Trigonometri
Soal No. 1
Nyatakan sudut-sudut berikut dalam satuan derajad:
a) 1/2 π rad
b) 3/4 π rad
c) 5/6 π rad
Nyatakan sudut-sudut berikut dalam satuan derajad:
a) 1/2 π rad
b) 3/4 π rad
c) 5/6 π rad
Pembahasan
Konversi:
1 π radian = 180°
Jadi:
a) 1/2 π rad
b) 3/4 π rad
c) 5/6 π rad
Soal No. 2
Nyatakan sudut-sudut berikut dalam satuan radian (rad):
a) 270°
b) 330°
Pembahasan
Konversi:
1 π radian = 180°
Jadi:
a) 270°
b) 330°
Soal No. 3
Diberikan sebuah segitiga siku-siku seperti gambar berikut ini.
Tentukan:
a) panjang AC
b) sin θ
c) cos θ
d) tan θ
e) cosec θ
f) sec θ
d) cotan θ
Pembahasan
a) panjang AC
Dengan phytagoras diperoleh panjang AC
b) sin θ
c) cos θ
d) tan θ
e) cosec θ
f) sec θ
g) cotan θ
Soal No. 4
Sebuah segitiga siku-siku.
Diketahui nilai dari sin β = 2/3. Tentukan nilai dari :
a) cos β
b) tan β
Pembahasan
sin β = 2/3 artinya perbandingan panjang sisi depan dengan sisi miringnya adalah 2 : 3
Gunakan phytagoras untuk menghitung panjang sisi yang ketiga (sisi samping):
Sehingga nilai cos β dan tan β berturut-turut adalah
Soal No. 5
Seorang anak berdiri 20 meter dari sebuah menara seperti gambar berikut.
Perkirakan ketinggian menara dihitung dari titik A! Gunakan √2 = 1,4 dan √3 = 1,7 jika diperlukan.
Pembahasan
tan 60 ° adalah √3, asumsinya sudah dihafal. Sehingga dari pengertian tan sudut
Tinggi menara sekitar 34 meter.
Soal No. 6
Sebuah marka kejut dipasang melintang pada sebuah jalan dengan sudut 30° seperti ditunjukkan gambar berikut.
Jika panjang marka kejut adalah 8 meter, tentukan lebar jalan tersebut!
Pembahasan
Segitiga dengan sudut istimewa 30° dan sisi miring 8 m.
sin 30° = 1/2
sin 30° = BC/AC
BC/AC = 1/2
BC = 1/2 × AC = 1/2 × 8 = 4 meter
Lebar jalan = BC = 4 meter
Soal No. 7
Diberikan sebuah segitiga sama sisi ABC seperti gambar berikut. Panjang TC adalah 12 cm.
Tentukan panjang sisi segitiga tersebut!
Pembahasan
Δ ABC sama sisi, sehingga sudut A = sudut B = sudut C = 60° Jika diambil titik ATC menjadi segitiga, maka didapat gambar berikut.
Sinus 60° pada segitiga ATC adalah perbandingan sisi TC (sisi depan) dengan sisi AC (sisi miring) sehingga
Soal No. 8
Diketahui segitiga ABC dengan panjang AC = AB = 6 cm. Sudut C sebesar 120°.
Tentukan luas segitiga ABC!
Pembahasan
Segitiga ABC adalah sama kaki. Jika diambil garis tinggi TC maka didapat gambar berikut.
Menentukan panjang AT dan CT dengan sudut yang diketahui yaitu 60°
Sehingga luas segitiga adalah
Soal No. 9
cos 315° adalah....
A. − 1/2 √3
B. − 1/2 √2
C. − 1/2
D. 1/2 √2
E. 1/2 √3
(Soal Ebtanas 1988)
Pembahasan
Sudut 315° berada di kuadran IV. Nilai-nilai cosinus sudut di kuadran IV memenuhi rumus berikut:
cos (360° − θ) = cos θ
Sehingga
cos 315° = (360° − 45°) = cos 45° = 1/2 √2
a) panjang AC
Dengan phytagoras diperoleh panjang AC
b) sin θ
c) cos θ
d) tan θ
e) cosec θ
f) sec θ
g) cotan θ
Soal No. 4
Sebuah segitiga siku-siku.
Diketahui nilai dari sin β = 2/3. Tentukan nilai dari :
a) cos β
b) tan β
Pembahasan
sin β = 2/3 artinya perbandingan panjang sisi depan dengan sisi miringnya adalah 2 : 3
Gunakan phytagoras untuk menghitung panjang sisi yang ketiga (sisi samping):
Sehingga nilai cos β dan tan β berturut-turut adalah
Soal No. 5
Seorang anak berdiri 20 meter dari sebuah menara seperti gambar berikut.
Perkirakan ketinggian menara dihitung dari titik A! Gunakan √2 = 1,4 dan √3 = 1,7 jika diperlukan.
Pembahasan
tan 60 ° adalah √3, asumsinya sudah dihafal. Sehingga dari pengertian tan sudut
Tinggi menara sekitar 34 meter.
Soal No. 6
Sebuah marka kejut dipasang melintang pada sebuah jalan dengan sudut 30° seperti ditunjukkan gambar berikut.
Jika panjang marka kejut adalah 8 meter, tentukan lebar jalan tersebut!
Pembahasan
Segitiga dengan sudut istimewa 30° dan sisi miring 8 m.
sin 30° = 1/2
sin 30° = BC/AC
BC/AC = 1/2
BC = 1/2 × AC = 1/2 × 8 = 4 meter
Lebar jalan = BC = 4 meter
Soal No. 7
Diberikan sebuah segitiga sama sisi ABC seperti gambar berikut. Panjang TC adalah 12 cm.
Tentukan panjang sisi segitiga tersebut!
Pembahasan
Δ ABC sama sisi, sehingga sudut A = sudut B = sudut C = 60° Jika diambil titik ATC menjadi segitiga, maka didapat gambar berikut.
Sinus 60° pada segitiga ATC adalah perbandingan sisi TC (sisi depan) dengan sisi AC (sisi miring) sehingga
Soal No. 8
Diketahui segitiga ABC dengan panjang AC = AB = 6 cm. Sudut C sebesar 120°.
Tentukan luas segitiga ABC!
Pembahasan
Segitiga ABC adalah sama kaki. Jika diambil garis tinggi TC maka didapat gambar berikut.
Menentukan panjang AT dan CT dengan sudut yang diketahui yaitu 60°
Sehingga luas segitiga adalah
Soal No. 9
cos 315° adalah....
A. − 1/2 √3
B. − 1/2 √2
C. − 1/2
D. 1/2 √2
E. 1/2 √3
(Soal Ebtanas 1988)
Pembahasan
Sudut 315° berada di kuadran IV. Nilai-nilai cosinus sudut di kuadran IV memenuhi rumus berikut:
cos (360° − θ) = cos θ
Sehingga
cos 315° = (360° − 45°) = cos 45° = 1/2 √2
Perhatikan contoh-contoh penggunaan aturan sinus berikut ini:
Soal No. 1
Tentukan panjang BC pada segitiga berikut!
Soal No. 1
Tentukan panjang BC pada segitiga berikut!
Pembahasan
AC = 12 cm
∠A = 60°
∠B = 45°
Panjang BC =....
Perhatikan gambar, pada segitiga berlaku aturan sinus sebagai berikut
Sehingga
Soal No. 2
Tentukan besar sudut C pada segitiga berikut!
Pembahasan
Data
AC = 5/3 √6 cm
BC = 5 cm
Dari data yang ada bisa ditentukan besar sudut B terlebih dahulu
Jumlah sudut segitiga adalah 180°sehingga besar sudut C adalah
∠C = 180 − (60 + 45) = 75°
SehinggaSoal No. 2
Tentukan besar sudut C pada segitiga berikut!
Pembahasan
Data
AC = 5/3 √6 cm
BC = 5 cm
Dari data yang ada bisa ditentukan besar sudut B terlebih dahulu
Jumlah sudut segitiga adalah 180°sehingga besar sudut C adalah
∠C = 180 − (60 + 45) = 75°
Soal No. 3
Perhatikan gambar segitiga di bawah ini!
Tentukan perbandingan panjang sisi AB dan BC!
Pembahasan
Pada segitiga berlaku:
Sehingga perbandingan AB : BC = √2 : √3
Soal No. 4
Segitiga PQR dengan sisi-sisinya adalah p, q dan r. Jika p = 16 cm, r = 8√2 cm dan ∠ R = 30° tentukan besar ∠ P !
Pembahasan
Segitiga PQR
Berlaku aturan sinus
Besar sudut P dengan demikian adalah 45°
Perhatikan gambar segitiga di bawah ini!
Tentukan perbandingan panjang sisi AB dan BC!
Pembahasan
Pada segitiga berlaku:
Sehingga perbandingan AB : BC = √2 : √3
Soal No. 4
Segitiga PQR dengan sisi-sisinya adalah p, q dan r. Jika p = 16 cm, r = 8√2 cm dan ∠ R = 30° tentukan besar ∠ P !
Pembahasan
Segitiga PQR
Berlaku aturan sinus
Besar sudut P dengan demikian adalah 45°
Soal No. 5
Perhatikan gambar berikut!
Tentukan nilai kosinus sudut C!
Pembahasan
Dengan aturan sinus terlebih dahulu:
Untuk nilai kosinusnya gambar segitiga siku-siku bantu:
diperoleh nilai kosinusnya
Perhatikan gambar berikut!
Tentukan nilai kosinus sudut C!
Pembahasan
Dengan aturan sinus terlebih dahulu:
Untuk nilai kosinusnya gambar segitiga siku-siku bantu:
diperoleh nilai kosinusnya
Perhatikan gambar.
Pada suatu segitiga berlaku aturan kosinus sebagai berikut
Berikut beberapa contoh soal penggunaan aturan kosinus:
Berikut beberapa contoh soal penggunaan aturan kosinus:
Soal No. 1
Segitiga samakaki ABC dengan sudut C = 30°.
Jika panjang BC = 12 cm, tentukan panjang AB!
Segitiga samakaki ABC dengan sudut C = 30°.
Jika panjang BC = 12 cm, tentukan panjang AB!
Pembahasan
Dengan aturan kosinus
diperoleh
Soal No. 2
Pada suatu lingkaran dibuat sebuah segi delapan beraturan seperti gambar di bawah.
Pada suatu lingkaran dibuat sebuah segi delapan beraturan seperti gambar di bawah.
Jari-jari lingkaran adalah 12 cm.
Tentukan:
a) panjang sisi segi-8
b) kelililing segi delapan tersebut!
Tentukan:
a) panjang sisi segi-8
b) kelililing segi delapan tersebut!
Pembahasan
Segi delapan tersusun dari 8 buah segitiga sama kaki, dengan kedua kakinya panjangnya 12 cm, sama dengan jari-jari lingkaran.
Ambil satu segitiga,
a) panjang sisi segi-8
Segi delapan tersusun dari 8 buah segitiga sama kaki, dengan kedua kakinya panjangnya 12 cm, sama dengan jari-jari lingkaran.
Ambil satu segitiga,
a) panjang sisi segi-8
Terapkan aturan kosinus sebagai berikut:
b) Keliling segi delapan adalah 8 kali dari panjang sisinya
b) Keliling segi delapan adalah 8 kali dari panjang sisinya
Soal No. 3
Dalam suatu lingkaran berjari-jari 8 cm, dibuat segi-8 beraturan. Tentukan panjang sisi segi-8 tersebut!
Pembahasan
n = 8
r = 8 cm
Disini akan digunakan rumus jadi menentukan panjang sisi dari suatu segi-n dalam lingkaran yang berjari-jari r
atau bentuk lain
dengan format kedua diperoleh
Dalam suatu lingkaran berjari-jari 8 cm, dibuat segi-8 beraturan. Tentukan panjang sisi segi-8 tersebut!
Pembahasan
n = 8
r = 8 cm
Disini akan digunakan rumus jadi menentukan panjang sisi dari suatu segi-n dalam lingkaran yang berjari-jari r
atau bentuk lain
dengan format kedua diperoleh
Soal No. 4
Diketahui:
PQ = 6 cm, QR = 9 cm dan ∠PQR = 120°
Tentukan kelililing segitiga PQR
Pembahasan
Mencari panjang PR
Keliling segitiga
= 6 cm + 9 cm + 3√19
= (15 + 3√19) cm
Diketahui:
PQ = 6 cm, QR = 9 cm dan ∠PQR = 120°
Tentukan kelililing segitiga PQR
Pembahasan
Mencari panjang PR
Keliling segitiga
= 6 cm + 9 cm + 3√19
= (15 + 3√19) cm
Soal No. 5
Diberikan segitiga ABC seperti gambar berikut ini
AB = 20 cm, BC = 10√3 cm dan AC = 10 cm. Tentukan besar ∠A
Pembahasan
Data segitiga:
a = 10√3 cm
b = 10 cm
c = 20 cm
∠A =....
Dengan aturan kosinus pada ΔABC diperoleh nilai sudut A:
Sudut yang memiliki nilai cos sama dengan 1/2 adalah 60°
Soal No. 6
Sebuah segitiga ABC memiliki sisi-sisi a, b dan c. Pada segitiga tersebut berlaku (a − b)(a + b) = c (c − b √3 ) . Tentukan besar sudut A
Pembahasan
Diketahui:
Diberikan segitiga ABC seperti gambar berikut ini
AB = 20 cm, BC = 10√3 cm dan AC = 10 cm. Tentukan besar ∠A
Pembahasan
Data segitiga:
a = 10√3 cm
b = 10 cm
c = 20 cm
∠A =....
Dengan aturan kosinus pada ΔABC diperoleh nilai sudut A:
Sudut yang memiliki nilai cos sama dengan 1/2 adalah 60°
Soal No. 6
Sebuah segitiga ABC memiliki sisi-sisi a, b dan c. Pada segitiga tersebut berlaku (a − b)(a + b) = c (c − b √3 ) . Tentukan besar sudut A
Pembahasan
Diketahui:
(a −b)(a + b) = c (c − b √3 )
Uraikan
a2 − b2 = c2 − bc√3
a2 = b2 + c2 − bc√3
Dari aturan kosinus
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A
Terlihat bahwa 2bc cos A = bc√3 sehingga
2bc cos A = bc√3
cos A = 1/2 √3
A = 30°
Sudut dengan nilai cos sebesar 1/2 √3 adalah 30°.
Uraikan
a2 − b2 = c2 − bc√3
a2 = b2 + c2 − bc√3
Dari aturan kosinus
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A
Terlihat bahwa 2bc cos A = bc√3 sehingga
2bc cos A = bc√3
cos A = 1/2 √3
A = 30°
Sudut dengan nilai cos sebesar 1/2 √3 adalah 30°.
Soal No. 7
Perhatikan gambar berikut!
Panjang QR adalah √14 cm, PR = 6 cm dan PQ = 4 cm. Tentukan nilai sinus sudut P!
Pembahasan
Dengan menggunakan aturan cosinus terlebih dahulu:
Untuk nilai sinusnya gunakan perbandingan dasar trigonometri:
sehingga
Soal No. 8
Dari sebuah segitiga ABC diketahui panjang AB = 6 cm, BC = 5 cm dan AC = 4 cm. Nilai tangen sudut B adalah....
A. 4/6
B. 3/4
C. 7/16
D. 1/3 √7
E. 1/4 √7
Pembahasan
Segitiga ABC
Dari aturan kosinus
Gambar segitiga siku-siku khusus untuk sudut B, kosinus 3/4 artinya sisi samping 3 dan sisi miring 4.
Cari sisi depannya dengan pythagoras akan diperoleh sisi depannya √7:
Jadi tangen B adalah 1/3√7
Perhatikan gambar berikut!
Panjang QR adalah √14 cm, PR = 6 cm dan PQ = 4 cm. Tentukan nilai sinus sudut P!
Pembahasan
Dengan menggunakan aturan cosinus terlebih dahulu:
Untuk nilai sinusnya gunakan perbandingan dasar trigonometri:
sehingga
Soal No. 8
Dari sebuah segitiga ABC diketahui panjang AB = 6 cm, BC = 5 cm dan AC = 4 cm. Nilai tangen sudut B adalah....
A. 4/6
B. 3/4
C. 7/16
D. 1/3 √7
E. 1/4 √7
Pembahasan
Segitiga ABC
Dari aturan kosinus
Gambar segitiga siku-siku khusus untuk sudut B, kosinus 3/4 artinya sisi samping 3 dan sisi miring 4.
Cari sisi depannya dengan pythagoras akan diperoleh sisi depannya √7:
Jadi tangen B adalah 1/3√7
Luas Segitiga
Soal No. 1
Segitiga samasisi ABC dengan panjang sisi 12 cm diperlihatkan gambar berikut!
Tentukan luas segitiga dengan menggunakan rumus pertama di bawah!
Segitiga samasisi ABC dengan panjang sisi 12 cm diperlihatkan gambar berikut!
Tentukan luas segitiga dengan menggunakan rumus pertama di bawah!
Pembahasan
Ambil garis tinggi dari segitiga
Phytagoras saat mencari tinggi segitiga
Phytagoras saat mencari tinggi segitiga
Berikutnya menentukan luas segitiga. 4 kelompok rumus berikut untuk menentukan luas suatu segitiga.
Luas segitiga dengan rumus pertama:
Soal No. 2
Segitiga samasisi ABC dengan panjang sisi 12 cm diperlihatkan gambar berikut!
Tentukan luas segitiga dengan menggunakan rumus nomor 3 di atas!
Pembahasan
Cari setengah dari keliling segitiga terlebih dahulu
Masuk rumus nomor tiga
Soal No. 3
Segitiga samasisi ABC dengan ukuran diperlihatkan gambar berikut!
Tentukan luas segitiga!
Pembahasan
Satu sudut diketahui beserta dua sisi pengapitnya, gunakan rumus dari kelompok 2.
Soal No. 4
Jajargenjang PQRS diperlihatkan pada gambar berikut!
Panjang PQ adalah 10 cm dan QR adalah 8 cm. Sudut PQR = 60°. Tentukan luas jajargenjang PQRS!
Pembahasan
Jajar genjang tersusun dari dua buah segitiga, yaitu segitiga PQR dan segitiga PSR yang luasnya sama.
Sehingga luas jajargenjang sama dengan dua kali luas salah satu segitiga.
Soal No. 5
Segitiga PQR diperlihatkan gambar berikut.
Jika luas segitiga PQR adalah 24 cm2 tentukan nilai sin x
Pembahasan
Dari rumus luas segitiga ditemukan nilai sin x
Soal No. 6
Pada sebuah lingkaran dibuat segi-12 beraturan. Jika jari-jari lingkaran adalah 10 cm, tentukan luas segi-12 yang terbentuk!
Pembahasan
Kali ini akan digunakan rumus langsung untuk menentukan luas segi-n beraturan yang dibuat di dalam suatu lingkaran yang berjari-jari r, dasarnya dari luas segitiga menggunakan sinus, dikalikan banyaknya segitiga yang terbentuk.
Segi 12
n = 12
r = 10
A =.......
dengan rumus di atas diperoleh:
Pada sebuah lingkaran dibuat segi-12 beraturan. Jika jari-jari lingkaran adalah 10 cm, tentukan luas segi-12 yang terbentuk!
Pembahasan
Kali ini akan digunakan rumus langsung untuk menentukan luas segi-n beraturan yang dibuat di dalam suatu lingkaran yang berjari-jari r, dasarnya dari luas segitiga menggunakan sinus, dikalikan banyaknya segitiga yang terbentuk.
Segi 12
n = 12
r = 10
A =.......
dengan rumus di atas diperoleh:
Komentar
Posting Komentar