Secara Geografis
1. Mesopotamia
- Menentukan system bilangan pertama kali
- Menemukan system berat dan ukur
- Tahun 2500 SM system desimal tidak lagi digunakan dan lidi diganti oleh notasi berbentuk baji
2. Babilonia
- Menggunakan sitem desimal dan π=3,125
- Penemu kalkulator pertama kali
- Mengenal geometri sebagai basis perhitungan astronomi
- Menggunakan pendekatan untuk akar kuadrat
- Geometrinya bersifat aljabaris
- Aritmatika tumbuh dan berkembang baik menjadi aljabar retoris yang berkembang
- Sudah mengenal teorema Pythagoras
3. Mesir Kuno
- Sudah mengenal rumus untuk menghitung luas dan isi
- Mengenal system bilangan dan symbol pada tahun 3100 SM
-Mengenal tripel Pythagoras
- Sitem angka bercorak aditif dan aritmatika
- Tahun 300 SM menggunakan system bilangan berbasis 10
4. Yunani Kuno
- Pythagoras membuktikan teorema Pythagoras secara matematis (terbaik)
- Pencetus awal konsep[ nol adalah Al Khwarizmi
- Archimedes mencetuskan nama parabola, yang artinya bagian sudut kanan kerucut
- Hipassus penemu bilangan irrasional
- Diophantus penemu aritmatika (pembahasan teori-teori bilangan yang isinya merupakan pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat sebuah persamaan)
- Archimedes membuat geometri bidang datar
- Mengenal bilangan prima
5. India
- Brahmagyupta lahir pada 598-660 Ad
- Aryabtha (4018 SM) menemukan hubungan keliling sebuah lingkaran
- Memperkenalkan pemakaian nol dan desimal
- Brahmagyupta menemukan bilangan negatif
- Rumus a2+b2=c2 telah ada pada “Sulbasutra”
- Geometrinya sudah mengenal tripel Pythagoras,teorema Pythagoras,transformasi dan segitiga pascal
6. China
- Mengenal sifat-sifat segitiga siku-siku tahun 3000 SM
- Mengembangkan angka negatif, bilangan desimal, system desimal, system biner, aljabar, geometri, trigonometri dan kalkulus
- Telah menemukan metode untuk memecahkan beberapa jenis persamaan yaitu persamaan kuadrat, kubikdan qualitik
- Aljabarnya menggunakan system horner untuk menyelesaikan persamaan kuadrat
Berdasarkan Tokoh
1. Thales (624-550 SM)
Dapat disebut matematikawan pertama yang merumuskan teorema atau proposisi, dimana tradisi ini menjadi lebih jelas setelah dijabarkan oleh Euclid. Landasan matematika sebagai ilmu terapan rupanya sudah diletakan oleh Thales sebelum muncul Pythagoras yang membuat bilangan.
2. Pythagoras (582-496 SM)
Pythagoras adalah orang yang pertama kali mencetuskan aksioma-aksioma, postulat-postulat yang perlu dijabarkan terlebih dahulu dalam mengembangkan geometri. Pythagoras bukan orang yang menemukan suatu teorema Pythagoras namun dia berhasil membuat pembuktian matematis. Persaudaraan Pythagoras menemukan √2 sebagai bilangan irrasional.
3. Socrates (427-347 SM)
Ia merupakan seorang filosofi besar dari Yunani. Dia juga menjadi pencipta ajaran serba cita, karena itu filosofinya dinamakan idealisme. Ajarannya lahir karena pergaulannya dengan kaum sofis. Plato merupakan ahli pikir pertama yang menerima paham adanya alam bukan benda.
4. Ecluides (325-265 SM)
Euklides disebut sebagai “Bapak Geometri” karena menemuka teori bilangan dan geometri. Subyek-subyek yang dibahas adalah bentuk-bentuk, teorema Pythagoras, persamaan dalam aljabar, lingkaran, tangen,geometri ruang, teori proporsi dan lain-lain. Alat-alat temuan Eukluides antara lain mistar dan jangka.
5. Archimedes (287-212 SM)
Dia mengaplikasikan prinsip fisika dan matematika. Dan juga menemukan perhitungan π(pi) dalam menghitung luas lingkaran. Ia adalah ahli matematika terbesar sepanjang zaman dan di zaman kuno. Tiga karya Archimedes membahas geometri bidang datar, yaitu pengukuran lingkaran, kuadratur dari parabola dan spiral.
6. Appolonius (262-190 SM)
Konsepnya mengenai parabola, hiperbola, dan elips banyak memberi sumbangan bagi astronomi modern. Ia merupakan seorang matematikawan yang ahli dalam geometri. Teorema Appolonius menghubungkan beberapa unsur dalam segitiga.
7. Diophantus (250-200 SM)
Ia merupakan “Bapak Aljabar” bagi Babilonia yang mengembangkan konsep-konsep aljabar Babilonia. Seorang matematikawan Yunani yang bermukim di Iskandaria. Karya besar Diophantus berupa buku aritmatika, buku karangan pertama tentang system aljabar. Bagian yang terpelihara dari aritmatika Diophantus berisi pemecahan kira-kira 130 soal yang menghasilkan persamaan-persamaan tingkat pertama.
Sejarah Ilmu Matematika
Kata "matematika" berasal dari kata μάθημα(máthema) dalam bahasa Yunani yang diartikan sebagai "sains, ilmu pengetahuan, atau belajar" juga μαθηματικός (mathematikós) yang diartikan sebagai "suka belajar".
Disiplin utama dalam matematika didasarkan pada kebutuhan perhitungan dalam perdagangan, pengukuran tanah dan memprediksi peristiwa dalam astronomi. Ketiga kebutuhan ini secara umum berkaitan dengan ketiga pembagian umum bidang matematika: studi tentang struktur, ruang dan perubahan.
Pelajaran tentang struktur dimulai dengan bilangan, pertama dan yang sangat umum adalah bilangan natural dan bilangan bulat dan operasi arimetikanya, yang semuanya itu dijabarkan dalam aljabar dasar. Sifat bilangan bulat yang lebih mendalam dipelajari dalam teori bilangan. Investigasi metode-metode untuk memecahkan persamaan matematika dipelajari dalam aljabar abstrak, yang antara lain, mempelajari tentang ring dan field, struktur yang menggeneralisasi sifat-sifat yang umumnya dimiliki bilangan. Konsep vektor, digeneralisasi menjadi vektor ruang dipelajari dalam aljabar linier, yang termasuk dalam dua cabang: struktur dan ruang.
Ilmu tentang ruang berawal dari geometri, yaitu geometri Euclid dan trigonometri dari ruang tiga dimensi (yang juga dapat diterapkan ke dimensi lainnya), kemudian belakangan juga digeneralisasi ke geometri Non-euclid yang memainkan peran sentral dalam teori relativitas umum.
Beberapa permasalahan rumit tentang konstruksi kompas dan penggaris akhirnya diselesaikan dalam teori Galois. Bidang ilmu modern tentang geometri diferensial dan geometri aljabar menggeneralisasikan geometri ke beberapa arah:: geometri diferensial menekankan pada konsep fungsi, buntelan, derivatif, smoothness dan arah, sementara dalam geometri aljabar, objek-objek geometris digambarkan dalam bentuk sekumpulan persamaan polinomial. Teori grup mempelajari konsep simetri secara abstrak dan menyediakan kaitan antara studi ruang dan struktur. Topologi menghubungkan studi ruang dengan studi perubahan dengan berfokus pada konsep kontinuitas.
Mengerti dan mendeskripsikan perubahan pada kuantitas yang dapat dihitung adalah suatu yang biasa dalam ilmu pengetahuan alam, dan kalkulus dibangun sebagai alat untuk tujauan tersebut. Konsep utama yang digunakan untuk menjelaskan perubahan variabel adalah fungsi.
Banyak permasalahan yang berujung secara alamiah kepada hubungan antara kuantitas dan laju perubahannya, dan metoda untuk memecahkan masalah ini adalah topik dari persamaan differensial. Untuk merepresentasikan kuantitas yang kontinu digunakanlah bilangan riil, dan studi mendetail dari sifat-sifatnya dan sifat fungsi nilai riil dikenal sebagai analisis riil. Untuk beberapa alasan, amat tepat untuk menyamaratakan bilangan kompleks yang dipelajari dalam analisis kompleks. Analisis fungsional memfokuskan perhatian pada (secara khas dimensi tak terbatas) ruang fungsi, meletakkan dasar untuk mekanika kuantum di antara banyak hal lainnya. Banyak fenomena di alam bisa dideskripsikan dengan sistem dinamis dan teori chaos menghadapi fakta yang banyak dari sistem-sistem itu belum memperlihatkan jalan ketentuan yang tak dapat diperkirakan.
Agar menjelaskan dan menyelidiki dasar matematika, bidang teori pasti, logika matematika dan teori model dikembangkan.
Saat pertama kali komputer disusun, beberapa konsep teori yang penting dibentuk oleh matematikawan, menimbulkan bidang teori komputabilitas, teori kompleksitas komputasional, teori informasi dan teori informasi algoritma. Kini banyak pertanyaan-pertanyaan itu diselidiki dalam ilmu komputer teoritis. Matematika diskret ialah nama umum untuk bidang-bidang penggunaan matematika dalam ilmu komputer.
Bidang-bidang penting dalam matematika terapan ialah statistik, yang menggunakan teori probabilitas sebagai alat dan memberikan deskripsi itu, analisis dan perkiraan fenomena dan digunakan dalam seluruh ilmu. Analisis bilangan menyelidiki teori yang secara tepat guna memecahkan bermacam masalah matematika secara bilangan pada komputer dan mengambil kekeliruan menyeluruh ke dalam laporan.setau saya 1 ditambah 1 sama dengan 10
Matematika Inversi
Generasi pertama matematika lahir dalam peradaban Mesir dan India. Metode matematika yang berkembang masih sangat bersahaja (teori ini mungkin bisa salah apabila dihadapkan pada kenyataan bahwa mereka sudah bisa membuat konstruksi piramida yang sudah pasti membutuhkan formulasi matematika yang rumit), dalam bentuk aplikasi perhitungan-perhitungan sederhana kehidupan sehari-hari, misalnya perhitungan pajak yang didasarkan luas tanah, utang-piutang dalam perdagangan, dan sebagainya. Mereka belum mengenal nama matematika.
|
|
Dalam perjalanannya, pada peradaban kuno Yunani, nama “Matematika” pertama kali diperkenalkan Pythagoras. Inilah generasi kedua dalam sejarah matematika. Beliau memasukkan material pertama ke dalam aras matematika modern, yakni aritmatika, cabang matematika yang membahas bilangan dan sistem operasinya. Setelah itu, Aristoteles melanjutkan perkembangan matematika dengan menambahkan cabang ilmu logika ke dalamnya. Di pihak lain, Euclid menambahkan geometri.
Generasi ketiga lahir pada masa peradaban Islam. Abu Ja’far Muhammad ibnu Musa Alkhwarizmi menyempurnakan logika-logika Aristoteles dengan menambahkan langkah-langkah metodik penyelesaian masalah. Selanjutnya, ini melahirkan cabang matematika yang kemudian terkenal dengan sebutan logaritma. Beliau juga dikenal sebagai penemu angka 0 dan notasi-notasi operasional aritmatika yang kemudian melahirkan cabang matematika bernama aljabar. Ada juga matematikawan bernama Umar Khayyam, yang menyempurnakan geometri dengan mengawinkannya dengan metode-metode aljabar.
Setelah peradaban Islam runtuh, peradaban Eropa berkembang sangat pesat. Tongkat estafet pun berpindah lagi dan melahirkan generasi keempat. Rene Descartes mengawalinya dengan memperkenalkan geometri analitis. Cabang matematika ini benar-benar mengawinkan geometri dan aljabar, dan merupakan bentuk sempurna dari metode Umar Khayyam. Beliau mengembangkan metode-metode penggambaran objek satu, dua, dan tiga dimensi dengan notasi-notasi aljabar. Geometri analitis kemudian disempurnakan lebih lanjut oleh Isaac Newton sehingga melahirkan cabang baru matematika yang disebut kalkulus. Metode ini mampu menggambarkan objek empat dimensi melalui fungsi deferensiasi dan integral. Sejauh ini, kalkulus adalah pencapaian matematika yang paling tinggi.
Ketakberhinggaan
Tiga abad telah berlalu sejak Newton menyampaikan kalkulus, belum ada masalah yang benar-benar tidak bisa dijelaskan matematika, kecuali ketakberhinggaan, yang telah berakar dari masa Pythagoras. Pythagoras adalah orang yang meyakini bahwa jagat raya adalah kumpulan harmoni musik yang sangat indah. Melalui instrumen musik, beliau menemukan hubungan antara angka-angka dan musik. Angka adalah simbol-simbol yang menyusun syair-syair alam. Gerakan benda-benda, planet-planet, dan bintang-gemintang di ruang angkasa bersatu-padu menghasilkan simfoni keharmonisan semesta. Selanjutnya, beliau mengubah bilangan-bilangan dari alat musiknya menjadi sebuah prinsip kehidupan yang pokok. Beliau lalu menyebut filosofi tersebut dengan nama “Matematika”.
Beliau berpandangan bahwa semua hal adalah susunan bilangan-bilangan yang sangat teratur. Beliau membagi sistem bilangan menjadi dua, yakni bilangan ganjil dan bilangan genap, yang masing-masing selalu berdiri sendiri. Akan tetapi, beliau lebih dikenal dengan Teorema Trigonometri tentang hubungan sisi-sisi pada segitiga siku-siku. Sayangnya, teorema ini justru satu-satunya penyebab rusaknya keharmonisan semesta beliau sendiri.
Pythagoras telah menemukan bahwa jumlah akar dari kuadrat panjang sisi-sisi pada segitiga siku-siku sama dengan panjang sisi miringnya. Pythagoras memisalkan hubungan teoremanya dengan susunan ubin-ubin persegi pada lantai. Misalnya ada segitiga siku-siku yang memiliki panjang sisi B sebesar 3 ubin dan panjang sisi C sebesar 4 ubin, maka agar diperoleh sudut siku-siku, 5 ubin harus terpasang tepat pada sisi A.
Suatu hari seorang pengikut Pythagoras, Hippasus, menemukan paradoks menjengkelkan yang menghancurkan kesimetrikan tersebut. Dalam sebuah pelayaran, dia menyusun 1 ubin untuk sisi B dan 1 ubin lagi untuk sisi C. Setelah diusahakan dengan susah-payah, ternyata harus ada ubin yang dipotong-potong untuk mengisi penuh sisi A, agar sisi B dan sisi C menjadi siku-siku. Dengan memakai prosedur yang sama, Hippasus menemukan bilangan yang bersifat genap dan ganjil secara bersamaan. Semua orang di kapal itu tidak bisa menemukan nilai pasti dari ubin yang harus memenuhi sisi A. Mereka pun sepakat untuk menyembunyikan eksperimen ini, namun tetap saja bocor.
Meskipun terkesan sepele, implikasi masalah ini sangat luar biasa. Semua upaya untuk menyatakan ubin A sebagai faksi bilangan utuh telah gagal. Ia bersifat genap dan ganjil secara bersamaan. Sampai sekarang, kita menyebut bilangan seperti itu sebagai bilangan irrasional, bilangan yang tak masuk akal. Meskipun ia disebut bilangan, tapi ia tidak bisa dituliskan. Bilangan yang bersifat genap dan ganjil secara serentak adalah paradoks, yang kemudian menimbulkan paradoks yang lebih membingungkan, The Achilles.
Pada masa Yunani kuno, hidup seorang filusuf yang bernama Zeno. Ia mengusulkan paradoks abadi yang terkenal dengan sebutan The Achilles. Achille adalah pelari tercepat di zamannya. Dia berupaya menangkap seekor kura-kura. Akan tetapi, ketika ia mencapai posisi dimana kura-kura mulai bergerak, si kura-kura ternyata telah jauh melampauinya. Lalu ia pun bergegas mengejarnya kembali, tetapi ketika ia sampai di posisi kura-kura kembali, tiba-tiba ia telah ditinggalkannya kembali. Dan ketika Achille berupaya mengejarnya kembali, kasus serupa pun terjadi dan terjadi lagi secara terus-menerus sampai tak terhingga. Sederhananya, yang bergerak cepat tidak akan pernah menyalip yang bergerak lambat, hanya jarak yang memisahkan mereka akan semakin berkurang, namun tidak akan pernah habis sama sekali. Ini seperti memasukkan segitiga-segitiga agar memenuhi suatu lingkaran. Tidak ada orang yang bisa dengan pasti menghitung seberapa banyak segitiga yang dibutuhkan untuk mengisi seluruh ruang lingkaran, atau sampai kapan Achille akan mendapatkan kura-kura tersebut. Paradoks ini sampai sekarang belum terpecahkan.
Dua Metode
Untuk melihat seberapa besar nilai ketakberhinggaan itu, cara pandang kita terhadap bilangan tersebut harus diubah total. Berdasarkan prinsip keberpasangan, angka 0 berpasangan dengan angka ∞, karena sifat-sifat di antara kedua bilangan itu saling bertolak-belakang. Angka 0 mewakili situasi sistem yang kosong dan angka ∞ mewakili situasi sistem yang penuh. Bukti matematis kebertolakbelakangan tersebut adalah persamaan 0=1/∞ atau ∞=1/0. Oleh karena itu, matematika dibagi dalam dua sistem yang saling berpasangan, yakni matematika yang berpusat pada angka netral 0 dan matematika yang berpusat pada angka netral ∞. Jenis matematika yang kedua disebut “Matematika Inversi”.
Sekarang ambillah satu gelas kosong ukuran 200 cc dan segenggam biji beras seukuran 200 cc pula, dan letakkan keduanya di atas meja berdampingan. Andaikata ada suatu pertanyaan yang mencuat, berapa jumlah segenggam biji beras yang bisa memenuhi gelas seukuran 200 cc? Maka mulailah Anda menghitungnya!
Biji-biji beras yang sedang kita bicarakan bisa dikatakan sebagai objek diskrit yang bisa diwakili angka-angka. Apabila Anda ingin menghitung segenggam biji beras 200 cc dengan cara mencocokkannya dengan gelas seukuran 200 cc, ada dua cara yang bisa Anda gunakan. Pertama, Anda bisa menghitung dengan cara memasukkan satu per-satu biji-biji beras dari atas meja ke dalam gelas. Anda harus memastikan bahwa tidak ada satu pun biji beras yang terlewat. Cara yang kedua, Anda bisa memasukkan semua biji beras yang ada di atas meja ke dalam gelas terlebih dahulu, lalu Anda akan mengeluarkannya kembali satu per-satu sambil menghitungnya tanpa melewatkannya satu pun. Anda akan mendapatkan jumlah beras yang tepat sama untuk kedua metode tersebut, dengan catatan tidak ada biji beras yang terlewatkan atau jatuh tercecer.
Metode pertama adalah Matematika konvensional yang biasa kita gunakan sehari-hari. Matematika ini akan mulai menghitung dari angka 0 kemudian 1, 2, 3, 4 dan seterusnya. Angka-angka ini berstatus positif. Apabila Anda tidak memiliki beras dan uang sama sekali, sedangkan Anda ingin memasukkan beras ke dalam gelas kosong tersebut untuk kemudian dimasak, maka satu-satunya cara yang benar adalah meminjam beras kepada orang lain. Maka, beras-beras hasil pinjaman yang masuk ke dalam gelas kemudian akan berstatus negatif. Sistem ini telah sangat maklum dalam kehidupan kita sehari-hari.
Metode yang kedua memandang angka ∞ sebagai pusat bilangan. Anda akan mulai menghitung biji-biji beras dari keadaan gelas penuh, lalu Anda akan menghitungnya dari angka ∞ kemudian 1, 2, 3, 4 dan seterusnya. Angka-angka ini akan berstatus positif. Suatu kali teman Anda akan memberikan segenggam berasnya kepada Anda. Apabila Anda hanya mengetahui gelas saja sebagai tempat menyimpan beras, sedang gelas Anda masih terisi penuh beras, maka meskipun Anda menerima beras pemberian itu, Anda tidak akan bisa memasukkannya ke dalam beras. Anda akan mengatakan: “Tolong simpan dulu beras itu, nanti akan saya ambil kalau gelas saya sudah kosong”. Maka, beras-beras itu akan berstatus negatif. Sistem ini bertolakbelakang dengan matematika yang biasa kita kenal. Oleh karena itu, sistem ini bisa dikatakan sebagai bentuk terbalik dari matematika konvensional atau matematika inversi.
Analogi di atas mengejutkan kita yang selama ini merasa aman dengan hanya mempergunakan suatu bagian dalam sistem matematika universal. Dalam kasus The Achilles, seorang pelari tercepat tidak bisa mengejar seekor kura-kura terlambat karena ia terkungkung oleh aturan, ketika A mencapai X maka B harus mencapai Y. Achille dan kura-kura berada dalam dua sistem diskret yang berbeda, dimana diskret yang satu bertalian dengan fungsi waktu yang lebih cepat sedangkan diskret yang lain bertalian dengan fungsi waktu yang jauh lebih lambat. Dua fungsi ini diperhitungkan akan bertemu di suatu ujung waktu di masa depan. Kalau metode inversi digunakan, tidak ada paradoks apapun dalam persoalan ini.
Sekarang mulailah dengan menentukan jarak tempuh yang mungkin untuk kedua objek diskret tersebut, misalnya sepanjang jalan yang menghubungkan kota Athena sampai Sparta. Kalau kejar-kejaran itu dimulai dari kota Athena, maka maka fungsi waktu kedua objek tersebut akan bertemu di gerbang kota Sparta. Jarak diantara dua gerbang ini merupakan representasi sistem alam secara keseluruhan (begitu juga gelas yang dibicarakan dalam analogi). Gerbang kota Athena disebut “0″ dan gerbang kota Sparta disebut “∞”, sedangkan kedua angka ini berada dalam sistemnya masing-masing yang bisa saling berkonversi. Apabila digambarkan dalam suatu kurva virtual, kejar-kejaran antara Achille dan kura-kura akan bermula dari gerbang kota Athena sebagai 0 dan akan berakhir di gerbang kota Sparta sebagai ∞. Jadi, jelaslah definisi awal dan akhir dari kasus tersebut, tidak ada lagi ketakberhinggaan.
Matematika inversi, saya kira, bisa dikembangkan lebih jauh dalam bidang-bidang matematika yang lain, seperti geometri, aljabar, dan kalkulus. Dan ini hanya bisa dilakukan kalau generasi ini sedikit memodifikasi mindset, dengan berpikir dari dua arah berbeda yang saling bertalian, berpasangan, dan saling bertolakbelakang, namun juga saling melengkapi satu sama lain. Selamat berpikir!
Bibliotheca Alexandrina Egypt (Perpustakaan Iskandariah Mesir) merupakan perpustakaan pertama dan terbesar di dunia. Perpustakaan ini bahkan bertahan selama berabad-abad dan memiliki koleksi 700.000 gulungan papyrus, bahkan jika di bandingkan dengan Perpustakaan Sorbonne di abad ke-14 ‘hanya’ memiliki koleksi 1700 buku.
Perpustakaan ini di dirikan oleh Ptolemi I sang penerus Alexander(Iskandariah) pada tahun 323 SM, dan terus berlanjut sampai kekuasaan Ptolemi III. Pada waktu itu para penguasa mesir begitu besemangat memajukan Perpustakaan dan Ilmu Pengetahuan mereka, bahkan dalam Manuskrip Roma mengatakan bahwa sang Raja mesir membelanjakan harta kerajaan untuk membeli buku dari seluruh pelosok negeri hingga terkumpul 442.800 buku dan 90.000 lainnya berbentuk ringkasan tak berjilid. Ia juga memerintahkan prajurit untuk menggeledah setiap kapal yang masuk guna memperoleh naskah. Jika ada naskah yang ditemukan, mereka menyimpan yang asli dan mengembalikan salinannya. Menurut beberapa sumber, ketika Athena meminjamkan naskah-naskah drama klasik Yunani asli yang tak ternilai kepada Ptolemeus III, ia berjanji membayar uang jaminan dan menyalinnya. Tetapi sang raja malah menyimpan yang asli, tidak mengambil kembali uang jaminan itu, dan memulangkan salinannya
Namun cerita keemasan ini hanya menjadi sejarah. Ialah ketuka penaklukan bangsa Romawi yang di pimpin oleh Julius Caesar pada tahun 48 SM. Bangsa Romawi membakar 400.000 buku musnah menjadi abu using yang tak berguna. Dunia ilmu saat itu sangat berduka karena telah kehilangan salah satu sumber ilmu pengetahuan terbaik saat itu. Namun akhirnya sang Kaisar, Julius Caesar meminta maaf, dan sebagai gantinya ia mengirim Marx Antonio untuk menghadiahkan 200.000 buku dari Roma kepada Ratu mesir saat itu, Cleopatra, dan dari inilah kisah mereka berlanjut.
Namun perpustakaan megah yang ada di mesir tersebut tak pernah kembali seperti masa – masa keemasanya. Sejak pembakaran tersebut, Perpustakaan Iskadariah solah tak terurus. Bahkan hampir menjadi artefak –artefak kuno saja. Akan tetapi, UNESCO memprakarsai untuk bekerja sama dengan pemerintah Mesir,membangun kembali perpustakaan dengan sejarah terbesar dalam sejarah tersebut. Dan pembangunan ini di mulai sejak tahun 1990-an. Pembangunan ini menghabiskan dana tak kurang dari US$ 220 juta. US 120 juta di tanggung pemerintah Mesir dan sisanya di tanggung dari bantuan Internasional dari Negara-negara lain. Akhirnya setelah terbengkalai hampir selama 20 Abad, Perpustakaan Iskandriah(Bibliotheca Alexandrina) berdiri megah dan unik. Bangunan utama berbentuk bulat beratap miring, terbenam dalam tanah. Di bagian depan sejajar atap, dibuat kolam untuk menetralkan suhu pustaka, terdiri lima lantai di dalam tanah, perpustakaan ini dapat memuat sekitar 8 juta buku. Namun yang ada saat ini baru 250.000 buku dan akan terus bertambah tiap tahun.Selain itu juga menyediakan berbagai fasilitas, seperti 500 unit komputer berbahasa Arab dan Inggris untuk memudahkan pengunjung mencari katalog buku, ruang baca berkapasitas 1.700 orang, conference room, ruang pustaka Braille Taha Husein khusus tuna netra, pustaka anak-anak, museum manuskrip kuno, lima lembaga riset, dan kamar-kamar riset yang bisa dipakai gratis.
Dan yang juga menarik,adalah lantai tengah perpustakaan tersebut terdapat Gallery Design dan bisa dilihat dari berbagai sisi. Di lantai kayu yang cukup luas itu terpajang berbagai prototype mesin cetak kuno dan berbagai lukisan dinding. Perpustakaan ini selalu dipenuhi pengunjung, padahal di Alexandria tidak banyak universitas seperti di Kairo. Ini menunjukkan tingginya minat baca masyarakat Mesir dan perpustakaan yang dulu dihancurkan Julius Caesar itu kini menjadi salah satu objek wisata sebagaimana Piramid Giza, Mumi, Karnax Temple, Kuburan para Firaun di Luxor atau Museum Kairo yang menyimpan timbunan emas Tutankhamun.
Aristoteles berpendapat bahwa matematika telah dimulai oleh para imam di Mesir, karena ada kelompok imam yang mempunyai waktu luang (Metaphysics 981b 23-24). Namun Herodotus percaya bahwa geometri tercipta karena pengukuran yang harus dilakukan akibat banjir tahunan sungai Nil, untuk menentukan kembali batas–batas tanah. Sesungguhnya, Democritus disebut sebagai matematikawan Mesir “pengulur tali” (rope stretchers).
Dari sudut pandang filosofis, merupakan hal yang penting bahwa masyarakat Mesir berkeyakinan bahwa matematika mempunyai sumber yang bersifat ketuhanan.
Hipparchus dari Nicaea <!--[if !vml]--><!--[endif]-->
Bangsa Sumeria tinggal di bagian selatan Mesopotamia (Irak). Sekitar 2000 SM, peradaban mereka diserap oleh bangsa Babilonia, dan kebudayaan bangsa Babilonia mencapai puncaknya sekitar 575 SM, di bawah Nebuchadnezzar. Pencapaian matematika yang akan kita diskusikan pada bab ini ditulis pada lempengan tanah liat dari bangsa Babilonia dan Sumeria. Kebanyakan hasil ini kembali seperti 2000 SM – kira-kira ketika Bapa Abraham tinggal di kota Sumeria di Ur. Kita menggunakan kata “Babylonian” untuk yang barangkali lebih akurat dideskripsikan sebagai matematika “Mesopotamia”. Bangsa Babilonia menggunakan sebuah basis perhitungan, bukan 10, ...
Dunia Yunani kuno dahulu tidak terbatas pada apa yang sekarang disebut “ Bangsa Yunani”, tetapi meluas sampai Ionia (Turki Barat) di timur dan sebelah selatan Italia Barat. Matematikawan dan filsuf Yunani pertama yaitu Thales dari Miletus, seseorang yang hidup pada zaman Nabi Ezekiel (600 SM). (Miletus berada di barat daya pantai Turki). Menurut Proclus, Thales mengunjungi Mesir dan belajar geometri di sana. Thales meramalkan gerhana matahari yang terjadi di atas Yunani dan Mesopotamia pada tanggal 28 Mei 585 SM.
Plato mengulang sebuah cerita tentang Thales yang menjadi seorang professor linglung, yang asyik dengan materi luar angkasanya yang dia sendiri gagal untuk mengobservasi, sampai-sampai ia tidak memperhatikan sekelilingnya dan jatuh ke dalam lubangan.
Matematikawan yang namanya terkenal karena teorema mengenai segitiga siku-siku ini memulai pengembaraannya setelah mendapat anjuran Thales, matematikawan dari Miletus.
Pengembaraan Pythagoras untuk mengembangkan matematika mengantarkan ia pada para pendeta Zoroaster yang memilihara pengetahuan matematika Mesopotamia di bawah kerajaan Persia.Seusai dari pengembaraannya, Pythagoras mendirikan perguruan yang mendalami agama dan matematika di Krotona, kota koloni Yunani. Salah satu ajaran dari perguruan ini adalah tidak membubuhkan nama sendiri pada setiap tulisan tetapi nama persaudaraan Pythagoras. Hasil yang paaling diingat dari perguruan ini adalah teorema Pythagoras yang menyatakan kuadrat sisi miring pada segitiga siku-siku merupakan penjumlahan dari kuadrat dua sisi lainnya.
Phytagoras (Lahir tahun 570 SM sampai kematiannya pada tahun 495 SM) lahir di Samos, pesisir pulau Yunani yang sekarang kita kenal dengan Turki,adalah seorang matematikawan dan filsuf Yunani yang paling dikenal melalui teoremanya.
Dikenal sebagai "Bapak Bilangan",dia memberikan sumbangan yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM.
Menurut Iamblicus, Porphyry dan Diogenes Laertus, Pythagoras belajar dari orang-orang Babilonia, dan ia mungkin telah bertemu dengan Nabi Daniel di Babilonia. Dari lempengan tanah liat Plimpton 322, kita mengenal bahwa sebenarnya bangsa Babilonia telah mengerjakan teori ‘segitiga Pythagoras’ dan Pythagoras mempelajari itu dari mereka. Pythagoras mungkin yang pertama kali menemukan bukti teorema Pythagoras.
teorema ini diambil oleh peninggalnya, Phytagoras namun nyatanya fakta-fakta teori ini pertama kali diketahui oleh matematikawan Cina dan Mesir jauh sebelum Phytagoras lahir. Lalu mengapa nama filsuf yunani ini diabadikan ke Teori yang sudah dikenal masya masyarakat bertahuntahun sebelum dia lahir?
Arstitek Mesir sering menggunakan 3,4,5 segitiga siku-siku (segitiga siku-siku dengan 12 ikatan) sebagai alat praktis dalam membuat bujur sangkar dan palang arsitektur mesir
Spoiler for 3,4,5 segitiga siku-siku:
Untuk Mesir, tidak hanya angka-angka ganjil dan genap-mereka adalah laki-laki dan perempuan. Setiap bagian dari alam semesta itu / adalah seorang laki-laki atau perempuan. Tidak ada netral (benda). Tidak seperti di Inggris, di mana ada she, he, atau it, di Mesir hanya ada she dan he.
Angka animasi ini di Mesir Kuno yang disebut oleh Plutarch, di Moralia Vol V, ketika ia menggambarkan 3-4-5 Mesir segitiga:
Yang lurus keatas dapat disamakan dengan laki-laki, pangkalan ke betina, dan sisi miring adalah anak kedua, dan begitu Ausar [Osiris] dapat dianggap sebagai asal-usul, Auset [Isis] sebagai penerima, dan Heru [Horus] sebagai hasil sempurna. Tiga adalah angka ganjil pertama yang sempurna: empat adalah sisi persegi yang bahkan adalah nomor dua, tetapi lima ini dalam beberapa hal seperti kepada ayah, dan dalam beberapa hal seperti untuk ibunya, yang terdiri atas tiga dan dua. Dan panta [semua] adalah turunan dari pente [lima], dan mereka berbicara tentang penghitungan sebagai "penomoran oleh balita". Lima membuat persegi dengan sendirinya.
Catatan Cina tertua mengenai Teorema phytagoras dikenal dengan nama Teorema Shang Gao, dan dinamai oleh Astrolog Adipati Zhou, dan dijelaskan dalam koleksi matematika Chou Pei Suan Ching. Dan di India, teorema ini dikenal sebagai Teorema Bhaskara.
Spoiler for Chou Pei Suan Ching:
    Selain bangsa cina, mesir, bahkan India, teori segitiga siku-siku ini juga sudah diketahui oleh bangsa Babilonia dan masyarakat eropa utara. Tetapi mereka hanya menggunakan pengetahuan ini dalam kehidupan sehari-hari, tidak bisa membuktikan teorinya. Tetapi, Phytagoras seorang yang gigih dan pantang menyerah. Kemudian, dialah orang yang pertama kali membuktikan teori Phytagoras bahwa jumlah hasil kuadrat dari kedua sisi siku-siku sama dengan kuadrat dari sisi miringnya. Dia berhasil membuktikanya dengan luas bujur sangkar untuk menghubungkan ketiga sisi tersebut, Pada saat usianya yang ke-40 tahun, Pythagoras mendirikan perguruan Pythagoras di kota pelabuhan Crotone.Di sekolah ini ia mengajarkan filsafat dan keagamaan.Di sekolah ini pythaoras mempunyai kepercayaan sendiri yang diberikan kepada murid-muridnya. Selain mengajarkan agama, guru Pythagoras juga sangat menyukai musik, karena musik bisa membersihkan jiwa kita dia mengajarkan musik ke murid-muridnya bermain dan menyukai musik, dia pun sering dipanggil oleh terapis musik. kecapi ini pun pertama kali diciptakan di perguruan Pythagoras
.Teorema Phytagoras
Teorema ini bisa digunakan pada setiap segitiga siku-siku. Segitiga siku-siku adalah segitiga yang memiliki sudut siku-siku, dan sudut siku-siku merupakan sudut 90derajat Contoh segitiga siku-siku saat dimi-ringkan : |
Pythagoras tertarik dalam bilangan sempurna, yaitu, bilangan seperti 6 dan 28, yang sama dengan jumlahan faktor-faktor sejatinya. Jika s(n) menyatakan jumlahan semua pembagi sejati suatu bilangan positif n, termasuk n itu sendiri, maka n adalah sempurna bila dan hanya bila s(n) = 2n.
Puncak Buku IX dari Elemen, karya Euclid (300 SM) Matematikawan yang namanya terkenal karena teorema mengenai segitiga siku-siku ini memulai pengembaraannya setelah mendapat anjuran Thales, matematikawan dari Miletus. Pengembaraan Pythagoras untuk mengembang-kan matematika mengantarkan ia pada para pendeta Zoroaster yang memilihara pengetahuan matematika Mesopotamia di bawah kerajaan Persia.Seusai dari pengembaraannya, Pythagoras mendirikan perguruan yang mendalami agama dan matematika di Krotona, kota koloni Yunani. Salah satu ajaran dari perguruan ini adalah tidak membubuhkan nama sendiri pada setiap tulisan tetapi nama persaudaraan Pythagoras. Hasil yang paaling diingat dari perguruan ini adalah teorema Pythagoras yang menyatakan kuadrat sisi miring pada segitiga siku-siku merupakan penjumlahan dari kuadrat dua sisi lainnya.Sebuah bidang banyak adalah sebuah bangun ruang yang permukaannya terdiri dari daerah segi banyak. Sebuah bidang banyak disebut beraturan atau Platonik jika sisi-sisinya merupakan segi banyak beraturan yang kongruen dan jika sudut-sudut bidang banyak tersebut semuanya juga kongruen. Lima bidang banyak beraturan adalah sebagai berikut :Kubus dibatasi oleh 6 persegi, dengan 3 persegi berpotongan pada satu titik sudut.
Bidang empat dibatasi oleh 4 segi tiga sama sisi, dengan 3 segi tiga berpotongan pada satu titik sudut.Bidang delapan ...
Panjang a dan b disebut sepadan jika ada bilangan bulat positif p dan g sehingga a/b = p/q. Ketika aliran Pythagoras menyatakan bahwa semuanya adalah bilangan, aliran pythagoras bermaksud untuk menyatakan secara tidak langsung bahwa semua pasangan panjang adalah sepadan. Dalam aliran Pythagoras, “bilangan“ yang dimaksud adalah“ bilangan rasional“. Sayangnya, mereka segera menemukan bahwa diagonal dari suatu kuadrat tidak sepadan dengan sisinya. Bukti dari semua ini ditemukan pada Aristotle’s Prior Analytic 41 a 23 – 30. Misalkan ABCD adalah persegi yang sisi–sisinya mempunyai panjang 1. Dengan teorema Pythagoras, Sehingga diagonal AC panjangnya dapat di cari
Teori Matematika Pythagoras: Bilangan Rasional
Menurut Pythagoras, angka adalah benda yang menakjubkan. Ajaran Pythagoras menganggap setiap angka memunyai artinya sendiri dan merupakan asal mula segala benda
1 Seluruh angka dimulai dari angka 1. Angka-angka lain terbentuk secara berkelanjutan ditambah dengan angka 1. Sehingga angka 1 dianggap sebagai lambang cahaya dan keberuntungan
2 adalah wanita
3 melambangkan laki-laki
4 melambangkan kebenaran, angka keramat
5 menggabungkan 2 dan 3, melambangkan pernikahan dan sebagainya
Ajaran Pythagoras menggunakan angka untuk menyatukan semuanya Bilangan bulat yang terbentuk mulai dari angka 1 ini disebut bilangan rasional..
Bilangan Rasional?
Bilangan rasional mencakup semua bilangan bulat dan pecahan. Semuanya adalah bilangan yang nyata. Bilangan bulat mencakup bilangan positif, 0 (nol), dan bilangan negatif. Semua adalah angka yang pasti ada di alam.
Sedangkan bilangan Irasional adalah kebalikan dari bilangan rasional, yaitu bilangan decimal yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak terbatas).
Pythagoras juga pernah berkata, 'bilangan rasional adalah asal mula seluruh benda'..
Mari kita ingat-ingat lagi bagian pemelajaran matematika yang pernah diajakan saat masih sekolah
Phytagoras adalah pembelajaran mengenai segitiga siku-siku yang menyatakan bahwa kuadrat dari sisi miring adalah sama dengan jumlah kuadrat dari sisi-sisi siku-sikunya.
contoh segitiga siku-siku :
Secara matematis rumus Phytagoras ini ditulis : a^2 + c^2 = b^2
dimana a dan c adalah sisi siku-siku, sedangkan b adalah sisi miringnya
Bukti bahwa jumlah luas persegi dari sisi miring segitiga siku-siku sama dengan jumlah persegi dari sisi lainnya bisa bedasarkan gambar diatas. Bayangkan aja agan mempunyai ubin segitiga berwarna merah yang merupakan celana dalam aka segitiga siku-siku.. dan buatkan persegi disetiap sisi siku-sikunya (2 sisi yang membentuk V) dengan 2 ubin segitiga. Dan buatkan juga persegi di sisi satunya lagi dengan 4 ubin segitiga.
Maka : 2 ubin segitiga + 2 ubin segitiga = 4 ubin segitiga
Hal ini bisa membuktikan bahwa jumlah kuadrat dari segitiga siku-siku sama dengan kuadrat dari sisi miringnya sekilas tampaknya ini hanya masalah luas, tetapi ternyata ada manfaat yang lebih besar! Yaitu dapat menghubungkan Dunia Geometri (dunia bangun) dan Dunia Matematika (dunia angka)
Bertentangan dengan Anaximander, Parmenides dari Elea, Itali (480 SM) adalah seorang monist. Yaitu bahwa, dia menganggap bahwa alam semesta hanya terdiri dari satu obyek. Seberapa banyak benda yang ada hanyalah satu. Suatu yang unik, menurut Parmenides, tidak memiliki durasi yang tak berhingga, namun keberadaannya bersifat abadi dan tak tergantikan: ‘entah itu dulu, nanti, sekarang dan selamanya, semuanya tetap satu’. Tidak suatu benda yang ada mempunyai perluasan ruang yang tak berhingga: ‘objek ini disempurnakan pada tiap sisinya, seperti bagian besar dari sebuah bola bundar sempurna. (Kutipan dari J. Barnes, Early Greek Philosophy, hal 134-5). Parmenides berpikir bahwa tidak ada yang bergerak, karena gerakan menunjukkan keberadaan lebih dari satu benda, namakan suatu tempat (posisi) akhir dan tempat permulaan. Walaupun hal ini mungkin terlihat seperti jika sesuatu sedang bergerak, ini hanyalah sebuah ilusi
Arti nomor tidak kemampuan untuk menghitung, tetapi kemampuan untuk mengakui bahwa sesuatu telah berubah dalam kumpulan kecil. Some animal species are capable of this. Beberapa spesies hewan mampu ini.
The number of young that the mother animal has, if changed, will be noticed by all mammals and most birds. Jumlah binatang muda yang telah ibu, jika berubah, akan diperhatikan oleh semua mamalia dan burung yang paling. Mammals have more developed brains and raise fewer young than other species, but take better care of their young for a much longer period of time. Mamalia memiliki otak lebih berkembang dan meningkatkan lebih sedikit muda dari spesies lain, tapi lebih baik mengurus anak-anak mereka untuk jangka waktu lebih lama dari waktu.
Many birds have a good number sense. Banyak burung yang memiliki jumlah akal yang baik. If a nest contains four eggs, one can safely be taken, but when two are removed the bird generally deserts. Jika sarang berisi empat telur, satu aman dapat diambil, tetapi ketika dua dikeluarkan burung umumnya padang pasir. The bird can distinguish two from three. 1 Burung itu bisa membedakan dua dari tiga. 1
An experiment done with a goldfinch showed the ability to distinguish piles of seed: three from one, three from two, four from two, four from three, and six from three. Percobaan dilakukan dengan pipit yang menunjukkan kemampuan untuk membedakan tumpukan benih: tiga dari satu, tiga dari dua, empat dari dua, empat dari tiga, dan enam dari tiga. The goldfinch almost always confused five and four, seven and five, eight and six, and ten and six. pipit yang hampir selalu bingung lima dan empat, tujuh dan lima, delapan dan enam, dan sepuluh dan enam.
Another experiment involved a squire who was trying to shoot a crow which made its nest in the watchtower of his estate. percobaan lain yang melibatkan pengawal yang mencoba untuk menembak gagak yang membuat sarangnya di menara dari kekayaannya. The squire tried to surprise the crow, but at his approach, the crow would leave, watch from a distance, and not come back until the man left the tower. Pengawal itu berusaha mengejutkan burung gagak, tapi pendekatannya, burung gagak akan pergi, melihat dari kejauhan, dan tidak kembali sampai pria itu meninggalkan menara. The squire then took another man with him to the tower. Pengawal itu kemudian membawa orang lain dengan dia ke menara. One man left and the other stayed to get the crow when it returned to the nest, but the crow was not deceived. Satu orang kiri dan yang lainnya tinggal untuk mendapatkan berkokok ketika kembali ke sarang, tetapi burung gagak tidak tertipu. The crow stayed away until the other man came out. gagak itu menjauh sampai orang lain datang keluar. The experiment was repeated the next day with three men, but the crow would not return to the nest. Percobaan diulang pada hari berikutnya dengan tiga orang, tapi burung gagak tidak akan kembali ke sarang. The following day, four men tried, but it was not until that next day with five men that the crow returned to the nest with one man still in the tower. 2 Keesokan harinya, empat orang mencoba, tapi tidak sampai hari berikutnya dengan lima orang yang burung gagak kembali ke sarang dengan satu orang masih dalam menara. 2
In the insect world, the solitary wasp seemed to have the best number sense. Dalam dunia serangga, tawon soliter tampaknya memiliki arti nomor terbaik. “The mother wasp lays her eggs in individual cells and provides each egg with a number of live caterpillars on which the young feed when hatched. "Para ibu tawon bertelur di sel individu dan memberikan telur masing-masing dengan sejumlah ulat hidup di mana pakan muda ketika menetas. Some species of wasp always provide five, others twelve, and others as high as twenty-four caterpillars per cell. Beberapa jenis tawon selalu menyediakan lima, yang lain dua belas, dan lain-lain setinggi dua puluh empat ulat per sel. The solitary wasp in the genus Eumenus, will put five caterpillars in the cell if it is going to be a male (the male is smaller) and ten caterpillars in a female's cell. Tawon soliter di Eumenus genus, akan menempatkan lima ulat dalam sel jika akan menjadi laki-laki (laki-laki lebih kecil) dan ulat sepuluh di sel perempuan. This ability seems to be instinctive and not learned since the wasp's behavior is connected with a basic life function.” 3 Kemampuan ini nampaknya naluriah dan tidak belajar sejak tawon itu perilaku itu dikaitkan dengan fungsi dasar kehidupan 3. "
One might think people would have a very good number sense, but as it turns out, people do not. Orang mungkin berpikir orang akan memiliki rasa angka yang sangat baik, tapi ternyata, orang tidak. “Experiments have shown that the average person has a number sense that is around four.” 4 "Eksperimen telah menunjukkan bahwa rata-rata orang memiliki rasa jumlah yaitu sekitar empat 4."
People groups in the world today that have not developed finger counting have a hard time discerning the quantity four.Orang-orang kelompok di dunia saat ini yang belum dikembangkan menghitung jari sulit membedakan jumlah empat. They tend to use the quantities one, two and many-which would include four. Mereka cenderung menggunakan jumlah satu, dua dan banyak yang akan mencakup empat.“Small children around fourteen months of age will almost always notice something that is missing from a group that he or she is familiar with. "Anak kecil sekitar empat belas bulan usia akan hampir selalu melihat sesuatu yang hilang dari kelompok yang dia atau dia kenal. The same age child can usually reassemble objects that have been separated into one group again. Anak usia yang sama biasanya dapat memasang kembali obyek yang telah dipisahkan ke dalam satu kelompok lagi. But the child's ability to perceive numerical differences in the people or objects around him or her are very limited when the number goes beyond three or four.” 5 Tapi anak kemampuan untuk melihat perbedaan numerik dalam orang atau benda di sekitarnya atau dia sangat terbatas saat nomor melampaui tiga atau empat. "5
So what separates people from the rest of the animal kingdom? Jadi apa yang memisahkan orang dari seluruh kerajaan binatang? It may include many things, but the ability to count is very much one of them. Ini dapat mencakup banyak hal, tetapi kemampuan untuk menghitung sangat banyak salah satu dari mereka. Counting, which usually begins at the end of our own hands or fingers, is usually taught by another person or possibly by circumstance. Menghitung, yang biasanya dimulai pada akhir tangan kita sendiri atau jari, biasanya diajarkan oleh orang lain atau mungkin dengan keadaan. It is something that we should never take lightly for it has helped advance the human race in countless ways. Ini adalah sesuatu yang kita tidak boleh anggap enteng untuk itu telah membantu memajukan umat manusia dengan cara yang tak terhitung jumlahnya. The number sense is something many creatures in this world have as well as well as we do. Arti jumlah banyak makhluk adalah sesuatu di dunia ini memiliki serta juga seperti kita. Although, as we can see, our human ability is not much better than the common crow's ability. Meskipun, seperti yang kita lihat, kemampuan manusia kita tidak jauh lebih baik daripada kemampuan gagak umum itu. We are born with the number sense, but we get to learn how to count. Kita dilahirkan dengan arti angka, tapi kita bisa belajar bagaimana menghitung
Referensi:
- Dantzig, Tobias. Dantzig, Tobias. Number: The Language of Science. Nomor: Bahasa Sains. New York: Macmillan Company, 1930. New York: Macmillan Company, 1930.
- Ifrah, Georges. Ifrah, Georges. From One to Zero: A Universal History of Numbers. Dari Satu untuk Zero: A Universal Sejarah Numbers. New York: Viking Penguin, Inc., 1985. New York: Viking Penguin, Inc, 1985.
Quipu - Sebuah Inca Sistem Counting
Bayangkan, jika Anda mau, sebuah peradaban sangat maju. This civilization rules over a million or more people, they built vast cities, developed extensive road systems, treated their citizens fairly and constructed stone walls so tight not even a knife blade can pass between the huge boulders. Ini aturan peradaban lebih dari satu juta orang atau lebih, mereka membangun kota-kota besar, mengembangkan sistem jalan yang luas, warga mereka diperlakukan adil dan dibangun dinding batu yang begitu ketat bahkan tidak pisau bisa lewat antara batu-batu besar. Now imagine being able to do all this without a written language. Sekarang bayangkan mampu melakukan ini semua tanpa bahasa tertulis.
This was the ancient South American civilization of the Inca Empire. Ini adalah peradaban kuno Amerika Selatan Kekaisaran Inka. A highly developed civilization able to track all important facts required to rule such a vast empire. Sebuah peradaban sangat maju dapat melacak semua fakta penting yang diperlukan untuk memerintah seperti kekaisaran yang luas. They did this using a memory tool made of knotted strings called a quipu. Mereka melakukan ini dengan menggunakan alat memori terbuat dari benang rajutan disebut sebuah quipu. The men in charge of maintaining the quipu were known as "quipu camayocs" or "keeper of the quipu." Orang-orang yang bertugas menjaga quipu itu dikenal sebagai "camayocs quipu" atau "penjaga quipu itu."
Since they had no written language and very few ancient quipu are left, we can only speculate what the quipu was actually used for. Karena mereka tidak memiliki bahasa tertulis dan quipu kuno sangat sedikit yang tersisa, kita hanya bisa berspekulasi apa quipu itu sebenarnya digunakan untuk. It's fortunate quipu are still used today, so we may be able to learn about the ancient ones by seeing how the modern ones are used. Ini quipu beruntung masih digunakan sampai sekarang, sehingga kami dapat belajar tentang yang kuno dengan melihat bagaimana yang modern digunakan. Combine this with oral traditions and it appears they were used to keep records on the number of things. Kombinasikan ini dengan tradisi lisan dan tampaknya mereka digunakan untuk menyimpan catatan pada jumlah hal.
Another mystery which remains is, what base did the Inca use ? Misteri lain yang tersisa adalah, apa dasar melakukan penggunaan Inca? All their neighbors used a base 60, but it appears the Inca used base 10. Semua tetangga mereka menggunakan basis 60, tapi tampaknya Inca digunakan basis 10. Recent discoveries, as yet unsubstantiated, back this theory. Penemuan terbaru, yang belum terbukti, kembali teori ini. For our purpose, we will assume it was base 10. Untuk tujuan kita, kita akan menganggap itu adalah basis 10.
Making a quipu was easy. Membuat sebuah quipu mudah. Thin strings were looped around a larger cord. string tipis mengitari sebuah kabel yang lebih besar. Knots of colored thread or string were then tied around the thinner strings. Knot benang berwarna atau string kemudian diikatkan pada string tipis. Where the knots were placed indicated the value. Dimana knot ditempatkan menunjukkan nilai. The closer to the large cord a knot was placed, the greater its value. Semakin dekat ke simpul tali yang besar itu ditempatkan, nilainya semakin besar. They way a knot was tied and the color used may be significant, but without a written language, we just don't know. Mereka cara diikat simpul dan warna yang digunakan mungkin penting, tetapi tanpa bahasa tulis, kita tidak tahu. Some quipu found were several feet in length, so it was very important for the quipu camayocs to remember the who, where and what of each string and its placement on the larger cord quipu Beberapa ditemukan adalah beberapa meter panjang, sehingga sangat penting untuk quipu yang camayocs untuk mengingat siapa, dimana dan bagaimana setiap string dan penempatan pada kabel yang lebih besar
Referensi.
McIntyre, Loren.McIntyre, Loren. The Lost Empire of the Incas, National Geographic, Dec. 1973, 729 - 766. Kekaisaran Kehilangan suku Inca, National Geographic, Dec 1973, 729-766
Fraksi dan Mesir Kuno
Mesir Kuno memiliki pemahaman fraksi, namun mereka tidak menulis pecahan sederhana seperti 05/03 atau 09/04 karena pembatasan dalam notasi. The Egyptian scribe wrote fractions with the numerator of 1. Juru tulis menulis Mesir fraksi dengan pembilang dari 1. They used the hieroglyph Mereka menggunakan tulisan rahasia yang 
"an open mouth" above the number to indicate its reciprocal. "Sebuah mulut terbuka" di atas nomor tersebut untuk menunjukkan kebalikannya. The number 5, written Nomor 5, ditulis 
, as a fraction 1/5 would be written , Sebagai fraksi 1 / 5 akan ditulis 
. . There are some exceptions. Ada beberapa pengecualian. There was a special hieroglyph for 2/3, Ada tulisan rahasia khusus untuk 2 / 3, 
, and some evidence that 3/4 also had a special hieroglyph. , Dan beberapa bukti bahwa 3 / 4 juga memiliki tulisan rahasia khusus. All other fractions were written as the sum of unit fractions. Semua Fraksi lainnya ditulis sebagai jumlah dari fraksi unit. For example 3/8 was written as 1/4 + 1/8. Misalnya 08/03 ditulis sebagai 1 / 4 + 1 / 8. The Egyptians had a need for fractions, such as the division of food, supplies, either equally or in a specific ratio. Mesir memiliki kebutuhan untuk fraksi, seperti pembagian makanan, persediaan, baik yang sama atau dalam suatu rasio tertentu. For example a division of 3 loaves among 5 men would require the fraction of 3/5. Sebagai contoh sebuah divisi dari 3 roti antara 5 orang pria akan membutuhkan fraksi 3 / 5. As new situations arose the Egyptians developed special techniques for dealing with the notation they already had, which meant the fraction was expressed as a sum of the unit fraction. Sebagai situasi baru muncul orang Mesir mengembangkan teknik khusus untuk menangani dengan notasi mereka miliki, yang berarti fraksi itu dinyatakan sebagai jumlah dari fraksi unit. Today as new concepts arise, mathematicians devise n new notation to deal with the situation. Hari ini sebagai konsep yang baru muncul, menyusun notasi matematika n baru untuk mengatasi situasi.
Fractions were so important to the Egyptians that of the 87 problems in the Rhind Mathematical Papyrus only six did not involve fractions. Fraksi begitu penting bagi orang Mesir bahwa dari 87 masalah di Matematika Rhind Papyrus hanya enam tidak melibatkan fraksi. Because the Egyptians performed their multiplications and divisions by doubling and halving, it was necessary to be able to double fractions. Karena Mesir dilakukan perkalian-perkalian dan pembagian dengan menggandakan dan membagi, maka perlu untuk dapat ganda fraksi. The scribes would create tables with calculations of fractions along with integers. Ahli-ahli Taurat akan membuat tabel dengan perhitungan fraksi bersama dengan bilangan bulat. These tables would be used as references so that temple personnel could carry out the fractional divisions on the food and supplies. Tabel ini akan digunakan sebagai referensi sehingga personil candi bisa melaksanakan divisi fraksional pada makanan dan persediaan
Referensi.
Gillings, Richard J. Mathematics in the Time of the Pharaohs. Gillings, Richard J. Matematika dalam Waktu para Firaun. (1982), Dover. (1982), Dover
Sistem Nomor Maya
Sistem bilangan Maya tanggal kembali ke abad keempat dan sekitar 1.000 tahun lebih maju daripada Eropa waktu itu. This system is unique to our current decimal system, which has a base 10, in that the Mayan's used a vigesimal system, which had a base 20. Sistem ini unik untuk sistem desimal kita saat ini, yang memiliki basis 10, dalam bahwa Mayan menggunakan sistem vigesimal, yang memiliki basis 20. This system is believed to have been used because, since the Mayan's lived in such a warm climate and there was rarely a need to wear shoes, 20 was the total number of fingers and toes, thus making the system workable. Sistem ini diyakini telah digunakan karena, sejak Maya tinggal di suatu iklim yang hangat dan jarang ada kebutuhan untuk memakai sepatu, 20 adalah jumlah jari dan jari-jari kaki, sehingga membuat sistem yang bisa diterapkan. Therefore two important markers in this system are 20, which relates to the fingers and toes, and five, which relates to the number of digits on one hand or foot. Oleh karena itu dua penanda penting dalam sistem ini adalah 20, yang berkaitan dengan jari tangan dan kaki, dan lima, yang berkaitan dengan jumlah digit pada satu tangan atau kaki.
The Mayan system used a combination of two symbols. Sistem Maya menggunakan kombinasi dua simbol. A dot (.) was used to represent the units (one through four) and a dash (-) was used to represent five. Sebuah titik () digunakan untuk mewakili unit (satu sampai empat) dan lari (-.) Digunakan untuk mewakili lima. It is thought that the Mayan's may have used an abacus because of the use of their symbols and, therefore, there may be a connection between the Japanese and certain American tribes (Ortenzi, 1964). Diperkirakan bahwa Maya mungkin telah menggunakan sempoa karena penggunaan simbol-simbol mereka dan, oleh karena itu, mungkin ada hubungan antara Jepang dan Amerika suku tertentu (Ortenzi, 1964). The Mayan's wrote their numbers vertically as opposed to horizontally with the lowest denomination on the bottom. The Maya's menulis jumlah mereka secara vertikal sebagai lawan horisontal dengan denominasi terendah di bagian bawah. Their system was set up so that the first five place values were based on the multiples of 20. sistem mereka dibentuk sehingga lima pertama nilai tempat tersebut berdasarkan kelipatan 20. They were 1 (20 0 ), 20 (20 1 ), 400 (20 2 ), 8,000 (20 3 ), and 160,000 (20 4 ). Mereka adalah 1 (20 0), 20 (20 1), 400 (20 2), 8.000 (20 3), dan 160.000 (20 4). In the Arabic form we use the place values of 1, 10, 100, 1,000, and 10,000. Dalam bentuk bahasa Arab kita menggunakan nilai tempat dari 1, 10, 100, 1.000, dan 10.000. For example, the number 241,083 would be figured out and written as follows: Misalnya, jumlah 241.083 akan tahu dan ditulis sebagai berikut:
| Mayan Maya
Numbers Bilangan | Place Value Nilai Tempat | Decimal Value Desimal Nilai | Mayan Maya
Numbers Bilangan | Place Value Nilai Tempat | Decimal Value Desimal Nilai |
| | 1 times 160,000 1 kali 160.000 | = 160,000 = 160.000 | | 14 times 20 14 kali 20 | = 80 = 80 |
| | 10 times 8,000 10 kali 8.000 | = 80,000 = 80.000 | | 3 times 1 3 kali 1 | = 3 = 3 |
| | 2 times 400 2 kali 400 | = 800 = 800 |
|
|
|
Nomor ini ditulis dalam bahasa Arab akan 1.10.2.14.3 (McLeish, 1991, hal 129).
The Mayan's were also the first to symbolize the concept of nothing (or zero). The Mayan juga yang pertama untuk melambangkan konsep apa-apa (atau nol). The most common symbol was that of a shell ( ) but there were several other symbols (eg a head). Simbol yang paling umum adalah bahwa dari sebuah shell () tapi ada beberapa simbol-simbol lain (misalnya kepala). It is interesting to learn that with all of the great mathematicians and scientists that were around in ancient Greece and Rome, it was the Mayan Indians who independently came up with this symbol which usually meant completion as opposed to zero or nothing. Sangat menarik untuk mengetahui bahwa dengan semua matematikawan besar dan ilmuwan yang sekitar di Yunani kuno dan Roma, itu adalah orang-orang Indian Maya yang independen datang dengan simbol ini biasanya berarti penyelesaian yang berlawanan dengan nol atau tidak sama sekali. Below is a visual of different numbers and how they would have been written: Di bawah ini adalah visual dari nomor yang berbeda dan bagaimana mereka akan pernah ditulis:
In the table below are represented some Mayan numbers. Dalam tabel di bawah yang diwakili beberapa nomor Maya. The left column gives the decimal equivalent for each position of teh Mayan number. Kolom kiri memberikan setara desimal untuk setiap posisi nomor Maya. Remember the numbers are read from bottom to top. Ingat angka dibaca dari bawah ke atas. Below each Mayan number is its decimal equivalent. Di bawah setiap nomor Maya desimal yang setara
| 8,000 8.000 |
|
|
|
|
| |
| 400 400 |
|
| | | | |
| 20 20 | | | | | | |
| units unit | | | | | | |
|
| 20 20 | 40 40 | 445 445 | 508 508 | 953 953 | 30,414 30.414 |
Ia telah mengemukakan bahwa counter mungkin telah digunakan, misalnya biji-bijian atau kerikil, untuk mewakili unit dan tongkat pendek atau kacang polong untuk mewakili lima tahun. Through this system the bars and dots could be easily added together as opposed to such number systems as the Romans but, unfortunately, nothing of this form of notation has remained except the number system that relates to the Mayan calendar. Melalui sistem ini titik bar dan dapat dengan mudah ditambahkan bersama sebagai bertentangan dengan sistem nomor seperti Roma, tetapi, sayangnya, tidak ada dari bentuk notasi tetap kecuali sistem bilangan yang berhubungan dengan kalender Maya.
For further study: The 360 day calendar also came from the Mayan's who actually used base 18 when dealing with the calendar. Untuk studi lebih lanjut: Kalender 360 hari juga datang dari Maya's yang benar-benar digunakan basis 18 ketika berhadapan dengan kalender. Each month contained 20 days with 18 months to a year. Masing-masing berisi bulan 20 hari dengan 18 bulan sampai satu tahun. This left five days at the end of the year which was a month in itself that was filled with danger and bad luck. Lima hari ini kiri pada akhir tahun yang sebulan sendiri yang dipenuhi dengan bahaya dan nasib buruk. In this way, the Mayans had invented the 365 day calendar which revolved around the solar system. Dengan cara ini, Maya telah menemukan 365 hari kalender yang berputar di sekitar tata surya.
Referensi.
- McLeish, J. (1991). McLeish, J. (1991). The story of numbers. Cerita nomor. New York, NY: Fawcett Columbine. New York, NY: Fawcett Columbine.
- Ortenzi, EC (1964). Ortenzi, EC (1964). Numbers in ancient times. Angka di zaman kuno. Portland, ME: J. Weston Walch. Portland, ME: J. Weston Walch.
- Roys, RL (1972). Roys, RL (1972). The Indian background of colonial Yucatan. Latar belakang India Yucatan kolonial. Norman, OK: University of Oklahoma Press. Norman, OK: University of Oklahoma Press.
- Thompson, JES (1967). Thompson, JES (1967). The rise and fall of Maya civilization. Naik turunnya peradaban Maya. Norman, OK: University of Oklahoma Press. Norman, OK: University of Oklahoma Press. Trout, L. (1991). Trout, L. (1991). The Maya. Maya itu. New York, NY: Chelsea House Publishers. New York, NY: Chelsea House Publishers
Sistem Nomor Mesir
Bagaimana kita tahu apa bahasa Mesir nomor ini? It has been found on the writings on the stones of monument walls of ancient time. Telah ditemukan pada tulisan-tulisan di dinding batu monumen kuno waktu. Numbers have also been found on pottery, limestone plaques, and on the fragile fibers of the papyrus. Bilangan juga telah ditemukan pada tembikar, plak kapur, dan pada serat rapuh dari papyrus. The language is composed of heiroglyphs, pictorial signs that represent people, animals, plants, and numbers. Bahasa ini terdiri dari heiroglyphs, tanda-tanda gambar yang mewakili orang-orang, hewan, tumbuhan, dan nomor.
The Egyptians used a written numeration that was changed into hieroglyphic writing, which enabled them to note whole numbers to 1,000,000 . Orang-orang Mesir menggunakan penomoran tertulis yang berubah menjadi tulisan hiroglif, yang memungkinkan mereka untuk mencatat bilangan bulat ke 1.000.000. It had a decimal base and allowed for the additive principle. Ini memiliki basis desimal dan memungkinkan prinsip aditif. In this notation there was a special sign for every power of ten. Dalam notasi ini ada tanda khusus untuk setiap kekuatan sepuluh. For I, a vertical line; for 10, a sign with the shape of an upside down U; for 100, a spiral rope; for 1000, a lotus blossom; for 10,000 , a raised finger, slightly bent; for 100,000 , a tadpole; and for 1,000,000, a kneeling genie with upraised arms. Untuk saya, garis vertikal; selama 10, tanda dengan bentuk yang terbalik U; untuk 100, tali spiral; untuk 1000, kembang teratai; untuk 10.000, jari terangkat, sedikit membungkuk, karena 100.000, sebuah kecebong , dan untuk 1.000.000, jin berlutut dengan tangan terangkat.
| Decimal Desimal
Number Nomor | Egyptian Mesir
Symbol Simbol | Nama | Decimal Desimal
Number Nomor | Egyptian Mesir
Symbol Simbol | Nama | Decimal Desimal
Number Nomor | Egyptian Mesir
Symbol Simbol | Nama |
| 1 = 1 = | | staff staf | 100 = 100 = | | coil of rope kumparan tali | 10,000 = 10.000 = | | pointing finger menunjuk |
| 10 = 10 = | | heel bone tulang tumit | 1000 = 1000 = | | lotus flower bunga teratai | 100,000 = 100.000 = | | tadpole kecebong |
|
|
|
|
|
|
| 1,000,000 = 1.000.000 = | | astonished man heran orang |
Ini penomoran hieroglif adalah versi tertulis dari sistem menghitung beton menggunakan benda-benda. To represent a number, the sign for each decimal order was repeated as many times as necessary. Untuk mewakili nomor, tanda untuk setiap order desimal diulangi sebanyak yang diperlukan. To make it easier to read the repeated signs they were placed in groups of two, three, or four and arranged vertically. Untuk membuatnya lebih mudah untuk membaca tanda-tanda mengulangi mereka ditempatkan dalam kelompok dua,, tiga atau empat dan disusun secara vertikal.
Example 1. Contoh 1.
| 1 = 1 = | | 10 = 10 = | | 100 = 100 = | | 1000 = 1000 = | |
| 2 = 2 = | | 20 = 20 = | | 200 = 200 = | | 2000 = 2000 = | |
| 3 = 3 = | | 30 = 30 = | | 300 = 300 = | | 3000 = 3.000 = | |
| 4 = 4 = | | 40 = 40 = | | 400 = 400 = | | 4000 = 4.000 = | |
| 5 = 5 = | | 50 = 50 = | | 500 = 500 = | | 5000 = 5.000 = | |
Dalam penulisan angka, urutan desimal terbesar akan ditulis pertama. The numbers were written from right to left. Angka-angka ditulis dari kanan ke kiri.
Example 2. Contoh 2.
|
|
46,206 = 46.206 = 
|
|
Below are some examples from tomb inscriptions. Di bawah ini adalah beberapa contoh dari prasasti makam.
| A A | B B | C C | D D |
| | | | |
| 77 77 | 700 700 | 7000 7.000 | 760,00 760,00 |
Penambahan dan Pengurangan
The techniques used by the Egyptians for these are essentially the same as those used by modern mathematicians today.The Egyptians added by combining symbols. Teknik yang digunakan oleh Mesir untuk ini pada dasarnya sama dengan yang digunakan oleh ahli matematika modern today.The Mesir ditambahkan dengan menggabungkan simbol. They would combine all the units ( Mereka akan menggabungkan semua unit ( 
) together, then all of the tens ( ) Bersama-sama, maka semua dari puluhan ( 
) together, then all of the hundreds ( ) Bersama-sama, maka semua dari ratusan ( 
), etc. If the scribe had more than ten units ( ), Dll Jika juru tulis itu lebih dari sepuluh unit ( 
), he would replace those ten units by ), Dia akan menggantikan yang sepuluh unit . . He would continue to do this until the number of units left was les than ten. Dia akan terus melakukan ini sampai jumlah unit kiri les dari sepuluh. This process was continued for the tens, replacing ten tens with Proses ini dilanjutkan untuk puluhan, menggantikan sepuluh puluhan dengan 
, etc. , Dll For example, if the scribe wanted to add 456 and 265, his problem would look like this Misalnya, jika ahli kitab ingin menambahkan 456 dan 265, masalahnya akan terlihat seperti ini
| | (= 456) (= 456) |
| | (= 265) (= 265) |
The scribe would then combine all like symbols to get something like the following juru tulis kemudian akan menggabungkan semua simbol seperti untuk mendapatkan sesuatu seperti berikut
He would then replace the eleven units (Dia kemudian akan menggantikan unit sebelas ( ) with a unit ( ) Dengan unit ( ) and a ten ( ) Dan sepuluh ( ). ).He would then have one unit and twelve tens. Dia kemudian akan memiliki satu unit dan dua belas puluhan. The twelve tens would be replaced by two tens and one one-hundred. Kedua belas puluhan akan diganti-kan oleh dua puluhan dan satu seratus.When he was finished he would have 721, which he would write as Ketika ia selesai,ia akan 721,yang akan menulis sebagai 
. . Subtraction was done much the same way as we do it except that when one has to borrow, it is done with writing ten symbols instead of a single one. Pengurangan dilakukan dengan cara yang sama seperti yang kita lakukan itu kecuali bahwa ketika seseorang meminjam, itu dilakukan dengan menulis sepuluh simbol bukan satu pun.
Multiplication
Perkalian
Egyptians method of multiplication is fairly clever, but can take longer than the modern day method. Mesir metode multiplikasi cukup pintar, tapi bisa memakan waktu lebih lama dibandingkan dengan metode modern. This is how they would have multiplied 5 by 29 Ini adalah bagaimana mereka akan dikalikan 5 dari 29
| *1 * 1 | 29 29 |
| 2 2 | 58 58 |
| *4 * 4 | 116 116 |
| 1 + 4 = 5 1 + 4 = 5 | 29 + 116 = 145 29 + 116 = 145 |
When multiplying they would began with the number they were multiplying by 29 and double it for each line. Ketika mengalikan mereka akan mulai dengan jumlah mereka mengalikan dengan 29 dan dua untuk setiap baris. Then they went back and picked out the numbers in the first column that added up to the first number (5). Lalu mereka kembali dan memilih nomor di kolom pertama yang ditambahkan ke nomor pertama (5). They used the distributive property of multiplication over addition. Mereka menggunakan properti distributif dari perkalian atas penambahan.
29(5) = 29(1 + 4) = 29 + 116 = 145 29 (5) = 29 (1 + 4) = 29 + 116 = 145
Division Divisi The way they did division was similar to their multiplication. Cara yang mereka lakukan divisi mirip dengan perkalian mereka. For the problem 98/7 , they thought of this problem as 7 times some number equals 98. Untuk masalah 98 / 7, mereka menganggap masalah ini sebagai 7 kali jumlah beberapa sama dengan 98. Again the problem was worked in columns. Sekali lagi masalahnya adalah bekerja di kolom.
| 1 1 | 7 7 |
| 2 2 | *14 * 14 |
| 4 4 | *28 * 28 |
| 8 8 | *56 * 56 |
| 2 + 4 + 8 = 14 2 + 4 + 8 = 14 | 14 + 28 + 56 = 98 14 + 28 + 56 = 98 |
This time the the numbers in the right-hand column are marked which sum to 98 then the corresponding numbers in the left-hand column are summed to get the quotient. Kali ini angka-angka di kolom sebelah kanan yang ditandai jumlah sampai dengan 98 maka jumlah yang sesuai di kolom kiri yang dijumlahkan untuk mendapatkan hasil bagi tersebut.
So the answer is 14. Jadi jawabannya adalah 14. 98 = 14 + 28 + 56 = 7(2 + 4 + 8) = 7*14 98 = 14 + 28 + 56 = 7 (2 + 4 + 8) = 7 * 14
Referensi:
- Boyer, Carl B. - A History of Mathematics, John Wiley, New York 1968 Boyer, Carl B. - Sejarah Matematika, John Wiley, New York 1968
- Gillings, Richard J. - Mathematics in the Time of the Pharaohs, Dover, New York, 1982 Gillings, Richard J. - Matematika dalam Waktu para Firaun, Dover, New York, 1982
3.Jason Gilman, David Slavit, - Ancient Egyptian Mathematics., Washington State University, 1995 Jason Gilman, Slavit David, - Matematika Mesir Kuno., Washington State University, 1995
Sistem Nomor Yunani
Sistem penomoran Yunani unik berdasarkan abjad mereka. The Greek alphabet came from the Phoenicians around 900 BC When the Phoenicians invented the alphabet, it contained about 600 symbols. Alfabet Yunani berasal dari Fenisia sekitar 900 SM Ketika ditemukan abjad Fenisia, isinya tentang 600 simbol. Those symbols took up too much room, so they eventually narrowed it down to 22 symbols. Mereka simbol mengambil ruang terlalu banyak, sehingga mereka akhirnya menyempit ke bawah hingga 22 simbol. The Greeks borrowed some of the symbols and made up some of their own. Orang Yunani meminjam beberapa simbol dan membuat beberapa dari mereka sendiri. But the Greeks were the first people to have separate symbols, or letters, to represent vowel sounds. Tetapi orang-orang Yunani adalah orang-orang pertama yang memiliki simbol terpisah, atau surat, untuk mewakili suara vokal. Our own word "alphabet" comes from the first two letters, or numbers of the Greek alphabet -- "alpha" and "beta." Using the letters of their alphabet enabled them to use these symbols in a more condensed version of their old system, called Attic. kata kita sendiri "alfabet" berasal dari dua huruf pertama, atau nomor dari abjad Yunani - "alpha" dan "beta alfabet." Menggunakan surat mereka memungkinkan mereka untuk menggunakan simbol-simbol ini dalam versi yang lebih kental sistem lama mereka , disebut Loteng. The Attic system was similar to other forms of numbering systems of that era. Sistem Loteng mirip dengan bentuk lain dari sistem penomoran era tersebut. It was based on symbols lined up in rows and took up a lot of space to write. Ini didasarkan pada simbol berjajar di baris dan menyita banyak ruang untuk menulis. This might not be to bad, except that they were still carving into stone tablets, and the symbols of the alphabet allowed them to stamp values on coins in a smaller, more condensed version. Ini mungkin bukan untuk yang buruk, kecuali bahwa mereka masih dalam tablet batu pahat, dan simbol-simbol abjad memungkinkan mereka untuk cap koin dalam nilai-nilai yang lebih, kental versi yang lebih kecil.
| Attic symbols Loteng simbol |
| | = 500 = 500 |
| | = 100 = 100 |
| | = 10 = 10 |
| | = 5 = 5 |
| | = 1 = 1 |
For example, Sebagai contoh, 
represented the number 849 mewakili nomor 849 
The original Greek alphabet consisted of 27 letters and was written from the left to the right. Aksara Yunani asli terdiri dari 27 huruf dan ditulis dari kiri ke kanan. These 27 letters make up the main 27 symbols used in their numbering system. 27 huruf ini membentuk 27 simbol utama yang digunakan dalam penomoran sistem mereka. Later special symbols, which were used only for mathematics vau, koppa, and sampi, became extinct. Kemudian simbol-simbol khusus, yang hanya digunakan untuk vau matematika, koppa, dan sampi, menjadi punah. The New Greek alphabet nowadays uses only 24 letters. Aksara BaruYunani dewasa ini hanya menggunakan 24 huruf.
If you notice, the Greeks did not have a symbol for zero.Jika Anda perhatikan, orang-orang Yunani tidak memiliki simbol untuk nol. They could string these 27 symbols together to represent any number up to 1000. Mereka bisa string simbol 27 ini bersama-sama untuk mewakili jumlah apapun hingga 1000. By putting a comma in front of any symbol in the first row, they could now write any number up to 10,000. Dengan meletakkan koma di depan dari setiap simbol pada baris pertama, mereka sekarang bisa menulis nomor apapun hingga 10.000.
Here are representations for 1000, 2000 and the number we gave above 849.Berikut adalah representasi selama 1000, 2000 dan jumlah yang kami berikan di atas 849. 
This works great for smaller numbers, but what about larger numbers? Ini karya besar untuk nomor yang lebih kecil, tapi apa yang berjumlah sekitar lebih besar? Here the Greeks went back to the Attic System, and used the symbol M for 10,000. Di sini, Yunani kembali ke Sistem Loteng, dan menggunakan simbol M untuk 10.000. And used multiples of 10,000 by putting symbols above M. Dan digunakan kelipatan 10.000 dengan menempatkan simbol di atas M
Referensi:
Burton, David M. The History of Mathematics - An Introduction. Burton, David M. Sejarah Matematika - Pengantar. Dubuque, Iowa: William C. Dubuque, Iowa: William C. Brown, 1988. Brown, tahun 1988
Sistem Nomor Babel
Orang-orang Babel tinggal di Mesopotamia, yang antara sungai Tigris dan Efrat. They began a numbering system about 5,000 years ago. Mereka mulai sistem penomoran sekitar 5.000 tahun yang lalu. It is one of the oldest numbering systems. Ini adalah salah satu sistem penomoran tertua. The first mathematics can be traced to the ancient country of Babylon, during the third millennium BC Tables were the Babylonians most outstanding accomplishment which helped them in calculating problems. Matematika pertama dapat ditelusuri ke negara kuno Babel, pada milenium ketiga SM Tabel adalah prestasi yang paling menonjol Babel yang membantu mereka dalam menghitung masalah.
One of the Babylonian tablets, Plimpton 322, which is dated from between 1900 and 1600 BC, contains tables of Pythagorean triples for the equation a 2 + b 2 = c 2 .
Salah satu tablet Babel, Plimpton 322, yang tanggal dari antara tahun 1900 dan 1600 SM, berisi tabel menjadi tiga kali lipat Pythagoras untuk persamaan 2 + b 2 = c 2. It is currently in a British museum. Saat ini di museum Inggris.
Nabu - rimanni and Kidinu are two of the only known mathematicians from Babylonia.NABU - rimanni dan Kidinu adalah dua matematikawan hanya dikenal dari Babel. However, not much is known about them. Namun, tidak banyak yang diketahui tentang mereka. Historians believe Nabu - rimanni lived around 490 BC and Kidinu lived around 480 BC. Sejarawan percaya NABU - rimanni hidup sekitar 490 SM dan Kidinu hidup sekitar 480 SM.
The Babylonian number system began with tally marks just as most of the ancient math systems did. Sistem bilangan Babilonia dimulai dengan tanda penghitungan seperti sebagian besar sistem matematika kuno itu. The Babylonians developed a form of writing based on cuneiform. Orang-orang Babel mengembangkan bentuk tulisan berdasarkan runcing. Cuneiform means "wedge shape" in Latin. Cuneiform berarti "irisan bentuk" dalam bahasa Latin. They wrote these symbols on wet clay tablets which were baked in the hot sun. Mereka menulis simbol-simbol pada tablet tanah liat basah yang dipanggang di bawah terik matahari. Many thousands of these tablets are still around today. Banyak ribuan tablet ini masih ada sampai saat ini. The Babylonians used a stylist to imprint the symbols on the clay since curved lines could not be drawn. Orang-orang Babel digunakan penata gaya untuk menanamkan simbol di tanah liat sejak garis melengkung tidak dapat ditarik.
The Babylonians had a very advanced number system even for today's standards. Orang-orang Babel memiliki sistem angka yang sangat canggih bahkan untuk standar saat ini. It was a base 60 system (sexigesimal) rather than a base ten (decimal). Itu adalah sistem basis 60 (sexigesimal) daripada basis sepuluh (desimal). Base ten is what we use today. sepuluh Base adalah apa yang kita gunakan saat ini.
The Babylonians divided the day into twenty-four hours, each hour into sixty minutes, and each minute to sixty seconds. Orang-orang Babel dibagi hari ke dua puluh empat jam, jam masing-masing menjadi enam puluh menit, dan setiap menit hingga enam puluh detik. This form of counting has survived for four thousand years. Bentuk penghitungan telah bertahan selama empat ribu tahun.
Any number less than 10 had a wedge that pointed down. Setiap nomor kurang dari 10 memiliki irisan yang menunjuk ke bawah.
Example: 4 Contoh: 4 
The number 10 was symbolized by a wedge pointing to the left.
Nomor 10 telah dilambangkan oleh baji menunjuk ke kiri.
Example: 20 Contoh: 20 
Numbers less than 60 were made by combining the symbols of 1and 10. Angka kurang dari 60 dibuat dengan menggabungkan simbol 1and 10.
Example: 47 Contoh: 47 
As with our numbering system, the Babylonian numbering system utilized units, ie tens, hundreds, thousands. Seperti dengan sistem penomoran kami, sistem penomoran Babilonia digunakan unit, yaitu puluhan, ratusan, ribuan.Example: 64
Contoh: 64
However, they did not have a symbol for zero, but they did use the idea of zero.Namun, mereka tidak memiliki simbol untuk nol, tetapi mereka tidak menggunakan gagasan dari nol. When they wanted to express zero, they just left a blank space in the number they were writing. Ketika mereka ingin mengekspresikan zero, mereka baru saja meninggalkan ruang kosong dalam jumlah mereka sedang menulis.
When they wrote "60", they would put a single wedge mark in the second place of the numeral.Ketika mereka menulis "60", mereka akan tuliskan tanda irisan tunggal di tempat kedua angka tersebut.
When they wrote "120", they would put two wedge marks in the second place.Ketika mereka menulis "120", mereka akan menempatkan dua tanda irisan di tempat kedua.
Following are some examples of larger numbers. Berikut ini beberapa contoh angka yang lebih besar.
| Example: Contoh: | 79883 79.883 |
|
| |
|
| (22*602 2 )+(11*60)+23 (22 * 60 2) + (11 * 60) +23 |
| Example: Contoh: | 5220062 5220062 |
|
| |
|
| (24*60 3 ) + (10*60 2 ) + (1*60) + 2 (24 * 60 3) + (10 * 60 2) + (1 * 60) + 2 |
References: Referensi:
- URL: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Babylonian_and_Egyptian.html 6-12-00 6:00 pm URL: ht6-12-00 06:00
- URL: http://www.angelfire.com/il2/babylonianmath/mathematicians.html 6-12-00 6:00 pm URL: 6-12-00 06:00
- Boyer, Merzbach. Boyer, Merzbach. A History of Mathematics. Sejarah Matematika. John Wiley & Sons, 1989. John Wiley & Sons, 1989. Second Edition. Edisi Kedua.
- Bunt, Jones, and Bedient. Bunt, Jones, dan Bedient. The Historical Roots of Elementary Mathematics. Historical Akar Matematika SD. Dover Publications. Dover Publications. 1988. 1988
Dimana Apakah Angka berasal?
Ribuan tahun yang lalu tidak ada nomor untuk mewakili "dua" atau "tiga". Instead fingers, rocks, sticks or eyes were used to represent numbers. Sebaliknya jari, batu, tongkat atau mata digunakan untuk mewakili angka. There were neither clocks nor calendars to help keep track of time. Ada tidak jam atau kalender untuk membantu melacak waktu. The sun and moon were used to distinguish between 1 PM and 4 PM. Matahari dan bulan digunakan untuk membedakan 13:00-04:00. Most civilizations did not have words for numbers larger than two so they had to use terminology familiar to them such as “flocks” of sheep, “heaps” of grain, or “lots” of people. Kebanyakan peradaban tidak memiliki kata-kata untuk angka yang lebih besar dari dua jadi mereka harus menggunakan istilah asing bagi mereka seperti "kawanan" domba, "tumpukan" gandum, atau "banyak" orang. There was little need for a numeric system until groups of people formed clans, villages and settlements and began a system of bartering and trade that in turn created a demand for currency. Ada sedikit kebutuhan untuk sistem numerik sampai kelompok orang klan terbentuk, desa dan permukiman dan mulai sistem barter dan perdagangan yang pada gilirannya menciptakan permintaan untuk mata uang. How would you distinguish between five and fifty if you could only use the above terminology? Bagaimana Anda membedakan antara lima dan lima puluh kalau Anda hanya bisa menggunakan terminologi yang di atas? Paper and pencils were not available to transcribe numbers. Kertas dan pensil tidak tersedia untuk menuliskan nomor. Other methods were invented for means of communication and teaching of numerical systems. Metode lainnya diciptakan untuk sarana komunikasi dan pengajaran sistem numerik. Babylonians stamped numbers in clay by using a stick and depressing it into the clay at different angles or pressures and the Egyptians painted on pottery and cut numbers into stone. Babel dicap angka dalam lempung dengan menggunakan tongkat dan menekan ke dalam tanah liat di sudut yang berbeda atau tekanan dan Mesir dicat pada tembikar dan memotong angka menjadi batu.
Numerical systems devised of symbols were used instead of numbers. sistem numerik menemukan simbol-simbol yang digunakan sebagai pengganti angka. For example, the Egyptians used the following numerical symbols: Misalnya, orang Mesir menggunakan simbol numerik sebagai berikut:
From Esther Ortenzi, Numbers in Ancient Times. Dari Ester Ortenzi, Bilangan Times Kuno. Maine: Maine:
J. Weston Walch, 1964, page 9. J. Weston Walch, 1964, halaman 9.
The Chinese had one of the oldest systems of numerals that were based on sticks laid on tables to represent calculations.
Orang Cina memiliki salah satu sistem tertua angka yang didasarkan pada tongkat diletakkan di atas meja untuk mewakili perhitungan. It is as follows: Ini adalah sebagai berikut:
From David Smith and Jekuthiel Ginsburg, Numbers and Numerals. Dari Smith David dan Ginsburg Jekuthiel, Bilangan dan Bilangan.
WD Reeve, 1937, page 11. WD Reeve, 1937, halaman 11.
From about 450 BC the Greeks had several ways to write their numbers, the most common way was to use the first ten letters in their alphabet to represent the first ten numbers.
Dari sekitar 450 SM Yunani memiliki beberapa cara untuk menulis jumlah mereka, cara yang paling umum adalah menggunakan sepuluh huruf pertama dalam alfabet mereka untuk mewakili sepuluh angka pertama. To distinguish between numbers and letters they often placed a mark (/ or ') by each letter: Untuk membedakan antara angka dan huruf mereka sering ditempatkan tanda (/ atau ') dengan setiap huruf: From David Smith and Jekuthiel Ginsburg, Numbers and Numerals.
Dari Smith David dan Ginsburg Jekuthiel, Bilangan dan Bilangan. WD Reeve, 1937, page 12. WD Reeve, 1937, halaman 12.
The Roman numerical system is still used today although the symbols have changed from time to time. Sistem numerik Romawi masih digunakan saat ini walaupun simbol telah berubah dari waktu ke waktu. The Romans often wrote four as IIII instead of IV, I from V. Today the Roman numerals are used to represent numerical chapters of books or for the main divisions of outlines. Bangsa Romawi sering menulis empat sebagai IIII bukan IV, saya dari V. Saat ini angka Romawi digunakan untuk mewakili bab numerik buku atau untuk divisi utama garis besar. The earliest forms of Roman numeral values are: Bentuk paling awal dari nilai-nilai angka Romawi adalah:
From David Smith and Jekuthiel Ginsburg, Numbers and Numerals. Dari Smith David dan Ginsburg Jekuthiel, Bilangan dan Bilangan.
WD Reeve, 1937, page 14. WD Reeve, 1937, halaman 14.
Finger numerals were used by the ancient Greeks, Romans, Europeans of the Middle Ages, and later the Asiatics.Angka Finger digunakan oleh orang Yunani kuno, Romawi, Eropa Abad Pertengahan, dan kemudian Asiatics. Still today you can see children learning to count on our own finger numerical system. Masih hari ini Anda bisa melihat anak-anak belajar berhitung di jari kita sendiri sistem numerik. The old system is as follows: Sistem lama adalah sebagai berikut
From Tobias Dantzig, Number: The Language of Science. Dari Tobias Dantzig, Nomor: Bahasa Sains.
Macmillan Company, 1954, page 2. Perusahaan Macmillan, 1954, halaman 2.
Dari perhitungan dengan cara "kambing" untuk jari simbol numerik sistem yang sekarang kami telah berkembang dari angka Hindu untuk menyajikan nomor hari. The journey has taken us from 2400 BC to present day and we still use some of the old numerical systems and symbols. Perjalanan telah diambil kita dari 2400 SM sampai sekarang hari dan kita masih menggunakan beberapa sistem numerik tua dan simbol. Our system of numerics is ever changing and who knows what it will look like in 2140 AD. Sistem kami dari numerics yang pernah berubah dan siapa tahu apa yang akan tampak seperti pada 2140 AD. Will we still count using our fingers or will mankind invent a new numerical tool? Apakah kita masih menghitung menggunakan jari kita atau akan manusia menciptakan alat numerik baru?
| Sanscrit letters of the 11. Bahasa Sansekerta surat dari 11. Century AD Century AD | |
| Apices of Boethius and of the Middle Ages Apeks dari Boethius dan Abad Pertengahan | |
| Gubar-numerals of the West Arabs Gubar-angka Arab Barat | |
| Numerals of the East Arabs Angka Arab Timur | |
| Numerals of Maximus Planudes. Angka dari Planudes Maximus. | |
| Devangari-numerals. Devangari-angka. | |
| From the Mirror of the World , printed by Caxton, 1480 Dari Cermin Dunia, dicetak oleh Caxton, 1480 | |
| From the Bamberg Arithmetic by Wagner, 1488. Dari Aritmatika Bamberg oleh Wagner, 1488. | |
| From De Arts Supp- urtandi by Tonstall, 1522 Dari De Seni Supp-urtandi oleh Tonstall, 1522 | |
| This chart shows the change of numbers from their ancient to their present-day forms. Tabel ini menunjukkan perubahan nomor dari kuno mereka untuk bentuk mereka saat ini. |
This Chart was reconstructed from Esther Ortenzi, Numbers in Ancient Times. Bagan ini dibangun kembali dari Esther Ortenzi, Bilangan Kuno Times.
Maine: J. Weston Walch, 1964, page 23. Maine: J. Weston Walch, 1964, 23 halaman
Referensi:
- David E. Smith and Jekuthiel Ginsburg. David E. Smith dan Ginsburg Jekuthiel. Numbers and Numerals. Bilangan dan Bilangan. WD Reeves, 1937 WD Reeves, 1937
- Esther C. Ortenzi. Esther C. Ortenzi. Numbers in Ancient Times. Angka di Times Kuno. J. Weston Walsh, 1964. Weston J. Walsh, 1964.
Tobias Dantzig. Tobias Dantzig. Number: The Language of Science. Nomor: Bahasa Sains. Macmillan Company, 1954. Macmillan Company, 1954
Sejarah Kalkulus
Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.
Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu [[abad Kuno|zaman kuno]], [[abad Pertengahan|zaman pertengahan]], dan [[zaman modern]]. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan [[volume]] dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada
[[Papirus Matematika Moskwa|Papirus Moskwa]] [[Mesir]] (c. 1800 SM) di mana orang Mesir menghitung volume [[piramid]]a terpancung<ref name=Aslaksen>Helmer Aslaksen. [http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/teaching/calculus.html Why Calculus?] [[Universitas Nasional Singapura|National University of Singapore]]. See </ref>. [[Archimedes]] mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan [[heuristik]] yang menyerupai [[integral|kalkulus integral]].<ref>Archimedes, ''Method'', in ''The Works of Archimedes''
Pada zaman pertengahan, matematikawan [[India]], [[Aryabhata]], menggunakan konsep kecil takterhingga pada tahun [[499]] dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk [[persamaan diferensial]] dasar.<ref>[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Aryabhata_I.html Aryabhata the Elder]</ref> Persamaan ini kemudian mengantar [[Bhāskara II]] pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal [[turunan]] yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "[[Teorema Rolle]]".<ref>Ian G. Pearce. [http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Projects/Pearce/Chapters/Ch8_5.html Bhaskaracharya II.]</ref> Sekitar tahun [[1000]], matematikawan [[Irak]] [[Ibnu Haitham|Ibn al-Haytham]] (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan [[induksi matematika]], dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral.<ref>Victor J. Katz (1995). "Ideas of Calculus in Islam and India", ''Mathematics Magazine'' '''68''' (3), pp. 163-174.</ref> Pada abad ke-12, seorang [[Persia]] [[Sharaf al-Din al-Tusi]] menemukan [[turunan]] dari [[fungsi kubik]], sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. <ref>J. L. Berggren (1990). "Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat", ''Journal of the American Oriental Society'' '''110''' (2), pp. 304-309.</ref> Pada abad ke-14, [[Madhava dari Sangamagrama|Madhava]], bersama dengan matematikawan-astronom dari [[mazhab astronomi dan matematika Kerala]], menjelaskan kasus khusus dari [[deret Taylor]
Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti [[Seki Kōwa|Seki Kowa]]. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti [[John Wallis]] dan [[Isaac Barrow]] memberikan terobosan dalam kalkulus. [[James Gregory]] membuktikan sebuah kasus khusus dari [[teorema dasar kalkulus]] pada tahun 1668.
[[Berkas:Gottfried Wilhelm von Leibniz.jpg|thumb|200px|left|''[[Gottfried Leibniz|Gottfried Wilhelm Leibniz]]'' pada awalnya dituduh menjiplak dari hasil kerja Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan, namun sekarang dianggap sebagai kontributor kalkulus yang hasil kerjanya dilakukan secara terpisah.]]
[[Gottfried Leibniz|Leibniz]] dan [[Isaac Newton|Newton]] mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang [[fisika]] sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang.
Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari [[Royal Society]].
Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The science of fluxions".
Sejak itu, banyak matematikawan yang memberikan kontribusi terhadap pengembangan lebih lanjut dari kalkulus.
Kalkulus menjadi topik yang sangat umum di SMA dan universitas zaman modern. Matematikawan seluruh dunia terus memberikan kontribusi terhadap perkembangan kalkulus.[[Organisasi Pendidikan, Ilmu Pengetahuan, dan Kebudayaan Perserikatan Bangsa-Bangsa|UNESCO]]-World Data on Education
Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM) di mana orang Mesir menghitung volume piramida terpancung[1]. Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.
Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil takterhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar.[3] Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle".[4] Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral.[5] Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.
Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668.
Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society.
Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The science of fluxions".
Sejak itu, banyak matematikawan yang memberikan kontribusi terhadap pengembangan lebih lanjut dari kalkulus.
Kalkulus menjadi topik yang sangat umum di SMA dan universitas zaman modern. Matematikawan seluruh dunia terus memberikan kontribusi terhadap perkembangan kalkulus
Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di [[Eropa]] pada abad ke-17 sewaktu [[Isaac Newton]] dan [[Gottfried Leibniz|Gottfried Wilhelm Leibniz]] mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan [[fisika]].
Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan [[kecepatan]] dan [[percepatan]], [[kemiringan]] suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi perhitungan [[luas]], [[volume]], [[panjang busur]], [[pusat massa]], [[kerja]], dan [[tekanan]]. Aplikasi lebih jauh meliputi [[deret pangkat]] dan [[deret Fourier]].
Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh terkenal seperti [[paradoks Zeno]]. Kalkulus memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret takterhingga, yang kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut.
LIMIT
Prinsip-prinsip dasar = Limit dan kecil tak terhingga ={{main|Limit}}
[[Berkas:Límite 01.svg|thumb|300px|Definisi limit: kita katakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati titik p adalah L apabila untuk setiap bilangan ε > 0 apapun, terdapat bilangan δ > 0, sedemikian rupanya: <math> 0 < |x-p| <\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon </math>]]
Kalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini, yang dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Sebuah bilangan ''dx'' yang kecilnya tak terhingga dapat lebih besar daripada 0, namun lebih kecil daripada bilangan apapun pada deret 1, ½, ⅓
, ... dan bilangan real positif apapun. Setiap perkalian dengan kecil tak terhingga (infinitesimal) tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata lain kecil tak terhingga tidak memenuhi [[properti Archimedes]]. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi kecil tak terhingga.
Pada abad ke-19, konsep kecil tak terhingga ini ditinggalkan karena tidak cukup cermat, sebaliknya ia digantikan oleh konsep [[limit]]. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari nilai input terdekat. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu. Secara cermat, definisi limit suatu fungsi adalah:
Diberikan fungsi ''f(x)'' yang terdefinisikan pada interval di sekitar p, terkecuali mungkin pada p itu sendiri. Kita mengatakan bahwa '''limit ''f(x)'' ketika x mendekati p adalah L''', dan menuliskan:
:<math>\lim_{x \to p}{f(x)}=L</math>
jika, untuk setiap bilangan ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 yang berkoresponden dengannya sedemikian rupanya untuk setiap x:
:<math> 0 < |x-p| <\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon \,</math>
</blockquote>
TURUNAN
{{main|Turunan}}
[[Berkas:Derivative.png|thumb|250px|right|Grafik fungsi turunan.]]
Turunan dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari fungsi tersebut terhadap variabelnya. Proses menemukan turunan dari suatu fungsi disebut sebagai pendiferensialan ataupun diferensiasi.
Secara matematis, turunan fungsi ƒ(x) terhadap variabel x adalah ƒ′ yang nilainya pada titik x adalah:
:<math>f'(x)=\lim_{h \to 0}{f(x+h) - f(x)\over{h}}</math> ,
dengan syarat limit tersebut eksis. Jika ƒ′ eksis pada titik x tertentu, kita katakan bahwa ƒ terdiferensialkan (memiliki turunan) pada x, dan
jika ƒ′ eksis di setiap titik pada domain ƒ, kita sebut ƒ terdiferensialkan.
Apabila ''z'' = ''x'' + ''h'', ''h'' = ''x'' - ''z'', dan ''h'' mendekati 0 jika dan hanya jika ''z'' mendekati ''x'', maka definisi turunan di atas dapat pula kita tulis sebagai:
:<math>f'(x)=\lim_{z \to x}{f(z) - f(x)\over{z-x}}</math>
[[Berkas:Tangent derivative calculusdia.jpeg|thumb|250px|right|Garis singgung pada (''x'', ''f''(''x'')).
Turunan ''f'''(''x'') sebuah kurva pada sebuah titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut.]]
Perhatikan bahwa ekspresi <math>{f(x+h) - f(x)\over{h}}</math> pada definisi turunan di atas merupakan gradien dari garis sekan yang melewati titik (''x'',ƒ(x)) dan (''x''+''h'',ƒ(x)) pada kurva ƒ(x). Apabila kita mengambil limit ''h'' mendekati 0, maka kita akan mendapatkan kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva ƒ(x) pada titik x. Hal ini berarti pula garis singgung suatu kurva merupakan limit dari garis sekan, demikian pulanya turunan dari suatu fungsi ƒ(x) merupakan gradien dari fungsi tersebut.
Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi <math>f(x)=x^2</math> pada titik (3,9):
:<math>↔\begin{align}
f'(3)&=\lim_{h \to 0}{(3+h)^2 - 9\over{h}} \\ ↔&=\lim_{h \to 0}{9 + 6h + h^2 - 9\over{h}} \\
↔&=\lim_{h \to 0}{6h + h^2\over{h}} \\↔&=\lim_{h \to 0} (6 + h) \\↔&= 6 \end{align}
Ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari [[turunan]] atau [[kemiringan]] dari sebuah grafik disebut [[kalkulus diferensial]]
[[Berkas:Sec2tan.gif|thumb|250px|Garis singgung sebagai limit dari garis sekan. Turunan dari kurva ''f''(''x'') di suatu titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut. Kemiringan ini ditentukan dengan memakai nilai limit dari kemiringan garis sekan.]]
NOTASI PENDIFERENSIALAN
Terdapat berbagai macam notasi matematika yang dapat digunakan digunakan untuk menyatakan turunan, meliputi [[notasi Leibniz]], notasi Lagrange, [[notasi Newton]], dan notasi Euler.
'''Notasi Leibniz''' diperkenalkan oleh [[Gottfried Leibniz]] dan merupakan salah satu notasi yang paling awal digunakan. Ia sering digunakan terutama ketika hubungan antar ''y'' = ƒ(x) dipandang sebagai hubungan fungsional antara variabel bebas dengan variabel terikat. Turunan dari fungsi tersebut terhadap x ditulis sebagai:
<math>\frac{dy}{dx},\quad\frac{d f}{dx}(x),</math> ataupun <math>\frac{d}{dx}f(x).</math>
'''Notasi Lagrange''' diperkenalkan oleh [[Joseph-Louis de Lagrange|Joseph Louis Lagrange]] dan merupakan notasi yang paling sering digunakan. Dalam notasi ini, turunan fungsi ƒ(''x'') ditulis sebagai ƒ′(''x'') ataupun hanya ƒ′.
'''Notasi Newton''', juga disebut sebagai notasi titik, menempatkan titik di atas fungsi untuk menandakan turunan. Apabila ''y'' = ''ƒ''(''t''), maka <math>\dot{y}</math> mewakili turunan ''y'' terhadap ''t''. Notasi ini hampir secara eksklusif digunakan untuk melambangkan turunan terhadap waktu. Notasi ini sering terlihat dalam bidang [[fisika]] dan bidang matematika yang berhubungan dengan fisika.
'''Notasi [[Leonhard Euler|Euler]]''' menggunakan operator diferensial ''D'' yang diterapkan pada fungsi ''ƒ'' untuk memberikan turunan pertamanya ''Df''. Apabila ''y'' = ''ƒ''(''x'') adalah variabel terikat, maka sering kali ''x'' dilekatkan pada ''D'' untuk mengklarifikasikan keterbebasan variabel ''x''. Notasi Euler kemudian ditulis sebagai:
:<math>D_x y\,</math> atau <math>D_x f(x)\,</math>. Notasi Euler ini sering digunakan dalam menyelesaikan [[persamaan diferensial linear]].
||'''Turunan ƒ(''x'') terhadap ''x'''''||<math>\frac{d}{dx}f(x)</math>||ƒ′(''x'')||<ngan ''y'' = ''ƒ''(''x'')||<math>D_x f(x)\,</math>
INTEGRAL
{{main|Integral}}
[[Berkas:Integral as region under curve.svg|right|thumb|250px|Integral dapat dianggap sebagai perhitungan luas daerah di bawah kurva ''ƒ''(''x''), antara dua titik ''a'' dan ''b''.]]
Integral merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai luas wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah. Proses menemukan integral suatu fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi. Integral dibagi menjadi dua, yaitu: integral tertentu dan integral tak tentu. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan integral adalah <math>\int \,</math>, seperti huruf S yang memanjang (S singkatan dari ''"Sum"'' yang berarti penjumlahan).
INTEGRAL TERTENTU
Diberikan suatu fungsi ''ƒ'' bervariabel real ''x'' dan interval antara [a, b] pada garis real, '''integral tertentu''':
: <math>\int_a^b f(x)\,dx \, ,</math>
secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik ''ƒ'', sumbu-x, dan garis vertikal ''x'' = ''a'' dan ''x'' = ''b''.
Pada notasi integral di atas: ''a'' adalah ''batas bawah'' dan ''b'' adalah ''batas atas'' yang menentukan domain pengintegralan, ''ƒ'' adalah integran yang akan dievaluasi terhadap ''x'' pada interval [a,b], dan ''dx'' adalah variabel pengintegralan.
[[Berkas:Riemann.gif|thumb|250px|right|Seiring dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar subinterval yang diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas daerah di bawah kurva.]]
Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya digunakan adalah definisi [[integral Riemann]]. Integral Rieman didefinisikan sebagai limit dari [[penjumlahan Riemann]]. Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi ''ƒ'' pada interval tertutup [''a'',''b'']. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval [''a'',''b''] dapat kita bagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah ''n''-1 titik {''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>,..., ''x''<sub>n - 1</sub>} antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:
::<math> a = x_0 \le x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le x_n = b . \,\!</math>
Himpunan <math> P = \{x_0, x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, x_n\}\,</math> tersebut kita sebut sebagai '''partisi''' [''a'',''b''], yang membagi [''a'',''b''] menjadi sejumlah ''n'' subinterval <math> [x_0, x_1], [x_1,x_2], \ldots, [x_{n-1}, x_n] </math>. Lebar subinterval pertama [''x''<sub>0</sub>,''x''<sub>1</sub>] kita nyatakan sebagai Δ''x''<sub>1</sub>, demikian pula lebar subinterval ke-''i'' kita nyatakan sebagai Δ''x''<sub>i</sub> = ''x''<sub>''i''</sub> - ''x''<sub>''i'' - 1</sub>. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang dan pada subinterval ke-''i'' tersebut kita memilih titik sembarang t<sub>i</sub>. Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar Δ''x'' dan tingginya berawal dari sumbu ''x'' sampai menyentuh titik (''t''<sub>i</sub>, ''ƒ''(''t''<sub>i</sub>)) pada kurva. Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan mengalikan ''ƒ''(''t''<sub>i</sub>)· Δ''x''<sub>i</sub> dan menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita akan dapatkan:
:<math>S_p = \sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta x_i </math>
Penjumlahan ''S''<sub>''p''</sub> disebut sebagai '''penjumlahan Riemann untuk ''ƒ'' pada interval [''a'',''b''].''' Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil, hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah yang kita inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma partisi <math>\lVert P \rVert</math> mendekati nol, maka kita akan mendapatkan luas daerah tersebut.
Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann adalah:
<blockquote class="toccolours" style="text-align:justify; width:80%; float:center; padding: 10px; display:table; margin-left:80px;">
Diberikan ''ƒ''(''x'') sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [''a'',''b'']. Kita katakan bahwa bilangan ''I'' adalah '''integral tertentu''' ''ƒ'' di sepanjang [''a'',''b''] dan bahwa ''I'' adalah limit dari penjumlahan Riemann <math>\sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta x_i </math> apabila kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan ε > 0 apapun terdapat sebuah bilangan δ > 0 yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk setiap partisi <math>P = \{ x_0, x_1, \ldots, x_n \}</math> di sepanjang [''a'',''b''] dengan <math>\lVert P \rVert < \delta </math> dan pilihan ''t''<sub>''i''</sub> apapun pada [''x''<sub>''k'' - 1</sub>, ''t''<sub>''i''</sub>], kita dapatkan
::<math>\left|\sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta x_i - I \right| < \epsilon.</math> ;</blockquote>
Secara matematis dapat kita tuliskan:
:<math>\lim_{\lVert P \rVert \to 0}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x_i = I = \int_a^b f(x)\,dx</math>
Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah ''n'' subinterval yang sama, maka lebar Δ''x'' = (''b''-''a'')/n, sehingga persamaan di atas dapat pula kita tulis sebagai:
:<math>\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x = I = \int_a^b f(x)\,dx</math>
Limit ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval yang ada mendekati tak terhingga banyaknya.
Sebagai contohnya, apabila kita hendak menghitung integral tertentu <math>\int_0^b x\, dx</math>, yakni mencari luas daerah ''A'' dibawah kurva ''y''=''x'' pada interval [0,''b''], ''b''>0, maka perhitungan integral tertentu <math>\int_0^b x\, dx</math> sebagai limit dari penjumlahan Riemannnya adalah
<math>\lim_{\lVert P \rVert \to 0}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x_i</math>
Pemilihan partisi ataupun titik ''t''<sub>''i''</sub> secara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama sepanjang norma partisi tersebut mendekati nol. Apabila kita memilih partisi ''P'' membagi-bagi interval [0,''b''] menjadi n subinterval yang berlebar sama Δ''x'' = (''b'' - 0)/''n'' = ''b''/''n'' dan titik ''t'''<sub>''i''</sub> yang dipilih adalah titik akhir kiri setiap subinterval, partisi yang kita dapatkan adalah:
:<math> P = \{0, \frac{b}{n}, \frac{2b}{n}, \frac{3b}{n}, \ldots, \frac{nb}{n}\}</math> dan <math>t_i = \frac{ib}{n}</math>, sehingga:
:<math>\begin{align}
\int_0^b f(x)\, dx &= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x\\
&= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n \frac{ib}{n}.\frac{b}{n} \\
&= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n \frac{ib^2}{n^2} \\
&= \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{n^2}\sum_{i=1}^n i \\
&= \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{n^2} . \frac{n(n+1)}{2}\\
&= \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{2} (1+\frac{1}{n}) \\ ↔\end{align}</math>
Seiring dengan ''n'' mendekati tak terhingga dan norma partisi <math>\lVert P \rVert</math> mendekati 0, maka didapatkan:
:<math>\int_0^b f(x)\, dx = A = \frac {b^2}{2} </math>
Dalam prakteknya, penerapan definisi integral tertentu dalam mencari nilai integral tertentu tersebut jarang sekali digunakan karena tidak praktis. [[Kalkulus#Teorema dasar|Teorema dasar kalkulus]] ([[Kalkulus#Teorema dasar|lihat bagian bawah)]] memberikan cara yang lebih praktis dalam mencari nilai integral tertentu.
INTEGRAL TAK TENTU
Manakala integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol, [[teorema dasar kalkulus]] ([[Kalkulus#teorema dasar kalkulus|lihat bagian bawah]]) menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung dengan mudah apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.
<blockquote class="toccolours" style="text-align:justify; width:80%; float:center; padding: 10px; display:table; margin-left:80px;">
Keseluruhan himpunan '''antiturunan'''/'''antiderivatif''' sebuah fungsi ''ƒ'' adalah '''integral tak tentu''' ataupun '''primitif''' dari ''ƒ'' terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:
:<math>\int f(x) dx = F(x) + C</math> ::di mana
:<math>F'\!(x) =\frac {d}{dx} F(x) = f(x).</math> ↔ </blockquote>
Ekspresi ''F(x) + C'' adalah '''antiderivatif umum''' ''ƒ'' dan ''C'' adalah konstanta sembarang.
Misalkan terdapat sebuah fungsi <math>f(x) = x^2</math>, maka integral tak tentu ataupun antiturunan dari fungsi tersebut adalah:
:<math>\int x^2 dx = \frac{1}{3} x^3 + C</math>
Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu dalam bentuk <math>\int_a^b f(x) dx </math> adalah sebuah bilangan, manakala integral tak tentu :<math>\int f(x) dx </math> adalah sebuah fungsi yang memiliki tambahan konstanta sembarang ''C''.
TEOREMA DASAR
{{Main|Teorema dasar kalkulus}}
Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah dua operasi yang saling berlawanan. Lebih tepatnya, teorema ini menghubungkan nilai dari anti derivatif dengan integral tertentu. Karena lebih mudah menghitung sebuah anti derivatif daripada menerapkan definisi integral tertentu, teorema dasar kalkulus memberikan cara yang praktis dalam menghitung integral tertentu.
Teorema dasar kalkulus menyatakan:
<blockquote class="toccolours" style="text-align:justify; width:80%; float:center; padding: 10px; display:table; margin-left:80px;">
Jika sebuah fungsi ''f'' adalah [[Fungsi kontinu|kontinu]] pada interval [''a'',''b''] dan jika ''F'' adalah fungsi yang mana turunannya adalah ''f'' pada interval (''a'',''b''), maka
:<math>\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a).</math>
Lebih lanjut, untuk setiap ''x'' di interval (''a'',''b''),
:<math>F'(x) = \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\, dt = f(x).</math></blockquote>
Sebagai contohnya apabila kita hendak menghitung nilai integral <math>\int_a^b x\, dx</math>, daripada menggunakan definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann ([[kalkulus#integral tertentu|lihat bagian atas]]), kita dapat menggunakan teorema dasar kalkulus dalam menghitung nilai integral tersebut.
Anti derivatif dari fungsi <math>f(x)= x\, </math> adalah <math>F(x)= \frac{1}{2} x^2 + C</math>. Oleh sebab itu, sesuai dengan teorema dasar kalkulus, nilai dari integral tertentu <math>\int_a^b x \,dx</math> adalah:
:<math>\begin{align}
\int_{a}^{b} x\,dx &= F(b) - F(a) \\↔&= \frac{1}{2} b^2 - \frac{1}{2} a^2 \\↔\end{align}</math>
Apabila kita hendak mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka kita akan dapatkan: <math>\int_{0}^{b} x\,dx = \frac {b^2}{2} </math>
Perhatikan bahwa hasil yang kita dapatkan dengan menggunakan teorema dasar kalkulus ini adalah sama dengan hasil yang kita dapatkan dengan menerapkan definisi integral tertentu ([[kalkulus#integral tertentu|lihat bagian atas]]). Oleh karena lebih praktis, teorema dasar kalkulus sering digunakan untuk mencari nilai integral tertentu.
TURUNAN
{{main|Turunan}}
[[Berkas:Derivative.png|thumb|250px|right|Grafik fungsi turunan.]]
Turunan dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari fungsi tersebut terhadap variabelnya. Proses menemukan turunan dari suatu fungsi disebut sebagai pendiferensialan ataupun diferensiasi.
Secara matematis, turunan fungsi ƒ(x) terhadap variabel x adalah ƒ′ yang nilainya pada titik x adalah:
:<math>f'(x)=\lim_{h \to 0}{f(x+h) - f(x)\over{h}}</math> ,
dengan syarat limit tersebut eksis. Jika ƒ′ eksis pada titik x tertentu, kita katakan bahwa ƒ terdiferensialkan (memiliki turunan) pada x, dan
jika ƒ′ eksis di setiap titik pada domain ƒ, kita sebut ƒ terdiferensialkan.
Apabila ''z'' = ''x'' + ''h'', ''h'' = ''x'' - ''z'', dan ''h'' mendekati 0 jika dan hanya jika ''z'' mendekati ''x'', maka definisi turunan di atas dapat pula kita tulis sebagai:
:<math>f'(x)=\lim_{z \to x}{f(z) - f(x)\over{z-x}}</math>
[[Berkas:Tangent derivative calculusdia.jpeg|thumb|250px|right|Garis singgung pada (''x'', ''f''(''x'')).
Turunan ''f'''(''x'') sebuah kurva pada sebuah titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut.]]
Perhatikan bahwa ekspresi <math>{f(x+h) - f(x)\over{h}}</math> pada definisi turunan di atas merupakan gradien dari garis sekan yang melewati titik (''x'',ƒ(x)) dan (''x''+''h'',ƒ(x)) pada kurva ƒ(x). Apabila kita mengambil limit ''h'' mendekati 0, maka kita akan mendapatkan kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva ƒ(x) pada titik x. Hal ini berarti pula garis singgung suatu kurva merupakan limit dari garis sekan, demikian pulanya turunan dari suatu fungsi ƒ(x) merupakan gradien dari fungsi tersebut.
Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi <math>f(x)=x^2</math> pada titik (3,9):
:<math>
\begin{align}
f'(3)&=\lim_{h \to 0}{(3+h)^2 - 9\over{h}} \\↔&=\lim_{h \to 0}{9 + 6h + h^2 - 9\over{h}} \\
&=\lim_{h \to 0}{6h + h^2\over{h}} \\↔&=\lim_{h \to 0} (6 + h) \\↔&= 6 ↔\end{align}↔</math>
Ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari [[turunan]] atau [[kemiringan]] dari sebuah grafik disebut [[kalkulus diferensial]]
[[Berkas:Sec2tan.gif|thumb|250px|Garis singgung sebagai limit dari garis sekan. Turunan dari kurva ''f''(''x'') di suatu titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut. Kemiringan ini ditentukan dengan memakai nilai limit dari kemiringan garis sekan.]]
NOTASI PENDIFERENSIALAN
Terdapat berbagai macam notasi matematika yang dapat digunakan digunakan untuk menyatakan turunan, meliputi [[notasi Leibniz]], notasi Lagrange, [[notasi Newton]], dan notasi Euler.
'''Notasi Leibniz''' diperkenalkan oleh [[Gottfried Leibniz]] dan merupakan salah satu notasi yang paling awal digunakan. Ia sering digunakan terutama ketika hubungan antar ''y'' = ƒ(x) dipandang sebagai hubungan fungsional antara variabel bebas dengan variabel terikat. Turunan dari fungsi tersebut terhadap x ditulis sebagai: <math>\frac{dy}{dx},\quad\frac{d f}{dx}(x),</math> ataupun <math>\frac{d}{dx}f(x).</math>
'''Notasi Lagrange''' diperkenalkan oleh [[Joseph-Louis de Lagrange|Joseph Louis Lagrange]] dan merupakan notasi yang paling sering digunakan. Dalam notasi ini, turunan fungsi ƒ(''x'') ditulis sebagai ƒ′(''x'') ataupun hanya ƒ′.
'''Notasi Newton''', juga disebut sebagai notasi titik, menempatkan titik di atas fungsi untuk menandakan turunan. Apabila ''y'' = ''ƒ''(''t''), maka <math>\dot{y}</math> mewakili turunan ''y'' terhadap ''t''. Notasi ini hampir secara eksklusif digunakan untuk melambangkan turunan terhadap waktu. Notasi ini sering terlihat dalam bidang [[fisika]] dan bidang matematika yang berhubungan dengan fisika.
'''Notasi [[Leonhard Euler|Euler]]''' menggunakan operator diferensial ''D'' yang diterapkan pada fungsi ''ƒ'' untuk memberikan turunan pertamanya ''Df''. Apabila ''y'' = ''ƒ''(''x'') adalah variabel terikat, maka sering kali ''x'' dilekatkan pada ''D'' untuk mengklarifikasikan keterbebasan variabel ''x''. Notasi Euler kemudian ditulis sebagai:
:<math>D_x y\,</math> atau <math>D_x f(x)\,</math>.
Notasi Euler ini sering digunakan dalam menyelesaikan [[persamaan diferensial linear]].
! align="center"|Notasi Leibniz
! align="center"|Notasi Lagrange
! align="center"|Notasi Newton
! align="center"|Notasi Euler
|- align=center
||'''Turunan ƒ(''x'') terhadap ''x'''''||<math>\frac{d}{dx}f(x)</math>||ƒ′(''x'')||<math>\dot{y}</math></br> dengan ''y'' = ''ƒ''(''x'')||<math>D_x f(x)\,</math>↔|}{{clear}}
INTEGRAL
{{main|Integral}}
[[Berkas:Integral as region under curve.svg|right|thumb|250px|Integral dapat dianggap sebagai perhitungan luas daerah di bawah kurva ''ƒ''(''x''), antara dua titik ''a'' dan ''b''.]]
Integral merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai luas wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah. Proses menemukan integral suatu fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi. Integral dibagi menjadi dua, yaitu: integral tertentu dan integral tak tentu. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan integral adalah <math>\int \,</math>, seperti huruf S yang memanjang (S singkatan dari ''"Sum"'' yang berarti penjumlahan).
INTEGRAL TERTENTU
Diberikan suatu fungsi ''ƒ'' bervariabel real ''x'' dan interval antara [a, b] pada garis real, '''integral tertentu''':
: <math>\int_a^b f(x)\,dx \, ,</math>
secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik ''ƒ'', sumbu-x, dan garis vertikal ''x'' = ''a'' dan ''x'' = ''b''.
Pada notasi integral di atas: ''a'' adalah ''batas bawah'' dan ''b'' adalah ''batas atas'' yang menentukan domain pengintegralan, ''ƒ'' adalah integran yang akan dievaluasi terhadap ''x'' pada interval [a,b], dan ''dx'' adalah variabel pengintegralan.
[[Berkas:Riemann.gif|thumb|250px|right|Seiring dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar subinterval yang diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas daerah di bawah kurva.]]
Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya digunakan adalah definisi [[integral Riemann]]. Integral Rieman didefinisikan sebagai limit dari [[penjumlahan Riemann]]. Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi ''ƒ'' pada interval tertutup [''a'',''b'']. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval [''a'',''b''] dapat kita bagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah ''n''-1 titik {''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>,..., ''x''<sub>n - 1</sub>} antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:
::<math> a = x_0 \le x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le x_n = b . \,\!</math>
Himpunan <math> P = \{x_0, x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, x_n\}\,</math> tersebut kita sebut sebagai '''partisi''' [''a'',''b''], yang membagi [''a'',''b''] menjadi sejumlah ''n'' subinterval <math> [x_0, x_1], [x_1,x_2], \ldots, [x_{n-1}, x_n] </math>. Lebar subinterval pertama [''x''<sub>0</sub>,''x''<sub>1</sub>] kita nyatakan sebagai Δ''x''<sub>1</sub>, demikian pula lebar subinterval ke-''i'' kita nyatakan sebagai Δ''x''<sub>i</sub> = ''x''<sub>''i''</sub> - ''x''<sub>''i'' - 1</sub>. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang dan pada subinterval ke-''i'' tersebut kita memilih titik sembarang t<sub>i</sub>. Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar Δ''x'' dan tingginya berawal dari sumbu ''x'' sampai menyentuh titik (''t''<sub>i</sub>, ''ƒ''(''t''<sub>i</sub>)) pada kurva. Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan mengalikan ''ƒ''(''t''<sub>i</sub>)· Δ''x''<sub>i</sub> dan menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita akan dapatkan:
:<math>S_p = \sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta x_i </math>
Penjumlahan ''S''<sub>''p''</sub> disebut sebagai '''penjumlahan Riemann untuk ''ƒ'' pada interval [''a'',''b''].''' Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil, hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah yang kita inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma partisi <math>\lVert P \rVert</math> mendekati nol, maka kita akan mendapatkan luas daerah tersebut.
Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann adalah:
<blockquote class="toccolours" style="text-align:justify; width:80%; float:center; padding: 10px; display:table; margin-left:80px;">
Diberikan ''ƒ''(''x'') sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [''a'',''b'']. Kita katakan bahwa bilangan ''I'' adalah '''integral tertentu''' ''ƒ'' di sepanjang [''a'',''b''] dan bahwa ''I'' adalah limit dari penjumlahan Riemann <math>\sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta x_i </math> apabila kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan ε > 0 apapun terdapat sebuah bilangan δ > 0 yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk setiap partisi <math>P = \{ x_0, x_1, \ldots, x_n \}</math> di sepanjang [''a'',''b''] dengan <math>\lVert P \rVert < \delta </math> dan pilihan ''t''<sub>''i''</sub> apapun pada [''x''<sub>''k'' - 1</sub>, ''t''<sub>''i''</sub>], kita dapatkan
::<math>\left|\sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta x_i - I \right| < \epsilon.</math>↔</blockquote>
Secara matematis dapat kita tuliskan:
:<math>\lim_{\lVert P \rVert \to 0}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x_i = I = \int_a^b f(x)\,dx</math>
Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah ''n'' subinterval yang sama, maka lebar Δ''x'' = (''b''-''a'')/n, sehingga persamaan di atas dapat pula kita tulis sebagai:
:<math>\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x = I = \int_a^b f(x)\,dx</math>
Limit ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval yang ada mendekati tak terhingga banyaknya.
Sebagai contohnya, apabila kita hendak menghitung integral tertentu <math>\int_0^b x\, dx</math>, yakni mencari luas daerah ''A'' dibawah kurva ''y''=''x'' pada interval [0,''b''], ''b''>0, maka perhitungan integral tertentu <math>\int_0^b x\, dx</math> sebagai limit dari penjumlahan Riemannnya adalah
<math>\lim_{\lVert P \rVert \to 0}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x_i</math>
Pemilihan partisi ataupun titik ''t''<sub>''i''</sub> secara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama sepanjang norma partisi tersebut mendekati nol. Apabila kita memilih partisi ''P'' membagi-bagi interval [0,''b''] menjadi n subinterval yang berlebar sama Δ''x'' = (''b'' - 0)/''n'' = ''b''/''n'' dan titik ''t'''<sub>''i''</sub> yang dipilih adalah titik akhir kiri setiap subinterval, partisi yang kita dapatkan adalah:
:<math> P = \{0, \frac{b}{n}, \frac{2b}{n}, \frac{3b}{n}, \ldots, \frac{nb}{n}\}</math> dan <math>t_i = \frac{ib}{n}</math>, sehingga:
:<math>\begin{align}
\int_0^b f(x)\, dx &= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x\\
&= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n \frac{ib}{n}.\frac{b}{n} \\
&= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n \frac{ib^2}{n^2} \\
&= \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{n^2}\sum_{i=1}^n i \\
&= \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{n^2} . \frac{n(n+1)}{2}\\
&= \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{2} (1+\frac{1}{n}) \\ ↔\end{align}</math>
Seiring dengan ''n'' mendekati tak terhingga dan norma partisi <math>\lVert P \rVert</math> mendekati 0, maka didapatkan:
:<math>\int_0^b f(x)\, dx = A = \frac {b^2}{2} </math>
Dalam prakteknya, penerapan definisi integral tertentu dalam mencari nilai integral tertentu tersebut jarang sekali digunakan karena tidak praktis. [[Kalkulus#Teorema dasar|Teorema dasar kalkulus]] ([[Kalkulus#Teorema dasar|lihat bagian bawah)]] memberikan cara yang lebih praktis dalam mencari nilai integral tertentu.
==== INTEGRAL TAK TENTU ====
Manakala integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol, [[teorema dasar kalkulus]] ([[Kalkulus#teorema dasar kalkulus|lihat bagian bawah]]) menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung dengan mudah apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.
<blockquote class="toccolours" style="text-align:justify; width:80%; float:center; padding: 10px; display:table; margin-left:80px;">
Keseluruhan himpunan '''antiturunan'''/'''antiderivatif''' sebuah fungsi ''ƒ'' adalah '''integral tak tentu''' ataupun '''primitif''' dari ''ƒ'' terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:
<math>\int f(x) dx = F(x) + C</math>
::di mana
:<math>F'\!(x) =\frac {d}{dx} F(x) = f(x).</math>
</blockquote>
Ekspresi ''F(x) + C'' adalah '''antiderivatif umum''' ''ƒ'' dan ''C'' adalah konstanta sembarang.
Misalkan terdapat sebuah fungsi <math>f(x) = x^2</math>, maka integral tak tentu ataupun antiturunan dari fungsi tersebut adalah:
:<math>\int x^2 dx = \frac{1}{3} x^3 + C</math>
Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu dalam bentuk <math>\int_a^b f(x) dx </math> adalah sebuah bilangan, manakala integral tak tentu :<math>\int f(x) dx </math> adalah sebuah fungsi yang memiliki tambahan konstanta sembarang ''C''.
=== TEOREMA DASAR ===
{{Main|Teorema dasar kalkulus}}
Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah dua operasi yang saling berlawanan. Lebih tepatnya, teorema ini menghubungkan nilai dari anti derivatif dengan integral tertentu. Karena lebih mudah menghitung sebuah anti derivatif daripada menerapkan definisi integral tertentu, teorema dasar kalkulus memberikan cara yang praktis dalam menghitung integral tertentu.
Teorema dasar kalkulus menyatakan:
<blockquote class="toccolours" style="text-align:justify; width:80%; float:center; padding: 10px; display:table; margin-left:80px;">
Jika sebuah fungsi ''f'' adalah [[Fungsi kontinu|kontinu]] pada interval [''a'',''b''] dan jika ''F'' adalah fungsi yang mana turunannya adalah ''f'' pada interval (''a'',''b''), maka
:<math>\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a).</math>
Lebih lanjut, untuk setiap ''x'' di interval (''a'',''b''),
:<math>F'(x) = \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\, dt = f(x).</math></blockquote>
Sebagai contohnya apabila kita hendak menghitung nilai integral <math>\int_a^b x\, dx</math>, daripada menggunakan definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann ([[kalkulus#integral tertentu|lihat bagian atas]]), kita dapat menggunakan teorema dasar kalkulus dalam menghitung nilai integral tersebut.
Anti derivatif dari fungsi <math>f(x)= x\, </math> adalah <math>F(x)= \frac{1}{2} x^2 + C</math>. Oleh sebab itu, sesuai dengan teorema dasar kalkulus, nilai dari integral tertentu <math>\int_a^b x \,dx</math> adalah:
:<math>\begin{align}
\int_{a}^{b} x\,dx &= F(b) - F(a) \\
&= \frac{1}{2} b^2 - \frac{1}{2} a^2 \\
\end{align}</math>
Apabila kita hendak mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka kita akan dapatkan:
:<math>\int_{0}^{b} x\,dx = \frac {b^2}{2} </math>
Perhatikan bahwa hasil yang kita dapatkan dengan menggunakan teorema dasar kalkulus ini adalah sama dengan hasil yang kita dapatkan dengan menerapkan definisi integral tertentu ([[kalkulus#integral tertentu|lihat bagian atas]]). Oleh karena lebih praktis, teorema dasar kalkulus sering digunakan untuk mencari nilai integral tertentu.
Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika.
Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekanan. Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier.
Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret takterhingga, yang kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut.
=== LIMIT DAN KECIL TAK TERHINGGA ===
{{main|Limit}}
[[Berkas:Límite 01.svg|thumb|300px|Definisi limit: kita katakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati titik p adalah L apabila untuk setiap bilangan ε > 0 apapun, terdapat bilangan δ > 0, sedemikian rupanya: <math> 0 < |x-p| <\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon </math>]]
Kalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini, yang dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Sebuah bilangan ''dx'' yang kecilnya tak terhingga dapat lebih besar daripada 0, namun lebih kecil daripada bilangan apapun pada deret 1, ½, ⅓, ... dan bilangan real positif apapun. Setiap perkalian dengan kecil tak terhingga (infinitesimal) tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata lain kecil tak terhingga tidak memenuhi [[properti Archimedes]]. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi kecil tak terhingga.
Pada abad ke-19, konsep kecil tak terhingga ini ditinggalkan karena tidak cukup cermat, sebaliknya ia digantikan oleh konsep [[limit]]. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari nilai input terdekat. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu. Secara cermat, definisi limit suatu fungsi adalah:
<blockquote class="toccolours" style="text-align:justify; width:50%; float:center; padding: 10px; display:table; margin-left:80px;">
Diberikan fungsi ''f(x)'' yang terdefinisikan pada interval di sekitar p, terkecuali mungkin pada p itu sendiri. Kita mengatakan bahwa '''limit ''f(x)'' ketika x mendekati p adalah L''', dan menuliskan:
:<math>\lim_{x \to p}{f(x)}=L</math>
jika, untuk setiap bilangan ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 yang berkoresponden dengannya sedemikian rupanya untuk setiap x:
:<math> 0 < |x-p| <\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon \,</math>
</blockquote>
Artikel utama untuk bagian ini adalah: LimitDefinisi limit: kita katakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati titik p adalah L apabila untuk setiap bilangan ε > 0 apapun, terdapat bilangan δ > 0, sedemikian rupanya: 
Kalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini, yang dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Sebuah bilangan dx yang kecilnya tak terhingga dapat lebih besar daripada 0, namun lebih kecil daripada bilangan apapun pada deret 1, ½, ⅓
, ... dan bilangan real positif apapun. Setiap perkalian dengan kecil tak terhingga (infinitesimal) tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata lain kecil tak terhingga tidak memenuhi properti Archimedes. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi kecil tak terhingga.
Pada abad ke-19, konsep kecil tak terhingga ini ditinggalkan karena tidak cukup cermat, sebaliknya ia digantikan oleh konsep limit. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari nilai input terdekat. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu. Secara cermat, definisi limit suatu fungsi adalah:
Diberikan fungsi f(x) yang terdefinisikan pada interval di sekitar p, terkecuali mungkin pada p itu sendiri. Kita mengatakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati p adalah L, dan menuliskan:
jika, untuk setiap bilangan ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 yang berkoresponden dengannya sedemikian rupanya untuk setiap x:
=== TURUNAN ===
{{main|Turunan}}
[[Berkas:Derivative.png|thumb|250px|right|Grafik fungsi turunan.]]
Turunan dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari fungsi tersebut terhadap variabelnya. Proses menemukan turunan dari suatu fungsi disebut sebagai pendiferensialan ataupun diferensiasi.
Secara matematis, turunan fungsi ƒ(x) terhadap variabel x adalah ƒ′ yang nilainya pada titik x adalah:
:<math>f'(x)=\lim_{h \to 0}{f(x+h) - f(x)\over{h}}</math> ,
dengan syarat limit tersebut eksis. Jika ƒ′ eksis pada titik x tertentu, kita katakan bahwa ƒ terdiferensialkan (memiliki turunan) pada x, dan
jika ƒ′ eksis di setiap titik pada domain ƒ, kita sebut ƒ terdiferensialkan.
Apabila ''z'' = ''x'' + ''h'', ''h'' = ''x'' - ''z'', dan ''h'' mendekati 0 jika dan hanya jika ''z'' mendekati ''x'', maka definisi turunan di atas dapat pula kita tulis sebagai:
:<math>f'(x)=\lim_{z \to x}{f(z) - f(x)\over{z-x}}</math>
[[Berkas:Tangent derivative calculusdia.jpeg|thumb|250px|right|Garis singgung pada (''x'', ''f''(''x'')).
Turunan ''f'''(''x'') sebuah kurva pada sebuah titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut.]]
Perhatikan bahwa ekspresi <math>{f(x+h) - f(x)\over{h}}</math> pada definisi turunan di atas merupakan gradien dari garis sekan yang melewati titik (''x'',ƒ(x)) dan (''x''+''h'',ƒ(x)) pada kurva ƒ(x). Apabila kita mengambil limit ''h'' mendekati 0, maka kita akan mendapatkan kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva ƒ(x) pada titik x. Hal ini berarti pula garis singgung suatu kurva merupakan limit dari garis sekan, demikian pulanya turunan dari suatu fungsi ƒ(x) merupakan gradien dari fungsi tersebut.
Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi <math>f(x)=x^2</math> pada titik (3,9):
:<math>
\begin{align}
f'(3)&=\lim_{h \to 0}{(3+h)^2 - 9\over{h}} \\
&=\lim_{h \to 0}{9 + 6h + h^2 - 9\over{h}} \\
&=\lim_{h \to 0}{6h + h^2\over{h}} \\
&=\lim_{h \to 0} (6 + h) \\
&= 6
\end{align}
</math>
Ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari [[turunan]] atau [[kemiringan]] dari sebuah grafik disebut [[kalkulus diferensial]]
[[Berkas:Sec2tan.gif|thumb|250px|Garis singgung sebagai limit dari garis sekan. Turunan dari kurva ''f''(''x'') di suatu titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut. Kemiringan ini ditentukan dengan memakai nilai limit dari kemiringan garis sekan.]]
==== NOTASI PENDIFERENSIALAN ====
Terdapat berbagai macam notasi matematika yang dapat digunakan digunakan untuk menyatakan turunan, meliputi [[notasi Leibniz]], notasi Lagrange, [[notasi Newton]], dan notasi Euler.
'''Notasi Leibniz''' diperkenalkan oleh [[Gottfried Leibniz]] dan merupakan salah satu notasi yang paling awal digunakan. Ia sering digunakan terutama ketika hubungan antar ''y'' = ƒ(x) dipandang sebagai hubungan fungsional antara variabel bebas dengan variabel terikat. Turunan dari fungsi tersebut terhadap x ditulis sebagai:
: <math>\frac{dy}{dx},\quad\frac{d f}{dx}(x),</math> ataupun <math>\frac{d}{dx}f(x).</math>
'''Notasi Lagrange''' diperkenalkan oleh [[Joseph-Louis de Lagrange|Joseph Louis Lagrange]] dan merupakan notasi yang paling sering digunakan. Dalam notasi ini, turunan fungsi ƒ(''x'') ditulis sebagai ƒ′(''x'') ataupun hanya ƒ′.
'''Notasi Newton''', juga disebut sebagai notasi titik, menempatkan titik di atas fungsi untuk menandakan turunan. Apabila ''y'' = ''ƒ''(''t''), maka <math>\dot{y}</math> mewakili turunan ''y'' terhadap ''t''. Notasi ini hampir secara eksklusif digunakan untuk melambangkan turunan terhadap waktu. Notasi ini sering terlihat dalam bidang [[fisika]] dan bidang matematika yang berhubungan dengan fisika.
'''Notasi [[Leonhard Euler|Euler]]''' menggunakan operator diferensial ''D'' yang diterapkan pada fungsi ''ƒ'' untuk memberikan turunan pertamanya ''Df''. Apabila ''y'' = ''ƒ''(''x'') adalah variabel terikat, maka sering kali ''x'' dilekatkan pada ''D'' untuk mengklarifikasikan keterbebasan variabel ''x''. Notasi Euler kemudian ditulis sebagai:
:<math>D_x y\,</math> atau <math>D_x f(x)\,</math>.
Notasi Euler ini sering digunakan dalam menyelesaikan [[persamaan diferensial linear]].
{| class=prettytable
|-
!
! align="center"|Notasi Leibniz
! align="center"|Notasi Lagrange
! align="center"|Notasi Newton
! align="center"|Notasi Euler
|- align=center
||'''Turunan ƒ(''x'') terhadap ''x'''''||<math>\frac{d}{dx}f(x)</math>||ƒ′(''x'')||<math>\dot{y}</math></br> dengan ''y'' = ''ƒ''(''x'')||<math>D_x f(x)\,</math>
|}
{{clear}}
Grafik fungsi turunan.
Turunan dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari fungsi tersebut terhadap variabelnya. Proses menemukan turunan dari suatu fungsi disebut sebagai pendiferensialan ataupun diferensiasi.
Secara matematis, turunan fungsi ƒ(x) terhadap variabel x adalah ƒ′ yang nilainya pada titik x adalah:
, Garis singgung pada (x, f(x)). Turunan f'(x) sebuah kurva pada sebuah titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut.
Perhatikan bahwa ekspresi 
pada definisi turunan di atas merupakan gradien dari garis sekan yang melewati titik (x,ƒ(x)) dan (x+h,ƒ(x)) pada kurva ƒ(x). Apabila kita mengambil limit h mendekati 0, maka kita akan mendapatkan kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva ƒ(x) pada titik x. Hal ini berarti pula garis singgung suatu kurva merupakan limit dari garis sekan, demikian pulanya turunan dari suatu fungsi ƒ(x) merupakan gradien dari fungsi tersebut.
Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi f(x) = x2 pada titik (3,9):
Ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari turunan atau kemiringan dari sebuah grafik disebut kalkulus diferensial
Garis singgung sebagai limit dari garis sekan. Turunan dari kurva f(x) di suatu titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut. Kemiringan ini ditentukan dengan memakai nilai limit dari kemiringan garis sekan.
NOTASI PENDIFERENSIALAN ====
Terdapat berbagai macam notasi matematika yang dapat digunakan digunakan untuk menyatakan turunan, meliputi [[notasi Leibniz]], notasi Lagrange, [[notasi Newton]], dan notasi Euler.
'''Notasi Leibniz''' diperkenalkan oleh [[Gottfried Leibniz]] dan merupakan salah satu notasi yang paling awal digunakan. Ia sering digunakan terutama ketika hubungan antar ''y'' = ƒ(x) dipandang sebagai hubungan fungsional antara variabel bebas dengan variabel terikat. Turunan dari fungsi tersebut terhadap x ditulis sebagai:
: <math>\frac{dy}{dx},\quad\frac{d f}{dx}(x),</math> ataupun <math>\frac{d}{dx}f(x).</math>
'''Notasi Lagrange''' diperkenalkan oleh [[Joseph-Louis de Lagrange|Joseph Louis Lagrange]] dan merupakan notasi yang paling sering digunakan. Dalam notasi ini, turunan fungsi ƒ(''x'') ditulis sebagai ƒ′(''x'') ataupun hanya ƒ′.
'''Notasi Newton''', juga disebut sebagai notasi titik, menempatkan titik di atas fungsi untuk menandakan turunan. Apabila ''y'' = ''ƒ''(''t''), maka <math>\dot{y}</math> mewakili turunan ''y'' terhadap ''t''. Notasi ini hampir secara eksklusif digunakan untuk melambangkan turunan terhadap waktu. Notasi ini sering terlihat dalam bidang [[fisika]] dan bidang matematika yang berhubungan dengan fisika.
'''Notasi [[Leonhard Euler|Euler]]''' menggunakan operator diferensial ''D'' yang diterapkan pada fungsi ''ƒ'' untuk memberikan turunan pertamanya ''Df''. Apabila ''y'' = ''ƒ''(''x'') adalah variabel terikat, maka sering kali ''x'' dilekatkan pada ''D'' untuk mengklarifikasikan keterbebasan variabel ''x''. Notasi Euler kemudian ditulis sebagai:
:<math>D_x y\,</math> atau <math>D_x f(x)\,</math>.
Notasi Euler ini sering digunakan dalam menyelesaikan [[persamaan diferensial linear]].
{| class=prettytable
|-
!
! align="center"|Notasi Leibniz
! align="center"|Notasi Lagrange
! align="center"|Notasi Newton
! align="center"|Notasi Euler
|- align=center
||'''Turunan ƒ(''x'') terhadap ''x'''''||<math>\frac{d}{dx}f(x)</math>||ƒ′(''x'')||<math>\dot{y}</math></br> dengan ''y'' = ''ƒ''(''x'')||<math>D_x f(x)\,</math>
|}
{{clear}}
Terdapat berbagai macam notasi matematika yang dapat digunakan digunakan untuk menyatakan turunan, meliputi notasi Leibniz, notasi Lagrange, notasi Newton, dan notasi Euler.
Notasi Leibniz diperkenalkan oleh Gottfried Leibniz dan merupakan salah satu notasi yang paling awal digunakan. Ia sering digunakan terutama ketika hubungan antar y = ƒ(x) dipandang sebagai hubungan fungsional antara variabel bebas dengan variabel terikat. Turunan dari fungsi tersebut terhadap x ditulis sebagai:
ataupun 
mewakili turunan y terhadap t. Notasi ini hampir secara eksklusif digunakan untuk melambangkan turunan terhadap waktu. Notasi ini sering terlihat dalam bidang fisika dan bidang matematika yang berhubungan dengan fisika.
Notasi Euler menggunakan operator diferensial D yang diterapkan pada fungsi ƒ untuk memberikan turunan pertamanya Df. Apabila y = ƒ(x) adalah variabel terikat, maka sering kali x dilekatkan pada D untuk mengklarifikasikan keterbebasan variabel x. Notasi Euler kemudian ditulis sebagai:
atau 
.
|
| Notasi Leibniz | Notasi Lagrange | Notasi Newton | Notasi Euler |
| Turunan ƒ(x) terhadap x | | ƒ′(x) |
dengan y = ƒ(x) | |
Artikel utama untuk bagian ini adalah: Integral Integral dapat dianggap sebagai perhitungan luas daerah di bawah kurva ƒ(x), antara dua titik a dan b.
Integral merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai luas wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah. Proses menemukan integral suatu fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi. Integral dibagi menjadi dua, yaitu: integral tertentu dan integral tak tentu. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan integral adalah 
, seperti huruf S yang memanjang (S singkatan dari "Sum" yang berarti penjumlahan).
{{main|Integral}}
[[Berkas:Integral as region under curve.svg|right|thumb|250px|Integral dapat dianggap sebagai perhitungan luas daerah di bawah kurva ''ƒ''(''x''), antara dua titik ''a'' dan ''b''.]]
Integral merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai luas wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah. Proses menemukan integral suatu fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi. Integral dibagi menjadi dua, yaitu: integral tertentu dan integral tak tentu. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan integral adalah <math>\int \,</math>, seperti huruf S yang memanjang (S singkatan dari ''"Sum"'' yang berarti penjumlahan).
==== Integral tertentu ====
Diberikan suatu fungsi ''ƒ'' bervariabel real ''x'' dan interval antara [a, b] pada garis real, '''integral tertentu''':
: <math>\int_a^b f(x)\,dx \, ,</math>
secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik ''ƒ'', sumbu-x, dan garis vertikal ''x'' = ''a'' dan ''x'' = ''b''.
Pada notasi integral di atas: ''a'' adalah ''batas bawah'' dan ''b'' adalah ''batas atas'' yang menentukan domain pengintegralan, ''ƒ'' adalah integran yang akan dievaluasi terhadap ''x'' pada interval [a,b], dan ''dx'' adalah variabel pengintegralan.
[[Berkas:Riemann.gif|thumb|250px|right|Seiring dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar subinterval yang diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas daerah di bawah kurva.]]
Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya digunakan adalah definisi [[integral Riemann]]. Integral Rieman didefinisikan sebagai limit dari [[penjumlahan Riemann]]. Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi ''ƒ'' pada interval tertutup [''a'',''b'']. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval [''a'',''b''] dapat kita bagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah ''n''-1 titik {''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>,..., ''x''<sub>n - 1</sub>} antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:
::<math> a = x_0 \le x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le x_n = b . \,\!</math>
Himpunan <math> P = \{x_0, x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, x_n\}\,</math> tersebut kita sebut sebagai '''partisi''' [''a'',''b''], yang membagi [''a'',''b''] menjadi sejumlah ''n'' subinterval <math> [x_0, x_1], [x_1,x_2], \ldots, [x_{n-1}, x_n] </math>. Lebar subinterval pertama [''x''<sub>0</sub>,''x''<sub>1</sub>] kita nyatakan sebagai Δ''x''<sub>1</sub>, demikian pula lebar subinterval ke-''i'' kita nyatakan sebagai Δ''x''<sub>i</sub> = ''x''<sub>''i''</sub> - ''x''<sub>''i'' - 1</sub>. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang dan pada subinterval ke-''i'' tersebut kita memilih titik sembarang t<sub>i</sub>. Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar Δ''x'' dan tingginya berawal dari sumbu ''x'' sampai menyentuh titik (''t''<sub>i</sub>, ''ƒ''(''t''<sub>i</sub>)) pada kurva. Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan mengalikan ''ƒ''(''t''<sub>i</sub>)· Δ''x''<sub>i</sub> dan menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita akan dapatkan:
:<math>S_p = \sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta x_i </math>
Penjumlahan ''S''<sub>''p''</sub> disebut sebagai '''penjumlahan Riemann untuk ''ƒ'' pada interval [''a'',''b''].''' Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil, hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah yang kita inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma partisi <math>\lVert P \rVert</math> mendekati nol, maka kita akan mendapatkan luas daerah tersebut.
Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann adalah:
<blockquote class="toccolours" style="text-align:justify; width:80%; float:center; padding: 10px; display:table; margin-left:80px;">
Diberikan ''ƒ''(''x'') sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [''a'',''b'']. Kita katakan bahwa bilangan ''I'' adalah '''integral tertentu''' ''ƒ'' di sepanjang [''a'',''b''] dan bahwa ''I'' adalah limit dari penjumlahan Riemann <math>\sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta x_i </math> apabila kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan ε > 0 apapun terdapat sebuah bilangan δ > 0 yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk setiap partisi <math>P = \{ x_0, x_1, \ldots, x_n \}</math> di sepanjang [''a'',''b''] dengan <math>\lVert P \rVert < \delta </math> dan pilihan ''t''<sub>''i''</sub> apapun pada [''x''<sub>''k'' - 1</sub>, ''t''<sub>''i''</sub>], kita dapatkan
::<math>\left|\sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta x_i - I \right| < \epsilon.</math>
</blockquote>
Secara matematis dapat kita tuliskan:
:<math>\lim_{\lVert P \rVert \to 0}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x_i = I = \int_a^b f(x)\,dx</math>
Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah ''n'' subinterval yang sama, maka lebar Δ''x'' = (''b''-''a'')/n, sehingga persamaan di atas dapat pula kita tulis sebagai:
:<math>\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x = I = \int_a^b f(x)\,dx</math>
Limit ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval yang ada mendekati tak terhingga banyaknya.
;'''Contoh'''
Sebagai contohnya, apabila kita hendak menghitung integral tertentu <math>\int_0^b x\, dx</math>, yakni mencari luas daerah ''A'' dibawah kurva ''y''=''x'' pada interval [0,''b''], ''b''>0, maka perhitungan integral tertentu <math>\int_0^b x\, dx</math> sebagai limit dari penjumlahan Riemannnya adalah
<math>\lim_{\lVert P \rVert \to 0}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x_i</math>
Pemilihan partisi ataupun titik ''t''<sub>''i''</sub> secara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama sepanjang norma partisi tersebut mendekati nol. Apabila kita memilih partisi ''P'' membagi-bagi interval [0,''b''] menjadi n subinterval yang berlebar sama Δ''x'' = (''b'' - 0)/''n'' = ''b''/''n'' dan titik ''t'''<sub>''i''</sub> yang dipilih adalah titik akhir kiri setiap subinterval, partisi yang kita dapatkan adalah:
:<math> P = \{0, \frac{b}{n}, \frac{2b}{n}, \frac{3b}{n}, \ldots, \frac{nb}{n}\}</math> dan <math>t_i = \frac{ib}{n}</math>, sehingga:
:<math>\begin{align}
\int_0^b f(x)\, dx &= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x\\
&= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n \frac{ib}{n}.\frac{b}{n} \\
&= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n \frac{ib^2}{n^2} \\
&= \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{n^2}\sum_{i=1}^n i \\
&= \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{n^2} . \frac{n(n+1)}{2}\\
&= \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{2} (1+\frac{1}{n}) \\
\end{align}</math>
Seiring dengan ''n'' mendekati tak terhingga dan norma partisi <math>\lVert P \rVert</math> mendekati 0, maka didapatkan:
:<math>\int_0^b f(x)\, dx = A = \frac {b^2}{2} </math>
Dalam prakteknya, penerapan definisi integral tertentu dalam mencari nilai integral tertentu tersebut jarang sekali digunakan karena tidak praktis. [[Kalkulus#Teorema dasar|Teorema dasar kalkulus]] ([[Kalkulus#Teorema dasar|lihat bagian bawah)]] memberikan cara yang lebih praktis dalam mencari nilai integral tertentu.
==== Integral tak tentu ====
Manakala integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol, [[teorema dasar kalkulus]] ([[Kalkulus#teorema dasar kalkulus|lihat bagian bawah]]) menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung dengan mudah apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.
<blockquote class="toccolours" style="text-align:justify; width:80%; float:center; padding: 10px; display:table; margin-left:80px;">
Keseluruhan himpunan '''antiturunan'''/'''antiderivatif''' sebuah fungsi ''ƒ'' adalah '''integral tak tentu''' ataupun '''primitif''' dari ''ƒ'' terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:
:<math>\int f(x) dx = F(x) + C</math>
::di mana
:<math>F'\!(x) =\frac {d}{dx} F(x) = f(x).</math>
</blockquote>
Ekspresi ''F(x) + C'' adalah '''antiderivatif umum''' ''ƒ'' dan ''C'' adalah konstanta sembarang.
Misalkan terdapat sebuah fungsi <math>f(x) = x^2</math>, maka integral tak tentu ataupun antiturunan dari fungsi tersebut adalah:
:<math>\int x^2 dx = \frac{1}{3} x^3 + C</math>
Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu dalam bentuk <math>\int_a^b f(x) dx </math> adalah sebuah bilangan, manakala integral tak tentu :<math>\int f(x) dx </math> adalah sebuah fungsi yang memiliki tambahan konstanta sembarang ''C''.
[sunting] Integral tertentu
Diberikan suatu fungsi ƒ bervariabel real x dan interval antara [a, b] pada garis real, integral tertentu:
secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik ƒ, sumbu-x, dan garis vertikal x = a dan x = b.
Pada notasi integral di atas: a adalah batas bawah dan b adalah batas atas yang menentukan domain pengintegralan, ƒ adalah integran yang akan dievaluasi terhadap x pada interval [a,b], dan dx adalah variabel pengintegralan.
Seiring dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar subinterval yang diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas daerah di bawah kurva.
Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya digunakan adalah definisi integral Riemann. Integral Rieman didefinisikan sebagai limit dari penjumlahan Riemann. Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi ƒ pada interval tertutup [a,b]. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval [a,b] dapat kita bagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah n-1 titik {x1, x2, x3,..., xn - 1} antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:
tersebut kita sebut sebagai partisi [a,b], yang membagi [a,b] menjadi sejumlah n subinterval ![[x_0, x_1], [x_1,x_2], \ldots, [x_{n-1}, x_n]](file:///C:/DOCUME%7E1/ceaddia/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image161.jpg)
. Lebar subinterval pertama [x0,x1] kita nyatakan sebagai Δx1, demikian pula lebar subinterval ke-i kita nyatakan sebagai Δxi = xi - xi - 1. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang dan pada subinterval ke-i tersebut kita memilih titik sembarang ti. Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar Δx dan tingginya berawal dari sumbu x sampai menyentuh titik (ti, ƒ(ti)) pada kurva. Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan mengalikan ƒ(ti)· Δxi dan menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita akan dapatkan:
mendekati nol, maka kita akan mendapatkan luas daerah tersebut.
Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann adalah:
Diberikan ƒ(x) sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b]. Kita katakan bahwa bilangan I adalah integral tertentu ƒ di sepanjang [a,b] dan bahwa I adalah limit dari penjumlahan Riemann 
apabila kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan ε > 0 apapun terdapat sebuah bilangan δ > 0 yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk setiap partisi 
di sepanjang [a,b] dengan 
dan pilihan ti apapun pada [xk - 1, ti], kita dapatkan Secara matematis dapat kita tuliskan:
Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah n subinterval yang sama, maka lebar Δx = (b-a)/n, sehingga persamaan di atas dapat pula kita tulis sebagai:
Limit ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval yang ada mendekati tak terhingga banyaknya.
Contoh
Sebagai contohnya, apabila kita hendak menghitung integral tertentu 
, yakni mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka perhitungan integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemannnya adalah 
Pemilihan partisi ataupun titik ti secara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama sepanjang norma partisi tersebut mendekati nol. Apabila kita memilih partisi P membagi-bagi interval [0,b] menjadi n subinterval yang berlebar sama Δx = (b - 0)/n = b/n dan titik t'i yang dipilih adalah titik akhir kiri setiap subinterval, partisi yang kita dapatkan adalah:
dan 
, sehingga: [sunting] Integral tak tentu
Manakala integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol, teorema dasar kalkulus (lihat bagian bawah) menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung dengan mudah apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.
Keseluruhan himpunan antiturunan/antiderivatif sebuah fungsi ƒ adalah integral tak tentu ataupun primitif dari ƒ terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:
di mana
Ekspresi F(x) + C adalah antiderivatif umum ƒ dan C adalah konstanta sembarang.
Misalkan terdapat sebuah fungsi f(x) = x2, maka integral tak tentu ataupun antiturunan dari fungsi tersebut adalah:
Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu dalam bentuk 
adalah sebuah bilangan, manakala integral tak tentu :
adalah sebuah fungsi yang memiliki tambahan konstanta sembarang C.
Integral tak tentu ====
Manakala integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol, [[teorema dasar kalkulus]] ([[Kalkulus#teorema dasar kalkulus|lihat bagian bawah]]) menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung dengan mudah apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.
<blockquote class="toccolours" style="text-align:justify; width:80%; float:center; padding: 10px; display:table; margin-left:80px;">
Keseluruhan himpunan '''antiturunan'''/'''antiderivatif''' sebuah fungsi ''ƒ'' adalah '''integral tak tentu''' ataupun '''primitif''' dari ''ƒ'' terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:
:<math>\int f(x) dx = F(x) + C</math>
::di mana
:<math>F'\!(x) =\frac {d}{dx} F(x) = f(x).</math>
</blockquote>
Ekspresi ''F(x) + C'' adalah '''antiderivatif umum''' ''ƒ'' dan ''C'' adalah konstanta sembarang.
Misalkan terdapat sebuah fungsi <math>f(x) = x^2</math>, maka integral tak tentu ataupun antiturunan dari fungsi tersebut adalah:
:<math>\int x^2 dx = \frac{1}{3} x^3 + C</math>
Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu dalam bentuk <math>\int_a^b f(x) dx </math> adalah sebuah bilangan, manakala integral tak tentu :<math>\int f(x) dx </math> adalah sebuah fungsi yang memiliki tambahan konstanta sembarang ''C''.
[sunting] Teorema dasar
Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah dua operasi yang saling berlawanan. Lebih tepatnya, teorema ini menghubungkan nilai dari anti derivatif dengan integral tertentu. Karena lebih mudah menghitung sebuah anti derivatif daripada menerapkan definisi integral tertentu, teorema dasar kalkulus memberikan cara yang praktis dalam menghitung integral tertentu.
Teorema dasar kalkulus menyatakan:
Jika sebuah fungsi f adalah kontinu pada interval [a,b] dan jika F adalah fungsi yang mana turunannya adalah f pada interval (a,b), maka Lebih lanjut, untuk setiap x di interval (a,b),
Sebagai contohnya apabila kita hendak menghitung nilai integral 
, daripada menggunakan definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann (lihat bagian atas), kita dapat menggunakan teorema dasar kalkulus dalam menghitung nilai integral tersebut. Anti derivatif dari fungsi 
adalah 
. Oleh sebab itu, sesuai dengan teorema dasar kalkulus, nilai dari integral tertentu adalah:
Apabila kita hendak mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka kita akan dapatkan:
Perhatikan bahwa hasil yang kita dapatkan dengan menggunakan teorema dasar kalkulus ini adalah sama dengan hasil yang kita dapatkan dengan menerapkan definisi integral tertentu (lihat bagian atas). Oleh karena lebih praktis, teorema dasar kalkulus sering digunakan untuk mencari nilai integral tertentu.
=== Teorema dasar ===
{{Main|Teorema dasar kalkulus}}
Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah dua operasi yang saling berlawanan. Lebih tepatnya, teorema ini menghubungkan nilai dari anti derivatif dengan integral tertentu. Karena lebih mudah menghitung sebuah anti derivatif daripada menerapkan definisi integral tertentu, teorema dasar kalkulus memberikan cara yang praktis dalam menghitung integral tertentu.
Teorema dasar kalkulus menyatakan:
<blockquote class="toccolours" style="text-align:justify; width:80%; float:center; padding: 10px; display:table; margin-left:80px;">
Jika sebuah fungsi ''f'' adalah [[Fungsi kontinu|kontinu]] pada interval [''a'',''b''] dan jika ''F'' adalah fungsi yang mana turunannya adalah ''f'' pada interval (''a'',''b''), maka
:<math>\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a).</math>
Lebih lanjut, untuk setiap ''x'' di interval (''a'',''b''),
:<math>F'(x) = \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\, dt = f(x).</math></blockquote>
Sebagai contohnya apabila kita hendak menghitung nilai integral <math>\int_a^b x\, dx</math>, daripada menggunakan definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann ([[kalkulus#integral tertentu|lihat bagian atas]]), kita dapat menggunakan teorema dasar kalkulus dalam menghitung nilai integral tersebut.
Anti derivatif dari fungsi <math>f(x)= x\, </math> adalah <math>F(x)= \frac{1}{2} x^2 + C</math>. Oleh sebab itu, sesuai dengan teorema dasar kalkulus, nilai dari integral tertentu <math>\int_a^b x \,dx</math> adalah:
:<math>\begin{align}
\int_{a}^{b} x\,dx &= F(b) - F(a) \\
&= \frac{1}{2} b^2 - \frac{1}{2} a^2 \\
\end{align}</math>
Apabila kita hendak mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka kita akan dapatkan:
:<math>\int_{0}^{b} x\,dx = \frac {b^2}{2} </math>
Perhatikan bahwa hasil yang kita dapatkan dengan menggunakan teorema dasar kalkulus ini adalah sama dengan hasil yang kita dapatkan dengan menerapkan definisi integral tertentu ([[kalkulus#integral tertentu|lihat bagian atas]]). Oleh karena lebih praktis, teorema dasar kalkulus sering digunakan untuk mencari nilai integral tertentu.
Pola spiral logaritma cangkang Nautilus adalah contoh klasik untuk menggambarkan perkembangan dan perubahan yang berkaitan dengan kalkulus.
Kalkulus digunakan di setiap cabang sains fisik, sains komputer, statistik, teknik, ekonomi, bisnis, kedokteran, kependudukan, dan di bidang-bidang lainnya. Setiap konsep di mekanika klasik saling berhubungan melalui kalkulus. Massa dari sebuah benda dengan massa jenis yang tidak diketahui, momen inersia dari suatu objek, dan total energi dari sebuah objek dapat ditentukan dengan menggunakan kalkulus.
Dalam subdisiplin listrik dan magnetisme, kalkulus dapat digunakan untuk mencari total fluks dari sebuah medan elektromagnetik . Contoh historis lainnya adalah penggunaan kalkulus di hukum gerak Newton, dinyatakan sebagai laju perubahan yang merujuk pada turunan: Laju perubahan momentum dari sebuah benda adalah sama dengan resultan gaya yang bekerja pada benda tersebut dengan arah yang sama.
Bahkan rumus umum dari hukum kedua Newton: Gaya = Massa × Percepatan, menggunakan perumusan kalkulus diferensial karena percepatan bisa dinyatakan sebagai turunan dari kecepatan. Teori elektromagnetik Maxwell dan teori relativitas Einstein juga dirumuskan menggunakan kalkulus diferensial.
== Aplikasi ==
[[Berkas:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg|thumb|right|Pola spiral logaritma cangkang Nautilus adalah contoh klasik untuk menggambarkan perkembangan dan perubahan yang berkaitan dengan kalkulus.]]
Kalkulus digunakan di setiap cabang sains fisik, sains komputer, [[statistika|statistik]], [[teknik]], [[ekonomi]], [[bisnis]], [[kedokteran]], [[demografi|kependudukan]], dan di bidang-bidang lainnya. Setiap konsep di [[mekanika klasik]] saling berhubungan melalui kalkulus. [[Massa]] dari sebuah benda dengan [[massa jenis]] yang tidak diketahui, [[momen inersia]] dari suatu objek, dan total energi dari sebuah objek dapat ditentukan dengan menggunakan kalkulus.
Dalam subdisiplin [[listrik]] dan [[magnetisme]], kalkulus dapat digunakan untuk mencari total [[fluks]] dari sebuah [[medan elektromagnetik]] . Contoh historis lainnya adalah penggunaan kalkulus di [[hukum gerak Newton]], dinyatakan sebagai ''laju perubahan'' yang merujuk pada turunan: '''Laju perubahan''' ''momentum dari sebuah benda adalah sama dengan resultan gaya yang bekerja pada benda tersebut dengan arah yang sama.''
Bahkan rumus umum dari hukum kedua Newton: Gaya = Massa × Percepatan, menggunakan perumusan kalkulus diferensial karena percepatan bisa dinyatakan sebagai turunan dari kecepatan. [[Persamaan Maxwell|Teori elektromagnetik Maxwell]] dan teori relativitas [[Albert Einstein|Einstein]] juga dirumuskan menggunakan kalkulus diferensial.
== Referensi ==
=== Sumber ===
{{Reflist|2}}
=== Daftar Pustaka ===
* Donald A. McQuarrie (2003). ''Mathematical Methods for Scientists and Engineers'', University Science Books. ISBN 978-1-891389-24-5
* James Stewart (2002). ''Calculus: Early Transcendentals'', 5th ed., Brooks Cole. ISBN 978-0-534-39321-2
- ^ Helmer Aslaksen. Why Calculus? National University of Singapore. See
- ^ Archimedes, Method, in The Works of Archimedes ISBN 978-0-521-66160-7
- ^ Aryabhata the Elder
- ^ Ian G. Pearce. Bhaskaracharya II.
- ^ Victor J. Katz (1995). "Ideas of Calculus in Islam and India", Mathematics Magazine 68 (3), pp. 163-174.
- ^ J. L. Berggren (1990). "Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat", Journal of the American Oriental Society 110 (2), pp. 304-309.
- ^ Madhava. Biography of Madhava. School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland. Diakses pada 13 September 2006
- ^ An overview of Indian mathematics. Indian Maths. School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland. Diakses pada 7 Juli 2006
- ^ Science and technology in free India. Government of Kerala — Kerala Call, September 2004. Prof.C.G.Ramachandran Nair. Diakses pada 9 Juli 2006
- ^ Charles Whish (1835). Transactions of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland.
- ^ UNESCO-World Data on Education isapi.dll?clientID=137079235&infobase=iwde.nfo&softpage=PL frame
[sunting] Daftar Pustaka
Donald A. McQuarrie (2003). Mathematical Methods for Scientists and Engineers, University Science Books. ISBN 978-1-891389-24-5 [sunting] Bacaan lebih lanjut
Albers, Donald J.; Richard D. Anderson and Don O. Loftsgaarden, ed. (1986) Undergraduate Programs in the Mathematics and Computer Sciences: The 1985-1986 Survey, Mathematical Association of America No. 7, Florian Cajori, "The History of Notations of the Calculus." Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 25, No. 1 (Sep., 1923), pp. 1-46. Leonid P. Lebedev and Michael J. Cloud: "Approximating Perfection: a Mathematician's Journey into the World of Mechanics, Ch. 1: The Tools of Calculus", Princeton Univ. Press, 2004 Mathematical Association of America. (1988) Calculus for a New Century; A Pump, Not a Filter, The Association, Stony Brook, NY. ED 300 252. [sunting] Pustaka daring
