Integral Kalkulus

Rumus Dasar

Teori Singkat
Rumus integral tak tentu

Soal
Tentukan:
1) ∫ x⁵ dx
2) ∫ ³√x dx
3) ∫ ^dx/_x⁵
4) ∫ y⁵ dy
5) ∫ √t dt
6) ∫ (3x² + 5x) dx
7) ∫ ( ¹/₄ x⁴ + ¹/₃ x³ + ¹/₂ x²) dx
8) ∫ (2x − 1)² dx

Pembahasan

1) Penggunaan rumus dasar integral



2) Penggunaan rumus dasar integral



3) Penggunaan rumus dasar integral



4) Penggunaan rumus dasar integral


5) Penggunaan rumus dasar integral

6) Penggunaan rumus dasar integral



7) Penggunaan rumus dasar integral



8) Penggunaan rumus dasar integral

 

Integral dengan Substitusi Aljabar

Teori Singkat
Cermati rumus untuk integral dengan substitusi aljabar berikut, cara panjang akan diberikan di pembahasan contoh soal.

c adalah konstanta.

Soal No. 1
Tentukan:

∫ (3x + 7)⁵ dx

Pembahasan

Bawa ke bentuk ∫ vⁿ dv
Misal:
v = (3x + 5) dengan demikian:

Soal No. 2

Tentukan dengan menggunakan metode substitusi aljabar :

∫ (2x + 10)³ dx


Pembahasan

Soal No. 3

Tentukan hasil dari:

∫ √(3x + 6) dx 


Pembahasan

Soal No. 4
Tentukan hasil dari:

∫ ³√(3x + 6) dx

Pembahasan

Soal No. 5
Tentukan hasil dari:

∫ (3x³ + 5)⁷ x² dx

Pembahasan



Soal No. 5
Tentukan hasil dari:

∫ ³√(12 x⁵ − 7) x⁴ dx

Pembahasan

Soal No. 7
Hasil dari




adalah....



Sumber soal : Ebtanas Matematika 1999

Pembahasan

Integral Trigonometri 

Penggunaan rumus dasar integral trigonometri untuk penyelesaian soal, sinus, cosinus dan secan.

Soal-Soal:

Tentukan:
1) ∫ 5 cos x dx
2) ∫ − 6 sin x dx
3) ∫ 7 sec² x dx
4) ∫ −( ⁸/_cos ² x ) dx
5) ∫ (10 cos x − 9 sin x) dx
6) ∫ 2 cos x tan x dx
7) ∫ ( ⁴/_{1 − sin ² x} ) dx
8) ∫ √(16 − 16 sin² x) dx

Teori Singkat
Cermati rumus-rumus dasar integral untuk fungsi-fungsi trigonometri berikut:

Pembahasan
1) Dengan rumus (1), keluarkan angka 5 dari integral didapat hasil :

2) Keluarkan -6 dari integral, kemudian pergunakan rumus (2):

3) Gunakan rumus (3):

4) Ingat kembali bahwa cos x adalah kebalikan dari sec x, kemudian masuk ke pola (3):

5) Gabungan integral untuk sin x dan cos x:

6) tan x tidak ada pada pola kita di atas, ingat kembali bahwa

tan x = ^{sin x} / _{cos x}



7) Ingat identitas trigonometri berikut :

sin² x + cos ² x = 1

Sehingga

1 - sin ² x = cos ² x dan cos x adalah kebalikan dari sec x

8) Arahkan soal hingga mendapat bentuk dalam sin x :

 

Integral Trigonometri Sin (ax+b)

Contoh soal dan pembahasan jawaban materi integral , matematika kelas 12 SMA, penggunaan rumus dasar integral trigonometri untuk penyelesaian soal, sin (ax + b), cos (ax + b) dan sec² (a + b).

Soal-soal

Tentukan:

1) ∫ sin 3x dx

2) ∫ 2 sin 3x dx

3) ∫ sin (3x + 2) dx

4) ∫ sin (3x − ¹/₂ π ) dx

5) ∫ cos 5x dx

6) ∫ cos (5x−3) dx

7) ∫ sec² 5x dx

8) ∫ sec² (2x+3) dx

Teori singkat
Cermati rumus-rumus dasar integral untuk fungsi-fungsi trigonometri untuk sudut-sudut berikut:

Pembahasan
1) Dengan rumus sin ax, a = 3

2) Dengan rumus sin ax, a = 3, keluarkan 2 dari integral:

3) Dengan rumus sin (ax + b), a = 3 dan b = 2

4) Dengan rumus sin (ax + b), dimana a = 3 dan b = − ¹/₂ π

5) Dengan rumus cos ax, dimana a = 5

6) Dengan rumus cos (ax + b), dimana a = 5 dan b = -3



7) Dengan rumus sec² ax, dimana a = 5



8) Dengan rumus sec² (ax + b), dimana a = 2 dan b = 3

 

Integral Substitusi Trigonometri

Pola rumus yang digunakan untuk soal-soal integral trigonometri dengan teknik substitusi diantaranya

Asumsinya adik-adik tidak menemui kesulitan dalam hal turunan fungsi trigonometri, misalnya turunan dari sin 3x jadinya apa, atau turunan dari cos 5x seperti apa jadinya, jika lupa bagaimana turunan suatu fungsi trigonometri silakan diulang lagi, atau sambil buka buku catatan.

Rumus lainnya:

Soal No. 1
Hasil dari:

∫ cos³ 3x sin 3x dx

adalah....

(Modifikasi UN 2011)

Pembahasan
Buat dulu permisalannya:
v = cos 3x

Turunkan v nya:
dv/dx = −3 sin 3x

sehingga jika diperlukan dx
dx = dv/−3 sin 3x



Kembali ke soal, sambil memasukkan permisalan tadi, ganti cos 3x dengan v dan dx dengan dv/−3 sin 3x, sin 3x biarkan saja, nanti bisa dicoret, Sehingga



Kembalikan v jadi cos 3x lagi



Soal No. 2
Hasil dari ∫ cos² x sin x dx adalah....
A. 1/3 cos³ x + C
B. − 1/3 cos³ x + C
C. − 1/3 sin³ x + C
D. 1/3 sin³ x + C
E. 3 sin³ x + C
(Integral Substitusi Trigonometri - UN 2008)

Pembahasan
Setipe dengan contoh pertama, misalkan:
v = cos x

Menemukan dx nya



Pasang lagi



Soal No. 3
Hasil dari

∫ 5x sin x² dx = ....

(Modifikasi UAN 2006)

Pembahasan
Berbeda tipe dengan dua soal sebelumnya. Jika sebelumnya sin atau cos nya yang dipangkat, yang ini x di dalam yang dipangkatkan.

Misalkan x² sebagai v.



pasang v dan dx nya, biarkan saja 5x nya



Soal No. 4
∫ 2x cos (x² + 1)dx = ....

Pembahasan
Misal:
v = x² + 1

Jadi:



Kembali ke soal,



Ganti (x² + 1) dengan v dan dx dengan ^dv/_2x, sementara itu 2x biarkan saja, nanti dicoret:



Soal No. 5
∫sin³ x cos² x dx =....

Pembahasan
Rumus bantu trigonometri berikut diperlukan:
cos²x + sin²x = 1

atau

sin²x = 1 − cos²x

Kita edit soal diatas:
∫sin³x cos²x dx
= ∫sin²x sin x cos²x dx
= ∫[(1 − cos²x)sinx cos²x ]dx
= ∫[sinx cos²x − sinx cos⁴x]dx
= ∫ sinx cos²x dx − ∫sinx cos⁴x dx

Kemudian gunakan integral substitusi seperti soal-soal sebelumnya:

Misal cos x jadi v



Kembali ke soal, substitusikan

 

Integral Parsial

Berikut diberikan dua metode cara untuk menyelesaikan type soal integral parsial.

Ingat kembali rumus dasar untuk materi integral parsial sebagai berikut.

Rumus Dasar Integral Parsial

∫ u dv = uv − ∫v du

Untuk lambang-lambangnya jika berbeda, silakan disesuaikan dengan literature atau buku yang adik-adik gunakan atau catatan yang diberikan Bapak Ibu Guru di sekolah masing-masing, pada prinsipnya sama saja.

Soal No. 1
Hasil dari 16 ∫ (x + 3) cos (2x − π)dx =.....
A. 8(2x + 6) sin (2x − π) + 4 cos (2x − π) + C
B. 8(2x + 6) sin (2x − π) − 4 cos (2x − π) + C
C. 8(x + 3) sin (2x − π) + 4 cos (2x − π) + C
D. 8(x + 3) sin (2x − π) − 4 cos (2x − π) + C
E. 8(x + 3) sin (2x − π) + 4 sin (2x − π) + C

Pembahasan
Beberapa cara biasa digunakan untuk menyelesaikan soal integral parsial, dua diantaranya akan ditunjukkan di sini.

Cara Pertama
∫ (x + 3) cos (2x − π)dx =.....
  |____|  |__________|
      u               dv

Langkah pertama, tentukan dulu mana u mana dv
Misalkan (x + 3) adalah u, dan sisanya, cos (2x − π)dx sebagai dv,
u = (x + 3)                 ...(Persamaan 1)
dv = cos (2x − π)dx     ...(Persamaan 2)

Langkah pertama selesai, kita tengok lagi rumus dasar integral parsial:

∫ u dv = uv − ∫v du

Terlihat di situ kita perlu u, perlu v dan perlu du. u nya sudah ada, tinggal mencari du dan v nya.

Dari persamaan 1, untuk menentukan du, caranya turunkan u nya,
u = (x + 3)
du/dx = 1
du = dx

Dari persamaan 2, untuk menentukan v,
dv = cos (2x − π)dx
atau
dv/dx = cos (2x − π)

dv/dx artinya turunan dari v adalah cos (2x − π), untuk mendapatkan v, berarti kita harus integralkan cos (2x − π) jika lupa, tengok lagi cara integral fungsi trigonometri,

v = ∫ cos (2x − π) dx = 1/2 sin (2x − π) + C

Kita rangkum lagi :
u = (x + 3)
v = ¹/₂ sin (2x − π)
du = dx

Saatnya kembali ke rumus dasar, masukkan nilai-nilai yang sudah dicari tadi:
16 ∫ (x + 3) cos (2x − π)dx
Simpan dulu 16 nya, terakhir nanti hasilnya baru di kali 16
= uv − ∫v du
= (x + 3) ¹/₂ sin (2x − π) − ∫ ¹/₂ sin (2x − π) du
= ¹/₂ (x + 3) sin (2x − π) − ∫ ¹/₂ sin (2x − π) dx
= ¹/₂ (x + 3) sin (2x − π) − ¹/₂ {− ¹/₂ cos (2x − π) }
= ¹/₂ (x + 3) sin (2x − π) + ¹/₄ cos (2x − π)

kalikan 16, tambahkan + C nya

= 16 { ¹/₂ (x + 3) sin (2x − π) + ¹/₄ cos (2x − π) } + C
= 8 (x + 3) sin (2x − π) + 4 cos (2x − π)  + C

Cara Kedua
16 ∫ (x + 3) cos (2x − π)dx =.....

Langkah Pertama
Buat tabel dua kolom terlebih dahulu seperti berikut



Tempatkan x + 3 di kolom sebelah kiri dan turunkan berturut-turut sampai dapat NOL. Sementara cos (2x − π) di sebelahnya integralkan berturut-turut hingga terakhir sejajar dengan angka nol sebelah kiri.

Kolom pertama
x + 3 jika diturunkan hasilnya adalah 1, dan 1 jika diturunkan hasilnya adalah 0.

Kolom kedua
cos (2x − π) jika diintegralkan hasilnya adalah 1/2 sin (2x − π), kemudian 1/2 sin (2x − π) diintegralkan hasilnya adalah − 1/4 cos (2x − π)

Langkah Kedua
Kalikan baris pertama kolom 1 dengan baris kedua kolom dua, dan
baris kedua kolom 1 dengan baris ketiga kolom 2,
lebih mudahnya ikuti tanda panah yang diberikan gambar diatas, jangan lupa sertakan tanda plus atau minusnya.

Sehingga:
=16 {(x + 3)[1/2 sin (2x − π)] − (1)[− 1/4 cos (2x − π)]} + C

= 8 (x + 3) sin (2x − π) + 4 cos (2x − π) + C

Hasilnya sama dengan cara yang pertama, untuk soal-soal berikutnya akan dipakai cara kedua saja.

Soal No. 2
Hasil dari ∫ 6x(3x − 1)^−1/₃ dx =.....
A. 3x(3x − 1)^2/₃ − ³/₅ (3x − 1)^5/₃ + C
B. 4x(3x − 1)^2/₃ − ⁶/₅ (3x − 1)^5/₃ + C
C. 9x(3x − 1)^2/₃ − ⁶/₅ (3x − 1)^5/₃ + C
D. 4x(3x − 1)^2/₃ − ³/₅ (3x − 1)^5/₃ + C
E. 3x(3x − 1)^2/₃ − ⁶/₅ (3x − 1)^5/₃ + C

Pembahasan
∫ 6x(3x − 1)^−1/₃ dx


= 6x (1/2 (3x − 1)^2/3) − (6)(1/10 (3x − 1)^5/3) + C
= 3x (3x − 1)^2/3 − 6/10 (3x − 1)^5/3 + C

Soal No. 3
Hasil dari ∫ (3x + 2) cos (3x + 2) dx =....
A. (3x + 2) sin (3x + 2) − 3 sin (3x + 2) + C
B. (3x + 2) sin (3x + 2) + 3 sin (3x + 2) + C
C. (2 − 3x) sin (3x + 2) − 3 cos (3x + 2) + C
D. (x + 2/3) sin (3x + 2) − 1/3 cos (3x + 2) + C
E. (x + 2/3) sin (3x + 2) + 1/3 cos (3x + 2) + C

Pembahasan
∫ (3x + 2) cos (3x + 2) dx


= (3x + 2)1/3 sin (3x + 2) + (3) 1/9 cos (3x + 2)  + C
= (x + 2/3) sin (3x + 2) + 1/3 cos (3x + 2) + C

Soal No. 4
_o∫^π x cos x dx = ....
A. − 2
B. − 1
C. 0
D. 1
E. 2

Dicoba dulu, jawabannya adalah A. − 2

Pembahasan
_o∫^π x cos x dx



= x sin x + cos x ]_o^π
= [π sin π + cos π ] − [(0 ) sin 0 + cos 0]
= −1 − 1 = − 2

Soal No. 5
∫ (3x + 1) cos (2x) dx adalah....
A. 1/2 (3x + 1) sin 2x + 3/4 cos 2x + C
B. 1/2 (3x + 1) sin 2x − 3/4 cos 2x + C
C. 1/2 (3x + 1) sin 2x + 3/2 cos 2x + C
D. − 1/2 (3x + 1) sin 2x + 3/2 cos 2x + C
E. − 1/2 (3x + 1) sin 2x − 1/4 cos 2x + C

Kunci : 1/2 (3x + 1) sin 2x + 3/4 cos 2x

Soal No. 6
Hasil dari ∫ x(x + 4)⁵ dx =....
A. 1/21 (3x + 26)(x + 4)⁶ + C
B. 1/21 (3x − 14)(x + 4)⁶ + C
C. 1/21 (3x − 10)(x + 4)⁶ + C
D. 1/21 (3x + 2)(x + 4)⁶ + C
E. 1/21 (3x − 2)(x + 4)⁶ + C

Kunci : 1/21 (3x + 2) (x + 4)⁶

Soal No. 7
∫ (x² + 1) cos x dx =......
A. x² sin x + 2x cos x + C
B. (x² − 1) sin x + 2x cos + C
C. (x² + 3) sin x − 2x cos x + C
D. 2x² cos x + 2x² sin x + C
E. 2x sin x − (x² − 1) cos x + C

Kunci jawaban : B. (x² − 1) sin x + 2x cos + C

Soal No. 8
∫ x(x + 3)⁴ =.....
A. 1/30 (5x − 3)(x + 3)⁵ + C
B. 1/30 (3x − 5)(x + 3)⁵ + C
C. 1/30 (5x + 3)(x + 3)⁵ + C
D. 1/5 (x − 3)(x + 3)⁵ + C
E. 1/5 (3 − 5x )(x + 3)⁵ + C

Kunci jawaban : A. 1/30 (5x − 3)(x + 3)⁵ + C

Pembahasan
∫ x(x + 3)⁴ =.....

Seperti contoh-contoh sebelumnya:

____________________________________

Turunkan                            Integralkan

    x   ^{----------------}_\ (+)            (x + 3)⁴

     1   -----_\ (−)      ^\-------->    ¹/₅ (x + 3)⁵

    0           ^\------------------>   ¹/₃₀(x + 3)⁶
____________________________________

∫ x(x + 3)⁴

= ^x/₅(x + 3)⁵ − ¹/₃₀(x + 3)⁶ + C   → sampai sini sudah selesai, hanya dipilihan belum nampak, dimodif lagi.

=  ^x/₅(x + 3)⁵ − ¹/₃₀(x + 3)(x + 3)⁵ + C

=[ ^x/₅ − ¹/₃₀(x + 3) ] (x + 3)⁵ + C

= [ ^x/₅ −  ^x/₃₀ −  ³/₃₀] (x + 3)⁵ + C

= [^6x/₃₀ − ^x/₃₀  − ³/₃₀ ] (x + 3)⁵ + C

= (^5x/₃₀ − ³/₃₀)(x + 3)⁵ + C

= ¹/₃₀ (5x − 3)(x + 3)⁵  + C

Luas Daerah dan Volume Benda Putar

Berikut contoh soal-soal UN materi Luas Daerah dan Volum Benda Putar:

1) UN Matematika SMA 2010 P04 - Kepulauan Riau
Luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = 4x − x², y = −2x + 8, dan sumbu Y adalah....
A. 4 ²/₃ satuan luas
B. 6 ²/₃ satuan luas
C. 12 ²/₃ satuan luas
D. 20 ²/₃ satuan luas
E. 30 ²/₃ satuan luas

2) UN 2010 Yogyakarta
Luas daerah di kuadran I yang dibatasi oleh oleh kurva y = x³, y = x, x = 0 dan garis x = 2 adalah....
A. 2 ¹/₄ satuan luas
B. 2 ¹/₂ satuan luas
C. 3 ¹/₄ satuan luas
D. 3 ¹/₂ satuan luas
E. 4 ¹/₄ satuan luas

3) UN Matematika SMA IPA P04 2010 Kepulauan Riau
Daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4 − x², sumbu X, sumbu Y dan garis x = 1. Volume benda putar yang terjadi jika daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu X adalah...
A. 12 ⁸/₁₅ π satuan volum
B. 12 ⁸/₁₂ π satuan volum
C. 13 ⁸/₁₅ π satuan volum
D. 13 ⁸/₁₂ π satuan volum
E. 14 π satuan volum

4) UN Matematika SMA 2010-Yogyakarta
Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² dan daerah y = √x diputar 360° mengelilingi sumbu X adalah....
A. ³/₁₀ π satuan volum
B. ⁵/₁₀ π satuan volum
C. ¹/₃ π satuan volum
D. ¹⁰/₃ π satuan volum
E. 2π satuan volum

5) UN Matematika SMA 2010 P37 Kepulauan Riau
Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x − x² dan y = 2 − x diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360° adalah....
A. ¹/₅ π satuan volum
B. ²/₅ π satuan volum
C. ³/₅ π satuan volum
D. ⁴/₅ π satuan volum
E. π satuan volum

6) UN 2011 Paket 12 Yogyakarta
Volume benda putar jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x², garis y = 2x di kuadran I diputar 360° terhadap sumbu X adalah....
A. ²⁰/₁₅ π satuan volum
B. ³⁰/₁₅ π satuan volum
C. ⁵⁴/₁₅ π satuan volum
D. ⁶⁴/₁₅ π satuan volum
E. ¹⁴⁴/₁₅ π satuan volum

Pembahasan Soal Nomor 2
Sketsa grafik yang dibentuk oleh kedua fungsi, cari titik potong y = x³ dan y = x

Titik potong :
x³ = x
x³ − x = 0
x(x² − 1) = 0
x(x − 1)(x + 1) = 0
x = 0 v x = 1 v x = − 1

Karena dibatasi juga oleh garis x = 0, maka titik potong yang digunakan adalah 0 dan 1 saja. Berikut sketsa kasar grafiknya:



Dari sketsa grafik terlihat dua area yang harus dicari luasnya, area pertama dibatasi oleh 0 dan 1, area kedua dibatasi oleh 1 dan 2 selengkapnya perhitungan mencari luasnya sebagai berikut:



Kita hitung secara terpisah saja untuk mengurangi resiko kesalahan perhitungan akibat kurangnya ketelitian
Luas area pertama



Luas area kedua



Jumlahkan
2 ¹/₄ + ¹/₄ = 2 ¹/₂ satuan luas

Pembahasan Soal No. 5
Sketsa grafiknya. cari titik-titik potong:
2x − x² = 2 − x
2x − x² + x − 2 = 0
x² − 3x + 2 = 0
(x − 2)(x−1) = 0
x = 2 v x = 1

Berikut sketsa kasar grafik selengkapnya



Waktunya berhitung:



Eksekusi akhir

Volume Benda Putar Sumbu Y

Berikut ini contoh soal integral volume benda putar pada sumbu y:

Soal
Volume benda putar jika daerah yang dibatasi kurva y = − x² + 4 dan y = − 2x + 4 diputar 360° mengelilingi sumbu Y adalah.....
A. 8 π satuan volume
B. 13/2 π satuan volume
C. 4 π satuan volume
D. 8/3 π satuan volume
E. 5/4 π satuan volume
(Sumber Soal : UN Matematika SMA Tahun 2007)

Pembahasan
Langkah pertama yang biasa ditempuh adalah membuat sketsa grafik kurva-kurva yang terlibat agar nampak batas-batas yang akan diambil,

Kurva pertama bentuknya persamaan kuadrat,
y = −x² + 4

Cari titik potong pada sumbu x, berarti y diberi harga nol, y = 0
y = −x² + 4
0 = −x² + 4
0 = 4 −x²
Faktorkan,
0 = (x + 2)(x − 2)
x = − 2 atau x = 2

Titik-titik yang diperoleh dari langkah ini adalah (2, 0) dan titik (−2, 0)

Titik potong pada sumbu y, berarti x diberi harga nol, x = 0
y = −x² + 4
y = −0² + 4
y = 4

Titik yang diperoleh dari langkah ini adalah (0, 4)


Kurva Kedua berbentuk persamaan linier
y = − 2x + 4

Titik potong sumbu x, berarti y = 0
y = − 2x + 4
0 = − 2x + 4
2x = 4
x = 4/2 = 2
Diperoleh titik (2, 0)

Titik potong sumbu y, berarti x = 0
y = − 2x + 4
y = − 2(0) + 4
y = 4
Diperoleh titik (0, 4)

Grafik selengkapnya sebagai berikut


Menentukan Batas-batas
Jika diputar pada sumbu x, terlihat dari gambar batas-batasnya adalah 0 dan 2
Jika diputar pada sumbu y, terlihat batas-batasnya adalah 0 dan 4

Kali ini akan dihitung untuk putar sumbu y, sehingga batas yang diambil 0 dan 4

Dari rumus volume benda putar pada sumbu y untuk dua buah kurva:

V = π _a∫^b ( [f₁(y)]² − [f₂(y)]² ) dy

atau

V = π _a∫^b ( [x₁]² − [x₂]² ) dy

→ Ubah bentuk "y =... " menjadi "x =..." atau "x² =..." ,

y = −x² + 4
x² = 4 − y

y = − 2x + 4
2x = 4 − y
x = 2 − 1/2 y
x² = 4 −2y + y²/4

sehingga

V = π _a∫^b ( [x₁]² − [x₂]² ) dy
V = π ₀∫⁴ ( [4 − y] − [4 −2y + y²/4] ) dy
V = π ₀∫⁴ ( 4 − y − 4 + 2y − y²/4 ) dy
V = π ₀∫⁴ (y − y²/4 ) dy
V = π [ 1/2 y² − y³/12]₀⁴
V = (1/2 . 16 − 64/12)π − (0) π = 8/3 π

Soal
Perhatikan gambar diarsir di samping!

Jika daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu Y, maka volume benda putar yang terjadi adalah….
A. 6 2/5 π satuan volume
B. 8 π satuan volume
C. 13 2/3 π satuan volume
D. 15 1/3 π satuan volume
E. 25 3/5 π satuan volume

Pembahasan
y = √x
y² = x
y⁴ = x²
x² = y⁴

Dari rumus volume benda putar pada sumbu y untuk satu  buah kurva:
V = π _o∫² x² dy
V = π _o∫² y⁴ dy
V = π [ ¹/₅ y⁵ ]₀² = ¹/₅ π [ y⁵ ]₀²
V = ¹/₅ π [ (2⁵) − (0⁵) ] = ³²/₅ π = 6 ²/₅ π satuan volume

Soal
Volume benda putar yang terbentuk dari daerah yang di kuadran I yang dibatasi oleh kurva x = 2√2 y², sumbu Y, dan lingkaran x² + y² = 9, diputar mengelilingi sumbu Y adalah....
A. 106/15 π satuan volume
B. 124/15 π satuan volume
C. 146/15 π satuan volume
D. 164/15 π satuan volume
E. 248/15 π satuan volume

Pembahasan
Volume benda putar pada sumbu Y.

Kurva I
x = 2√2 y²
x² = 8y⁴

Kurva II
x² + y² = 9
x² = 9 − y²

Tentukan titik potongnya dulu
8y⁴ = 9 − y²
8y⁴ + y² − 9 = 0

Faktorkan
(8y² + 9)(y² - 1) = 0
Ambil y² - 1 = 0
y² = 1→ y = ± 1

Sketsa kasar grafiknya sebagai berikut:




Terlihat Volumenya

height: 40px; line-height: 18.0599994659424px;">

FAKTA, KONSEP DAN PRINSIP DALAM MATEMATIKA

Fakta dalam matematika

Penngertian fakta

Fakta adalah sebagai factor nyata atau suatu realitas yang ada di suatu tempat dan dalam waktu tertentu tentang apa yang kita amati (lihat ,dengar, raba ,cicip dan cium), realitas yang kita amati itu bias berupa kejadian, benda symbol sifat dan lain sebagainya.

Fakta dalam matematika

Matematika adalah cabang ilmu pengetauan yang sangat penting dan sangat berperan dalam perkembangan dunia. Untuk mengetahui matematika lebih jauh, kita harus mengetahui pengertian matematika itu sendiri

Pengertian matematika yaitu bahasa simbol yang terdefinisikan secara sistematik, antara satu konsep dengan konsep yang lain saling berkaitan dan pembuktian matematika dibangun dengan penalaran deduktif.

Matematika bukan merupakan suatu hal yang asing yang terdengar di telinga kita, setiap saat pasti kita selalu dihadapkan dengan yang namanya matematika. Matematika merupakan ratunya ilmu, semua cabang ilmu pasti memerlukan perhitugan. Matematika berasal dari bahasa latin "mathematika" yang mulanya diambil dari bahasa yunani "mathematike" yang berarti mempelajari.

Perkataan itu mempunyai asal kata mathema yang berarti pengetahuan atau ilmu. Kata mathematike berhubungan pula dengan kata lainnya yang hamper sama yaitu mathein atau mathenein yang artinya belajar. Jadi, berdasarkan asal katanya maka matematika berarti ilmu pengetahuan yang didapat dengan berpikir. 

Matematika merupakan suatu pelajaran yang tersusun secara beraturan, logis, berjenjang dari yang paling mudah hingga yang paling rumit.

Konsep dalam matematika

Pengertiankonsep

Konsep adalah ide abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan sekumpulan “segitiga” adalah nama suatu konsep abstrak. Dengan konsep itu sekumpulan objek dapat digolongkan sebagai contoh segitiga ataukah bukan.

Konsep dalam matematika

Untuk memahami perbedaan fakta dan konsep, coba bagaimana jika anda diminta menentukan hasildari 10 x 5 + 2 ? Berapakah hasil yang  tepat? 70 ataukah 52? Permasalahan ini terkadang menimbulkan kekacauan hasil di kalangan anak didik kita di tingkat dasar. Untuk menghindari kekacauan hasil, maka diperlukanlah suatu konvensi atau kesepakatan-kesepakatan terkait dengan aturan tertentu. Lantas, berapa hasil yang tepat? Tentu saja hasilnya adalah 52.

Kita telah mengetahui bahwa dalam operasi hitung campuran, terdapat suatu kesepakatan aturan  bahwa operasi perkalian didahulukan dari operasi  penjumlahan.  Konvensi/kesepakatan dalam matematika inilah yang disebut dengan fakta. Dengan demikian fakta dalam matematika pada dasarnya  merupakan kesepakatan-kesepakatan yang terkait dengan lambang, notasi, ataupun aturan-aturan tertentu. Sebagai contoh fakta lain dalam matematika adalah lambang “1” digunakan untuk menyatakan banyaknya sesuatu yang tunggal.

Jika fakta merupakan kesepakatan, maka konsep adalah suatu ide abstrak yang memungkinkan seseorang mengklasifikasikan suatu objek dan menerangkan apakah objek tersebut merupakan contoh atau bukan contoh dari ide abstrak tersebut.  Dengan demikian, seorang siswa dikatakan telah menguasai konsep “kubus” jika Ia mampu menentukan bangun-bangun ruang yang termasuk kubus dan bukan kubus

Berdasarkan pemahaman di atas, maka suatu konsep bukanlah untuk dihafal tetapi untuk dipahami maknanya

Prinsipdalammatematika

Pengertianprinsip

Prinsip merupakan gabungan dari fakta, konsep dan prinsip yang dikaitkan dengan suatu relasi atau operasi.

Prinsipdalammatemtika

PemecahanMasalah

Pemecahan masalah terkait masalah dan metode penyelesaiannya yang tidak biasa. Untuk menemukan penyelesaiannya, siswa harus memberdayakan pengetahuannya dan melalui proses ini mereka akan sering mengembangkan pemahaman baru. Pemecahan masalah tidak hanya merupakan tujuan dari pembelajaran matematika tetapi juga sebuah upaya besar untuk melakukan kegiatan matematika.

PenalarandanPembuktian.

Orang yang bernalar cenderung untuk mencatat pola, struktur, atau keberaturan di dalam situasi dunia nyata dan objek simbol. Mereka mempertanyakan apakah pola-pola tersebut adalah kebetulan ataukah terjadi karena suatu alasan, serta membuat dugaan dan membuktikan.  Pembuktian matematika adalah sebuah langkah formal dalam mengekspresikan penalaran dan pembenaran

Komunikasi. 

Komunikasi pemikiran dan nalar matematika adalah bagian penting dari pengembangan pemahaman. Ini merupakan sebuah jalan memadukan dan mengklarifikasi ide-ide. Dengan komunikasi, ide-ide menjadi objek refleksi, diskusi, dan terjadi proses pengujian dan penghalusan pemikiran.

Hubungan-hubungan.

Melalui kurikuler dan pengalaman setiap hari, siswa akan mengenal dan menggunakan hubungan-hubungan antara ide-ide matematika, terutama hubungan antara aljabar dengan geometri. Hubungan yang demikian membangun pemahaman konsep matematika secara komprehensi

ANSALISIS KESULTAN BELAJAR MATEMATIKA BESERTA PEMECAHANNYA

Standarkompetensi(SK)

Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar dan logaritma.

Kopetensidasar(KD)

 ”menggunakan aturan pangkat, akar dan logaritma”

Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang melibatkan pangkat, akar, dan logaritma.

Menelaah indicator yang bemasalah

pada KD ini yang menjadi permasalahan bagi kebanyakan siswa adalah pada indicator yang berkaitan dengan bagimana cara Mengubah bentuk akar kebentuk pangkat dan sebaliknya.

Pada dasarnya bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan rasional yang hasilnya bukan bilangan rasional. Akar merupakan kebalikan dari pangkat yang biasanya dilambangkan dengan √ .

Mengidentifikasimasalahdalam indicators

Masalah yang ada pada indicator ini adalah bagaimana cara seorang siswa untuk lebih mudah memahami sifat-sifat perpangkatan dan mampu mengubah bentuk pangkat ke dalam bentuk akar, maupun mengubah dari bentuk akar kebentuk perpangkatan?  

Pemecahanmasalahdalamindikator

Untuk memecahkan masalah di atas guru hendaknya memberikan pemahaman tentang bentuk pangkat dan bentuk akar, dan menjelaskan beberapa sifat-sifat yang terdapat dalam betuk pangkat dan akar. Dengan cara demikian  diharapkan siswa dapat lebih mudah memahami dan mengerti bagaimana cara mengubah dan menyelesaikan bentuk perpangkatan kebentuk akar, begitu juga sebaliknya. Setelah itu barulah guru memberikan contoh soal dan memberikan beberapa soal latihan untuk lebih mengasah kemampuan dalam menjawab soal perpangkatan dan akar.