Persamaan Garis Singgung Lingkaran SMA

Artikel awal ini membahas persamaan lingkaran dengan pusat titik (0, 0), titik (a, b) dan bentuk umum persamaan lingkaran,  garis singgung pada lingkaran dibahas pada artikel tersendiri.

Soal No. 1
Berikut lukisan sebuah lingkaran pada sumbu x dan sumbu y.

Tentukan:
a) koordinat titik pusat lingkaran
b) jari-jari lingkaran
c) persamaan lingkaran

Pembahasan
a) koordinat titik pusat lingkaran
dari gambar terlihat bahwa koordinat pusat lingkaran adalah (0, 0)

b) jari-jari lingkaran
Jari-jari lingkaran r = 5

c) persamaan lingkaran
lingkaran dengan pusat titik (0, 0) dengan jari-jari r akan memiliki persamaan dengan bentuk :
x² + y² = r²



sehingga
x² + y² = 5²
x² + y² = 25

Soal No. 2
Suatu lingkaran memiliki persamaan:
x² + y² = 144

Tentukan panjang diameter lingkaran tersebut!

Pembahasan
Lingkaran pusat di (0, 0) di atas memiliki jari-jari:
r = √144
= 12 cm.

Diameter lingkaran:
D = 2 r
= 24 cm.

Soal No. 3
Diberikan sebuah lingkaran seperti gambar berikut!



Tentukan:
a) koordinat titik pusat lingkaran
b) jari-jari lingkaran
c) persamaan lingkaran

Pembahasan
a) koordinat titik pusat lingkaran
pusat lingkaran terletak pada x = 5 dengan y = 6 sehingga koordinatnya adalah (5, 6)

b) jari-jari lingkaran
sesuai gambar diatas, jari-jari lingkaran adalah 5 − 2 = 3

c) persamaan lingkaran
lingkaran dengan titik pusat di (a, b) dengan jari-jari r akan memiliki persamaan berikut:
(x − a)² + (y − b)² = r²



dimana a = 5, dan b = 6
sehingga
(x − 5)² + (y − 6)² = 3²
(x − 5)² + (y − 6)² = 9

Soal No. 4
Persamaan suatu lingkaran adalah x² + y² − 8x + 4y − 5 = 0
Tentukan:
a) titik pusat lingkaran
b) jari-jari lingkaran

Pembahasan
Suatu lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0




akan memiliki titik pusat (−¹/₂A, −¹/₂ B) dan jari-jari r = √[¹/₄ A² + ¹/₄ B² −C] .

Dari persamaan lingkaran diatas nilai :
A = −8, B = 4 dan C = − 5

a) titik pusat (−¹/₂[−8], −¹/₂ [4]) = (4, −2)
b) jari-jari lingkaran r = √[¹/₄ (−8)² + ¹/₄ (4)² −(−5)] = √25 = 5

Soal No. 5
Jari-jari dan pusat lingkaran yang memiliki persamaan x² + y² + 4x − 6y − 12 = 0 adalah...
A. 5 dan (−2, 3)
B. 5 dan (2, −3)
C. 6 dan (−3, 2)
D. 6 dan (3, −2)
E. 7 dan (4, 3)

Pembahasan
x² + y² + 4x − 6y − 12 = 0

A = 4
B = −6
C = −12

Pusat:



Jari-jari:



Sehingga jari-jari dan pusatnya adalah 5 dan (−2, 3).

Soal No. 6
Lingkaran dengan persamaan 2x² + 2y² − ¹/₂ ax + 4y − 12 = 0 melalui titik (1, − 1). Diameter lingkaran tersebut adalah....
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
E. 8

Pembahasan
Masukkan titik (1, − 1) ke persamaan lingkaran untuk mendapatkan nilai a terlebih dahulu:



Jadi persamaan lingkarannya sebenarnya adalah



Jari-jarinya:



Diameternya adalah 2 × 4 = 8

Soal No. 7
Diberikan persamaan lingkaran:

x² + y² −4x + 2y − 4 = 0.

Titik A memiliki koordinat (2, 1). Tentukan posisi titik tersebut, apakah di dalam lingkaran, di luar lingkaran atau pada lingkaran!

Pembahasan
Masukkan koordinat A ke persamaan lingkarannya:
Titik A (2, 1)
x = 2
y = 1

x² + y² −4x + 2y − 4
= (2)² + (1)² −4(2) + 2(1) − 4
= 4 + 1 − 8 + 2 − 4
= −5

Hasilnya lebih kecil dari 0, sehingga titik A berada di dalam lingkaran.

Aturan selengkapnya:

Hasil < 0 , titik di dalam lingkaran Hasil > 0 , titik akan berada di luar lingkaran. Hasil = 0, maka titik berada pada lingkaran.

Soal No. 8
Diberikan persamaan lingkaran:
(x − 2)² + (x + 1)² = 9

Titik B memiliki koordinat (5, − 1).
Tentukan posisi titik B apakah berada di dalam, luar atau pada lingkaran!

Pembahasan
Untuk bentuk persamaan lingkaran bentuk (x − a)² + (x − b)² = r², kedudukan titik terhadap lingkarannya sebagai berikut:

Di dalam lingkaran untuk (x − a)2 + (x − b)2 < r2 Di luar lingkaran untuk (x − a)2 + (x − b)2 > r2 Pada lingkaran untuk (x − a)2 + (x − b)2 = r2

Masukkan koordinat B ke persamaan lingkarannya, lihat hasilnya terhadap angka 9, lebih besar, lebih kecil ataukah sama.
B (5, − 1)
x = 5
y = − 1

(x − 2)² + (x + 1)²
= (5 − 2)² + (−1 + 1)²
= 9

Hasilnya sama, jadi titik B berada pada lingkaran.

Soal No. 9
Diberikan persamaan lingkaran:
(x − 2)² + (x + 1)² = 9

Titik C memiliki koordinat (3, 4).
Tentukan jarak titik C dari pusat lingkaran!

Pembahasan
Persamaan lingkarannya,
(x − a)² + (x − b)² = r²
(x − 2)² + (x + 1)² = 9

Pusat lingkaran ini adalah,
P (a, b)
= (2, − 1)

Jarak titik C (3, 4) ke pusat P (2, − 1) ditentukan dengan rumus jarak antara dua titik:



Hasilnya



Terbalik angkanya hasilnya sama juga

Soal No. 10
Diberikan persamaan lingkaran sebagai berikut:

x² + y² −2x + 4y + 1 = 0

Jika pusat lingkaran adalah P(a, b) maka nilai dari 10a − 5b =....
A. −10
B. −5
C. 5
D. 10
E. 20


Pembahasan
x² + y² −2x + 4y + 1 = 0

Pusatnya adalah

P (−¹/₂[−2], −¹/₂ [4])

= (1, −2)

Jadi a = 1 dan b = − 2.
10a − 5b =....
10(1) − 5(−2) = 10 + 10 = 20

Soal No. 11 
Lingkaran yang persamaannya x² + y² − Ax − 10y + 4 = 0 menyinggung sumbu x. Nilai A yang memenuhi adalah...
A. − 2 dan 2
B. − 4 dan 4
C. − 5 dan 5
D. − 6 dan 6
E. − 9 dan 9

Pembahasan
Cara Pertama:
Lingkarannya menyinggung sumbu x, sehingga jari-jari lingkarannya akan sama dengan nilai positif dari ordinat titik pusatnya atau



Sehingga jari-jari lingkaran x² + y² − Ax − 10y + 4 = 0 adalah r = 10/2 = 5.

Dari rumus jari-jari lingkaran yang telah dihilangkan tanda akarnya:



Cara kedua:
Lingkaran yang persamaannya x² + y² − Ax − 10y + 4 = 0 menyinggung sumbu x. Artinya saat menyinggung sumbu x nilai y = 0. Masukkan ke persamaan, y diisi nol,



Terbentuk persamaan kuadrat, syaratnya menyinggung nilai diskrimanan sama dengan nol (D = 0), ingat D = b²− 4ac di materi persamaan kuadrat. Sehingga

Soal No. 12 
Persamaan lingkaran dengan pusat P(3, 1) dan menyinggung garis 3x + 4y + 7 = 0 adalah.....
A. x² + y² − 6x − 2y + 6 = 0
B. x² + y² − 6x − 2y + 9 = 0
C. x² + y² − 6x − 2y − 6 = 0
D. x² + y² + 6x − 2y + 6 = 0
E. x² + y² + 6x + 2y − 6 = 0
(Persamaan Lingkaran - UAN 2006)

Pembahasan
Kuncinya adalah mengetahui berapa jari-jari lingkaran terlebih dahulu. Baik diketahui dulu rumus untuk menentukan jarak suatu titik ke suatu garis.



Dalam kasus ini jari-jari lingkarannya sama dengan jarak titik ke garis, karena garisnya menyinggung lingkaran.

Jarak titik P(3, 1) ke garis x + 4y + 7 = 0 adalah



Dengan demikian jari-jari lingkarannya r = d = 4.

Tinggal membuat persamaan lingkarannya, pusatnya di titik (3, 1) dengan jari-jari 4

Soal No. 13
Jari-jari lingkaran pada gambar di bawah ini adalah...



A √3
B. 3
C. √13
D. 3√3
E. √37
(Lingkaran - Ebtanas 1996)

Soal No. 14
Tentukan persamaan garis singgung untuk lingkaran x² + y² = 29 yang melalui titik (5, − 2).

Pembahasan
Titik (5, − 2) terletak pada lingkaran dan sekaligus menjadi titik singgungnya, karena 5² + (−2)² = 25 + 4 = 29
Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = r² jika diketahui titik singgungnya adalah:
x₁x + y₁y = r²
5x + (−2)y = 29
5x − 2y = 29

Soal No. 15
Tentukan persamaan garis singgung untuk lingkaran x² + y² = 13 yang melalui titik:
a) (3, −2)
b) (3, 2)

Pembahasan
Tipe soal masih seperti nomor 14. Titik (3, − 2) dan titik (3, 2) sama-sama berada pada lingkaran x² + y² = 13 sehingga persamaan garis singgungnya masing-masing adalah:
a) x₁x + y₁y = r²
3x − 2y = 13

b) x₁x + y₁y = r²
3x + 2y = 13

Soal No. 1
Diberikan persamaan lingkaran:

L ≡ x² + y² = 25.

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang memiliki titik singgung di (−4, 3).

Pembahasan
Menentukan garis singgung pada suatu lingkaran yang pusatnya di (0, 0) dan diketahui titik singgungnya.

Lingkaran L ≡ x² + y² = r²
Titik singgung (x₁, y₁)

Persamaan garis singgungnya adalah:



Dengan x₁ = − 4 dan y₁ = 3, persamaan garisnya:
−4x + 3y = 25
3y −4x − 25 = 0

Soal No. 2
Persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² = 13 yang melalui titik (3, −2) adalah....
A. 2x − 3y = −13
B. 2x − 3y = 13
C. 3x − 2y = − 14
D. 3x − 2y = 13
E. 3x + 2y = 13
(Garis singgung lingkaran - uan 2002)

Pembahasan
Titik yang diberikan adalah (3, −2), dan belum diketahui posisinya pada lingkaran, apakah di dalam, di luar atau pada lingkaran. Cek terlebih dahulu,
(3, −2) → x² + y²
= 3² + (−2)² = 9 + 4
= 13

Hasilnya ternyata sama dengan 13 juga, jadi titik (3, −2) merupakan titik singgung. Seperti nomor 1:



Soal No. 3
Diberikan persamaan lingkaran L ≡ x² + y² = 25. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut yang memiliki gradien sebesar 3.

Pembahasan
Menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran yang pusatnya di (0, 0) dengan diketahui gradien garis singgungnya.



Soal No. 4
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 25 yang tegak lurus garis 2y − x + 3 = 0 adalah....
A. y = −¹/₂ x + ⁵/₂√5
B. y = ¹/₂ x − ⁵/₂√5
C. y = 2x − 5
D. y = −2x + 5√5
E. y = 2x + 5
(Garis singgung Lingkaran - un 2005)

Pembahasan
Garis 2y − x + 3 = 0 memiliki gradien sebesar ¹/₂. Garis lain yang tegak lurus dengan garis ini harus memiliki gradien − 2. Ingat pelajaran SMP 8, jika dua garis saling tegak lurus maka berlaku

m₁ ⋅ m₂ = − 1

Sehingga persamaan garis singgung di lingkaran x² + y² = 25 yang memiliki gradien −2 adalah:



Jadi persamaan garis singgungnya bisa y = −2x + 5√5  bisa juga y = −2x − 5√5, pilih yang ada.

Soal No. 5
Diberikan persamaan lingkaran:

L ≡ (x − 2)² + (y + 3)² = 25

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan titik singgung pada (5, 1).

Pembahasan
Persamaan garis singgung pada lingkaran:

L ≡ (x − a)² + (y − b)² = r²

pada titik singgung (x₁, y₁)



dengan
a = 2 dan b = −3 dan r² = 25

maka persamaan garisnya

Soal No. 6
Diberikan persamaan lingkaran:

L ≡ (x − 2)² + (y + 3)² = 25

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut yang sejajar dengan garis y = 2x + 3.

Pembahasan
Garis singgung pada lingkaran dengan pusat (a, b) diketahui gradien m


Garis singgung yang diminta sejajar dengan garis y = 2x + 3 sehingga gradiennya sama yaitu 2.


Soal No. 7
Persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² − 2x + 4y − 220 = 0 yang sejajar dengan garis 5 y + 12x + 8 = 0 adalah...
A. 12 x + 5y − 197 = 0 dan 12x + 5y + 195 = 0
B. 12 x + 5y + 197 = 0 dan 12x + 5y − 195 = 0
C. 5 x + 12y + 197 = 0 dan 5x + 12y + 195 = 0
D. 5x + 12y − 197 = 0 dan 5x + 12y − 195 = 0
E. 12 x − 5y − 197 = 0 dan 12x − 5y + 195 = 0

Pembahasan
Lingkaran x² + y² − 2x + 4y − 220 = 0 memiliki pusat:


dan jari-jari


Gradien garis singgungnya sejajar dengan 5 y + 12x + 8 = 0, jadi gradiennya adalah −12/5.

Persamaannya:

Sehingga dua buah garis singgungnya masing-masing adalah

Soal No. 8
Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² − 4x + 2y − 20 = 0 di titik (5, 3) adalah....
A. 3x − 4y + 27 = 0
B. 3x + 4y − 27 = 0
C. 3x + 4y − 27 = 0
D. 7x+ 4y − 17 = 0
E. 7x + 4y − 17 = 0
(UN 2005)

Pembahasan
Titik singgung : (x₁, y₁)
pada lingkaran : L ≡ x² + y² + Ax + By + C = 0

Rumus garis singgungnya:


Data:
x² + y² − 4x + 2y − 20 = 0
Titik (5, 3)

A = −4
B = 2
C = − 20
x₁ = 5
y₁ = 3

Garis singgungnya:


Soal No. 9
Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 di titik (7, 1) adalah….
A. 3x − 4y − 41 = 0
B. 4x + 3y − 55 = 0
C. 4x − 5y − 53 = 0
D. 4x + 3y − 31 = 0
E. 4x − 3y − 40 = 0
(un 2011)

Pembahasan
Data soal:
L ≡ x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0
A = −6
B = 4
C = − 12

(7, 1)
x₁ = 7
y₁ = 1

Rumus sebelumnya, diperoleh garis singgung lingkaran:



Soal No. 10
Lingkaran L ≡ (x + 1)² + (y − 3)² = 9 memotong garis y = 3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah...
A. x = 2 dan x = − 4
B. x = 2 dan x = − 2
C. x = − 2 dan x = 4
D. x = − 2 dan x = − 4
E. x = 8 dan x = − 10
(Garis singgung lingkaran - un 2009 dan un 2012)

Pembahasan
Data soal:
Polanya:
L ≡ (x − a)² + (y − b)² = r²
Pusatnya (a, b)

L ≡ (x + 1)² + (y − 3)² = 9
a = −1
b = 3

y = 3 memotong lingkaran ini, masukkan nilai y ke persamaan, ketemu nilai x, dengan demikian titik-titik singgungnya akan diketahui.

(x + 1)² + (y − 3)² = 9
(x + 1)² + (3 − 3)² = 9
(x + 1)² + 0 = 9
(x + 1)² = 9
(x + 1) = ±3

x + 1 = 3 x = 2

x + 1 = −3 x = −4

Titik singgungnya: ( −4, 3) dan (2, 3)



Untuk titik singgung (x₁, y₁) = ( −4, 3) dengan pusatnya tadi (a, b) = (−1, 3)


Untuk titik singgung (x₁, y₁) = ( 2, 3) dengan pusatnya tadi (a, b) = (−1, 3)

Latihan

Soal No. 1
Persamaan garis singgung melalui titik A(−2, −1) pada lingkaran x² + y² + 12x −6y + 13 = 0 adalah...
A. −2x −y −5 = 0
B. x − y + 1 = 0
C. x + 2y + 4 = 0
D. 3x − 2y + 4
E. 2x − y + 3 = 0

Petunjuk
Kerjakan seperti contoh no. 8

Soal No. 2
Persamaan garis singgung lingkaran (x − 3)² + (y + 5)² = 80 yang sejajar dengan garis y − 2x + 5 = 0 adalah...
A. y = 2x − 11 ± 20
B. y = 2x − 8 ± 20
C. y = 2x − 6 ± 15
D. y = 2x − 8 ± 15
E. y = 2x − 6 ± 25

Petunjuk
Kerjakan seperti contoh no. 6