dihafal tapi untuk dipahami dan diyakini, misalnya dengan cara meminta tanggapan dari yang lain tentang pengetahuan yang diperolehnya dan berdasarkan tanggapan tersebut baru pengetahuan itu dikembangkan. Mempraktikkan pengetahuan dan pengalaman tersebut (applying knowledge) artinya pengetahuan dan pengalaman yang diperolehnya harus dapat diaplikasikan dalam kehidupan siswa, sehingga tampak perubahan perilaku siswa. Melakukan refleksi (reflecting knowledge) terhadap strategi pengembangan pengetahuan. Hal ini dilakukan sebagai umpan balik untuk proses perbaikan atau penyempurnaan strategi. Pembelajaran interaktif menurut Dimyati dan Mudjiono (1999:297) adalah kegiatan guru secara terprogram dalam desain instruksional, untuk membuat siswa belajar secara aktif, yang menekankan pada penyediaan sumber belajar. UUSPN No. 20 Tahun 2003 menyatakan pembelajaran adalah proses interaksi peserta didik dengan pendidik dan sumber belajar pada suatu lingkungan belajar. Pembelajaran sebagai proses belajar yang dibangun oleh guru untuk mengembangkan kreatifitas berpikir yang dapat meningkatkan kemampuan berfikir siswa, serta dapat meningkatkan kemampuan mengkonstruksi pengetahuan baru sebagai upaya meningkatkan penguasaan yang baik terhadap materi pelajaran. Dalam pembelajaran guru harus memahami hakekat materi pelajaran yang diajarkannya sebagai suatu pelajaran yang dapat mengembangkan kemampuan berpikir siswa dan memahami berbagai model pembelajaran yang dapat merangsang kemampuan siswa untuk belajar dengan perencanaan pengajaran yang matang oleh guru. Pendapat ini sejalan dengan Jerome Brunner (1960) mengatakan bahwa: ‘’Perlu adanya teori pembelajaran yang akan menjelaskan asas-asas untuk merancang pembelajaran yang efektif di kelas’’. Selanjutnya menurut Bruner teori belajar itu bersifat deskriptif, sedangkan teori pembelajaran itu preskriptif. Hal ini menggambarkan bahwa orang yang berpengetahuan adalah orang yang terampil memecahkan masalah, mampu berinteraksi dengan lingkungannya dalam menguji hipotesis dan menarik generalisasi dengan benar. Jadi belajar dan pembelajaran diarahkan untuk membangun kemampuan berpikir dan kemampuan menguasai materi pelajaran, dimana pengetahuan itu sumbernya dari luar diri, tetapi dikonstruksi dalam diri individu siswa. Pengetahuan tidak diperoleh dengan cara diberikan atau ditransfer dari orang lain, tetapi ‘’dibentuk dan dikonstruksi’’ oleh individu itu sendiri, sehingga siswa itu mampu mengembangkan intelektualnya. Pembelajaran interaktif mempunyai dua karakteristik seperti dijelaskan oleh Dr. H. Syaiful Sagala, M.Pd. (2003:63), yaitu: (1) dalam proses pembelajaran melibatkan proses mental siswa secara maksimal, bukan hanya menuntut siswa sekedar mencatat, akan tetapi menghendaki aktivitas siswa dalam proses berpikir; (2) dalam pembelajaran membangun suasana dialogis dan proses tanya jawab terus menerus yang diarahkan untuk memperbaiki dan meningkatkan kemampuan siswa untuk memperoleh pengetahuan yang mereka konstruksi sendiri. Proses pembelajaran atau pengajaran kelas (Classroom Teaching) menurut Dunkin dan Biddle (1974:38) berada pada empat variabel interaksi yaitu: (1) variabel pertanda (pesage variables) berupa pendidik; (2) variabel konteks (context variables) berupa peserta didik, sekolah dan masyarakat; (3) variabel proses (process variables) berupa interaksi peserta didik dengan pendidik; dan (4) variabel produk (product variables) berupa perkembangan peserta didik dalam jangka pendek maupun jangka panjang. Dunkin dan Biddle selanjutnya mengatakan proses pembelajaran akan berlangsung dengan baik jika pendidik mempunyai dua kompetensi utama yaitu: (1) kompetensi substansi materi pembelajaran atau penguasaa materi pelajaran; (2) kompetensi metodologi pembelajaran. Artinya jika guru menguasai materi pelajaran, diharuskan juga menguasai metode pengajaran sesuai kebutuhan materi ajar yang mengacu pada prinsip pedagogik, yaitu memahami karakteristik peserta didik. Jika metode dalam pembelajaran tidak dikuasai, maka penyampaian materi ajar menjadi tidak maksimal. Metode yang digunakan sebagai strategi yang dapat memudahkan peserta didik untuk menguasai ilmu pengetahuan yang diberikan oleh guru. Hal ini menggambarkan bahwa pembelajaran terus mengalami perkembangan sejalan dengan kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi. Karena itu dalam merespon perkembangan tersebut, tentu tidaklah memadai kalau sumber belajar berasal dari guru dan media buku teks belaka. Dirasakan perlu ada cara baru dalam mengkomunikasikan ilmu pengetahuan atau materi ajar dalam pembelajaran baik dalam sistem yang mandiri maupun dalam sistem yang terstruktur. Untuk itu perlu dipersiapkan sumber belajar oleh pihak guru maupun para ahli pendidikan yang dapat dimanfaatkan dalam proses pembelajaran. Proses pembelajaran aktivitasnya dalam bentuk interaksi belajar mengajar dalam suasana interaksi edukatif, yaitu interaksi yang sadar akan tujuan artinya interaksi yang telah dicanangkan untuk suatu tujuan tertentu setidaknya adalah pencapaian tujuan intruksional atau tujuan pembelajaran yang telah dirumuskan pada satuan pelajaran. Kegiatan pembelajaran yang diprogramkan guru merupakan kegiatan integralistik antara pendidik dengan peserta didik. Kegiatan pembelajaran secara metodologis berakar dari pihak pendidik yaitu guru, dan kegiatan belajar secara pedagogis terjadi pada diri peserta didik. Menurut Knirk dan Gustafson (1986:15) pembelajaran merupakan suatu proses yang sistematis melalui tahap rancangan, pelaksanaan dan evaluasi. Pembelajaran tidak terjadi seketika, melainkan sudah melalui tahapan perancangan pembelajaran. Selanjutnya Knirk dan Gustafson (1986:18) mengemukakan teknologi pembelajaran melibatkan tiga komponen utama yang saling berinteraksi yaitu guru (pendidik), siswa (peserta didik), dan kurikulum. Komponen tersebut melengkapi struktur dan lingkungan belajar formal. Hal ini menggambarkan bahwa interaksi pendidik dengan peserta didik merupakan inti proses pembelajaran (instructional). Dengan demikian pembelajaran adalah setiap kegiatan yang dirancang oleh guru untuk membantu seseorang mempelajari suatu kemampuan dan atau nilai yang baru dalam suatu proses yang sistematis melalui tahap rancangan, pelaksanaan, dan evaluasi dalam konteks kegiatan belajar mengajar. Dalam proses pembelajaran itu dikembangkan melalui pola pembelajaran yang menggambarkan kedudukan serta peran pendidik dan peserta didik dalam proses pembelajaran. Guru sebagai sumber belajar, penentu metode belajar, dan juga penilai kemajuan belajar meminta para pendidik untuk menjadikan pembelajaran lebih efektif dan efisien untuk mencapai tujuan pembelajaran itu sendiri. Sesuai dengan filsafat yang mendasarinya bahwa pengetahuan terbentuk karena peran aktif subjek, maka dipandang dari sudut psikologis, CTL berpijak pada aliran psikologis kognitif. Menurut aliran ini proses belajar terjadi karena pemahaman individu akan lingkungan. Belajar bukanlah peristiwa mekanis seperti keterkaitan Stimulus dan Respons. Belajar tidak sesederhana itu. Belajar melibatkan proses mental yang tidak tampak seperti emosi, minat, motivasi dan kemampuan atau pengalaman. Apa yang tampak, pada dasarnya adalah wujud dari adanya dorongan yang berkembang dalam diri seseorang. Sebagai peristiwa mental perilaku manusia tidak semata-mata merupakan gerakan fisik saja, akan tetapi yang lebih penting adalah adanya faktor pendorong yang ada dibelakang gerakan fisik itu. Mengapa demikian? Sebab manusia selamanya memiliki kebutuhan yang melekat dalam dirinya. Kebutuhan itulah yang mendorong manusia untuk berperilaku . Dari asumsi dan latar belakang yang mendasarinya, maka terdapat beberapa hal yang harus dipahami tentang belajar dalam konteks CTL menurut Sanjaya (2005:114) antara lain: Belajar bukanlah menghafal, akan tetapi proses mengonstruksi pengetahuan sesuai dengan pengalaman yang mereka miliki. Oleh karena itulah, semakin banyak pengalaman maka akan semakin banyak pula pengetahuan yang mereka peroleh. Belajar bukan sekadar mengumpulkan fakta yang lepas-lepas. Pengetahuan itu pada dasarnya merupakan organisasi dari semua yang dialami, sehingga dengan pengetahuan yang dimiliki akan berpengaruh terhadap pola-pola perilaku manusia, seperti pola berpikir, pola bertindak, kemampuan memecahkan persoalan termasuk penampilan atau performance seseorang. Semakin pengetahuan seseorang luas dan mendalam, maka akan semakin efektif dalam berpikir. Belajar adalah proses pemecahan masalah, sebab dengan memecahkan masalah anak akan berkembang secara utuh yang bukan hanya perkembangan intektual akan tetapi juga mental dan emosi. Belajar secara kontekstual adalah belajar bagaimana anak menghadapi persoalan. Belajar adalah proses pengalaman sendiri yang berkembang secara bertahap dari sedssserhana menuju yang kompleks. Oleh karena itu belajar tidak dapat sekaligus, akan tetapi sesuai dengan irama kemampuan siswa. Belajar pada hakikatnya adalah menagkap pengetahuan dari kenyataan. Oleh karena itu, pengetahuan yang diperoleh adalah pengetahuan yang memiliki makna untuk kehidupan anak (Real World Learning) Selanjutnya Sanjaya (2005:115) memberikan penjelasan perbedaan CTL dengan pembelajaran konvensional, antara lain: CTL menempatkan siswa sebagai subjek belajar, artinya siswa perperan aktif dalam setiap proses pembelajaran dengan cara menemukan dan menggali sendiri materi pelajaran. Sedangkan dalam pembelajaran konvensional siswa ditempatkan sebagai objek belajar yang berperan sebagai penerima informasi secara pasif. Dalam pembelajaran CTL siswa belajar melalui kegiatan kelompok, seperti kerja kelompok, berdiskusi, saling menerima, dan memberi. Sedangkan, dalam pembelajaran konvensional siswa lebih bnayak belajar secara individual dengan menerima, mencatat, dan menghafal materi pelajaran. Dalam CTL pembelajaran dikaitkan dengan kehidupan nyata secara riil; sedangkan dalam pembelajaran konvensional pembelajaran bersifat teoretis dan abstrak. Dalam CTL, kemampuan didasarkan atas pengalaman, sedangkan dalam pembelajaran konvensional kemampuan diperoleh melalui latihan-latihan. Tujuan akhir dari proses pembelajaran melalui CTL adalah kepuasan diri; sedangkan dalam pembelajaran konvensional tujuan akhir adalah nilai dan angka. Dalam CTL, tindakan atau perilaku dibangun atas kesadaran diri sendiri, misalnya individu tidak melakukan perilaku tertentu karena ia menyadari bahwa perilaku itu merugikan dan tidak bermanfaat; sedangkan dalam pembelajaran konvensional tindakan atau perilaku individu didasarkan oleh faktor dari luar dirinya, misalnya individu tidak melakukan sesuatu disebabkan takut hukuman, atau sakadar untuk memperoleh angka atau nilai dari guru. Dalam CTL, pengetahuan yang dimiliki setiap individu selalu berkembang sesuai dengan pengalaman yang dialaminya, oleh sebab itu setiap siswa bisa terjadi perbedaan dalam memaknai hakikat pengetahuan yang dimilikinya. Dalam pembelajaran konvensional, hal ini tidak mungkin terjadi. Kebenaran yang dimiliki bersifat absolut dan final, oleh karena pengetahuan dikonstruksi oleh orang lain. Dalam pembelajaran CTL, siswa bertanggung jawab dalam memonitor dan mengembangkan pembelajaran mereka masing-masing; sedangkan dalam pembelajaran konvensional guru adalah penentu jalannya proses pembelajaran. Dalam pembelajaran CTL, pembelajaran bisa terjadi di mana saja dalam konteks dan setting yang berbeda sesuai dengan kebutuhan; sedangkan dalam pembelajaran konvensional pembelajaran hanya terjadi di dalam kelas. Oleh karena tujuan yang ingin dicapai adalah seluruh aspek perkembangan siswa, maka dalam CTL keberhasilan pembelajaran diukur dengan berbagai cara misalnya dengan evaluasi proses, hasil karya siswa, penampilan, rekaman, observasi, wawancara, dan lain sebagainya; sedangkan dalam pembelajaran konvensional keberhasilan pembelajaran biasanya hanya diukur dari tes. Berdasarkan perbedaan pokok tersebut di atas, bahwa CTL memang memiliki karakteristik tersendiri baik dilihat dari asumsi maupun proses pelaksanaan dan pengelolaannya. Dalam proses pembelajaran kontekstual, setiap guru perlu memahami tipe belajar dalam dunia siswa, artinya guru perlu menyesuaikan gaya mengajar terhadap gaya belajar siswa. Dalam proses pembelajaran konvensional hal ini sering terlupakan, sehingga proses pembelajaran tidak ubahnya sebagai proses pemaksaan kehendak, yang menurut Paulo Freire (Sanjaya, 2005:116-117) sebagai sistem penindasan. Sehubungan dengan hal itu, terdapat beberapa hal yang harus diperhatikan bagi setiap guru manakala menggunakan pendekatan CTL yakni: (a) Siswa dalam pembelajaran kontekstual dipandang sebagai individu yang sedang berkembang. Kemampuan belajar seseorang akan dipengaruhi oleh tingkat perkembangan dan keleluasan pengalaman yang dimilikinya. Anak bukanlah orang dewasa dalam bentuk kecil, melainkan organisme yang sedang berada dalam tahap-tahap perkembangan. Kemampuan belajar akan sangat ditentukan oleh tingkat perkembangan dan pengalaman mereka. Dengan demikian peran guru bukanlah sebagai instruktur atau ‘’penguasa’’ yang memaksakan kehendak, melainkan guru adalah pembimbing siswa agar mereka dapat belajar sesuai dengan tahap perkembangannya. (b) Setiap anak memiliki kecenderungan untuk belajar hal-hal yang baru dan memecahkan setiap persoalan yang menantang. Dengan demikian guru berperan dalam memilih bahan-bahan belajar yang dianggap penting untuk dipelajari oleh siswa. (c) Belajar bagi siswa adalah proses mencari keterkaitan atau keterhubungan antara hal-hal yang baru dengan hal-hal yang sudah diketahui. Dengan demikian peran guru adalah membantu agar setiap siswa mempu menemukan keterkaitan antara pengalaman baru dengan pengalaman sebelumnya. (d) Belajar bagi anak adalah proses penyempurnaan skema yang telah ada (asimilasi) atau proses pembentukan skema baru (akomodasi), dengan demikian tugas guru adalah memfasilitasi (mempermudah) agar anak mampu melakukan proses asimilasi dan proses akomodasi. Sesuai dengan asumsi yang mendasarinya, bahwa pengetahuan itu diperoleh anak bukan dari informasi yang diberikan oleh orang lain temasuk guru, akan tetapi dari proses penemukan dan mengontruksinya sendiri, maka guru harus menghindari mengajar sebagai proses penyampaian informasi. Guru perlu memandang siswa sebagai subjek belajar dengan segala keunikannya. Siswa adalah organisme aktif yang memiliki potensi untuk membangun pengetahuannya sendiri. Kalaupun guru memberikan informasi kepada siswa, guru harus memberi kesempatan untuk menggali informasi itu agar lebih bermakna untuk kehidupan mereka. CTL sebagai suatu pendekatan pembelajaran memiliki 7 (tujuh) asas. Asas-asas ini yang melandasi pelaksanaan proses pembelajaran dengan menggunakan pendekatan CTL. Komponen tersebut antara lain konstruktivisme, inkuiri, bertanya (questioning), masyarakat belajar (learning community), pemodelan (modeling), refleksi (reflection), penilaian nyata (authentic assessment) Konstruktivisme adalah proses membangun atau menyusun pengetahuan baru dalam struktur kognitif siswa berdasarkan pengalaman. Menurut konstruktivisme, pengetahuan itu memang berasal dari luar akan tetapi dikonstruksi oleh dan dari dalam diri seseorang. Oleh sebab itu pengetahuan terbentuk oleh dua faktor penting, yaitu objek yang menjadi bahan pengamatan dan kemampuan subjek untuk menginterpretasi objek tersebut. Kedua faktor itu sama pentingnya. Dengan demikian pengetahuan itu tidak bersifat statis akan tetapi bersifat dinamis, tergantung individu yang melihat dan mengonstruksinya. Piaget menyatakan hakikat pengetahuan sebagai berikut: Pengetahuan bukanlah merupakan gambaran dunia kenyataan belaka, akan tetapi selalu merupakan gambaran dunia kenyataan belaka, akan tetapi selalu merupakan konstruksi kenyataan melalui kegiatan subjek. b. Subjek membentuk skema kognitif, kategori, konsep, dan struktur yang perlu untuk pengetahuan. Pengetahuan dibentuk dalam struktur konsepsi seseorang. Struktur konsepsi membentuk pengetahuan bila konsep itu berlaku dalam berhadapan dengan pengalaman-pengalaman seseorang. Pembelajaran melalui CTL pada dasarnya mendorong agar siswa dapat mengonstruksi pengetahuan melalui proses pengamatan dan pengalaman. Asas kedua dalam pembelajaran CTL adalah inkuiri. Artinya, proses pembelajaran didasarkan pada pencarian dan penemuan melalui proses berpikir secara sistematis. Pengetahuan bukanlah sejumlah fakta hasil dari mengingat, akan tetapi hasil dari proses menemukan sendiri. Dengan demikian dalam proses perencanaan, guru bukanlah mempersiapkan materi yang harus dihafal, akan tetapi merancang pembelajaran yang memungkinkan siswa dapat menemukan sendiri materi yang harus dipahaminya. Belajar pada dasarnya merupakan proses mental seseorang yang tidak terjadi secara mekanis. Melalui proses mental itulah diharapkan siswa berkembang secara utuh baik intektual, mental emosional maupun pribadinya. Apakah inkuiri hanya bisa dilakukan untuk mata pelajaran tertentu saja? Tentu tidak. Berbagi topik dalam setiap mata pelajaran dapat dilakukan melalui proses inkuiri. Secara umum proses ikuiri dapat dilakukan melalui beberapa langkah yaitu: merumuskan masalah, mengajukan hipotesis, mengumpulakn data, menguji hipotesis berdasarkan data yang ditemukan dan membuat kesimpulan. Penerapan asas ini dalam pembelajaran CTL, dimulai dari adanya kesadaran siswa akan masalah yang jelas yang ingin dipecahkan. Dengan demikian siswa harus didorong untuk menemukan masalah. Apabila masalah telah dipahami dengan batasan-batasan yang jelas, selanjutnya siswa dapat mengajukan hipotesis atau jawaban sementara sesuai dengan rumusan masalah yang diajukan. Hipotesis itulah yang akan menuntun siswa untuk melakukan observasi dalam rangka mengumpulkan data. Manakala data telah terkumpul selanjutnya siswa dituntun untuk mengui hipotesis sebagai dasar dalam merumuskan kesimpulan. Ketiga, bertanya (questioning). Belajar pada hakikatnya adalah bertanya dan menjawab pertanyaan. Bertanya dapat dipandang sebagai refleksi dari keingintahuan setiap individu; sedangkan menjawab pertanyaan mencerminkan kemampuan seseorang dalam berfikir. Dalam proses pembelajaran melalui CTL, guru tidak menyampaikan informasi begitu saja, akan tetapi memancing agar siswa dapat menemukan sendiri. Oleh sebab itu peran bertanya sangat penting, sebab melalui pertanyaan guru dapat membimbing dan mengarahkan siswa untuk menemukan setiap materi yang dipelajarinya. Dalam suatu pembelajaran yang produktif kegiatan bertanya akan sangat berguna untuk: (1) menggali informasi tentang kemampuan siswa dalam penguasaan materi pelajaran; (2) membangkitkan motivasi siswa untuk belajar; (3) merangsang keingintahuan siswa terhadap sesuatu; (4) memfokuskan siswa pada sesuatu yang diinginkan; dan (5) membimbing siswa untuk menemukan atau menyimpulkan sesuatu. Keempat, masyarakat belajar (learning community). Dalam CTL, penerapan asas masyarakat belajar dapat dialukan dengan menerapkan pembelajaran melalui kelompok belajar. Siswa dibagi dalam kelompok yang anggotanya bersifat heterogen, baik dilihat dari kemampuan dan kecepatan belajarnya, maupun dilihat dari bakat dan minatnya. Biarkan dalam kelompoknya mereka saling membelajarkan; yang cepat belajar didorong untuk membantu yang lambat belajar, yang memiliki kemampuan tertentu didorong untuk menularkannya pada yang lain. Kelima, pemodelan (modeling). Maksudnya adalah, proses pembelajaran dengan menggunakan sesuatu contoh yang dapat ditiru oleh setiap siswa. Misalnya guru memberikan contoh bagaimana cara mengoperasionalkan sebuah alat, atau bagaimana cara melafalkan sebuah kalimat asing, guru olahraga memberikan contoh bagaimana cara melempar bola, guru kesenian memberi contoh bagaimana cara memainkan alat musik, guru biologi memberikan contoh bagaimana cara mengggunakan thermometer dan lain sebagainya. Proses modelling, tidak terbatas dari guru saja, akan tetapi dapat juga guru memanfaatkan siswa yang dianggap memiliki kemampuan. Misalnya siswa yang pernah menjadi juara dalam membaca puisi dapat disuruh untuk menampilkan kebolehannya di depan teman-temannya, dengan demikian siswa dapat dianggap sebagai model. Modeling merupakan asas yang cukup penting dalam pembelajaran CTL, sebab melalui modelling siswa dapat terhindar dari pembelajaran yang teoretis-abstrak yang memungkinkan terjadinya verbalisme. Keenam, refleksi (reflection) adalah proses pengendapan pengalaman yang telah dipelajari yang dilakukan dengan cara mengurutkan kembali kejadian atau peristiwa pembelajaran yang telah dilaluinya. Melalui proses refleksi, pengalaman belajar itu akan dimasukkan dalam struktur kognitif siswa yang pada akhirnya akan menjadi bagian dari pengetahuan yang dimilikinya. Bisa terjadi melalui proses refleksi siswa akan memperbarui pengetahuan yang telah dibentuknya, atau menambah khazanah pengetahuannya. Dalam setiap proses pembelajaran dengan menggunakan CTL, setiap berakhir proses pembelajaran, guru memberikan kesempatan kepada siswa untuk ‘’merenung’’ atau mengingat kembali apa yang telah dipelajarinya. Biarkanlah secara bebas siswa menafsirkan pengalamannya sendiri, sehingga ia dapat menyimpulkan tentang pengalaman belajarnya. Ketujuh, penilaian nyata (authentic assessment) adalah proses yang dilakukan guru untuk mengumpulkan informasi tentang perkembangan belajar yang dilakukan siswa. Penilaian ini diperlukan untuk mengetahui apakah siswa benar-benar belajar atau tidak; apakah pengalaman belajar siswa memiliki pengaruh yang positif terhadap perkembangan baik intelektual maupun mental siswa. Penilaian autentik dilakukan secara terintegrasi dengan proses pembelajaran. Penilaian ini dilakukan secara terus menerus selama kegiatan pembelajaran berlangsung. Oleh sebab itu, tekanannya diarahkan kepada proses belajar bukan kepada hasil belajar. PENUTUP Kesimpulan Berdasarkan beberapa penjelasan tersebut di atas maka dapat disimpulkan beberapa hal berikut ini: 1. Pembelajaran kontekstual merupakan konsep pembelajaran yang menekankan pada keterkaitan antara materi pembelajaran dengan dunia kehidupan peserta didik secara nyata, sehingga para peserta didik mampu menghubungkan dan menerapkan kompetensi hasil belajar dalam kehidupan sehari-hari.. Melalui proses penerapan kompetensi dalam kehidupan sehari-hari, peserta didik akan merasakan pentingnya belajar, dan akan memperoleh makna yang mendalam terhadap apa yang dipejarinya. 2. Tugas guru dalam pembelajaran kontekstual adalah memberikan kemudahan belajar kepada peserta didik, dengan menyediakan berbagai sarana dan sumber belajar yang memadai. Guru bukan hanya menyampaikan materi pembelajaran yang berupa hapalan, tetapi mengatur lingkungan dan strategi pembelajaran yang memungkinkan peserta didik belajar. Lingkungan yang kondusif sangat penting dan sangat menunjang pembelajaran kontekstual, dan keberhasilan pembelajaraan secara keseluruhan. Saran Diharapkan kepada semua guru, supaya didalam melakukan pembelajaran memilih model yang sesuai dengan materi dan karakter siswa serta fasilitas sekolah, sehingga hasil yang kita inginkan dapat tuntas. Dan begitu juga dengan teman-teman yang sedang melakukan praktik microteaching atau sebagai calon guru juga diharapkan seperti itu. DAFTAR PUSTAKA Robert E.Slavin 2008 Cooperative Learning.Bandung:Nusa Media. Irzani.2009.Strategi Belajar Mengajar Matematika.Mataram:Media Grafindo press. Isjoni,2007. Cooperative Learning mengembangkan kemampuan belajar berkelompok.Bandung:Alfabeta Erman Suherman,dkk.2003.Strategi Pembelajaran Matematika Kontemporer.Bandung:Jica