Barisan dan Deret Aritmatika

Belajar Barisan dan Deret Aritmatika Dengan Mudah

Nah kali ini gw bakalan posting materi tentang  Barisan dan Deret Aritmatika
Simak Baik - Baik ya guys!

Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika dalam materi kali ini ialah mempelajari tentang susunan suatu bilangan yang semakin jauh barisan tersebut nilainya semakin besar begitu pun sebaliknya dengan pembeda tiap bilangan berdasarkan pertambahan atau pengurangan dengan aturan tertentu.

Perlu anda ketahui bahwa materi ini materi terpenting. Karena hampir semua tes dalam kuliahan, pekerjaan, dan lain - lain, mereka menggunakan aritmatika untuk mengetes para peserta tesnya.

Rumus Barisan Aritmatika

U_n = a + (n-1)b

Keterangan :

n   : banyaknya suku 

U_n : suku ke-n barisan aritmatika

a   : suku pertama barisan aritmatika

b   : beda dari tiap anggota barisan (suku dalam barisan aritmatika dikurangi dengan suku sebelumnya)

Contoh soal :

1,3,5,...,....

tentukan suku ke 20 dari barisan diatas :

Jawab :

n    = 20

a    = 1

b    = U₂ -U₁ = 3 - 1

U₂₀ = a + (n-1)b

      = 1 + (20-1)2

      = 1 + (19)2

      = 1 + 38

      = 39

Maka U₂₀ adalah 39

Deret Aritmatika
Bedanya deret dengan barisa adalah jika barisan hanya menentukan suku nya saja akan tetapi deret menentukan semua jumlah dari suka tersebut.

Rumus Deret Aritmatika
_Sn = 1/n ( a + U_n )

Keterangan :

n     : banyaknya suku 

U_n   : suku ke-n barisan aritmatika

a     : suku pertama barisan aritmatika

Sn   : deret aritmatika

Nah untuk rumus deret aritmatika itu berhubungan dengan rumus barisan aritmatika. Karena dalam rumus daret aritmatika terdapat rumus barisan aritmatika.

Contoh :

Contoh soal :

1,3,5,...,....

tentukan jumlah 20 suku secara berurutan dari barisan diatas !

Jawab :

Untuk menjawab soal seperti ini maka kita harus mencari dulu suku ke 20 nya.

n    = 20

a    = 1

b    = U₂ -U₁ = 3 - 1

U₂₀ = a + (n-1)b

      = 1 + (20-1)2

      = 1 + (19)2

      = 1 + 38

      = 39

Seteleh kita ketahui suku U₂₀ maka kita hitung berapa deretnya.

S₂₀ =  n/2 ( a + U_n )

       = 20/2 ( 1 + 39 )

      = 10 ( 40 )

       = 400

Maka deret aritmatikanya adalah 400

Cara Menuliskan Deret Bilangan Dengan Notasi Sigma

Cara Menuliskan Deret Bilangan Dengan Notasi Sigma

Notasi sigma adalah suatu notasi yang dipakai untuk menuliskan secara singkat penjumlahan n suku. Simbol ini diambil dari huruf kapital yunani yang berarti Sum atau penjumlahan dan pertama kali dikenalkan oleh Leonhard Euler pada abad ke-18.

Secara umum notasi sigma didefinisikan dengan :

k = 1 disebut batas bawah penjumlahan. Untuk menyatakan batas bawah penjumlahan, bukan hanya dimulai dari 1, dapat juga dimulai dari angka bulat berapa saja dan huruf k dapat diganti dengan huruf apa saja, yang sama dengan notasi didepannya.

U_k merupakan suatu polinom dalam variabel k. Jika U_x maka polinomnya bervariabel x dan seterusnya. Polinom dapat berupa konstanta, berderajat 1, berderajat 2 dan liannya.

n merupakan bilangan bulat dan disebut batas atas penjumlahan. n > batas bawah penjumlahan.

Contoh :

Nyatakan deret 4 + 7 + 10 + 13 + 16 dalam notasi sigma !!!

Jawaban :
kita gunakan huruf i
i = 1

Pola deret diatas adalah :
U_i =3i + 1

Dan banyaknya bilangan adalah 5, maka :
n = 5

Maka notasi sigmanya adalah :

Rumus Barisan Aritmatika Bertingkat Banyak

Pengertian Barisan Aritmatika Tingkat Banyak

Barisan aritmatika tingkat banyak adalah "kumpulan suku-suku pada barisan aritmatika yang memiliki beda suku yang bertingkat". Jadi pada barisan artimatika bertingkat banyak ini beda tiap sukunya tidak sama atau bedanya bertingkat sampai beda pada tingkatan akhirnya sama. Misalkan :

Karena beda tiap suku tidak sama maka akan menghasilkan suatu tingkatan-tingkatan tertentu sampai beda pada tingkat suku terakhirnya sama. 

Rumus Barisan Aritmatika Bertingkat Banyak

Dengan menggunakan pembuktian Binomuim Newton (tidak dijelaskan di sini), maka rumus umum suku ke-n barisan aritmatika bertingkat banyak adaalah :

Keterangan :

a = Suku ke-1 Barisan mula-mula

b = Suku ke-1 Barisan tingkat satu

c = Suku ke-1 Barisan tingkat dua

d = Suku ke-1 Barisan tingkat tiga

dan seterusnya....

• Rumus Barisan aritmatika tingkat 1 jika c = d = .... = 0, sehingga diperoleh :
  Un = a + ( n - 1 )b Sudah di bahas pada artikel rumus suku ke-n barisan aritmatika.
• Rumus Barisan aritmatika tingkat 2 jika d = e = ... = 0, sehingga diperoleh :
  Un = a + ( n - 1 )b + (( n - 1 )( n - 2 ).c)/2
• Rumus Barisan aritmatika tingkat 3 jika e = f = ... = 0, sehingga diperoleh :
  Un = a + ( n - 1 )b + ((( n - 1 )( n - 2 ).c)/2) + ((( n - 1 )( n - 2 )( n - 3 ).d)/6) 
• dan seterusnya....

Contoh Soal Barisan Aritmatika Bertingkat Banyak

Tentukan suku ke-6 dari barisan aritmatika bertingkat 5, 6, 9, 14,..,...

Jawab :

Pertama kita tentukan berapa tingkat barisan 5, 6, 9, 14,...,...

Ternyata ada 2 tingkat barisan pada barisan 5, 6, 9, 14, ..., ...

Maka :

a = 5

b = 1

c = 2

U6 = .... ?????

Kemudian kita masukan ke dalam Rumus barisan aritmatika tingkat 2 :

Un = a + ( n - 1 )b + (( n - 1 )( n - 2 ).c)/2

U6 = 5 + ( 6 - 1 )1 + (( 6 - 1 )( 6 - 2 ).2)/2

U6 = 5 + 5 + ( 5 x 4 x 2)/2

U6 = 10 + 40/2

U6 = 10 + 20 

U6 = 30

Jadi suku ke-6 dari barisan aritmatika bertingkat 5, 6, 9, 14, ..., ... adalah 30

Kesimpulan

Jadi untuk barisan aritmatika bertingkat memiliki rumus tersendiri, yang artinya tidak bisa diselesaikan dengan rumus Un = a + ( n - 1 )b. tapi harus menggunakan rumus barisan aritmatika bertingkat yang sudah saya berikan di atas tadi.

Rumus Hubungan Suku dengan Beda Barisan Aritmatika

Rumus ini diperoleh dari beberapa pengamatan terhadap rumus suku ke-n, didapat rumus :

U_n - U_m = (n - m)b

Keterangan :
U_n = Suku ke-n
U_m = Suku ke-m
b = Beda
m < n

Rumus ini sangat juga sering dipakai ketika ujian nasional matematika.

Contoh soal :

Suku ke-9 dan suku ke-16 suatu barisan aritmatika adalah 79 dan 135, tentukan suku ke-150 !!!

Jawaban :
U_n = U₁₆ = 135
U_m = U₉ = 79

U_n - U_m = (n - m)b
U₁₆ - U₉ = (16 - 9)b
135 - 79 = 7b
56 = 7b
b = 56/7
b = 8

U₁₅₀ - U₁₆ = (150 - 16)8
U₁₅₀ - 135 = 134 x 8
U₁₅₀ - 135 = 1.072
U₁₅₀ = 1.072 + 135
U₁₅₀ = 1.207

Jadi suku ke-150nya adalah 1.207

Rumus Menentukan Suku ke-n Jika Diketahui Jumlah Deret Suku ke-n nya

Untuk menentukan suku ke-n dapat dilakukan dengan rumus-rumus seperti biasa. Namun bagaimana jika pada saan kita akan menentukan suku ke-n hal yang diketahuinya adalah Jumlah deret suku bilangan ke-nnya. Untuk masalah tersebut dapat diselesaikan dengan rumus berikut ini :

U_n = S_n - S_n-1, (dengan syarat n > 1)

Keterangan :
U_n= Suku ke-n
S_n = Jumlah deret suku ke-n
S_n-1 = Jumlah suku ke-n dikurangi 1

Contoh :

Suatu deret bilangan memiliki n suku yang pertama dinyatakan dengan sumus S_n = 3n² + 4n + 7, tentukan suku ke-10 !!!

Jawaban :
U_n = S_n - S_n-1
U₁₀ = S₁₀ - S_10-1
U₁₀ = S₁₀ - S₉
U₁₀ = (3(10)² + 4(10)+ 7) - (3(9)² + 4(9) + 7)
U₁₀ = (3(100) + 40 + 7) - (3(81) + 36 + 7)
U₁₀ = (300 + 40 + 7) - (243 + 36 + 7)
U₁₀ = 347 - 286
U₁₀ = 61

Jadi suku ke-10 nya adalah 61

Contoh Soal Suku Ke-n Barisan Aritmatika

Tentukan suku ke-9 dari 2, 4, 6, ...,.... !!!

Jawab :

Untuk menyelesaikan soal seperti ini pertama-tama kita cari terlebih dahulu suku pertama dan bedanya, dan suku pertama dan bedanya adalah :

a = 2

b = 2

kemudian kita juga harus faham akan perintahnya, dan perintahnya adalah kita harus menentukan suku ke-9, maka :

U₉ = ...????

Dan jika kita sudah mengetahui perintahnya, kita juga mengetahui suka pertama dan bedanya, maka kita masukan semua hal yang di ketahui kedalam rumus, maka menjadi :

Un = a + (n-1)b

U₉ = 2 + (9-1)2

U₉ = 2 + (8)2

U₉ = 2 +16

U₉ = 18

Jadi suku ke-9 dari barisan 2, 4, 6,...,... adalah 18

Rumus Mencari Suku Ke-n Tanpa Diketahui Suku Pertama Beda Tiap Suku

Un - Um = b(n-m) dengan syarat n > m
Keterangan :
Un : Suku ke-n
Um : Suku ke-m
b : Beda tiap suku
n : suku yang lebih besar
m : suku yang lebih kecil

Jadi pada rumus di atas simbol "Un" merupakan simbol yang menunjukan suku ke-n. Simbol tersebut diambil karena "U" merupakan sebuah simbol yang umum untuk menggambarkan suku dalam barisan dan deret bilangan. Kemudian juga ada simbol "n" dan "m", simbol tersebut berfungsi untuk membedakan suku yang lebih besar dengan suku yang lebih kecil. Di dalam rumus ini simbol "n" menggambarkan sebuah suku yang lebih besar dari pada "m".

Contoh Soal  Mencari Suku Ke-n Tanpa Diketahui Suku Pertama dan Beda Tiap Suku

Tentukan suku ke- 2 dalam barisan aritmatika, dengan diketahui suku ke-3 adalah 6 dan suku ke-4 adalah 8!
Untuk menjawab soal seperti ini, yang pertama harus kita lakukan adalah mencari dulu semua yang diketahui dalam soal, dan yang diketahui dalam soal adalah :
U₃ = 6
U₄ = 8
Setelah kita menemukan semua yang diketahui pada soal, kemudian kita masukan semua hal yang telah diketahui dalam rumus mencari beda, maka :
Un - Um = b(n-m)
8 - 6 = b(4-3)
b = 2
Setelah kita menemukan beda setiap suku, kita cari apa yang diperintahkan oleh soal, dan perintah soalnya adalah kita harus mencari suku ke 2, maka :
U₂ =...?
Kemudian kita selesaikan perintah tersebut dengan menggunakan rumus tadi, namun kita ambil suku ke-3 saja untuk Un, karena suku ke 3 lebih besar dari suku 2. Maka :

U₃ - U₂ = b(n-m)

6 - U₂ = 2(3-2)

6 - U₂ = 2 x 1

6 - U₂ = 2

-U₂ = 2 - 6
-U₂ = -4

U₂ = 4

Jadi suku ke-duanya adalah 4 

Rumus Suku Tengah Barisan Aritmatika

U_tengah = 1/2 ( a + U_terakhir )

Keterangan :

U_tengah : Suku tengah

U_terakhir : Suku terakhir

a : Suku pertama atau suku awal

Pada rumus di atas untuk suku tengah kita ambil simbol "U_tengah", Simbol tersebu diambil karena "U"adalah simbol yang diambil dari kata depan "Union" yang artinya persatuan, dan "tengah" karena suku tangah yang akan dicari. Kemudian ada simbol "U_terakhir", simbol tersebu diambil karena "U" adalah simbol yang diambil dari kata depan "Union" yang artinya persatuan, dan "terakhir"artinya menunjukan bahwa suku tersebut adalah suku terakhir. Kemudian ada simbol "a", simbol ini diambil karena a merupakan huruf paling pertama dalam sebuah alphabet.

Contoh Soal Suku Tengah Berisan Aritmatika

Tentukan suku tengah dari barisan 2,4,6,..,..,...,14 !!!!!!

Jawab :

Untuk menyelesaikan soal seperti ini, pertama-tama kita cari dulu semua yang diketahui dari soal, dan yang diketahui dari soal adalah :

a = 2

U_terakhir = 14

Setelah kita mengetahui semua hal yang diketahui pada soal, kemudian kita harus faham perintah soalnya apa, dan perintah soalnya adalah kita harus menentukan suku tengah :

U_tengah =.....????

Dan setelah kita faham akan soalnya kemudian kita gunakan rumus, pada perintah kali ini, kita harus mencari suku tengah, maka rumus yang harus digunakan pun rumus suku tengah barisan aritmatika, maka :

U_tengah = 1/2 ( a + U_terakhir )

Kemudian kita masukan semua hal yang diketahui pada soa ke dalam rumus, maka :

U_tengah = 1/2 ( a + U_terakhir )

U_tengah = 1/2 ( 2 + 14)

U_tengah = (1/2) x 16

U_tengah = 8

Jadi suku tengah dari barisan  2,4,6,..,..,...,14 adalah 8

Kesimpulan 

Jadi kita harus jeli dalam mempelajari soal soal yang akan keluar pada ujian nasional, Soal ujian nasional tidak hanya menguji logika kita, tapi juga menguji hafalan kita. Rumus suku tengah adalah rumus yang paling sering keluar dalam ujian nasional, maka dari itu kalian harus mempelajari materinya.