Sejarah Matematika

Sejarah Ilmu Matematika

Kata "matematika" berasal dari kata μάθημα(máthema) dalam bahasa Yunani yang diartikan sebagai "sains, ilmu pengetahuan, atau belajar" juga μαθηματικός (mathematikós) yang diartikan sebagai "suka belajar".Disiplin utama dalam matematika didasarkan pada kebutuhan perhitungan dalam perdagangan, pengukuran tanah dan memprediksi peristiwa dalam astronomi. Ketiga kebutuhan ini secara umum berkaitan dengan ketiga pembagian umum bidang matematika: studi tentang struktur, ruang dan perubahan.

Pelajaran tentang struktur dimulai dengan bilangan, pertama dan yang sangat umum adalah bilangan natural dan bilangan bulat dan operasi arimetikanya, yang semuanya itu dijabarkan dalam aljabar dasar. Sifat bilangan bulat yang lebih mendalam dipelajari dalam teori bilangan. Investigasi metode-metode untuk memecahkan persamaan matematika dipelajari dalam aljabar abstrak, yang antara lain, mempelajari tentang ring dan field, struktur yang menggeneralisasi sifat-sifat yang umumnya dimiliki bilangan. Konsep vektor, digeneralisasi menjadi vektor ruang dipelajari dalam aljabar linier, yang termasuk dalam dua cabang : struktur dan ruang.

Ilmu tentang ruang berawal dari geometri, yaitu geometri Euclid dan trigonometri dari ruang tiga dimensi (yang juga dapat diterapkan ke dimensi lainnya), kemudian belakangan juga digeneralisasi ke geometri Non-euclid yang memainkan peran sentral dalam teori relativitas umum. Beberapa permasalahan rumit tentang konstruksi kompas dan penggaris akhirnya diselesaikan dalam teori Galois. Bidang ilmu modern tentang geometri diferensial dan geometri aljabar menggeneralisasikan geometri ke beberapa arah:: geometri diferensial menekankan pada konsep fungsi, buntelan, derivatif, smoothness dan arah, sementara dalam geometri aljabar, objek-objek geometris digambarkan dalam bentuk sekumpulan persamaan polinomial. Teori grup mempelajari konsep simetri secara abstrak dan menyediakan kaitan antara studi ruang dan struktur. Topologi menghubungkan studi ruang dengan studi perubahan dengan berfokus pada konsep kontinuitas. 

Mengerti dan mendeskripsikan perubahan pada kuantitas yang dapat dihitung adalah suatu yang biasa dalam ilmu pengetahuan alam, dan kalkulus dibangun sebagai alat untuk tujauan tersebut. Konsep utama yang digunakan untuk menjelaskan perubahan variabel adalah fungsi. Banyak permasalahan yang berujung secara alamiah kepada hubungan antara kuantitas dan laju perubahannya, dan metoda untuk memecahkan masalah ini adalah topik dari persamaan differensial. Untuk merepresentasikan kuantitas yang kontinu digunakanlah bilangan riil, dan studi mendetail dari sifat-sifatnya dan sifat fungsi nilai riil dikenal sebagai analisis riil. Untuk beberapa alasan, amat tepat untuk menyamaratakan bilangan kompleks yang dipelajari dalam analisis kompleks. Analisis fungsional memfokuskan perhatian pada (secara khas dimensi tak terbatas) ruang fungsi, meletakkan dasar untuk mekanika kuantum di antara banyak hal lainnya. Banyak fenomena di alam bisa dideskripsikan dengan sistem dinamis dan teori chaos menghadapi fakta yang banyak dari sistem-sistem itu belum memperlihatkan jalan ketentuan yang tak dapat diperkirakan. Agar menjelaskan dan menyelidiki dasar matematika, bidang teori pasti, logika matematika dan teori model dikembangkan. 

Saat pertama kali komputer disusun, beberapa konsep teori yang penting dibentuk oleh matematikawan, menimbulkan bidang teori komputabilitas, teori kompleksitas komputasional, teori informasi dan teori informasi algoritma. Kini banyak pertanyaan-pertanyaan itu diselidiki dalam ilmu komputer teoritis. Matematika diskret ialah nama umum untuk bidang-bidang penggunaan matematika dalam ilmu komputer. 

Bidang-bidang penting dalam matematika terapan ialah statistik, yang menggunakan teori probabilitas sebagai alat dan memberikan deskripsi itu, analisis dan perkiraan fenomena dan digunakan dalam seluruh ilmu. Analisis bilangan menyelidiki teori yang secara tepat guna memecahkan bermacam masalah matematika secara bilangan pada komputer dan mengambil kekeliruan menyeluruh ke dalam laporan.setau saya 1 ditambah 1 sama dengan 10

Perkembangan Matematika Gerik Purbakala

Kekuasaan raja-raja mesir dan babilonia menurun dan muncul bangsa-bangsa baru yang lebih perkasa seperti bangsa heber, aria, phoenisia, dan gerik.Kegiatan perdagangan antara bangsa mulai berkembang. Sesuai dengan perkembangan peradaban itu, matematika juga turut berkembang.

Gambaran Sejarah Purbakala Dari Matematika

Dasar Praktis

Pada Mulanya dizaman purbakala banyak bangsa-bangsa yang bermukim sepanjang sungai-sungai besar. Bangsa Mesir sepanjang sungai nil di Afrika, Bangsa Babilonia sepanjang sungai Tigris dan Eufrat, Bangsa Hindu sepanjang sungai Indus dan Gangga, Bangsa Cina Sepanjang Sungai Huang Ho dan Yang Tze. Bangsa itu memerlukan keterampilan untuk mengendalkan banjir, mengeringkan rawa-rawa, membuat irigasi untuk mengolah tanah sepanjang sungai menjadi daerah pertanian. Untuk itu diperlukan pengetahuan praktis yaitu pengetahuan teknik dan matematika bersamaan.Sejarah Menunjukkan bahwa permulaan matematika berasal dari bangsa yang bermukim di sepanjang aliran sungai tersebut. Mereka memerlukan perhitungan, penanggalan yang dapat dipakai sesuai dengan perubahan musim. Maka awal matematika adalah Aritmetika.

Matematika Tertulis dan Penyampaian

Bangsa India dan Cina menggunakan media tulis yang mudah hancur sperti kulit kayu dan bamboo. Akan tetapi bangsa Mesir dan Babilonia, media tulis yang digunakan adalah batu-batu loh-loh yang dibuat dari tanah liat kemudian dibakar sehingga tidak hancur walaupun pada iklim kering.

Penemuan Ahli-ahli Purbakala

1.       Matematika Babilonia Purbakala

Penggalian-pengalian oleh ahli purbakala menemukan lebih daro 50.000 loh-loh dari daerah Nippur Mesopotamia. Diantara Loh-loh itu yang sudah dikenal terdapat kira-kira 300 loh-loh matematika berisi tabel-tabel matematika, dan Soal-soal Matematika. Kunci pemahaman akan prasasti ditemukan oleh beberapa ahli seperti Gratefend, Rawlinson tahun 1847 oleh Neugebaner dan Thureau. Dangin tahun 1935. Terdapat naskah-naskah matematika yang penanggalannya 2100 BC (Sebelum Masehi) dari masa kejayaan sumarian yang tinggal di lembah sungai tigris dan eufrat. Perkembangan pesat kebudayaan sumarian pada masa raja Hammurabi dari dinasti Babilonia. Seiring dengan perkembangan kebudayaan terdapat naskah-naskah matematika dengan penanggalan kira-kira 1600 BC. Naskah-naskah yang lebih banyak dari penanggalan antara 600 sampai 300 BC pada masa kekaisaran Nebukadnesar. Isi naskah-naskah matematika itu antara lain mengenal rekening-rekening, perjanjian utang-piutang, bunga uang, sistemukuran panjang, ukuran berat. Dari 300 loh-loh matematia babilonia terdapat 200 loh berisi daftar matematika. Daftar-daftar itu mengenai perkalian, kebalikan, memangkatkan. Naskah-naskah matematika itu menunjukan kemapuan mereka dalam ilmuperbintangan atau astronomi.

2.       Matematika Mesir Purbakala

Hasil Arkeologi yang terkait dengan matematika dapat disebut beberapa diantaranya :

a)   Di Museum Oxford terdapat suatu tongkat kerajaan Mesir dari penanggalan 3100 BC. Dalam tulisan hieroglif pada tongka itu terdapat bilangan jutaan dan ratusan ribu mengenai penyerbuan militer.

b)   Piramida Gizeh didirikan 2900 BC pasti menggunakan keterampilan teknik dan matematika. Bangunan itu didirikan diatas tanah seluas kira-kira 13 are (+ 1300 m²). Bangunan terdiri dari 2.000.000 bongkahan bata dengan rata-rata berat 2,5 ton setiap bongkahan. Atas Berbentuk bujur sangkaryang hampir sempurna. Hanya dengan kesalahan  dan sudut sikunya hanya dengan kesalahan  . Tercatat bahwa bangunan itu dibangun dan dikerjakan 100.000 orang pekerja selama 30 tahun namun hanya dengan kesalahan sekecil itu. Suatu keterampilan matematika yang amat menakjubkan.

c)   Papirus Moskow pada tahun 1930, Menggunakan sebanyaj 25 soal matematika dari penanggalan 1850 BC.

d)   Di Museum Berlin terdapat alat astronomi yang diawetkan dari penanggalan 1850 BC.

e)   Papirus Rhind (Hery Rhind) seorang ahli purbakala tentang mesir dan inggris menulis 85 soal matematika dari penanggalan 1650 BC. Papirus ini dapat dibaca di Museum Britis. Papirus Rhind dan Papirus Moskow adalah sumber utama mengenai Matematika Mesir Purbakala.

f)    Di Museum Berlin terdapat penanggalan matahari tertua dari penanggalan 1500 BC.

g)   Papirus Rollin yang berasal pada tahun 1350 BC sekarang diawetkan dimuseum Louvre berisi perhitungan-perhitunan rekening roti sebagai pemakaian bilangan-bilangan pada waktu itu.

h)   Papirus Harris dari 1107 BC suatu dokumen mengenai harta kekayaan disuatu kuil. Daftar yang dipersiapkan Ramses IV ketika menggantikan bapaknya Ramses III.

Asal Mula Pemikiran Matematika

Asal mula pemikiran matematika terletak di dalam konsep bilangan, besaran, dan bangun.^[8] Pengkajian modern terhadap fosil binatang menunjukkan bahwa konsep ini tidak berlaku unik bagi manusia. Konsep ini mungkin juga menjadi bagian sehari-hari di dalam kawanan pemburu. Bahwa konsep bilangan berkembang tahap demi tahap seiring waktu adalah bukti di beberapa bahasa zaman kini mengawetkan perbedaan antara "satu", "dua", dan "banyak", tetapi bilangan yang lebih dari dua tidaklah demikian.^[8] Benda matematika tertua yang sudah diketahui adalah tulang Lebombo, ditemukan di pegunungan Lebombo di Swaziland dan mungkin berasal dari tahun 35000 SM.^[9] Tulang ini berisi 29 torehan yang berbeda yang sengaja digoreskan pada tulang fibula baboon.^[10] Terdapat bukti bahwa kaum perempuan biasa menghitung untuk mengingat siklus haid mereka; 28 sampai 30 goresan pada tulang atau batu, diikuti dengan tanda yang berbeda.^[11] Juga artefak prasejarah ditemukan di Afrika dan Perancis, dari tahun 35.000 SM dan berumur 20.000 tahun,^[12] menunjukkan upaya dini untuk menghitung waktu.^[13]

Tulang Ishango, ditemukan di dekat batang air Sungai Nil (timur laut Kongo), berisi sederetan tanda lidi yang digoreskan di tiga lajur memanjang pada tulang itu. Tafsiran umum adalah bahwa tulang Ishango menunjukkan peragaan terkuno yang sudah diketahui tentang barisan bilangan prima^[10] atau kalender lunar enam bulan.^[14] Periode Predinastik Mesir dari milenium ke-5 SM, secara grafis menampilkan rancangan-rancangan geometris. Telah diakui bahwa bangunan megalit di Inggris dan Skotlandia, dari milenium ke-3 SM, menggabungkan gagasan-gagasan geometri seperti lingkaran, elips, dan tripel Pythagoras di dalam rancangan mereka.^[15]

Matematika Babilonia

Matematika Babilonia merujuk pada seluruh matematika yang dikembangkan oleh bangsa Mesopotamia (kini Iraq) sejak permulaan Sumeria hingga permulaan peradaban helenistik.^[16] Dinamai "Matematika Babilonia" karena peran utama kawasan Babilonia sebagai tempat untuk belajar. Pada zaman peradaban helenistik Matematika Babilonia berpadu dengan Matematika Yunani dan Mesir untuk membangkitkan Matematika Yunani. Kemudian di bawah Kekhalifahan Islam, Mesopotamia, terkhusus Baghdad, sekali lagi menjadi pusat penting pengkajian Matematika Islam. Bertentangan dengan langkanya sumber pada Matematika Mesir, pengetahuan Matematika Babilonia diturunkan dari lebih daripada 400 lempengan tanah liat yang digali sejak 1850-an.^[17] Ditulis di dalam tulisan paku, lempengan ditulisi ketika tanah liat masih basah, dan dibakar di dalam tungku atau dijemur di bawah terik matahari. Beberapa di antaranya adalah karya rumahan.

Bukti terdini matematika tertulis adalah karya bangsa Sumeria, yang membangun peradaban kuno di Mesopotamia. Mereka mengembangkan sistem rumit metrologi sejak tahun 3000 SM. Dari kira-kira 2500 SM ke muka, bangsa Sumeria menuliskan tabel perkalian pada lempengan tanah liat dan berurusan dengan latihan-latihan geometri dan soal-soal pembagian. Jejak terdini sistem bilangan Babilonia juga merujuk pada periode ini.^[18] Sebagian besar lempengan tanah liat yang sudah diketahui berasal dari tahun 1800 sampai 1600 SM, dan meliputi topik-topik pecahan, aljabar, persamaan kuadrat dan kubik, dan perhitungan bilangan regular, invers perkalian, dan bilangan prima kembar.^[19] Lempengan itu juga meliputi tabel perkalian dan metode penyelesaian persamaan linear dan persamaan kuadrat. Lempengan Babilonia 7289 SM memberikan hampiran bagi √2 yang akurat sampai lima tempat desimal.

Matematika Babilonia ditulis menggunakan sistem bilangan seksagesimal (basis-60). Dari sinilah diturunkannya penggunaan bilangan 60 detik untuk semenit, 60 menit untuk satu jam, dan 360 (60 x 6) derajat untuk satu putaran lingkaran, juga penggunaan detik dan menit pada busur lingkaran yang melambangkan pecahan derajat. Kemajuan orang Babilonia di dalam matematika didukung oleh fakta bahwa 60 memiliki banyak pembagi. Juga, tidak seperti orang Mesir, Yunani, dan Romawi, orang Babilonia memiliki sistem nilai-tempat yang sejati, di mana angka-angka yang dituliskan di lajur lebih kiri menyatakan nilai yang lebih besar, seperti di dalam sistem desimal. Bagaimanapun, mereka kekurangan kesetaraan koma desimal, dan sehingga nilai tempat suatu simbol seringkali harus dikira-kira berdasarkan konteksnya.

Diophantus (250-200 SM)

Ia merupakan “Bapak Aljabar” bagi Babilonia yang mengembangkan konsep-konsep aljabar Babilonia. Seorang matematikawan Yunani yang bermukim di Iskandaria. Karya besar Diophantus berupa buku aritmatika, buku karangan pertama tentang system aljabar. Bagian yang terpelihara dari aritmatika Diophantus berisi pemecahan kira-kira 130 soal yang menghasilkan persamaan-persamaan tingkat pertama.

Hipparchus dari Nicaea

Bangsa Sumeria tinggal di bagian selatan Mesopotamia (Irak). Sekitar 2000 SM, peradaban mereka diserap oleh bangsa Babilonia, dan kebudayaan bangsa Babilonia mencapai puncaknya sekitar 575 SM, di bawah Nebuchadnezzar. Pencapaian matematika yang akan kita diskusikan pada bab ini ditulis pada lempengan tanah liat dari bangsa Babilonia dan Sumeria. Kebanyakan hasil ini kembali seperti 2000 SM – kira-kira ketika Bapa Abraham tinggal di kota Sumeria di Ur. Kita menggunakan kata “Babylonian” untuk yang barangkali lebih akurat dideskripsikan sebagai matematika “Mesopotamia”. Bangsa Babilonia menggunakan sebuah basis perhitungan,

Matematika Mesir

Matematika Mesir merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa Mesir. Sejak peradaban helenistik, Yunani menggantikan bahasa Mesir sebagai bahasa tertulis bagi kaum terpelajar Bangsa Mesir, dan sejak itulah matematika Mesir melebur dengan matematika Yunani dan Babilonia yang membangkitkan Matematika helenistik. Pengkajian matematika di Mesir berlanjut di bawah Khilafah Islam sebagai bagian dari matematika Islam, ketika bahasa Arab menjadi bahasa tertulis bagi kaum terpelajar Mesir.

Tulisan matematika Mesir yang paling panjang adalah Lembaran Rhind (kadang-kadang disebut juga "Lembaran Ahmes" berdasarkan penulisnya), diperkirakan berasal dari tahun 1650 SM tetapi mungkin lembaran itu adalah salinan dari dokumen yang lebih tua dari Kerajaan Tengah yaitu dari tahun 2000-1800 SM.^[20] Lembaran itu adalah manual instruksi bagi pelajar aritmetika dan geometri. Selain memberikan rumus-rumus luas dan cara-cara perkalian, perbagian, dan pengerjaan pecahan, lembaran itu juga menjadi bukti bagi pengetahuan matematika lainnya,^[21] termasuk bilangan komposit dan prima; rata-rata aritmetika, geometri, dan harmonik; dan pemahaman sederhana Saringan Eratosthenes dan teori bilangan sempurna (yaitu, bilangan 6).^[22] Lembaran itu juga berisi cara menyelesaikan persamaan linear orde satu ^[23] juga barisan aritmetika dan geometri.^[24]

Juga tiga unsur geometri yang tertulis di dalam lembaran Rhind menyiratkan bahasan paling sederhana mengenai geometri analitik: (1) pertama, cara memperoleh hampiran π yang akurat kurang dari satu persen; (2) kedua, upaya kuno penguadratan lingkaran; dan (3) ketiga, penggunaan terdini kotangen.

Naskah matematika Mesir penting lainnya adalah lembaran Moskwa, juga dari zaman Kerajaan Pertengahan, bertarikh kira-kira 1890 SM.^[25] Naskah ini berisikan soal kata atau soal cerita, yang barangkali ditujukan sebagai hiburan. Satu soal dipandang memiliki kepentingan khusus karena soal itu memberikan metoda untuk memperoleh volume limas terpenggal: "Jika Anda dikatakan: Limas terpenggal setinggi 6 satuan panjang, yakni 4 satuan panjang di bawah dan 2 satuan panjang di atas. Anda menguadratkan 4, sama dengan 16. Anda menduakalilipatkan 4, sama dengan 8. Anda menguadratkan 2, sama dengan 4. Anda menjumlahkan 16, 8, dan 4, sama dengan 28. Anda ambil sepertiga dari 6, sama dengan 2. Anda ambil dua kali lipat dari 28 twice, sama dengan 56. Maka lihatlah, hasilnya sama dengan 56. Anda memperoleh kebenaran."

Akhirnya, lembaran Berlin (kira-kira 1300 SM ^[26]) menunjukkan bahwa bangsa Mesir kuno dapat menyelesaikan persamaan aljabar orde dua.^[27]

Matematika Sebagai Pelayan Masyarakat

Aristoteles berpendapat bahwa matematika telah dimulai oleh para imam di Mesir, karena ada kelompok imam yang mempunyai waktu luang (Metaphysics 981b 23-24). Namun Herodotus percaya bahwa geometri tercipta karena pengukuran yang harus dilakukan akibat banjir tahunan sungai Nil, untuk menentukan kembali batas–batas tanah. Sesungguhnya, Democritus disebut sebagai matematikawan Mesir “pengulur tali” (rope stretchers).Dari sudut pandang filosofis, merupakan hal yang penting bahwa masyarakat Mesir berkeyakinan bahwa matematika mempunyai sumber yang bersifat ketuhanan.

Bibliotheca Alexandrina Egypt

Bibliotheca Alexandrina Egypt (Perpustakaan Iskandariah Mesir) merupakan perpustakaan pertama dan terbesar di dunia. Perpustakaan ini bahkan bertahan selama berabad-abad dan memiliki koleksi 700.000 gulungan papyrus, bahkan jika di bandingkan dengan Perpustakaan Sorbonne di abad ke-14 ‘hanya’ memiliki koleksi 1700 buku.  Perpustakaan ini di dirikan oleh Ptolemi I sang penerus Alexander(Iskandariah) pada tahun 323 SM, dan terus berlanjut sampai kekuasaan Ptolemi III. Pada waktu itu para penguasa mesir begitu besemangat memajukan Perpustakaan dan Ilmu Pengetahuan mereka, bahkan dalam Manuskrip Roma mengatakan bahwa sang Raja mesir membelanjakan harta kerajaan untuk membeli buku dari seluruh pelosok negeri hingga terkumpul 442.800 buku dan 90.000 lainnya berbentuk ringkasan tak berjilid. Ia juga memerintahkan prajurit untuk menggeledah setiap kapal yang masuk guna memperoleh naskah. Jika ada naskah yang ditemukan, mereka menyimpan yang asli dan mengembalikan salinannya. Menurut beberapa sumber, ketika Athena meminjamkan naskah-naskah drama klasik Yunani asli yang tak ternilai kepada Ptolemeus III, ia berjanji membayar uang jaminan dan menyalinnya. Tetapi sang raja malah menyimpan yang asli, tidak mengambil kembali uang jaminan itu, dan memulangkan salinannya.

Namun cerita keemasan ini hanya menjadi sejarah. Ialah ketuka penaklukan bangsa Romawi yang di pimpin oleh Julius Caesar pada tahun 48 SM. Bangsa Romawi membakar 400.000 buku musnah menjadi abu using yang tak berguna. Dunia ilmu saat itu sangat berduka karena telah kehilangan salah satu sumber ilmu pengetahuan terbaik saat itu. Namun akhirnya sang Kaisar, Julius Caesar meminta maaf, dan sebagai gantinya ia mengirim Marx Antonio untuk menghadiahkan 200.000 buku dari Roma kepada Ratu mesir saat itu, Cleopatra, dan dari inilah kisah mereka berlanjut.  Namun perpustakaan megah yang ada di mesir tersebut tak pernah kembali seperti masa – masa keemasanya. Sejak pembakaran tersebut, Perpustakaan Iskadariah solah tak terurus. Bahkan hampir menjadi artefak –artefak kuno saja. Akan tetapi, UNESCO memprakarsai untuk bekerja sama dengan pemerintah Mesir,membangun kembali perpustakaan dengan sejarah terbesar dalam sejarah tersebut. Dan pembangunan ini di mulai sejak tahun 1990-an. Pembangunan ini menghabiskan dana tak kurang dari US$ 220 juta. US 120 juta di tanggung pemerintah Mesir dan sisanya di tanggung dari bantuan Internasional dari Negara-negara lain. Akhirnya setelah terbengkalai hampir selama 20 Abad, Perpustakaan Iskandriah(Bibliotheca Alexandrina) berdiri megah dan unik. Bangunan utama berbentuk bulat beratap miring, terbenam dalam tanah. Di bagian depan sejajar atap, dibuat kolam untuk menetralkan suhu pustaka, terdiri lima lantai di dalam tanah, perpustakaan ini dapat memuat sekitar 8 juta buku. Namun yang ada saat ini baru 250.000 buku dan akan terus bertambah tiap tahun.Selain itu juga menyediakan berbagai fasilitas, seperti 500 unit komputer berbahasa Arab dan Inggris untuk memudahkan pengunjung mencari katalog buku, ruang baca berkapasitas 1.700 orang, conference room, ruang pustaka Braille Taha Husein khusus tuna netra, pustaka anak-anak, museum manuskrip kuno, lima lembaga riset, dan kamar-kamar riset yang bisa dipakai gratis. 

Dan yang juga menarik,adalah lantai tengah perpustakaan tersebut terdapat Gallery Design dan bisa dilihat dari berbagai sisi. Di lantai kayu yang cukup luas itu terpajang berbagai prototype mesin cetak kuno dan berbagai lukisan dinding. Perpustakaan ini selalu dipenuhi pengunjung, padahal di Alexandria tidak banyak universitas seperti di Kairo. Ini menunjukkan tingginya minat baca masyarakat Mesir dan perpustakaan yang dulu dihancurkan Julius Caesar itu kini menjadi salah satu objek wisata sebagaimana Piramid Giza, Mumi, Karnax Temple, Kuburan para Firaun di Luxor atau Museum Kairo yang menyimpan timbunan emas Tutankhamun.

Matematika Yunani

Socrates (427-347 SM)

Socrates merupakan seorang filosofi besar dari Yunani. Dia juga menjadi pencipta ajaran serba cita, karena itu filosofinya dinamakan idealisme. Ajarannya lahir karena pergaulannya dengan kaum sofis. Plato merupakan ahli pikir pertama yang menerima paham adanya alam bukan benda

Pythagoras dari Samos (582-496 SM)

Pythagoras adalah orang yang pertama kali mencetuskan aksioma-aksioma, postulat-postulat yang perlu dijabarkan terlebih dahulu dalam mengembangkan geometri. Pythagoras bukan orang yang menemukan suatu teorema Pythagoras namun dia berhasil membuat pembuktian matematis. Persaudaraan Pythagoras menemukan √2 sebagai bilangan irrasional.

Matematika Yunani merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa Yunani antara tahun 600 SM sampai 300 M.^[28] Matematikawan Yunani tinggal di kota-kota sepanjang Mediterania bagian timur, dari Italia hingga ke Afrika Utara, tetapi mereka dibersatukan oleh budaya dan bahasa yang sama. Matematikawan Yunani pada periode setelah Iskandar Agung kadang-kadang disebut Matematika Helenistik.

Sejarah Aliran Pythagoras

Matematikawan yang namanya terkenal karena teorema mengenai segitiga siku-siku ini memulai pengembaraannya setelah mendapat anjuran Thales, matematikawan dari Miletus.

Pengembaraan Pythagoras untuk mengembangkan matematika mengantarkan ia pada para pendeta Zoroaster yang memilihara pengetahuan matematika Mesopotamia di bawah kerajaan Persia.Seusai dari pengembaraannya, Pythagoras mendirikan perguruan yang mendalami agama dan matematika di Krotona, kota koloni Yunani. Salah satu ajaran dari perguruan ini adalah tidak membubuhkan nama sendiri pada setiap tulisan tetapi nama persaudaraan Pythagoras. Hasil yang paaling diingat dari perguruan ini adalah teorema Pythagoras yang menyatakan kuadrat sisi miring pada segitiga siku-siku merupakan penjumlahan dari kuadrat dua sisi lainnya.

Phytagoras (Lahir tahun 570 SM sampai kematiannya pada tahun 495 SM) lahir di Samos, pesisir pulau Yunani yang sekarang kita kenal dengan Turki,adalah seorang matematikawan dan filsuf Yunani yang paling dikenal melalui teoremanya. 

Dikenal sebagai "Bapak Bilangan",dia memberikan sumbangan yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM.

Menurut Iamblicus, Porphyry dan Diogenes Laertus, Pythagoras belajar dari orang-orang Babilonia, dan ia mungkin telah bertemu dengan Nabi Daniel di Babilonia. Dari lempengan tanah liat Plimpton 322, kita mengenal bahwa sebenarnya bangsa Babilonia telah mengerjakan teori ‘segitiga Pythagoras’ dan Pythagoras mempelajari itu dari mereka. Pythagoras mungkin yang pertama kali menemukan bukti teorema Pythagoras.

teorema ini diambil oleh peninggalnya, Phytagoras namun nyatanya fakta-fakta teori ini pertama kali diketahui oleh matematikawan Cina dan Mesir jauh sebelum Phytagoras lahir. Lalu mengapa nama filsuf yunani ini diabadikan ke Teori yang sudah dikenal masya masyarakat bertahuntahun sebelum dia lahir?

Arstitek Mesir sering menggunakan 3,4,5 segitiga siku-siku (segitiga siku-siku dengan 12 ikatan) sebagai alat praktis dalam membuat bujur sangkar dan palang arsitektur mesir  Spoiler for 3,4,5 segitiga siku-siku:
Untuk Mesir, tidak hanya angka-angka ganjil dan genap-mereka adalah laki-laki dan perempuan. Setiap bagian dari alam semesta itu / adalah seorang laki-laki atau perempuan. Tidak ada netral (benda). Tidak seperti di Inggris, di mana ada she, he, atau it, di Mesir hanya ada she dan he.

Angka animasi ini di Mesir Kuno yang disebut oleh Plutarch, di Moralia Vol V, ketika ia menggambarkan 3-4-5 Mesir segitiga:

Yang lurus keatas dapat disamakan dengan laki-laki, pangkalan ke betina, dan sisi miring adalah anak kedua, dan begitu Ausar [Osiris] dapat dianggap sebagai asal-usul, Auset [Isis] sebagai penerima, dan Heru [Horus] sebagai hasil sempurna. Tiga adalah angka ganjil pertama yang sempurna: empat adalah sisi persegi yang bahkan adalah nomor dua, tetapi lima ini dalam beberapa hal seperti kepada ayah, dan dalam beberapa hal seperti untuk ibunya, yang terdiri atas tiga dan dua. Dan panta [semua] adalah turunan dari pente [lima], dan mereka berbicara tentang penghitungan sebagai "penomoran oleh balita". Lima membuat persegi dengan sendirinya.

Catatan Cina tertua mengenai Teorema phytagoras dikenal dengan nama Teorema Shang Gao, dan dinamai oleh Astrolog Adipati Zhou, dan dijelaskan dalam koleksi matematika Chou Pei Suan Ching. Dan di India, teorema ini dikenal sebagai Teorema Bhaskara.

Selain bangsa cina, mesir, bahkan India, teori segitiga siku-siku ini juga sudah diketahui oleh bangsa Babilonia dan masyarakat eropa utara. Tetapi mereka hanya menggunakan pengetahuan ini dalam kehidupan sehari-hari, tidak bisa membuktikan teorinya. Tetapi, Phytagoras seorang yang gigih dan pantang menyerah. Kemudian, dialah orang yang pertama kali membuktikan teori Phytagoras bahwa jumlah hasil kuadrat dari kedua sisi siku-siku sama dengan kuadrat dari sisi miringnya. Dia berhasil membuktikanya dengan luas bujur sangkar untuk menghubungkan ketiga sisi tersebut, Pada saat usianya yang ke-40 tahun, Pythagoras mendirikan perguruan Pythagoras di kota pelabuhan Crotone.Di sekolah ini ia mengajarkan filsafat dan keagamaan.Di sekolah ini pythaoras mempunyai kepercayaan sendiri yang diberikan kepada murid-muridnya. Selain mengajarkan agama, guru Pythagoras juga sangat menyukai musik, karena musik bisa membersihkan jiwa kita dia mengajarkan musik ke murid-muridnya bermain dan menyukai musik, dia pun sering dipanggil oleh terapis musik. kecapi ini pun pertama kali diciptakan di perguruan Pythagoras.Teorema Phytagoras. Teorema ini bisa digunakan pada setiap segitiga siku-siku. Segitiga siku-siku adalah segitiga yang memiliki sudut siku-siku, dan sudut siku-siku merupakan sudut 90derajat Contoh segitiga siku-siku saat dimiringkan :

Sejarah Pythagoras & PenyempurnaanBukti visual tentang 3,4,5 segitiga yang ada di Chou Pei Suan Ching 500-200 SM

 Pythagoras tertarik dalam bilangan sempurna, yaitu, bilangan seperti 6 dan 28, yang sama dengan jumlahan faktor-faktor sejatinya. Jika s(n) menyatakan jumlahan semua pembagi sejati suatu bilangan positif n, termasuk n itu sendiri, maka n adalah sempurna bila dan hanya bila      s(n) = 2n.

Puncak Buku IX dari Elemen, karya Euclid (300 SM) Matematikawan yang namanya terkenal karena teorema mengenai segitiga siku-siku ini memulai pengembaraannya setelah mendapat anjuran Thales, matematikawan dari Miletus. Pengembaraan Pythagoras untuk mengembang-kan matematika mengantarkan ia pada para pendeta Zoroaster yang memilihara pengetahuan matematika Mesopotamia di bawah kerajaan Persia.Seusai dari pengembaraannya, Pythagoras mendirikan perguruan yang mendalami agama dan matematika di Krotona, kota koloni Yunani. Salah satu ajaran dari perguruan ini adalah tidak membubuhkan nama sendiri pada setiap tulisan tetapi nama persaudaraan Pythagoras. Hasil yang paaling diingat dari perguruan ini adalah teorema Pythagoras yang menyatakan kuadrat sisi miring pada segitiga siku-siku merupakan penjumlahan dari kuadrat dua sisi lainnya.

Sejarah Aliran Pythagoras dan Bidang Banyak

Sebuah bidang banyak adalah sebuah bangun ruang yang permukaannya terdiri dari daerah segi banyak. Sebuah bidang banyak disebut beraturan atau Platonik jika sisi-sisinya merupakan segi banyak beraturan yang kongruen dan jika sudut-sudut bidang banyak tersebut semuanya juga kongruen. Lima bidang banyak beraturan adalah sebagai berikut :Kubus dibatasi oleh 6 persegi, dengan 3 persegi berpotongan pada satu titik sudut. Bidang empat dibatasi oleh 4 segi tiga sama sisi, dengan 3 segi tiga berpotongan pada satu titik sudut.Bidang delapan ...

Sejarah Aliran Pythagoras dan Ketidakrasionalan

Panjang a dan b disebut sepadan jika ada bilangan bulat positif p dan g sehingga a/b = p/q. Ketika aliran Pythagoras menyatakan bahwa semuanya adalah bilangan, aliran pythagoras bermaksud untuk menyatakan secara tidak langsung bahwa semua pasangan panjang adalah sepadan. Dalam aliran Pythagoras, “bilangan“ yang dimaksud adalah“ bilangan rasional“. Sayangnya, mereka segera menemukan bahwa diagonal dari suatu kuadrat tidak sepadan dengan sisinya. Bukti dari semua ini ditemukan pada Aristotle’s Prior Analytic 41 a 23 – 30. Misalkan ABCD adalah persegi yang sisi–sisinya mempunyai panjang 1. Dengan teorema Pythagoras, Sehingga diagonal AC panjangnya dapat di cari

Teori Matematika Pythagoras: Bilangan Rasional

Menurut Pythagoras, angka adalah benda yang menakjubkan. Ajaran Pythagoras menganggap setiap angka memunyai artinya sendiri dan merupakan asal mula segala benda

1      Seluruh angka dimulai dari angka 1. Angka-angka lain terbentuk secara berkelanjutan ditambah  dengan angka 1. Sehingga angka 1 dianggap sebagai lambang cahaya dan keberuntungan

2      adalah wanita

3      melambangkan laki-laki

4      melambangkan kebenaran, angka keramat

5      menggabungkan 2 dan 3, melambangkan pernikahan dan sebagainya

Ajaran Pythagoras menggunakan angka untuk menyatukan semuanya Bilangan bulat yang terbentuk mulai dari angka 1 ini disebut bilangan rasional..

Bilangan Rasional?

Bilangan rasional mencakup semua bilangan bulat dan pecahan. Semuanya adalah bilangan yang nyata. Bilangan bulat mencakup bilangan positif, 0 (nol), dan bilangan negatif. Semua adalah angka yang pasti ada di alam. Sedangkan bilangan Irasional adalah kebalikan dari bilangan rasional, yaitu bilangan desimal yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak terbatas).

Pythagoras juga pernah berkata, 'bilangan rasional adalah asal mula seluruh benda'..

Mari kita ingat-ingat lagi bagian pemelajaran matematika yang pernah diajakan saat masih sekolah 

Phytagoras adalah pembelajaran mengenai segitiga siku-siku yang menyatakan bahwa kuadrat dari sisi miring adalah sama dengan jumlah kuadrat dari sisi-sisi siku-sikunya.

contoh segitiga siku-siku :

Secara matematis rumus Phytagoras ini ditulis : a^2 + c^2 = b^2

dimana a dan c adalah sisi siku-siku, sedangkan b adalah sisi miringnya

Bukti bahwa jumlah luas persegi dari sisi miring segitiga siku-siku sama dengan jumlah persegi dari sisi lainnya bisa bedasarkan gambar diatas. Bayangkan aja agan mempunyai ubin segitiga berwarna merah yang merupakan celana dalam aka segitiga siku-siku.. dan buatkan persegi disetiap sisi siku-sikunya (2 sisi yang membentuk V) dengan 2 ubin segitiga. Dan buatkan juga persegi di sisi satunya lagi dengan 4 ubin segitiga.

Maka : 2 ubin segitiga + 2 ubin segitiga = 4 ubin segitiga

Hal ini bisa membuktikan bahwa jumlah kuadrat dari segitiga siku-siku sama dengan kuadrat dari sisi miringnya sekilas tampaknya ini hanya masalah luas, tetapi ternyata ada manfaat yang lebih besar! Yaitu dapat menghubungkan Dunia Geometri (dunia bangun) dan Dunia Matematika (dunia angka)

Sejarah Kebutuhan Akan Tak Berhingga

Bertentangan dengan Anaximander, Parmenides dari Elea, Itali (480 SM) adalah seorang monist. Yaitu bahwa, dia menganggap bahwa alam semesta hanya terdiri dari satu obyek. Seberapa banyak benda yang ada hanyalah satu. Suatu yang unik, menurut Parmenides, tidak memiliki durasi yang tak berhingga, namun keberadaannya bersifat abadi dan tak tergantikan: ‘entah itu dulu, nanti, sekarang dan selamanya, semuanya tetap satu’. Tidak suatu benda yang ada mempunyai perluasan ruang yang tak berhingga: ‘objek ini disempurnakan pada tiap sisinya, seperti bagian besar dari sebuah bola bundar sempurna. (Kutipan dari J. Barnes, Early Greek Philosophy, hal 134-5). Parmenides berpikir bahwa tidak ada yang bergerak, karena gerakan menunjukkan keberadaan lebih dari satu benda, namakan suatu tempat (posisi) akhir dan tempat permulaan. Walaupun hal ini mungkin terlihat seperti jika sesuatu sedang bergerak, ini hanyalah sebuah ilusi

Appolonius (262-190 SM)

Appolonius memperkenalkan Konsepnya mengenai parabola, hiperbola, dan elips banyak memberi sumbangan bagi astronomi modern. Ia merupakan seorang matematikawan yang ahli dalam geometri. Teorema Appolonius menghubungkan beberapa unsur dalam segitiga

Thales dari Miletus (624-550 SM)

Dapat disebut matematikawan pertama yang merumuskan teorema atau proposisi, dimana tradisi ini menjadi lebih jelas setelah dijabarkan oleh Euclid. Landasan matematika sebagai ilmu terapan rupanya sudah diletakan oleh Thales sebelum muncul Pythagoras yang membuat bilangan.

Dunia Yunani kuno dahulu tidak terbatas pada apa yang sekarang disebut “ Bangsa Yunani”, tetapi meluas sampai Ionia (Turki Barat) di timur dan sebelah selatan Italia Barat. Matematikawan dan filsuf Yunani pertama yaitu Thales dari Miletus, seseorang yang hidup pada zaman Nabi Ezekiel (600 SM). (Miletus berada di barat daya pantai Turki). Menurut Proclus, Thales mengunjungi Mesir dan belajar geometri di sana. Thales meramalkan gerhana matahari yang terjadi di atas Yunani dan Mesopotamia pada tanggal 28 Mei 585 SM.

Plato mengulang sebuah cerita tentang Thales yang menjadi seorang professor linglung, yang asyik dengan materi luar angkasanya yang dia sendiri gagal untuk mengobservasi, sampai-sampai ia tidak memperhatikan sekelilingnya dan jatuh ke dalam lubangan.Matematika Yunani lebih berbobot daripada matematika yang dikembangkan oleh kebudayaan-kebudayaan pendahulunya. Semua naskah matematika pra-Yunani yang masih terpelihara menunjukkan penggunaan penalaran induktif, yakni pengamatan yang berulang-ulang yang digunakan untuk mendirikan aturan praktis. Sebaliknya, matematikawan Yunani menggunakan penalaran deduktif. Bangsa Yunani menggunakan logika untuk menurunkan simpulan dari definisi dan aksioma, dan menggunakan kekakuan matematika untuk membuktikannya.^[29]

Matematika Yunani diyakini dimulakan oleh Thales dari Miletus (kira-kira 624 sampai 546 SM) dan Pythagoras dari Samos (kira-kira 582 sampai 507 SM). Meskipun perluasan pengaruh mereka dipersengketakan, mereka mungkin diilhami oleh Matematika Mesir dan Babilonia. Menurut legenda, Pythagoras bersafari ke Mesir untuk mempelajari matematika, geometri, dan astronomi dari pendeta Mesir.

Thales menggunakan geometri untuk menyelesaikan soal-soal perhitungan ketinggian piramida dan jarak perahu dari garis pantai. Dia dihargai sebagai orang pertama yang menggunakan penalaran deduktif untuk diterapkan pada geometri, dengan menurunkan empat akibat wajar dari teorema Thales. Hasilnya, dia dianggap sebagai matematikawan sejati pertama dan pribadi pertama yang menghasilkan temuan matematika.^[30]

Thales semula sebagai saudagar kaya dari kota Miletus di pantai asia kecil. Ia mengembara ke Mesir dan tinggal beberapa lama di Mesir. Ia mempelajari matematika Mesir dan mengagumi piramida dan kemudian menghitung tinggi piramida itu dengan bantuan bayangannya

Thales mengambil suatu tongkat misalnya PQ, ia membuat lingkaran pusat P jari-jari sama dengan PQ. Dipagi hari yang cerah pada suatu saat bayangan Q jatuh tepat pada tepi lingkaran atau bayangan PQ = PR.

Pada saat itu pula bayangan T jatuh di titik S, sehingga KS dapat diukur. Berarti MS = TM = t tinggi piramida . sebut MK = ½ AB = a ( serengah alas piramida ) dapat diukur. KS = b dapat diukur. Jadi t = a + b. Demikianlah metoda bayangan dari Thales. Thales adalah orang pertama yang namanya dikaitkan dengan suatu Pythagoras mendirikan Mazhab Pythagoras, yang mendakwakan bahwa matematikalah yang menguasai semesta dan semboyannya adalah "semua adalah bilangan".^[31] Mazhab Pythagoraslah yang menggulirkan istilah "matematika", dan merekalah yang memulakan pengkajian matematika. Mazhab Pythagoras dihargai sebagai penemu bukti pertama teorema Pythagoras,^[32] meskipun diketahui bahwa teorema itu memiliki sejarah yang panjang, bahkan dengan bukti keujudan bilangan irasional.

Eudoxus (kira-kira 408 SM sampai 355 SM)

Eudoxus mengembangkan metoda kelelahan, sebuah rintisan dari Integral modern. Aristoteles (kira-kira 384 SM sampai 322 SM) mulai menulis hukum logika. Euklides (kira-kira 300 SM) adalah contoh terdini dari format yang masih digunakan oleh matematika saat ini, yaitu definisi, aksioma, teorema, dan bukti. Dia juga mengkaji kerucut. Bukunya, Elemen, dikenal di segenap masyarakat terdidik di Barat hingga pertengahan abad ke-20.^[33] Selain teorema geometri yang terkenal, seperti teorem Pythagoras, Elemen menyertakan bukti bahwa akar kuadrat dari dua adalah irasional dan terdapat tak-hingga banyaknya bilangan prima. Saringan Eratosthenes (kira-kira 230 SM) digunakan untuk menemukan bilangan prima.

 

Karya Euclides (325-265 SM)

Euklides disebut sebagai “Bapak Geometri” karena menemuka teori bilangan dan geometri. Subyek-subyek yang dibahas adalah bentuk-bentuk, teorema Pythagoras, persamaan dalam aljabar, lingkaran, tangen,geometri ruang, teori proporsi dan lain-lain. Alat-alat temuan Eukluides antara lain mistar dan jangkaEuclides diperkirakan hidup antara tahun 350 SM dengan 265 SM.

Seorang penguasa mesir yaitu ptolemeus mendirikan universitas di Alexandria. Salah satu pengajarnya adalah euclides. Euclides menulis lebih dari 10 jilid karya yang kemudian terkenal sebagai elemen euclides. Setelah 700 tahun, theon dari alexandria membuat perbaikan dari karya euclides itu. Karya theon inilah yang diterjemahkan ke dalam berbagai bahasa.

Pada tahun 1220, sarjana inggris yaitu adelard membuat terjemahan dalam bahasa latin dari terjemahan bahasa arab buku itu. Cetakan pertama dari buku Elemen Euclides itu dalam bahasa latin dibuat di Venesia pada tahun 1482 oleh Campanus.

Terjemahan pertama dari bahasa Gerik ke dalam bahasa  latin dibuat oleh Commadino    pada tahun 1572. Terjemahan lengkap ke dalam bahasa Inggris  dilakukan oleh Bringsley pada tahun 1570.

A. Buku Elemen Euclides

Buku karya euclides terdiri dari 13 jilid. Buku-buku ini  berisi mengenai teori bilangan, aljabar, dan geometri. Terdapat 465 dalil atau preposisi dalam buku ini.

Buku I

Isinya mulai dari aksioma, defenisi dan dalil-dail geometri. Terdapat 48 dalil geometri dalam buku ini. 26 dalil pertama berisi tentang segitiga, antara lain tentang dalil dua segitiga yang kongruen. Dalil 27-32 mengenai kesejajaran dan jumlah sudut segiitga adalah . Dalil 33-48 mengenai jajaran genjang, segitiga siku-siku, dan bujursangkar dan luasnya. Dalil 47 adalah mengenai teorema phitagoras dan dalil 48 mengenai kebalikan torema itu.

Buku II

Terdapat mengenai transformasi luas dan beberapa dalil mengenai aljabar geometri dan identitas aljabar

Buku III

Dalam buku III, terdapat dalil-dalil mengenai lingkaran, tali busur, garis singgung dan pengukur sudut.

Buku IV

Di dalam buku ini dibahas mengenai lukisan geometri menggunakan alat Euclides. Dengan alat euclides melukis segitiga, segilima, segiempat, segi enam, dan segi limabelas beraturan dengan membagi-bagi busur lingkaran, melukis segi () beraturan. Sehingga sampai abad delapan belas dianggap bahwa semua segi banyak dapat dilukis dengan alat Euclides. tetapi pada tahun 1796, Carl Frederich Gauss membuktikan suatu segi banyak beraturan yang banyak sisinya bilangan prima dapat dilukis  bila bilangan prima itu f(n)= + 1. Untuk n = 0, 1, 2, 3, 4 berturut-turut didapat segi 3, 5, 17, 257, 65.537.

Buku V

Buku ini berisi landasan tentang perbandingan teori Eudoxian mengenai perbandingan diperjalas sehingga kehebohan penemuan bilangan irrasional oleh sekolah Pythagoras dapat dipecahkan. Perbandingan dua besaran A dan B yang sejenis (sama-sama ruas garis, luas dan sebagainya) sama dengan perbandingan dari besar C dan D yang sejenis. Jika terdapat bilangan positif m dan n yang bulat sehingga untuk m A  n B sesuai dengan mC     n D atau A:B = C:D = m:n. teori Eudox ini kemudian dikembangkan oleh Dedekind dan Weierstass.

Archimedes (kira-kira 287 SM sampai 212 SM) dari Syracuse

Dia mengaplikasikan prinsip fisika dan matematika. Dan juga menemukan perhitungan π(pi) dalam menghitung luas lingkaran. Ia adalah ahli matematika terbesar sepanjang zaman dan di zaman kuno. Tiga karya Archimedes membahas geometri bidang datar, yaitu pengukuran lingkaran, kuadratur dari parabola dan spiral.

Archimedes menggunakan metoda kelelahan untuk menghitung luas di bawah busur parabola dengan penjumlahan barisan tak hingga, dan memberikan hampiran yang cukup akurat terhadap Pi.^[34] Dia juga mengkaji spiral yang mengharumkan namanya, rumus-rumus volume benda putar, dan sistem rintisan untuk menyatakan bilangan yang sangat besar.

Matematika Cina

Chou Pei Suan Ching

Sembilan Bab tentang Seni Matematika.

Matematika Cina permulaan adalah berlainan bila dibandingkan dengan yang berasal dari belahan dunia lain, sehingga cukup masuk akal bila dianggap sebagai hasil pengembangan yang mandiri.^[35] Tulisan matematika yang dianggap tertua dari Cina adalah Chou Pei Suan Ching, berangka tahun antara 1200 SM sampai 100 SM, meskipun angka tahun 300 SM juga cukup masuk akal.^[36]

Hal yang menjadi catatan khusus dari penggunaan matematika Cina adalah sistem notasi posisional bilangan desimal, yang disebut pula "bilangan batang" di mana sandi-sandi yang berbeda digunakan untuk bilangan-bilangan antara 1 dan 10, dan sandi-sandi lainnya sebagai perpangkatan dari sepuluh.^[37] Dengan demikian, bilangan 123 ditulis menggunakan lambang untuk "1", diikuti oleh lambang untuk "100", kemudian lambang untuk "2" diikuti lambang utnuk "10", diikuti oleh lambang untuk "3". Cara seperti inilah yang menjadi sistem bilangan yang paling canggih di dunia pada saat itu, mungkin digunakan beberapa abad sebelum periode masehi dan tentunya sebelum dikembangkannya sistem bilangan India.^[38] Bilangan batang memungkinkan penyajian bilangan sebesar yang diinginkan dan memungkinkan perhitungan yang dilakukan pada suan pan, atau (sempoa Cina). Tanggal penemuan suan pan tidaklah pasti, tetapi tulisan terdini berasal dari tahun 190 M, di dalam Catatan Tambahan tentang Seni Gambar karya Xu Yue.

Karya tertua yang masih terawat mengenai geometri di Cina berasal dari peraturan kanonik filsafat Mohisme kira-kira tahun 330 SM, yang disusun oleh para pengikut Mozi (470–390 SM). Mo Jing menjelaskan berbagai aspek dari banyak disiplin yang berkaitan dengan ilmu fisika, dan juga memberikan sedikit kekayaan informasi matematika.

Pada tahun 212 SM, Kaisar Qín Shǐ Huáng (Shi Huang-ti) memerintahkan semua buku di dalam Kekaisaran Qin selain daripada yang resmi diakui pemerintah haruslah dibakar. Dekret ini tidak dihiraukan secara umum, tetapi akibat dari perintah ini adalah begitu sedikitnya informasi tentang matematika Cina kuno yang terpelihara yang berasal dari zaman sebelum itu. Setelah pembakaran buku pada tahun 212 SM, dinasti Han (202 SM–220 M) menghasilkan karya matematika yang barangkali sebagai perluasan dari karya-karya yang kini sudah hilang. Yang terpenting dari semua ini adalah Sembilan Bab tentang Seni Matematika, judul lengkap yang muncul dari tahun 179 M, tetapi wujud sebagai bagian di bawah judul yang berbeda. Ia terdiri dari 246 soal kata yang melibatkan pertanian, perdagangan, pengerjaan geometri yang menggambarkan rentang ketinggian dan perbandingan dimensi untuk menara pagoda Cina, teknik, survey, dan bahan-bahan segitiga siku-siku dan π. Ia juga menggunakan prinsip Cavalieri tentang volume lebih dari seribu tahun sebelum Cavalieri mengajukannya di Barat. Ia menciptakan bukti matematika untuk teorema Pythagoras, dan rumus matematika untuk eliminasi Gauss. Liu Hui memberikan komentarnya pada karya ini pada abad ke-3 M.

Zhang Heng (78–139)

Sebagai tambahan, karya-karya matematika dari astronom Han dan penemu Zhang Heng (78–139) memiliki perumusan untuk pi juga, yang berbeda dari cara perhitungan yang dilakukan oleh Liu Hui. Zhang Heng menggunakan rumus pi-nya untuk menentukan volume bola. Juga terdapat karya tertulis dari matematikawan dan teoriwan musik Jing Fang (78–37 SM); dengan menggunakan koma Pythagoras, Jing mengamati bahwa 53 perlimaan sempurna menghampiri 31 oktaf. Ini kemudian mengarah pada penemuan 53 temperamen sama, dan tidak pernah dihitung dengan tepat di tempat lain hingga seorang Jerman, Nicholas Mercator melakukannya pada abad ke-17.

Bangsa Cina juga membuat penggunaan diagram kombinatorial kompleks yang dikenal sebagai kotak ajaib dan lingkaran ajaib, dijelaskan di zaman kuno dan disempurnakan oleh Yang Hui (1238–1398 M). Zu Chongzhi (abad ke-5) dari Dinasti Selatan dan Utara menghitung nilai pi sampai tujuh tempat desimal, yang bertahan menjadi nilai pi paling akurat selama hampir 1.000 tahun.

Bahkan setelah matematika Eropa mulai mencapai kecemerlangannya pada masa Renaisans, matematika Eropa dan Cina adalah tradisi yang saling terpisah, dengan menurunnya hasil matematika Cina secara signifikan, hingga para misionaris Jesuit seperti Matteo Ricci membawa gagasan-gagasan matematika kembali dan kemudian di antara dua kebudayaan dari abad ke-16 sampai abad ke-18.

Matematika India

Arca Aryabhata. Karena informasi tentang keujudannya tidak diketahui, perupaan Aryabhata didasarkan pada daya khayal seniman.Peradaban terdini anak benua India adalah Peradaban Lembah Indus yang mengemuka di antara tahun 2600 dan 1900 SM di daerah aliran Sungai Indus. Kota-kota mereka teratur secara geometris, tetapi dokumen matematika yang masih terawat dari peradaban ini belum ditemukan.^[39]

Matematika Vedanta dimulakan di India sejak Zaman Besi. Shatapatha Brahmana (kira-kira abad ke-9 SM), menghampiri nilai π,^[40] dan Sulba Sutras (kira-kira 800–500 SM) yang merupakan tulisan-tulisan geometri yang menggunakan bilangan irasional, bilangan prima, aturan tiga dan akar kubik; menghitung akar kuadrat dari 2 sampai sebagian dari seratus ribuan; memberikan metode konstruksi lingkaran yang luasnya menghampiri persegi yang diberikan,^[41] menyelesaikan persamaan linear dan kuadrat; mengembangkan tripel Pythagoras secara aljabar, dan memberikan pernyataan dan bukti numerik untuk teorema Pythagoras

Pāṇini (kira-kira abad ke-5 SM) yang merumuskan aturan-aturan tata bahasa Sanskerta.^[42] Notasi yang dia gunakan sama dengan notasi matematika modern, dan menggunakan aturan-aturan meta, transformasi, dan rekursi. Pingala (kira-kira abad ke-3 sampai abad pertama SM) di dalam risalahnya prosody menggunakan alat yang bersesuaian dengan sistem bilangan biner. Pembahasannya tentang kombinatorika meter bersesuaian dengan versi dasar dari teorema binomial. Karya Pingala juga berisi gagasan dasar tentang bilangan Fibonacci (yang disebut mātrāmeru).^[43]

Surya Siddhanta (kira-kira 400) memperkenalkan fungsi trigonometri sinus, kosinus, dan balikan sinus, dan meletakkan aturan-aturan yang menentukan gerak sejati benda-benda langit, yang bersesuaian dengan posisi mereka sebenarnya di langit.^[44] Daur waktu kosmologi dijelaskan di dalam tulisan itu, yang merupakan salinan dari karya terdahulu, bersesuaian dengan rata-rata tahun siderik 365,2563627 hari, yang hanya 1,4 detik lebih panjang daripada nilai modern sebesar 365,25636305 hari. Karya ini diterjemahkan ke dalam bahasa Arab dan bahasa Latin pada Zaman Pertengahan.

Aryabhata, pada tahun 499, memperkenalkan fungsi versinus, menghasilkan tabel trigonometri India pertama tentang sinus, mengembangkan teknik-teknik dan algoritma aljabar, infinitesimal, dan persamaan diferensial, dan memperoleh solusi seluruh bilangan untuk persamaan linear oleh sebuah metode yang setara dengan metode modern, bersama-sama dengan perhitungan [[astronomi] yang akurat berdasarkan sistem heliosentris gravitasi.^[45] Sebuah terjemahan bahasa Arab dari karyanya Aryabhatiya tersedia sejak abad ke-8, diikuti oleh terjemahan bahasa Latin pada abad ke-13. Dia juga memberikan nilai π yang bersesuaian dengan 62832/20000 = 3,1416. Pada abad ke-14, Madhava dari Sangamagrama menemukan rumus Leibniz untuk pi, dan, menggunakan 21 suku, untuk menghitung nilai π sebagai 3,14159265359.

Tokoh Islam yang Berperan Besar dalam Matematika

Rekayasa mekanika melambungkan nama Banu Musa di khazanah sains Islam. Melalui kemampuannya, Banu Musa menciptakan berbagai peralatan mesin yang terbilang pada masanya. Namun, sebenarnya bukan itu saja prestasinya. Banu Musa menoreh kan prestasi gemilang di ranah matematika.

Kepakaran Banu Musa dalam matematika bahkan layak disejajarkan dengan sejumlah tokoh besar lainnya, seperti al-Khawarizmi (780-846 Masehi), al-Kindi (801-873), atau Umar Khayam (1048-1131). Matematika dijadikan pijakan bagi Banu Musa untuk menopang kemampuanya di bidang teknik.

Perlu diketahui, Banu Musa, atau keluarga Mu sa, terdiri dari tiga bersaudara: Jafar Mu hammad bin Musa bin Shakir, Ahmad bin Musa bin Shakir, dan al-Hasan bin Musa bin Shakir. Ketiganya merupakan putra dari seorang cendekiawan terkemuka abad ke-8, yakni Musa bin Shakir.
Banu Musa ikut andil dalam mendorong kemajuan ilmu pengetahuan di dunia Islam. Bahkan, Banu Musa termasuk saintis Muslim pertama yang mengembangkan bidang ilmu hitung di dunia Islam melalui transfer pengetahuan dari peradaban Yunani. Lalu, Banu Musa membangun konsep dan teori baru, khususnya pada lingkup geometri. Dari tiga saudara tadi, adalah si sulung Jafar Muhammad yang berada di baris depan dalam kajian geometri. Selanjutnya diikuti oleh al-Hasan.

Sementara itu, Ahmad bin Musa membawa konsep matematika kepada aspek mekanika. Mereka terus bekerja bersama-sama hingga mencapai hasil yang sempurna. Banu Musa sangat tertarik dengan manuskrip ilmiah dari Yunani. Salah satunya berjudul Conics. Keseluruhan karya Appollonius ini terdiri dari delapan jilid. Diungkapkan Jere L Bacharach dalam Medieval Islamic Civilization, topik utama dari naskah tersebut membahas tentang geometri.

Banu Musa meminta bantuan dua sarjana terkemuka, yaitu Hilal bin Abi Halal al-Himsi dan Thabit bin Qurra, untuk menerjemahkan karya itu ke dalam bahasa Arab. Dalam buku MacTutor History of Mathematics, sejarawan sains John O’Connor dan Edmund F Robertson menyebut Banu Musa sebagai salah satu peletak dasar bidang geometri.

Banu Musa berhasil menghubungkan konsep geometri dari matematika Yunani ke dalam khazanah keilmuan Islam sepanjang abad pertengah an. Di kemudian hari, Banu Musa menyusun risalah penting tentang geometri, yakni Kitab Marifat Masakhat al-Ashkal. Kitab tersebut sangat terkenal di Barat. Menyusul penerjemahannya ke dalam bahasa Latin pada abad ke-12 oleh Gerard of Cremona dengan judul Libertrium Fratum de Geometria.

Menurut O’Connor dan Robertson, terdapat beberapa kesamaan metodologi dan konsep geometri dari Banu Musa dengan yang diusung Apollonius. Namun, keduanya menegaskan pula bahwa banyak pula perbedaan yang muncul. Sebab, Banu Musa melakukan perbaikan dan membangun rumusrumus baru yang terbukti sangat efektif. Lebih jauh, Banu Musa menyempurnakan metode persamaan yang dirintis Eudoxus dan Archimedes.

Pakar matematika Muslim itu menambahkan rumus poligon dengan dua bidang sama luas. Sebelum diteruskan oleh Banu Musa, metode ini tidak banyak mendapat perhatian dan nyaris hilang dimakan zaman. Di sisi lain, Banu Musa membangun pola lebih maju terkait penghitung an luas serta volume yang mampu dijabarkan lewat angka-angka.

O’Connor dan Robertson mengungkapkan, penggunaan sistem angka merupakan keunggulan dari metode geo metri awal warisan peradaban Islam. Hal lain diungkapkan oleh Shirali Kadyrov melalui tulisannya Muslim Contributions to Mathematics.

Menurut dia, Banu Musa juga menje laskan mengenai angka konstan phi. Ini adalah besaran dari hasil pembagian diameter lingkaran. Banu Musa mengatakan, konsep ini pernah dipakai Archimedes. Namun, pada saat itu pemikiran Archimedes dinilai masih kurang sempurna. Sezgin, seorang ahli matematika Barat, menganggap bukti temuan Banu Musa merupakan fondasi kajian geometri pada masa berikutnya.

Hal serupa disampaikan Roshidi Rashed dalam History of a Great Number. Di samping itu, mereka menciptakan pemecahan geometri dasar untuk menghitung luas volume. Laman isesco.org menyatakan, sumbangan Banu Musa yang lain yakni ketika menemukan metode dan praktik geometri yang ringkas serta mudah diaplikasikan.

Dalam membentuk lingkaran, misalnya, bisa dikerjakan dengan memakai besi siku atau jangka. Masing-masing ujung besi siku itu diletakkan di titik berbeda. Kemudian diambil sudut tertentu. Ambil salah satu ujung sebagai tumpuan dan ujung lainnya diputar melingkar. Maka dihasilkan sebuah lingkaran sempurna.

Berdasarkan pengamatan Victor J Katz dan Annete Imhausen pada The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India and Islam, kajian geometri mencapai tahap tertinggi melalui pemikiran dan karya Banu Musa. Inti gagasan mencakup sejumlah operasi penghitungan kubus, lingkaran, volume, kerucut, dan sudut.

Selain Kitab Marifat, Muhammad bin Musa menulis beberapa karya geometri yang penting. Salah satunya menguraikan tentang ukuran ruang, pembagian sudut, serta perhitungan proporsional. Hal ini terutama digunakan untuk menghitung pembagian tunggal antara dua nilai tertentu. Sedangkan, al-Hasan mengerjakan penelitian untuk menjabarkan sifat-sifat geometris dari elips.

Al Khazin, Ahli Matematika dan Astronomi Islam

Dari wilayah Marv, Khurasan, Iran, lahir seorang ahli matematika terkemuka di dunia Islam. Dia bernama Abu Ja’far Muhammad bin Muhammad Al-Husayn Al-Khurasani Al Khazin. Keahliannya dalam menyajikan rumus dan metode perhitungan untuk menguraikan soal-soal rumit begitu dikagumi dan dijadikan rujukan hingga berabad-abad kemudian.

Tidak diketahui secara pasti tahun kelahiran tokoh ini. Akan tetapi, para sejarawan memperkirakan Al-Khazin meninggal dunia antara 961 dan 971 Masehi.

Selain dikenal sebagai ahli matematika, semasa hidup ia juga seorang fisikawan dan astronom yang disegani.

Merujuk pada sejumlah catatan sejarah, Al-Khazin merupakan satu dari sekian banyak ilmuwan yang telah lama dilupakan. Namanya baru mencuat kembali pada masa-masa belakangan ini. Di dunia Barat, Al-Khazin dikenal sebagai Alkhazen. Ejaan dalam bahasa Eropa menyebabkan ketidakjelasan identitas antara dia dan Hasan bin Ibnu Haitsam.

Hal inilah yang merupakan salah satu penyebab nama Al-Khazin sedikit tenggelam. Al-Khazin merupakan ilmuwan zuhud. Dia menjalani hidup sederhana dalam hal makanan, pakaian, dan sebagainya. Ia sering menolak hadiah para penguasa dan pegawai kerajaan agar tidak terlena oleh kesenangan materi.

Beberapa guru tenar menghiasi rekam jejak Al-Khazin saat masih menimba ilmu. Salah satu gurunya bernama Abu Al-Fadh bin Al-Amid, seorang menteri pada masa Buwayhi di Rayy. Al-Khazin menuangkan pemikirannya dalam sejumlah risalah bidang matematika dan telah memperkaya khazanah keilmuan di dunia Islam.

Sebut saja, misalnya Kitab al-Masail al-Adadiyya yang di dalamnya tercantum karya Ibnu Majah, yaitu al-Fihrist edisi Kairo, Mesir. Karyanya yang paling terkenal adalah Matalib Juziyya mayl alMuyul al-Juziyya wa al-Matali fi al-Kuraal Mustakima. Seluruh kemampuan intelektualnya dia curahkan pada karya ini.

Termasuk perhitungan rumus teorema sinus untuk segitiga. Seperti tercantum dalam buku al-Fihrist edisi Kairo, AlKhazin pernah memberikan komentar ilmiah terhadap buku Element yang ditulis ilmuwan Yunani, Euclides, termasuk bukti-bukti yang diuraikannya menyangkut kekurangan serta kelemahan pemikiran Euclides.

Kontribusi luar biasa Al-Khazin mencakup peragaan rumus untuk mengetahui permukaan segitiga sebagai fungsi sisisisinya. Ia mengambil metode penghitungan setiap sisi kerucut. Dengan itu, dirinya berhasil memecahkan bentuk persamaan x3 + a2b = cx2. Di ranah matematika, persamaan itu sangat terkenal.

Ini merupakan sebuah soal matematika rumit yang diajukan oleh Archimedes dalam bukunya The Sphere and the Cylinder. Sayangnya, seperti disebutkan pada buku Seri Ilmuwan Muslim Pengukir Sejarah, sekian banyak teks dan risalah ilmiah Al-Khazin tak banyak tersisa pada masa kini.

Hanya beberapa saja yang masih tersimpan, di antaranya komentarnya terhadap buku ke10 dari Nasr Mansur dalam Rasail Abi Nasr ila al-Biruni. Jejak keilmuan Al-Khazin juga dapat ditelusuri dalam lingkup astronomi. Dia mengukir prestasi gemilang melalui karyakaryanya. Salah satu yang berpengaruh adalah buku berjudul Zij as Safa’ih.

Al-Khazin mempersembahkan karya itu untuk salah satu gurunya, Ibnu Al Amid. Ia juga membahas tentang peralatan astronomi untuk mengukur ketebalan udara dan gas (sejenis aerometer). Saat nilai ketebalan bergantung pada suhu udara, alat ini merupakan langkah penting dalam mengukur suhu udara dan membuka jalan terciptanya termometer.

Manuskrip karya Al-Khazin tersebut tersimpan di Berlin, Jerman, namun hilang ketika berkecamuk Perang Dunia II. Oleh astronom terkemuka, Al-Qifti, karya itu dianggap sebagai subyek terbaik dan sangat menarik untuk dipelajari. Buku Zij as Safa’ih menuai banyak pujian dari para ilmuwan.

Menurut Al-Biruni, beragam mekanisme teknis instrumen astronomi berhasil diurai dan dijelaskan dengan baik oleh Al-Khazin. Tokoh ternama ini pun kagum atas sikap kritis Al-Khazin saat mengomentari pemikiran Abu Ma’syar dalam hal yang sama. Tokoh lain yang menyampaikan komentarnya adalah Abu Al-Jud Muhammad Al-Layth.

Ia menyatakan, pendapat Al-Khazin mengenai cara menghitung rumus chord dari sudut satu derajat. Dalam Zij disebutkan, soal itu bisa dihitung apabila chord dibagi menjadi tiga sudut. Sementara itu, Abu Nash Mansur memberikan koreksi atas sejumlah kekurangan yang terdapat pada karya Al-Khazin itu.

Penetapan inklanasi ekliptika tak luput dari perhatian Al-Khazin. Persoalan astronomi ini sudah mengemuka sejak zaman Archimedes. Para ilmuwan Muslim seperti Al-Mahani, meninggal pada 884 Masehi, yang pertama mengangkat kembali tema ini. Oleh AlKhazin, hal itu kembali dipelajari dan dia berhasil menjabarkannya dengan baik.

Menurut Al-Khazin, pembagian bola dengan sebuah bidang datar dalam satu rasio ditentukan dengan menyelesaikan persamaan pangkat tiga. Demikian ilmuwan ini menyelesaikan soal astronomi tadi yang segera mendapatkan pujian dari astronom-astronom lainnya.

Terdapat beberapa aspek penting yang dikupas oleh Al-Khazin dalam buku astronomi yang ia tulis. Dalam Zij, ia menunjukkan penetapan titik derajat tengah atau cakrawala yang kemiringannya tidak diketahui sebelumnya. Ia juga mampu menghitung sudut matahari melalui penentuan garis bujur.

Sumbangsih lain adalah menyangkut penentuan azimut atau ukuran sudut arah kiblat dengan memakai peralatan tertentu. Al-Khazin berhasil mengenalkan metode hitung segitiga sferis. Komentar-komentarnya cukup mendalam terhadap karya astronomi lain, misalnya, ia pernah menulis sebuah komentar atas Almagest karya Ptolemeus.

Subjek yang ia bahas adalah tentang sudut kemiringan ekliptik. Sebelumnya, rumus itu dikenalkan Banu Musa pada 868 Masehu di Baghdad, Irak. Ia juga mencermati hasil pengamatan AlMawarudzi, Ali bin Isa Al-Harrani, dan Sanad bin Ali. Hal ini terkait dengan penentuan musim semi dan musim panas. Sementara itu, melalui tulisannya yang berjudul Sirr al-Alamin, Al-Khazin mengembangkan lebih jauh gagasan-gagasan dari Ptolemeus yang terdapat pada buku Planetary.

AL-KHAWARIZMI, Matematikawan Muslim dan Algoritma

 

Tokoh yang bernama lengkap Abu Ja’far Muhammad bin Musa Al-Khawarizmi (780-846 M) ini merupakan intelektual muslim yang banyak menyumbangkan karyanya di bidang matematika, geografi, musik, dan sejarah. Dari namanyalah istilah algoritma diambil.Lahir di Khawarizmi, Uzbeikistan, pada tahun 194 H/780 M.

Kepandaian dan kecerdasannya mengantar-kannya masuk ke lingkungan Dar al-Hukama (Rumah Kebijaksanaan), sebuah lembaga penelitian dan pengembangan ilmu pengetahuan yang didirikan oleh Ma’mun Ar-Rasyid, seorang khalifah Abbasiyah yang terkenal.

Hisab al-Jabr wa al-Muqabla (Pengutuhan Kembali dan Pembandingan) dan Al-Jama’ wa at-Tafriq bi Hisab al-Hind (Menambah dan Mengurangi dalam Matematika Hindu) adalah dua di antara karya-karya Al-Khawarizmi dalam bidang matematika yang sangat penting.

Kedua karya tersebut banyak menguraikan tentang persamaan linier dan kuadrat; penghitungan integrasi dan persamaan dengan 800 contoh yang berbeda; tanda-tanda negatif yang sebelumnya belum dikenal oleh bangsa Arab. Dalam Al-Jama’ wa at-Tafriq, Al-Khawarizmi menjelaskan tentang seluk-beluk kegunaan angka-angka, termasuk angka nol dalam kehidupan sehari-hari. Karya tersebut juga diterjemahkan ke dalam bahasa Latin.

Al-Khawarizmi juga diyakini sebagai penemu angka nol.Sumbangan Al-Khawarizmi dalam ilmu ukur sudut juga luar biasa. Tabel ilmu ukur sudutnya yang berhubungan dengan fungsi sinus dan garis singgung tangen telah membantu para ahli Eropa memahami lebih jauh tentang ilmu ini. Selain matematika, Al-Khawarizmi juga dikenal sebagai astronom. Di bawah Khalifah Ma’mun, sebuah tim astronom yang dipimpinnya berhasil menentukan ukuran dan bentuk bundaran bumi. Penelitian ini dilakukan di Sanjar dan Palmyra. Hasilnya hanya selisih 2,877 kaki dari ukuran garis tengah bumi yang sebenarnya. Sebuah perhitungan luar biasa yang dapat dilakukan pada saat itu. Al-Khawarizmi juga menyusun buku tentang penghitungan waktu berdasarkan bayang-bayang matahari. Al-Khawarizmi juga seorang ahli geografi. Bukunya, Surat al-Ardl (Bentuk Rupa Bumi), menjadi dasar geografi Arab. Karya tersebut masih tersimpan di Strassberg, Jerman.

Selain ahli di bidang matematika, astronomi, dan geografi, Al-Khawarizmi juga seorang ahli seni musik. Dalam salah satu buku matematikanya, Al-Khawarizmi menuliskan pula teori seni musik. Pengaruh buku ini sampai Eropa dan dianggap sebagai perkenalan musik Arab ke dunia Latin. Dengan meninggalkan karya-karya besarnya sebagai ilmuwan terkemuka dan terbesar pada zamannya, Al-Khawarizmi meninggal pada tahun 262 H/846 M di Bagdad.(dna)

Secara Geografis

1. Mesopotamia

- Menentukan system bilangan pertama kali

- Menemukan system berat dan ukur

- Tahun 2500 SM system desimal tidak lagi digunakan dan lidi diganti oleh notasi berbentuk baji

2. Babilonia

- Menggunakan sitem desimal dan π=3,125

- Penemu kalkulator pertama kali

- Mengenal geometri sebagai basis perhitungan astronomi

- Menggunakan pendekatan untuk akar kuadrat

- Geometrinya bersifat aljabaris

- Aritmatika tumbuh dan berkembang baik menjadi aljabar retoris yang berkembang

- Sudah mengenal teorema Pythagoras

3. Mesir Kuno

- Sudah mengenal rumus untuk menghitung luas dan isi

- Mengenal system bilangan dan symbol pada tahun 3100 SM

-Mengenal tripel Pythagoras

- Sitem angka bercorak aditif dan aritmatika

- Tahun 300 SM menggunakan system bilangan berbasis 10

4. Yunani Kuno

- Pythagoras membuktikan teorema Pythagoras secara matematis (terbaik)

- Pencetus awal konsep[ nol adalah Al Khwarizmi

- Archimedes mencetuskan nama parabola, yang artinya bagian sudut kanan kerucut

- Hipassus penemu bilangan irrasional

- Diophantus penemu aritmatika (pembahasan teori-teori bilangan yang isinya merupakan  pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat sebuah persamaan)

- Archimedes membuat geometri bidang datar

- Mengenal bilangan prima

5. India

- Brahmagyupta lahir pada 598-660 Ad

- Aryabtha (4018 SM) menemukan hubungan keliling sebuah lingkaran

- Memperkenalkan pemakaian nol dan desimal

- Brahmagyupta menemukan bilangan negatif

- Rumus a2+b2=c2 telah ada pada “Sulbasutra”

- Geometrinya sudah mengenal tripel Pythagoras,teorema Pythagoras,transformasi dan segitiga pascal

6. China

- Mengenal sifat-sifat segitiga siku-siku tahun 3000 SM

- Mengembangkan angka negatif, bilangan desimal, system desimal, system biner, aljabar, geometri, trigonometri dan kalkulus

- Telah menemukan metode untuk memecahkan beberapa jenis persamaan yaitu persamaan kuadrat, kubikdan qualitik

- Aljabarnya menggunakan system horner untuk menyelesaikan persamaan kuadrat

Matematika Inversi

Generasi pertama matematika lahir dalam peradaban Mesir dan India. Metode matematika yang berkembang masih sangat bersahaja (teori ini mungkin bisa salah apabila dihadapkan pada kenyataan bahwa mereka sudah bisa membuat konstruksi piramida yang sudah pasti membutuhkan formulasi matematika yang rumit), dalam bentuk aplikasi perhitungan-perhitungan sederhana kehidupan sehari-hari, misalnya perhitungan pajak yang didasarkan luas tanah, utang-piutang dalam perdagangan, dan sebagainya. Mereka belum mengenal nama matematika.

Dalam perjalanannya, pada peradaban kuno Yunani, nama “Matematika” pertama kali diperkenalkan Pythagoras. Inilah generasi kedua dalam sejarah matematika. Beliau memasukkan material pertama ke dalam aras matematika modern, yakni aritmatika, cabang matematika yang membahas bilangan dan sistem operasinya. Setelah itu, Aristoteles melanjutkan perkembangan matematika dengan menambahkan cabang ilmu logika ke dalamnya. Di pihak lain, Euclid menambahkan geometri.

Generasi ketiga lahir pada masa peradaban Islam. Abu Ja’far Muhammad ibnu Musa Alkhwarizmi menyempurnakan logika-logika Aristoteles dengan menambahkan langkah-langkah metodik penyelesaian masalah. Selanjutnya, ini melahirkan cabang matematika yang kemudian terkenal dengan sebutan logaritma. Beliau juga dikenal sebagai penemu angka 0 dan notasi-notasi operasional aritmatika yang kemudian melahirkan cabang matematika bernama aljabar. Ada juga matematikawan bernama Umar Khayyam, yang menyempurnakan geometri dengan mengawinkannya dengan metode-metode aljabar.

Setelah peradaban Islam runtuh, peradaban Eropa berkembang sangat pesat. Tongkat estafet pun berpindah lagi dan melahirkan generasi keempat. Rene Descartes mengawalinya dengan memperkenalkan geometri analitis. Cabang matematika ini benar-benar mengawinkan geometri dan aljabar, dan merupakan bentuk sempurna dari metode Umar Khayyam. Beliau mengembangkan metode-metode penggambaran objek satu, dua, dan tiga dimensi dengan notasi-notasi aljabar. Geometri analitis kemudian disempurnakan lebih lanjut oleh Isaac Newton sehingga melahirkan cabang baru matematika yang disebut kalkulus. Metode ini mampu menggambarkan objek empat dimensi melalui fungsi deferensiasi dan integral. Sejauh ini, kalkulus adalah pencapaian matematika yang paling tinggi.

Ketakberhinggaan

Tiga abad telah berlalu sejak Newton menyampaikan kalkulus, belum ada masalah yang benar-benar tidak bisa dijelaskan matematika, kecuali ketakberhinggaan, yang telah berakar dari masa Pythagoras. Pythagoras adalah orang yang meyakini bahwa jagat raya adalah kumpulan harmoni musik yang sangat indah. Melalui instrumen musik, beliau menemukan hubungan antara angka-angka dan musik. Angka adalah simbol-simbol yang menyusun syair-syair alam. Gerakan benda-benda, planet-planet, dan bintang-gemintang di ruang angkasa bersatu-padu menghasilkan simfoni keharmonisan semesta. Selanjutnya, beliau mengubah bilangan-bilangan dari alat musiknya menjadi sebuah prinsip kehidupan yang pokok. Beliau lalu menyebut filosofi tersebut dengan nama “Matematika”.

Beliau berpandangan bahwa semua hal adalah susunan bilangan-bilangan yang sangat teratur. Beliau membagi sistem bilangan menjadi dua, yakni bilangan ganjil dan bilangan genap, yang masing-masing selalu berdiri sendiri. Akan tetapi, beliau lebih dikenal dengan Teorema Trigonometri tentang hubungan sisi-sisi pada segitiga siku-siku. Sayangnya, teorema ini justru satu-satunya penyebab rusaknya keharmonisan semesta beliau sendiri.

Pythagoras telah menemukan bahwa jumlah akar dari kuadrat panjang sisi-sisi pada segitiga siku-siku sama dengan panjang sisi miringnya. Pythagoras memisalkan hubungan teoremanya dengan susunan ubin-ubin persegi pada lantai. Misalnya ada segitiga siku-siku yang memiliki panjang sisi B sebesar 3 ubin dan panjang sisi C sebesar 4 ubin, maka agar diperoleh sudut siku-siku, 5 ubin harus terpasang tepat pada sisi A.

Suatu hari seorang pengikut Pythagoras, Hippasus, menemukan paradoks menjengkelkan yang menghancurkan kesimetrikan tersebut. Dalam sebuah pelayaran, dia menyusun 1 ubin untuk sisi B dan 1 ubin lagi untuk sisi C. Setelah diusahakan dengan susah-payah, ternyata harus ada ubin yang dipotong-potong untuk mengisi penuh sisi A, agar sisi B dan sisi C menjadi siku-siku. Dengan memakai prosedur yang sama, Hippasus menemukan bilangan yang bersifat genap dan ganjil secara bersamaan. Semua orang di kapal itu tidak bisa menemukan nilai pasti dari ubin yang harus memenuhi sisi A. Mereka pun sepakat untuk menyembunyikan eksperimen ini, namun tetap saja bocor.

Meskipun terkesan sepele, implikasi masalah ini sangat luar biasa. Semua upaya untuk menyatakan ubin A sebagai faksi bilangan utuh telah gagal. Ia bersifat genap dan ganjil secara bersamaan. Sampai sekarang, kita menyebut bilangan seperti itu sebagai bilangan irrasional, bilangan yang tak masuk akal. Meskipun ia disebut bilangan, tapi ia tidak bisa dituliskan. Bilangan yang bersifat genap dan ganjil secara serentak adalah paradoks, yang kemudian menimbulkan paradoks yang lebih membingungkan, The Achilles.

Pada masa Yunani kuno, hidup seorang filusuf yang bernama Zeno. Ia mengusulkan paradoks abadi yang terkenal dengan sebutan The Achilles. Achille adalah pelari tercepat di zamannya. Dia berupaya menangkap seekor kura-kura. Akan tetapi, ketika ia mencapai posisi dimana kura-kura mulai bergerak, si kura-kura ternyata telah jauh melampauinya. Lalu ia pun bergegas mengejarnya kembali, tetapi ketika ia sampai di posisi kura-kura kembali, tiba-tiba ia telah ditinggalkannya kembali. Dan ketika Achille berupaya mengejarnya kembali, kasus serupa pun terjadi dan terjadi lagi secara terus-menerus sampai tak terhingga.

Sederhananya, yang bergerak cepat tidak akan pernah menyalip yang bergerak lambat, hanya jarak yang memisahkan mereka akan semakin berkurang, namun tidak akan pernah habis sama sekali. Ini seperti memasukkan segitiga-segitiga agar memenuhi suatu lingkaran. Tidak ada orang yang bisa dengan pasti menghitung seberapa banyak segitiga yang dibutuhkan untuk mengisi seluruh ruang lingkaran, atau sampai kapan Achille akan mendapatkan kura-kura tersebut. Paradoks ini sampai sekarang belum terpecahkan.

Dua Metode

Untuk melihat seberapa besar nilai ketakberhinggaan itu, cara pandang kita terhadap bilangan tersebut harus diubah total. Berdasarkan prinsip keberpasangan, angka 0 berpasangan dengan angka ∞, karena sifat-sifat di antara kedua bilangan itu saling bertolak-belakang. Angka 0 mewakili situasi sistem yang kosong dan angka ∞ mewakili situasi sistem yang penuh. Bukti matematis kebertolakbelakangan tersebut adalah persamaan 0=1/∞ atau ∞=1/0. Oleh karena itu, matematika dibagi dalam dua sistem yang saling berpasangan, yakni matematika yang berpusat pada angka netral 0 dan matematika yang berpusat pada angka netral ∞. Jenis matematika yang kedua disebut “Matematika Inversi”.

Sekarang ambillah satu gelas kosong ukuran 200 cc dan segenggam biji beras seukuran 200 cc pula, dan letakkan keduanya di atas meja berdampingan. Andaikata ada suatu pertanyaan yang mencuat, berapa jumlah segenggam biji beras yang bisa memenuhi gelas seukuran 200 cc? Maka mulailah Anda menghitungnya!

Biji-biji beras yang sedang kita bicarakan bisa dikatakan sebagai objek diskrit yang bisa diwakili angka-angka. Apabila Anda ingin menghitung segenggam biji beras 200 cc dengan cara mencocokkannya dengan gelas seukuran 200 cc, ada dua cara yang bisa Anda gunakan. Pertama, Anda bisa menghitung dengan cara memasukkan satu per-satu biji-biji beras dari atas meja ke dalam gelas. Anda harus memastikan bahwa tidak ada satu pun biji beras yang terlewat. Cara yang kedua, Anda bisa memasukkan semua biji beras yang ada di atas meja ke dalam gelas terlebih dahulu, lalu Anda akan mengeluarkannya kembali satu per-satu sambil menghitungnya tanpa melewatkannya satu pun. Anda akan mendapatkan jumlah beras yang tepat sama untuk kedua metode tersebut, dengan catatan tidak ada biji beras yang terlewatkan atau jatuh tercecer.

Metode pertama adalah Matematika konvensional yang biasa kita gunakan sehari-hari. Matematika ini akan mulai menghitung dari angka 0 kemudian 1, 2, 3, 4 dan seterusnya. Angka-angka ini berstatus positif. Apabila Anda tidak memiliki beras dan uang sama sekali, sedangkan Anda ingin memasukkan beras ke dalam gelas kosong tersebut untuk kemudian dimasak, maka satu-satunya cara yang benar adalah meminjam beras kepada orang lain. Maka, beras-beras hasil pinjaman yang masuk ke dalam gelas kemudian akan berstatus negatif. Sistem ini telah sangat maklum dalam kehidupan kita sehari-hari.

Metode yang kedua memandang angka ∞ sebagai pusat bilangan. Anda akan mulai menghitung biji-biji beras dari keadaan gelas penuh, lalu Anda akan menghitungnya dari angka ∞ kemudian 1, 2, 3, 4 dan seterusnya. Angka-angka ini akan berstatus positif. Suatu kali teman Anda akan memberikan segenggam berasnya kepada Anda. Apabila Anda hanya mengetahui gelas saja sebagai tempat menyimpan beras, sedang gelas Anda masih terisi penuh beras, maka meskipun Anda menerima beras pemberian itu, Anda tidak akan bisa memasukkannya ke dalam beras. Anda akan mengatakan: “Tolong simpan dulu beras itu, nanti akan saya ambil kalau gelas saya sudah kosong”. Maka, beras-beras itu akan berstatus negatif. Sistem ini bertolakbelakang dengan matematika yang biasa kita kenal. Oleh karena itu, sistem ini bisa dikatakan sebagai bentuk terbalik dari matematika konvensional atau matematika inversi.

Analogi di atas mengejutkan kita yang selama ini merasa aman dengan hanya mempergunakan suatu bagian dalam sistem matematika universal. Dalam kasus The Achilles, seorang pelari tercepat tidak bisa mengejar seekor kura-kura terlambat karena ia terkungkung oleh aturan, ketika A mencapai X maka B harus mencapai Y. Achille dan kura-kura berada dalam dua sistem diskret yang berbeda, dimana diskret yang satu bertalian dengan fungsi waktu yang lebih cepat sedangkan diskret yang lain bertalian dengan fungsi waktu yang jauh lebih lambat. Dua fungsi ini diperhitungkan akan bertemu di suatu ujung waktu di masa depan. Kalau metode inversi digunakan, tidak ada paradoks apapun dalam persoalan ini.

Sekarang mulailah dengan menentukan jarak tempuh yang mungkin untuk kedua objek diskret tersebut, misalnya sepanjang jalan yang menghubungkan kota Athena sampai Sparta. Kalau kejar-kejaran itu dimulai dari kota Athena, maka maka fungsi waktu kedua objek tersebut akan bertemu di gerbang kota Sparta. Jarak diantara dua gerbang ini merupakan representasi sistem alam secara keseluruhan (begitu juga gelas yang dibicarakan dalam analogi). Gerbang kota Athena disebut “0″ dan gerbang kota Sparta disebut “∞”, sedangkan kedua angka ini berada dalam sistemnya masing-masing yang bisa saling berkonversi. Apabila digambarkan dalam suatu kurva virtual, kejar-kejaran antara Achille dan kura-kura akan bermula dari gerbang kota Athena sebagai 0 dan akan berakhir di gerbang kota Sparta sebagai ∞. Jadi, jelaslah definisi awal dan akhir dari kasus tersebut, tidak ada lagi ketakberhinggaan.

Matematika inversi, saya kira, bisa dikembangkan lebih jauh dalam bidang-bidang matematika yang lain, seperti geometri, aljabar, dan kalkulus. Dan ini hanya bisa dilakukan kalau generasi ini sedikit memodifikasi mindset, dengan berpikir dari dua arah berbeda yang saling bertalian, berpasangan, dan saling bertolakbelakang, namun juga saling melengkapi satu sama lain. Selamat berpikir!

Hal-hal Nomor

Arti nomor bukan kemampuan untuk menghitung, tetapi kemampuan untuk mengakui bahwa sesuatu telah berubah dalam kumpulan kecil. Some animal species are capable of this. Beberapa spesies hewan mampu memahami hal ini.

The number of young that the mother animal has, if changed, will be noticed by all mammals and most birds. Semua binatang telah mampu mengenal jumlah anak-anaknya oleh ibunya atau jumlah telurnya oleh induknya, jika terjadi perubahan, akan diperhatikan oleh nya. Ini merupakan kemampuan menghitung oleh semua mamalia dan burung. Mammals have more developed brains and raise fewer young than other species, but take better care of their young for a much longer period of time. Mamalia memiliki otak lebih berkembang dan meningkatkan lebih sedikit muda dari spesies lain, tapi lebih baik mengurus anak-anak mereka untuk jangka waktu lebih lama dari waktu.

Many birds have a good number sense. Banyak burung yang memiliki jumlah akal yang baik. If a nest contains four eggs, one can safely be taken, but when two are removed the bird generally deserts. Jika sarang berisi empat telur, satu aman untuk diambil, tetapi ketika dua telur dikeluarkan burung umumnya akan tahu kalau ada yang mengambil telaurnya. Terutama burung-burung padang pasir. The bird can distinguish two from three. ¹ Burung itu bisa membedakan dua dari tiga.¹

An experiment done with a goldfinch showed the ability to distinguish piles of seed: three from one, three from two, four from two, four from three, and six from three. Percobaan dilakukan dengan pipit yang menunjukkan kemampuan untuk membedakan tumpukan benih: tiga dari satu, tiga dari dua, empat dari dua, empat dari tiga, dan enam dari tiga. The goldfinch almost always confused five and four, seven and five, eight and six, and ten and six. pipit yang hampir selalu bingung lima dan empat, tujuh dan lima, delapan dan enam, dan sepuluh dan enam.

Another experiment involved a squire who was trying to shoot a crow which made its nest in the watchtower of his estate. percobaan lain yang melibatkan pengawal yang mencoba untuk menembak gagak yang membuat sarangnya di menara dari kerajaannya. The squire tried to surprise the crow, but at his approach, the crow would leave, watch from a distance, and not come back until the man left the tower. Pengawal itu berusaha mengejutkan burung gagak sambil mendekati, akan tetapi  burung gagak akan pergi, melihat dari kejauhan, dan tidak kembali sampai pria itu meninggalkan menara. The squire then took another man with him to the tower. Pengawal itu kemudian membawa orang lain bersamanya ke menara. One man left and the other stayed to get the crow when it returned to the nest, but the crow was not deceived. Satu orang pergi dan yang lainnya tinggal untuk mendapatkan berkokok ketika kembali ke sarang, tetapi burung gagak tidak tertipu. The crow stayed away until the other man came out. gagak itu menjauh sampai orang lain tadi keluar. The experiment was repeated the next day with three men, but the crow would not return to the nest. Percobaan diulang pada hari berikutnya dengan tiga orang, tapi burung gagak tidak akan kembali ke sarang. The following day, four men tried, but it was not until that next day with five men that the crow returned to the nest with one man still in the tower. ² Keesokan harinya, empat orang mencoba, tapi tidak sampai hari berikutnya dengan lima orang. burung gagakpun kembali ke sarang dengan satu orang masih dalam menara. ²

In the insect world, the solitary wasp seemed to have the best number sense. Dalam dunia serangga, tawon soliter tampaknya memiliki arti nomor terbaik. “The mother wasp lays her eggs in individual cells and provides each egg with a number of live caterpillars on which the young feed when hatched. "Para ibu tawon bertelur di sel individu dan memberikan telur masing-masing dengan sejumlah ulat hidup di mana pakan muda ketika menetas. Some species of wasp always provide five, others twelve, and others as high as twenty-four caterpillars per cell. Beberapa jenis tawon selalu menyediakan lima, yang lain dua belas, dan lain-lain setinggi dua puluh empat ulat per sel. The solitary wasp in the genus Eumenus, will put five caterpillars in the cell if it is going to be a male (the male is smaller) and ten caterpillars in a female's cell. Tawon soliter di Eumenus genus, akan menempatkan lima ulat dalam sel jika akan menjadi laki-laki (laki-laki lebih kecil) dan ulat sepuluh di sel perempuan. This ability seems to be instinctive and not learned since the wasp's behavior is connected with a basic life function.” ³ Kemampuan ini nampaknya naluriah dan tidak belajar sejak tawon itu perilaku itu dikaitkan dengan fungsi dasar kehidupan ^3. "

One might think people would have a very good number sense, but as it turns out, people do not. Orang mungkin berpikir orang akan memiliki rasa angka yang sangat baik, tapi ternyata, orang tidak. “Experiments have shown that the average person has a number sense that is around four.” ⁴ "Eksperimen telah menunjukkan bahwa rata-rata orang memiliki rasa jumlah yaitu sekitar empat ^4."

People groups in the world today that have not developed finger counting have a hard time discerning the quantity four.Orang-orang kelompok di dunia saat ini yang belum dikembangkan menghitung jari sulit membedakan jumlah empat. They tend to use the quantities one, two and many-which would include four. Mereka cenderung menggunakan jumlah satu, dua dan banyak yang akan mencakup empat.“Small children around fourteen months of age will almost always notice something that is missing from a group that he or she is familiar with. "Anak kecil sekitar empat belas bulan usia akan hampir selalu melihat sesuatu yang hilang dari kelompok yang dia atau dia kenal. The same age child can usually reassemble objects that have been separated into one group again. Anak usia yang sama biasanya dapat memasang kembali obyek yang telah dipisahkan ke dalam satu kelompok lagi. But the child's ability to perceive numerical differences in the people or objects around him or her are very limited when the number goes beyond three or four.” ⁵ Tapi anak kemampuan untuk melihat perbedaan numerik dalam orang atau benda di sekitarnya atau dia sangat terbatas saat nomor melampaui tiga atau empat. ^"5

So what separates people from the rest of the animal kingdom? Jadi apa yang memisahkan orang dari seluruh kerajaan binatang? It may include many things, but the ability to count is very much one of them. Ini dapat mencakup banyak hal, tetapi kemampuan untuk menghitung sangat banyak salah satu dari mereka. Counting, which usually begins at the end of our own hands or fingers, is usually taught by another person or possibly by circumstance. Menghitung, yang biasanya dimulai pada akhir tangan kita sendiri atau jari, biasanya diajarkan oleh orang lain atau mungkin dengan keadaan. It is something that we should never take lightly for it has helped advance the human race in countless ways. Ini adalah sesuatu yang kita tidak boleh anggap enteng untuk itu telah membantu memajukan umat manusia dengan cara yang tak terhitung jumlahnya. The number sense is something many creatures in this world have as well as well as we do. Arti jumlah banyak makhluk adalah sesuatu di dunia ini memiliki serta juga seperti kita. Although, as we can see, our human ability is not much better than the common crow's ability. Meskipun, seperti yang kita lihat, kemampuan manusia kita tidak jauh lebih baik daripada kemampuan gagak umum itu. We are born with the number sense, but we get to learn how to count. Kita dilahirkan dengan arti angka, tapi kita bisa belajar bagaimana menghitung

Referensi:

1.        Dantzig, Tobias. Dantzig, Tobias. Number: The Language of Science. Nomor: Bahasa Sains. New York: Macmillan Company, 1930. New York: Macmillan Company, 1930.

2.        Ifrah, Georges. Ifrah, Georges. From One to Zero: A Universal History of Numbers. Dari Satu untuk Zero: A Universal Sejarah Numbers. New York: Viking Penguin, Inc., 1985. New York: Viking Penguin, Inc, 1985.

Quipu - Sebuah Inca Sistem Akuntansi

Bayangkan, jika Anda mau, sebuah peradaban sangat maju. This civilization rules over a million or more people, they built vast cities, developed extensive road systems, treated their citizens fairly and constructed stone walls so tight not even a knife blade can pass between the huge boulders. Ini aturan peradaban lebih dari satu juta orang atau lebih, mereka membangun kota-kota besar, mengembangkan sistem jalan yang luas, warga mereka diperlakukan adil dan dibangun dinding batu yang begitu ketat bahkan tidak pisau bisa lewat antara batu-batu besar. Now imagine being able to do all this without a written language. Sekarang bayangkan mampu melakukan ini semua tanpa bahasa tertulis.

This was the ancient South American civilization of the Inca Empire. Ini adalah peradaban kuno Amerika Selatan Kekaisaran Inka. A highly developed civilization able to track all important facts required to rule such a vast empire. Sebuah peradaban sangat maju dapat melacak semua fakta penting yang diperlukan untuk memerintah seperti kekaisaran yang luas. They did this using a memory tool made of knotted strings called a quipu. Mereka melakukan ini dengan menggunakan alat memori terbuat dari benang rajutan disebut sebuah quipu. The men in charge of maintaining the quipu were known as "quipu camayocs" or "keeper of the quipu." Orang-orang yang bertugas menjaga quipu itu dikenal sebagai "camayocs quipu" atau "penjaga quipu itu."

Since they had no written language and very few ancient quipu are left, we can only speculate what the quipu was actually used for. Karena mereka tidak memiliki bahasa tertulis dan quipu kuno sangat sedikit yang tersisa, kita hanya bisa berspekulasi apa quipu itu sebenarnya digunakan untuk. It's fortunate quipu are still used today, so we may be able to learn about the ancient ones by seeing how the modern ones are used. Ini quipu beruntung masih digunakan sampai sekarang, sehingga kami dapat belajar tentang yang kuno dengan melihat bagaimana yang modern digunakan. Combine this with oral traditions and it appears they were used to keep records on the number of things. Kombinasikan ini dengan tradisi lisan dan tampaknya mereka digunakan untuk menyimpan catatan pada jumlah hal.

Another mystery which remains is, what base did the Inca use ? Misteri lain yang tersisa adalah, apa dasar melakukan penggunaan Inca? All their neighbors used a base 60, but it appears the Inca used base 10. Semua tetangga mereka menggunakan basis 60, tapi tampaknya Inca digunakan basis 10. Recent discoveries, as yet unsubstantiated, back this theory. Penemuan terbaru, yang belum terbukti, kembali teori ini. For our purpose, we will assume it was base 10. Untuk tujuan kita, kita akan menganggap itu adalah basis 10.

Making a quipu was easy. Membuat sebuah quipu mudah. Thin strings were looped around a larger cord. string tipis mengitari sebuah kabel yang lebih besar. Knots of colored thread or string were then tied around the thinner strings. Knot benang berwarna atau string kemudian diikatkan pada string tipis. Where the knots were placed indicated the value. Dimana knot ditempatkan menunjukkan nilai. The closer to the large cord a knot was placed, the greater its value. Semakin dekat ke simpul tali yang besar itu ditempatkan, nilainya semakin besar. They way a knot was tied and the color used may be significant, but without a written language, we just don't know. Mereka cara diikat simpul dan warna yang digunakan mungkin penting, tetapi tanpa bahasa tulis, kita tidak tahu. Some quipu found were several feet in length, so it was very important for the quipu camayocs to remember the who, where and what of each string and its placement on the larger cord quipu Beberapa ditemukan adalah beberapa meter panjang, sehingga sangat penting untuk quipu yang camayocs untuk mengingat siapa, dimana dan bagaimana setiap string dan penempatan pada kabel yang lebih besar

Referensi.

McIntyre, Loren.McIntyre, Loren. The Lost Empire of the Incas, National Geographic, Dec. 1973, 729 - 766. Kekaisaran Kehilangan suku Inca, National Geographic, Dec 1973, 729-766

Apakah Angka dan Dimana berasal?

Ribuan tahun yang lalu tidak ada nomor untuk mewakili "dua" atau "tiga". Instead fingers, rocks, sticks or eyes were used to represent numbers. Sebaliknya jari, batu, tongkat atau mata digunakan untuk mewakili angka. There were neither clocks nor calendars to help keep track of time. Ada tidak jam atau kalender untuk membantu melacak waktu. The sun and moon were used to distinguish between 1 PM and 4 PM. Matahari dan bulan digunakan untuk membedakan 13:00-04:00. Most civilizations did not have words for numbers larger than two so they had to use terminology familiar to them such as “flocks” of sheep, “heaps” of grain, or “lots” of people. Kebanyakan peradaban tidak memiliki kata-kata untuk angka yang lebih besar dari dua jadi mereka harus menggunakan istilah asing bagi mereka seperti "kawanan" domba, "tumpukan" gandum, atau "banyak" orang. There was little need for a numeric system until groups of people formed clans, villages and settlements and began a system of bartering and trade that in turn created a demand for currency. Ada sedikit kebutuhan untuk sistem numerik sampai kelompok orang klan terbentuk, desa dan permukiman dan mulai sistem barter dan perdagangan yang pada gilirannya menciptakan permintaan untuk mata uang. How would you distinguish between five and fifty if you could only use the above terminology? Bagaimana Anda membedakan antara lima dan lima puluh kalau Anda hanya bisa menggunakan terminologi yang di atas? Paper and pencils were not available to transcribe numbers. Kertas dan pensil tidak tersedia untuk menuliskan nomor. Other methods were invented for means of communication and teaching of numerical systems. Metode lainnya diciptakan untuk sarana komunikasi dan pengajaran sistem numerik. Babylonians stamped numbers in clay by using a stick and depressing it into the clay at different angles or pressures and the Egyptians painted on pottery and cut numbers into stone. Babel dicap angka dalam lempung dengan menggunakan tongkat dan menekan ke dalam tanah liat di sudut yang berbeda atau tekanan dan Mesir dicat pada tembikar dan memotong angka menjadi batu.

Numerical systems devised of symbols were used instead of numbers. sistem numerik menemukan simbol-simbol yang digunakan sebagai pengganti angka. For example, the Egyptians used the following numerical symbols:

Misalnya, orang Mesir menggunakan simbol numerik sebagai berikut:

From Esther Ortenzi, Numbers in Ancient Times. Dari Ester Ortenzi, Bilangan Times Kuno. Maine: Maine:

J. Weston Walch, 1964, page 9. J. Weston Walch, 1964, halaman 9.

The Chinese had one of the oldest systems of numerals that were based on sticks laid on tables to represent calculations.

Orang Cina memiliki salah satu sistem tertua angka yang didasarkan pada tongkat diletakkan di atas meja untuk mewakili perhitungan. It is as follows: Ini adalah sebagai berikut:

From David Smith and Jekuthiel Ginsburg, Numbers and Numerals. Dari Smith David dan Ginsburg Jekuthiel, Bilangan dan Bilangan.

WD Reeve, 1937, page 11. WD Reeve, 1937, halaman 11.

From about 450 BC the Greeks had several ways to write their numbers, the most common way was to use the first ten letters in their alphabet to represent the first ten numbers.

Dari sekitar 450 SM Yunani memiliki beberapa cara untuk menulis jumlah mereka, cara yang paling umum adalah menggunakan sepuluh huruf pertama dalam alfabet mereka untuk mewakili sepuluh angka pertama. To distinguish between numbers and letters they often placed a mark (/ or ') by each letter: Untuk membedakan antara angka dan huruf mereka sering ditempatkan tanda (/ atau ') dengan setiap huruf: From David Smith and Jekuthiel Ginsburg, Numbers and Numerals.

Dari Smith David dan Ginsburg Jekuthiel, Bilangan dan Bilangan. WD Reeve, 1937, page 12.

The Roman numerical system is still used today although the symbols have changed from time to time.Sistem numerik Romawi masih digunakan saat ini walaupun simbol telah berubah dari waktu ke waktu. The Romans often wrote four as IIII instead of IV, I from V. Today the Roman numerals are used to represent numerical chapters of books or for the main divisions of outlines. Bangsa Romawi sering menulis empat sebagai IIII bukan IV, saya dari V. Saat ini angka Romawi digunakan untuk mewakili bab numerik buku atau untuk divisi utama garis besar. The earliest forms of Roman numeral values are: Bentuk paling awal dari nilai-nilai angka Romawi adalah:

From David Smith and Jekuthiel Ginsburg, Numbers and Numerals. Dari Smith David dan Ginsburg Jekuthiel, Bilangan dan Bilangan.

WD Reeve, 1937, page 14. WD Reeve, 1937, halaman 14.

Finger numerals were used by the ancient Greeks, Romans, Europeans of the Middle Ages, and later the Asiatics.Angka Finger digunakan oleh orang Yunani kuno, Romawi, Eropa Abad Pertengahan, dan kemudian Asiatics. Still today you can see children learning to count on our own finger numerical system. Masih hari ini Anda bisa melihat anak-anak belajar berhitung di jari kita sendiri sistem numerik. The old system is as follows: Sistem lama adalah sebagai berikut

From Tobias Dantzig, Number: The Language of Science. Dari Tobias Dantzig, Nomor: Bahasa Sains. Macmillan Company, 1954, page 2. Perusahaan Macmillan, 1954, halaman 2.

Dari perhitungan dengan cara "kambing" untuk jari simbol numerik sistem yang sekarang kami telah berkembang dari angka Hindu untuk menyajikan nomor hari. The journey has taken us from 2400 BC to present day and we still use some of the old numerical systems and symbols. Perjalanan telah diambil kita dari 2400 SM sampai sekarang hari dan kita masih menggunakan beberapa sistem numerik tua dan simbol. Our system of numerics is ever changing and who knows what it will look like in 2140 AD. Sistem kami dari numerics yang pernah berubah dan siapa tahu apa yang akan tampak seperti pada 2140 AD. Will we still count using our fingers or will mankind invent a new numerical tool? Apakah kita masih menghitung menggunakan jari kita atau akan manusia menciptakan alat numerik baru?

Sanscrit letters of the 11. Bahasa Sansekerta surat dari 11. Century AD Century AD
Apices of Boethius and of the Middle Ages Apeks dari Boethius dan Abad Pertengahan
Gubar-numerals of the West Arabs Gubar-angka Arab Barat
Numerals of the East Arabs Angka Arab Timur
Numerals of Maximus Planudes. Angka dari Planudes Maximus.
Devangari-numerals. Devangari-angka.
From the Mirror of the World , printed by Caxton, 1480 Dari Cermin Dunia, dicetak oleh Caxton, 1480
From the Bamberg Arithmetic by Wagner, 1488. Dari Aritmatika Bamberg oleh Wagner, 1488.
From De Arts Supp- urtandi by Tonstall, 1522 Dari De Seni Supp-urtandi oleh Tonstall, 1522
This chart shows the change of numbers from their ancient to their present-day forms. Tabel ini menunjukkan perubahan nomor dari kuno mereka untuk bentuk mereka saat ini.

This Chart was reconstructed from Esther Ortenzi, Numbers in Ancient Times. Bagan ini dibangun kembali dari Esther Ortenzi, Bilangan Kuno Times.

Maine: J. Weston Walch, 1964, page 23. Maine: J. Weston Walch, 1964, 23 halaman

Referensi:

1.        David E. Smith and Jekuthiel Ginsburg. David E. Smith dan Ginsburg Jekuthiel. Numbers and Numerals. Bilangan dan Bilangan. WD Reeves, 1937 WD Reeves, 1937

2.        Esther C. Ortenzi. Esther C. Ortenzi. Numbers in Ancient Times. Angka di Times Kuno. J. Weston Walsh, 1964. Weston J. Walsh, 1964.

Tobias Dantzig. Tobias Dantzig. Number: The Language of Science. Nomor: Bahasa Sains. Macmillan Company, 1954. Macmillan Company, 1954

Sistem Nomor Babel

Orang-orang Babel tinggal di Mesopotamia, yang antara sungai Tigris dan Efrat. They began a numbering system about 5,000 years ago. Mereka mulai sistem penomoran sekitar 5.000 tahun yang lalu. It is one of the oldest numbering systems. Ini adalah salah satu sistem penomoran tertua. The first mathematics can be traced to the ancient country of Babylon, during the third millennium BC Tables were the Babylonians most outstanding accomplishment which helped them in calculating problems. Matematika pertama dapat ditelusuri ke negara kuno Babel, pada milenium ketiga SM Tabel adalah prestasi yang paling menonjol Babel yang membantu mereka dalam menghitung masalah. One of the Babylonian tablets, Plimpton 322, which is dated from between 1900 and 1600 BC, contains tables of Pythagorean triples for the equation a ² + b ² = c ² .         

Salah satu tablet Babel, Plimpton 322, yang tanggal dari antara tahun 1900 dan 1600 SM, berisi tabel menjadi tiga kali lipat Pythagoras untuk persamaan ² + b ² = c ^2. It is currently in a British museum. Saat ini di museum Inggris.

Nabu - rimanni and Kidinu are two of the only known mathematicians from Babylonia.NABU - rimanni dan Kidinu adalah dua matematikawan hanya dikenal dari Babel. However, not much is known about them. Namun, tidak banyak yang diketahui tentang mereka. Historians believe Nabu - rimanni lived around 490 BC and Kidinu lived around 480 BC. Sejarawan percaya NABU - rimanni hidup sekitar 490 SM dan Kidinu hidup sekitar 480 SM.

The Babylonian number system began with tally marks just as most of the ancient math systems did. Sistem bilangan Babilonia dimulai dengan tanda penghitungan seperti sebagian besar sistem matematika kuno itu. The Babylonians developed a form of writing based on cuneiform. Orang-orang Babel mengembangkan bentuk tulisan berdasarkan runcing. Cuneiform means "wedge shape" in Latin. Cuneiform berarti "irisan bentuk" dalam bahasa Latin. They wrote these symbols on wet clay tablets which were baked in the hot sun. Mereka menulis simbol-simbol pada tablet tanah liat basah yang dipanggang di bawah terik matahari. Many thousands of these tablets are still around today. Banyak ribuan tablet ini masih ada sampai saat ini. The Babylonians used a stylist to imprint the symbols on the clay since curved lines could not be drawn. Orang-orang Babel digunakan penata gaya untuk menanamkan simbol di tanah liat sejak garis melengkung tidak dapat ditarik.

The Babylonians had a very advanced number system even for today's standards. Orang-orang Babel memiliki sistem angka yang sangat canggih bahkan untuk standar saat ini. It was a base 60 system (sexigesimal) rather than a base ten (decimal). Itu adalah sistem basis 60 (sexigesimal) daripada basis sepuluh (desimal). Base ten is what we use today. sepuluh Base adalah apa yang kita gunakan saat ini.

The Babylonians divided the day into twenty-four hours, each hour into sixty minutes, and each minute to sixty seconds. Orang-orang Babel dibagi hari ke dua puluh empat jam, jam masing-masing menjadi enam puluh menit, dan setiap menit hingga enam puluh detik. This form of counting has survived for four thousand years. Bentuk penghitungan telah bertahan selama empat ribu tahun.

Any number less than 10 had a wedge that pointed down. Setiap nomor kurang dari 10 memiliki irisan yang menunjuk ke bawah.

Example: 4 Contoh:  4

The number 10 was symbolized by a wedge pointing to the left.

Nomor 10 telah dilambangkan oleh baji menunjuk ke kiri.

Example: 20 Contoh:  20

Numbers less than 60 were made by combining the symbols of 1and 10. Angka kurang dari 60 dibuat dengan menggabungkan simbol 1and 10.

Example: 47 Contoh: 47

As with our numbering system, the Babylonian numbering system utilized units, ie tens, hundreds, thousands. Seperti dengan sistem penomoran kami, sistem penomoran Babilonia digunakan unit, yaitu puluhan, ratusan, ribuan.Example: 64

Contoh: 64

However, they did not have a symbol for zero, but they did use the idea of zero.Namun, mereka tidak memiliki simbol untuk nol, tetapi mereka tidak menggunakan gagasan dari nol. When they wanted to express zero, they just left a blank space in the number they were writing. Ketika mereka ingin mengekspresikan zero, mereka baru saja meninggalkan ruang kosong dalam jumlah mereka sedang menulis.

When they wrote "60", they would put a single wedge mark in the second place of the numeral.Ketika mereka menulis "60", mereka akan tuliskan tanda irisan tunggal di tempat kedua angka tersebut.

When they wrote "120", they would put two wedge marks in the second place.Ketika mereka menulis "120", mereka akan menempatkan dua tanda irisan di tempat kedua.

Following are some examples of larger numbers. Berikut ini beberapa contoh angka yang lebih besar.

Example: Contoh:	79883 79.883
	(22*602 2 )+(11*60)+23 (22 * 60 2) + (11 * 60) +23

Example: Contoh:	5220062 5220062
	(24*60 3 )  +  (10*60 2 )  +  (1*60)  +  2 (24 * 60 3) + (10 * 60 2) + (1 * 60) + 2

References: Referensi:

1.        URL: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Babylonian_and_Egyptian.html 6-12-00 6:00 pm URL: ht6-12-00 06:00

2.        URL: http://www.angelfire.com/il2/babylonianmath/mathematicians.html 6-12-00 6:00 pm URL:    6-12-00 06:00

3.        Boyer, Merzbach. Boyer, Merzbach. A History of Mathematics. Sejarah Matematika. John Wiley & Sons, 1989. John Wiley & Sons, 1989. Second Edition. Edisi Kedua.

4.        Bunt, Jones, and Bedient. Bunt, Jones, dan Bedient. The Historical Roots of Elementary Mathematics. Historical Akar Matematika SD. Dover Publications. Dover Publications. 1988. 1988

Sistem Nomor Yunani

Sistem penomoran Yunani unik berdasarkan abjad mereka. The Greek alphabet came from the Phoenicians around 900 BC When the Phoenicians invented the alphabet, it contained about 600 symbols. Alfabet Yunani berasal dari Fenisia sekitar 900 SM Ketika ditemukan abjad Fenisia, isinya tentang 600 simbol. Those symbols took up too much room, so they eventually narrowed it down to 22 symbols. Mereka simbol mengambil ruang terlalu banyak, sehingga mereka akhirnya menyempit ke bawah hingga 22 simbol. The Greeks borrowed some of the symbols and made up some of their own. Orang Yunani meminjam beberapa simbol dan membuat beberapa dari mereka sendiri. But the Greeks were the first people to have separate symbols, or letters, to represent vowel sounds. Tetapi orang-orang Yunani adalah orang-orang pertama yang memiliki simbol terpisah, atau surat, untuk mewakili suara vokal. Our own word "alphabet" comes from the first two letters, or numbers of the Greek alphabet -- "alpha" and "beta." Using the letters of their alphabet enabled them to use these symbols in a more condensed version of their old system, called Attic. kata kita sendiri "alfabet" berasal dari dua huruf pertama, atau nomor dari abjad Yunani - "alpha" dan "beta alfabet." Menggunakan surat mereka memungkinkan mereka untuk menggunakan simbol-simbol ini dalam versi yang lebih kental sistem lama mereka , disebut Loteng. The Attic system was similar to other forms of numbering systems of that era. Sistem Loteng mirip dengan bentuk lain dari sistem penomoran era tersebut. It was based on symbols lined up in rows and took up a lot of space to write. Ini didasarkan pada simbol berjajar di baris dan menyita banyak ruang untuk menulis. This might not be to bad, except that they were still carving into stone tablets, and the symbols of the alphabet allowed them to stamp values on coins in a smaller, more condensed version. Ini mungkin bukan untuk yang buruk, kecuali bahwa mereka masih dalam tablet batu pahat, dan simbol-simbol abjad memungkinkan mereka untuk cap koin dalam nilai-nilai yang lebih, kental versi yang lebih kecil.

Attic symbols Loteng simbol
	=    500 = 500
	=    100 = 100
	=    10 = 10
	=    5 = 5
	=    1 = 1

For example,

Sebagai contoh, represented the number 849

mewakili nomor 849

The original Greek alphabet consisted of 27 letters and was written from the left to the right. Aksara Yunani asli terdiri dari 27 huruf dan ditulis dari kiri ke kanan. These 27 letters make up the main 27 symbols used in their numbering system. 27 huruf ini membentuk 27 simbol utama yang digunakan dalam penomoran sistem mereka. Later special symbols, which were used only for mathematics vau, koppa, and sampi, became extinct. Kemudian simbol-simbol khusus, yang hanya digunakan untuk vau matematika, koppa, dan sampi, menjadi punah. The New Greek alphabet nowadays uses only 24 letters. Aksara BaruYunani dewasa ini hanya menggunakan 24 huruf.

If you notice, the Greeks did not have a symbol for zero.Jika Anda perhatikan, orang-orang Yunani tidak memiliki simbol untuk nol. They could string these 27 symbols together to represent any number up to 1000. Mereka bisa string simbol 27 ini bersama-sama untuk mewakili jumlah apapun hingga 1000. By putting a comma in front of any symbol in the first row, they could now write any number up to 10,000. Dengan meletakkan koma di depan dari setiap simbol pada baris pertama, mereka sekarang bisa menulis nomor apapun hingga 10.000.

Here are representations for 1000, 2000 and the number we gave above 849.Berikut adalah representasi selama 1000, 2000 dan jumlah yang kami berikan di atas 849.

This works great for smaller numbers, but what about larger numbers? Ini karya besar untuk nomor yang lebih kecil, tapi apa yang berjumlah sekitar lebih besar? Here the Greeks went back to the Attic System, and used the symbol M for 10,000. Di sini, Yunani kembali ke Sistem Loteng, dan menggunakan simbol M untuk 10.000. And used multiples of 10,000 by putting symbols above M. Dan digunakan kelipatan 10.000 dengan menempatkan simbol di atas M

Referensi: Burton, David M. The History of Mathematics - An Introduction. Burton, David M. Sejarah Matematika - Pengantar. Dubuque, Iowa: William C. Dubuque, Iowa: William C. Brown, 1988. Brown, tahun 1988

Fraksi dan Mesir Kuno

Mesir Kuno memiliki pemahaman fraksi, namun mereka tidak menulis pecahan sederhana seperti 05/03 atau 09/04 karena pembatasan dalam notasi. The Egyptian scribe wrote fractions with the numerator of 1. Juru tulis menulis Mesir fraksi dengan pembilang dari 1. They used the hieroglyph Mereka menggunakan tulisan rahasia yang "an open mouth" above the number to indicate its reciprocal. "Sebuah mulut terbuka" di atas nomor tersebut untuk menunjukkan kebalikannya. The number 5, written Nomor 5, ditulis , as a fraction 1/5 would be written , Sebagai fraksi 1 / 5 akan ditulis . . There are some exceptions. Ada beberapa pengecualian. There was a special hieroglyph for 2/3, Ada tulisan rahasia khusus untuk 2 / 3, , and some evidence that 3/4 also had a special hieroglyph. , Dan beberapa bukti bahwa 3 / 4 juga memiliki tulisan rahasia khusus. All other fractions were written as the sum of unit fractions. Semua Fraksi lainnya ditulis sebagai jumlah dari fraksi unit. For example 3/8 was written as 1/4 + 1/8. Misalnya 08/03 ditulis sebagai 1 / 4 + 1 / 8.

The Egyptians had a need for fractions, such as the division of food, supplies, either equally or in a specific ratio.Mesir memiliki kebutuhan untuk fraksi, seperti pembagian makanan, persediaan, baik yang sama atau dalam suatu rasio tertentu. For example a division of 3 loaves among 5 men would require the fraction of 3/5. Sebagai contoh sebuah divisi dari 3 roti antara 5 orang pria akan membutuhkan fraksi 3 / 5. As new situations arose the Egyptians developed special techniques for dealing with the notation they already had, which meant the fraction was expressed as a sum of the unit fraction. Sebagai situasi baru muncul orang Mesir mengembangkan teknik khusus untuk menangani dengan notasi mereka miliki, yang berarti fraksi itu dinyatakan sebagai jumlah dari fraksi unit. Today as new concepts arise, mathematicians devise n new notation to deal with the situation. Hari ini sebagai konsep yang baru muncul, menyusun notasi matematika n baru untuk mengatasi situasi.

Fractions were so important to the Egyptians that of the 87 problems in the Rhind Mathematical Papyrus only six did not involve fractions. Fraksi begitu penting bagi orang Mesir bahwa dari 87 masalah di Matematika Rhind Papyrus hanya enam tidak melibatkan fraksi. Because the Egyptians performed their multiplications and divisions by doubling and halving, it was necessary to be able to double fractions. Karena Mesir dilakukan perkalian-perkalian dan pembagian dengan menggandakan dan membagi, maka perlu untuk dapat ganda fraksi. The scribes would create tables with calculations of fractions along with integers. Ahli-ahli Taurat akan membuat tabel dengan perhitungan fraksi bersama dengan bilangan bulat. These tables would be used as references so that temple personnel could carry out the fractional divisions on the food and supplies. Tabel ini akan digunakan sebagai referensi sehingga personil candi bisa melaksanakan divisi fraksional pada makanan dan persediaan

Referensi.

Gillings, Richard J. Mathematics in the Time of the Pharaohs. Gillings, Richard J. Matematika dalam Waktu para Firaun. (1982), Dover. (1982), Dover

Sistem Nomor Mesir

Bagaimana kita tahu apa bahasa Mesir nomor ini? It has been found on the writings on the stones of monument walls of ancient time. Telah ditemukan pada tulisan-tulisan di dinding batu monumen kuno waktu. Numbers have also been found on pottery, limestone plaques, and on the fragile fibers of the papyrus. Bilangan juga telah ditemukan pada tembikar, plak kapur, dan pada serat rapuh dari papyrus. The language is composed of heiroglyphs, pictorial signs that represent people, animals, plants, and numbers. Bahasa ini terdiri dari heiroglyphs, tanda-tanda gambar yang mewakili orang-orang, hewan, tumbuhan, dan nomor.

The Egyptians used a written numeration that was changed into hieroglyphic writing, which enabled them to note whole numbers to 1,000,000 .               

Orang-orang Mesir menggunakan penomoran tertulis yang berubah menjadi tulisan hiroglif, yang memungkinkan mereka untuk mencatat bilangan bulat ke 1.000.000. It had a decimal base and allowed for the additive principle. Ini memiliki basis desimal dan memungkinkan prinsip aditif. In this notation there was a special sign for every power of ten. Dalam notasi ini ada tanda khusus untuk setiap kelipatan sepuluh. For I, a vertical line; for 10, a sign with the shape of an upside down U; for 100, a spiral rope; for 1000, a lotus blossom; for 10,000 , a raised finger, slightly bent; for 100,000 , a tadpole; and for 1,000,000, a kneeling genie with upraised arms. Untuk satu garis vertikal; nilai 10, ditandai dengan bentuk U terbalik; untuk 100, tali spiral; untuk 1000, kembang teratai; untuk 10.000, jari terangkat, sedikit membungkuk, karena 100.000, sebuah kecebong , dan untuk 1.000.000, jin berlutut dengan tangan terangkat.

Decimal Desimal Number Nomor	Egyptian Mesir Symbol Simbol	Nama	Decimal Desimal Number Nomor	Egyptian Mesir Symbol Simbol	Nama	Decimal Desimal Number Nomor	Egyptian Mesir Symbol Simbol	Nama
1 = 1 =		staff staf	100 = 100 =		coil of rope kumparan tali	10,000 = 10.000 =		pointing finger menunjuk
10 = 10 =		heel bone tulang tumit	1000 = 1000 =		lotus flower bunga teratai	100,000 = 100.000 =		tadpole kecebong
						1,000,000 = 1.000.000 =		astonished man heran orang

Ini penomoran hieroglif adalah versi tertulis dari sistem menghitung beton menggunakan benda-benda. To represent a number, the sign for each decimal order was repeated as many times as necessary. Untuk mewakili nomor, tanda untuk setiap order desimal diulangi sebanyak yang diperlukan. To make it easier to read the repeated signs they were placed in groups of two, three, or four and arranged vertically. Untuk membuatnya lebih mudah untuk membaca tanda-tanda mengulangi mereka ditempatkan dalam kelompok dua,, tiga atau empat dan disusun secara vertikal.

Example 1. Contoh 1.

1 = 1 =		10 = 10 =		100 = 100 =		1000 = 1000 =
2 = 2 =		20 = 20 =		200 = 200 =		2000 = 2000 =
3 = 3 =		30 = 30 =		300 = 300 =		3000 = 3.000 =
4 = 4 =		40 = 40 =		400 = 400 =		4000 = 4.000 =
5 = 5 =		50 = 50 =		500 = 500 =		5000 = 5.000 =

Dalam penulisan angka, urutan desimal terbesar akan ditulis pertama. The numbers were written from right to left. Angka-angka ditulis dari kanan ke kiri.

46,206 = 46.206 =

Example 2. Contoh 2.

Below are some examples from tomb inscriptions.

Di bawah ini adalah beberapa contoh dari prasasti makam.

A A	B B	C C	D D
77 77	700 700	7000 7.000	760,00 760,000

Penambahan dan Pengurangan

The techniques used by the Egyptians for these are essentially the same as those used by modern mathematicians today.The Egyptians added by combining symbols.Teknik yang digunakan oleh Mesir untuk ini pada dasarnya sama dengan yang digunakan oleh ahli matematika modern today.The Mesir ditambahkan dengan menggabungkan simbol. They would combine all the units ( Mereka akan menggabungkan semua unit ( ) together, then all of the tens ( ) Bersama-sama, maka semua dari puluhan ( ) together, then all of the hundreds ( ) Bersama-sama, maka semua dari ratusan ( ), etc. If the scribe had more than ten units ( ), Dll Jika juru tulis itu lebih dari sepuluh unit ( ), he would replace those ten units by ), Dia akan menggantikan yang sepuluh unit . . He would continue to do this until the number of units left was les than ten. Dia akan terus melakukan ini sampai jumlah unit kiri les dari sepuluh. This process was continued for the tens, replacing ten tens with Proses ini dilanjutkan untuk puluhan, menggantikan sepuluh puluhan dengan , etc. , Dll

For example, if the scribe wanted to add 456 and 265, his problem would look like this Misalnya, jika ahli kitab ingin menambahkan 456 dan 265, masalahnya akan terlihat seperti ini

	(= 456) (= 456)
	(= 265) (= 265)

The scribe would then combine all like symbols to get something like the following juru tulis kemudian akan menggabungkan semua simbol seperti untuk mendapatkan sesuatu seperti berikut

He would then replace the eleven units (Dia kemudian akan menggantikan unit sebelas ( ) with a unit ( ) Dengan unit ( ) and a ten ( ) Dan sepuluh ( ). ).He would then have one unit and twelve tens. Dia kemudian akan memiliki satu unit dan dua belas puluhan. The twelve tens would be replaced by two tens and one one-hundred. Kedua belas puluhan akan diganti-kan oleh dua puluhan dan satu seratus.When he was finished he would have 721, which he would write as Ketika ia selesai,ia akan 721,yang akan menulis sebagai . .

Subtraction was done much the same way as we do it except that when one has to borrow, it is done with writing ten symbols instead of a single one. Pengurangan dilakukan dengan cara yang sama seperti yang kita lakukan itu kecuali bahwa ketika seseorang meminjam, itu dilakukan dengan menulis sepuluh simbol bukan satu pun.

Multiplication

Perkalian

Egyptians method of multiplication is fairly clever, but can take longer than the modern day method. Mesir metode multiplikasi cukup pintar, tapi bisa memakan waktu lebih lama dibandingkan dengan metode modern. This is how they would have multiplied 5 by 29 Ini adalah bagaimana mereka akan dikalikan 5 dari 29

*1 * 1	29 29
2 2	58 58
*4 * 4	116 116
1 + 4 = 5 1 + 4 = 5	29 + 116 = 145 29 + 116 = 145

When multiplying they would began with the number they were multiplying by 29 and double it for each line. Ketika mengalikan mereka akan mulai dengan jumlah mereka mengalikan dengan 29 dan dua untuk setiap baris. Then they went back and picked out the numbers in the first column that added up to the first number (5). Lalu mereka kembali dan memilih nomor di kolom pertama yang ditambahkan ke nomor pertama (5). They used the distributive property of multiplication over addition. Mereka menggunakan properti distributif dari perkalian atas penambahan.

29(5) = 29(1 + 4) = 29 + 116 = 145 29 (5) = 29 (1 + 4) = 29 + 116 = 145

Division Divisi The way they did division was similar to their multiplication. Cara yang mereka lakukan divisi mirip dengan perkalian mereka. For the problem 98/7 , they thought of this problem as 7 times some number equals 98. Untuk masalah 98 / 7, mereka menganggap masalah ini sebagai 7 kali jumlah beberapa sama dengan 98. Again the problem was worked in columns. Sekali lagi masalahnya adalah bekerja di kolom.

1 1	7 7
2 2	*14 * 14
4 4	*28 * 28
8 8	*56 * 56
2 + 4 + 8 = 14 2 + 4 + 8 = 14	14 + 28 + 56 = 98 14 + 28 + 56 = 98

This time the the numbers in the right-hand column are marked which sum to 98 then the corresponding numbers in the left-hand column are summed to get the quotient. Kali ini angka-angka di kolom sebelah kanan yang ditandai jumlah sampai dengan 98 maka jumlah yang sesuai di kolom kiri yang dijumlahkan untuk mendapatkan hasil bagi tersebut.
So the answer is 14. Jadi jawabannya adalah 14. 98 = 14 + 28 + 56 = 7(2 + 4 + 8) = 7*14 98 = 14 + 28 + 56 = 7 (2 + 4 + 8) = 7 * 14

Referensi:

1.        Boyer, Carl B. - A History of Mathematics, John Wiley, New York 1968 Boyer, Carl B. - Sejarah Matematika, John Wiley, New York 1968

2.        Gillings, Richard J. - Mathematics in the Time of the Pharaohs, Dover, New York, 1982 Gillings, Richard J. - Matematika dalam Waktu para Firaun, Dover, New York, 1982

3.Jason Gilman, David Slavit, - Ancient Egyptian Mathematics., Washington State University, 1995    Jason Gilman, Slavit David, - Matematika Mesir Kuno., Washington State University, 1995

Sistem Nomor Maya

Sistem bilangan Maya tanggal kembali ke abad keempat dan sekitar 1.000 tahun lebih maju daripada Eropa waktu itu. This system is unique to our current decimal system, which has a base 10, in that the Mayan's used a vigesimal system, which had a base 20. Sistem ini unik untuk sistem desimal kita saat ini, yang memiliki basis 10, dalam bahwa Mayan menggunakan sistem vigesimal, yang memiliki basis 20. This system is believed to have been used because, since the Mayan's lived in such a warm climate and there was rarely a need to wear shoes, 20 was the total number of fingers and toes, thus making the system workable. Sistem ini diyakini telah digunakan karena, sejak Maya tinggal di suatu iklim yang hangat dan jarang ada kebutuhan untuk memakai sepatu, 20 adalah jumlah jari dan jari-jari kaki, sehingga membuat sistem yang bisa diterapkan. Therefore two important markers in this system are 20, which relates to the fingers and toes, and five, which relates to the number of digits on one hand or foot. Oleh karena itu dua penanda penting dalam sistem ini adalah 20, yang berkaitan dengan jari tangan dan kaki, dan lima, yang berkaitan dengan jumlah digit pada satu tangan atau kaki.

The Mayan system used a combination of two symbols. Sistem Maya menggunakan kombinasi dua simbol. A dot (.) was used to represent the units (one through four) and a dash (-) was used to represent five. Sebuah titik () digunakan untuk mewakili unit (satu sampai empat) dan lari (-.) Digunakan untuk mewakili lima. It is thought that the Mayan's may have used an abacus because of the use of their symbols and, therefore, there may be a connection between the Japanese and certain American tribes (Ortenzi, 1964). Diperkirakan bahwa Maya mungkin telah menggunakan sempoa karena penggunaan simbol-simbol mereka dan, oleh karena itu, mungkin ada hubungan antara Jepang dan Amerika suku tertentu (Ortenzi, 1964). The Mayan's wrote their numbers vertically as opposed to horizontally with the lowest denomination on the bottom. The Maya's menulis jumlah mereka secara vertikal sebagai lawan horisontal dengan denominasi terendah di bagian bawah. Their system was set up so that the first five place values were based on the multiples of 20. sistem mereka dibentuk sehingga lima pertama nilai tempat tersebut berdasarkan kelipatan 20. They were 1 (20 ⁰ ), 20 (20 ¹ ), 400 (20 ² ), 8,000 (20 ³ ), and 160,000 (20 ⁴ ). Mereka adalah 1 (20 ^0), 20 (20 ^1), 400 (20 ^2), 8.000 (20 ^3), dan 160.000 (20 ^4). In the Arabic form we use the place values of 1, 10, 100, 1,000, and 10,000. Dalam bentuk bahasa Arab kita menggunakan nilai tempat dari 1, 10, 100, 1.000, dan 10.000. For example, the number 241,083 would be figured out and written as follows: Misalnya, jumlah 241.083 akan tahu dan ditulis sebagai berikut:

Mayan Maya Numbers Bilangan	Place Value Nilai Tempat	Decimal Value Desimal Nilai	Mayan Maya Numbers Bilangan	Place Value Nilai Tempat	Decimal Value Desimal Nilai
	1 times 160,000 1 kali 160.000	= 160,000 = 160.000		14 times 20 14 kali 20	= 80 = 80
	10 times 8,000 10 kali 8.000	= 80,000 = 80.000		3 times 1 3 kali 1	= 3 = 3
	2 times 400 2 kali 400	= 800 = 800

Nomor ini ditulis dalam bahasa Arab akan 1.10.2.14.3 (McLeish, 1991, hal 129).

The Mayan's were also the first to symbolize the concept of nothing (or zero). The Mayan juga yang pertama untuk melambangkan konsep apa-apa (atau nol). The most common symbol was that of a shell ( ) but there were several other symbols (eg a head). Simbol yang paling umum adalah bahwa dari sebuah shell () tapi ada beberapa simbol-simbol lain (misalnya kepala). It is interesting to learn that with all of the great mathematicians and scientists that were around in ancient Greece and Rome, it was the Mayan Indians who independently came up with this symbol which usually meant completion as opposed to zero or nothing. Sangat menarik untuk mengetahui bahwa dengan semua matematikawan besar dan ilmuwan yang sekitar di Yunani kuno dan Roma, itu adalah orang-orang Indian Maya yang independen datang dengan simbol ini biasanya berarti penyelesaian yang berlawanan dengan nol atau tidak sama sekali. Below is a visual of different numbers and how they would have been written: Di bawah ini adalah visual dari nomor yang berbeda dan bagaimana mereka akan pernah ditulis:

In the table below are represented some Mayan numbers. Dalam tabel di bawah yang diwakili beberapa nomor Maya. The left column gives the decimal equivalent for each position of teh Mayan number. Kolom kiri memberikan setara desimal untuk setiap posisi nomor Maya. Remember the numbers are read from bottom to top. Ingat angka dibaca dari bawah ke atas. Below each Mayan number is its decimal equivalent. Di bawah setiap nomor Maya desimal yang setara

8,000 8.000
400 400
20 20
units unit
	20 20	40 40	445 445	508 508	953 953	30,414 30.414

Ia telah mengemukakan bahwa counter mungkin telah digunakan, misalnya biji-bijian atau kerikil, untuk mewakili unit dan tongkat pendek atau kacang polong untuk mewakili lima tahun. Through this system the bars and dots could be easily added together as opposed to such number systems as the Romans but, unfortunately, nothing of this form of notation has remained except the number system that relates to the Mayan calendar. Melalui sistem ini titik bar dan dapat dengan mudah ditambahkan bersama sebagai bertentangan dengan sistem nomor seperti Roma, tetapi, sayangnya, tidak ada dari bentuk notasi tetap kecuali sistem bilangan yang berhubungan dengan kalender Maya.

For further study: The 360 day calendar also came from the Mayan's who actually used base 18 when dealing with the calendar. Untuk studi lebih lanjut: Kalender 360 hari juga datang dari Maya's yang benar-benar digunakan basis 18 ketika berhadapan dengan kalender. Each month contained 20 days with 18 months to a year. Masing-masing berisi bulan 20 hari dengan 18 bulan sampai satu tahun. This left five days at the end of the year which was a month in itself that was filled with danger and bad luck. Lima hari ini kiri pada akhir tahun yang sebulan sendiri yang dipenuhi dengan bahaya dan nasib buruk. In this way, the Mayans had invented the 365 day calendar which revolved around the solar system. Dengan cara ini, Maya telah menemukan 365 hari kalender yang berputar di sekitar tata surya.

Referensi.

1.        McLeish, J. (1991). McLeish, J. (1991). The story of numbers. Cerita nomor. New York, NY: Fawcett Columbine. New York, NY: Fawcett Columbine.

2.        Ortenzi, EC (1964). Ortenzi, EC (1964). Numbers in ancient times. Angka di zaman kuno. Portland, ME: J. Weston Walch. Portland, ME: J. Weston Walch.

3.        Roys, RL (1972). Roys, RL (1972). The Indian background of colonial Yucatan. Latar belakang India Yucatan kolonial. Norman, OK: University of Oklahoma Press. Norman, OK: University of Oklahoma Press.

4.        Thompson, JES (1967). Thompson, JES (1967). The rise and fall of Maya civilization. Naik turunnya peradaban Maya. Norman, OK: University of Oklahoma Press. Norman, OK: University of Oklahoma Press. Trout, L. (1991). Trout, L. (1991). The Maya. Maya itu. New York, NY: Chelsea House Publishers. New York, NY: Chelsea House Publishers

 

Sejarah Kalkulus

Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.

Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.

Perkembangan Kalkulus

Sejarah perkembangan kalkulus bisa diketahui pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno beberapa pemikiran tentang integral kalkulus telah muncul, namun tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas, fungsi utama dari integral kalkulus, bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskow Mesir (c. 1800 SM), yang mana orang Mesir menghitung volume dari frustrum piramid. Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh, menciptakan heuristik yang menyerupai integral kalkulus.

Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil tak terhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II di abad ke-12 mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil tak terhingga dan menjelaskan bentuk awal dari “Teorema Rolle”.

Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus untuk menghitung hasil jumlah pangkat empat, dan menggunakan induksi matematika. Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam diferensial kalkulus. Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari Sekolah Astronomi dan Matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa

Sedangkan pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari Teorema Fundamental Kalkulus pada tahun 1668.

Prinsip-prinsip Kalkulus

1. Limit Kecil Tak Terhingga

Kalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini yang mana dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Setiap perkalian dengan kecil tak terhingga tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata lain infinitesimal(kecil tak terhingga) tidak memenuhi properti Archimedes. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi inifintesimal.

Pada abad ke-19, konsep infinitesimal digantikan oleh konsep limit. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari input terdekat. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu.

2. Turunan / Diferensial

Diferensial kalkulus adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari turunan atau kemiringan dari sebuah grafik. Konsep turunan secara fundamental lebih maju dan rumit dari konsep yang ditemukan di aljabar. Dalam aljabar, kita mempelajari sebuah fungsi dengan input sebuah angka dan output sebuah angka. tetapi input dari turunan adalah sebuah fungsi dan outputnya juga adalah sebuah fungsi.

Dalam notasi matematika, salah satu simbol yang umum dipakai untuk menyatakan turunan dari sebuah fungsi adalah apostrofi. Maka turunan dari f adalah f’.

Jika fungsi tersebut adalah linear, maka fungsi tersebut dapat ditulis dengan y=mx+b, di mana:

Ini memberikan nilai dari kemiringan suatu garis lurus. jika sebuah fungsi bukan garis lurus, maka perubahan y dibagi terhadap perubahan x bervariasi, dan kita dapat menggunakan kalkulus untuk menentukan nilai pada titik tertentu. kemiringan dari suatu fungsi dapat diekspresikan:

Di mana koordinat dari titik pertama adalah (x, f(x)) dan h adalah jarak horizontal antara dua titik.

Untuk menentukan kemiringan dari sebuat kurva, kita menggunakan limit:

sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi f(x) = x2 pada titik (3,9) adalah

3. Integral

Integral kalkulus adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari dua konsep yang salaing berhubungan, integral tak tentu dan integral tertentu.

Simbol dari integral adalah , berupa S yang dipanjangkan (singkatan dari “sum”).

a.       Integral tak tentu adalah anti derivatif , kebalikan dari turunan. F adalah integral tak tentu dari f ketika f adalah turunan dari F.

ditulis

; di baca “Integral dari a ke b dari f(x) terhadap x.”

b.      integral tertentu memasukkan sebuah fungsi dan outputnya adalah sebuah angka, yang mana memberika luas antar grafik dan sumbu x.

ditulis:

Oleh karena turunan dari fungsi y = x2 + C adalah y ‘ = 2x (di mana C adalah konstanta),

.

4. Teorema Fundamental

Teorema fundamental kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah dua operasi yang saling berlawanan. Teorema ini menghubungkan nilai dari anti derivatif dengan integral tertentu. Karena lebih mudah menghitung sebuah anti derivatif daripada mengaplikasikan definisi dari integral, teorema fundamental kalkulus memberikan cara yang praktis dalam menghitung integral tertentu.

Teorema fundamental kalkulus menyatakan: Jika sebuah fungsi f adalah kontiniu pada interval [a,b] dan jika F adalah fungsi yang mana turunannya adalah f pada interval (a,b), maka

Lebih lanjut, untuk setiap x di interval (a,b),

Kegunaan Kalkulus

Kalkulus digunakan di setiap cabang sains fisik, sains komputer, statistik, teknik, ekonomi, bisnis, kedokteran, dan di bidang-bidang lainnya. Setiap konsep di mekanika klasik saling berhubungan melalui kalkulus. Salah satu penggunaan kalkulus yaitu pada penggunaan hukum gerak Newton.

Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih detail mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, matematikawan dan filsuf berusaha untuk memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret tak terhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi, terutama limit dan deret tak terhingga, yang kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut.

 Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika.

Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekanan. Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier.

Sir Isaac Newton adalah salah seorang penemu dan kontributor kalkulus yang terkenal.

Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret takterhingga, yang kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut.

Berkas:Gottfried Wilhelm von leibniz. (Gottfried Leibniz/Gottfried Wilhelm Leibniz)'' pada awalnya dituduh menjiplak dari hasil kerja Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan, namun sekarang dianggap sebagai kontributor kalkulus yang hasil kerjanya dilakukan secara terpisah.

Gottfried Leibniz/Leibniz dan Isaac Newton/Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam

waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang.

Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society.

Gottfried Wilhelm Leibniz

Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan.

Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The science of fluxions".

Sejak itu, banyak matematikawan yang memberikan kontribusi terhadap pengembangan lebih lanjut dari kalkulus.

Kalkulus menjadi topik yang sangat umum di SMA dan universitas zaman modern. Matematikawan seluruh dunia terus memberikan kontribusi terhadap perkembangan kalkulus.Organisasi Pendidikan, Ilmu Pengetahuan, dan Kebudayaan Perserikatan Bangsa-Bangsa/UNESCO - World Data on Education

LIMIT

Definisi limit: kita katakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati titik p adalah L apabila untuk setiap bilangan ε > 0 apapun, terdapat bilangan δ > 0, sedemikian rupanya:

Kalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini, yang dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Sebuah bilangan dx yang kecilnya tak terhingga dapat lebih besar daripada 0, namun lebih kecil daripada bilangan apapun pada deret 1, ½, ⅓, ... dan bilangan real positif apapun.

Setiap perkalian dengan kecil tak terhingga (infinitesimal) tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata lain kecil tak terhingga tidak memenuhi properti Archimedes. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi kecil tak terhingga.

Pada abad ke-19, konsep kecil tak terhingga ini ditinggalkan karena tidak cukup cermat, sebaliknya ia digantikan oleh konsep limit. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari nilai input terdekat. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu. Secara cermat, definisi limit suatu fungsi adalah:

Diberikan fungsi f(x) yang terdefinisikan pada interval di sekitar p, terkecuali mungkin pada p itu sendiri. Kita mengatakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati p adalah L, dan menuliskan:

jika, untuk setiap bilangan ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 yang berkoresponden dengannya sedemikian rupanya untuk setiap x:

TURUNAN

Grafik fungsi turunan.

Turunan dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari fungsi tersebut terhadap variabelnya. Proses menemukan turunan dari suatu fungsi disebut sebagai pendiferensialan ataupun diferensiasi.

Secara matematis, turunan fungsi ƒ(x) terhadap variabel x adalah ƒ′ yang nilainya pada titik x adalah:

,

dengan syarat limit tersebut eksis. Jika ƒ′ eksis pada titik x tertentu, kita katakan bahwa ƒ terdiferensialkan (memiliki turunan) pada x, dan jika ƒ′ eksis di setiap titik pada domain ƒ, kita sebut ƒ terdiferensialkan.

Apabila z = x + h, h = x - z, dan h mendekati 0 jika dan hanya jika z mendekati x, maka definisi turunan di atas dapat pula kita tulis sebagai:

Garis singgung pada (x, f(x)). Turunan f'(x) sebuah kurva pada sebuah titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut.

Perhatikan bahwa ekspresi pada definisi turunan di atas merupakan gradien dari garis sekan yang melewati titik (x,ƒ(x)) dan (x+h,ƒ(x)) pada kurva ƒ(x). Apabila kita mengambil limit h mendekati 0, maka kita akan mendapatkan kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva ƒ(x) pada titik x. Hal ini berarti pula garis singgung suatu kurva merupakan limit dari garis sekan, demikian pulanya turunan dari suatu fungsi ƒ(x) merupakan gradien dari fungsi tersebut.

Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi f(x) = x² pada titik (3,9):

Ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari turunan atau kemiringan dari sebuah grafik disebut kalkulus diferensial

Garis singgung sebagai limit dari garis sekan. Turunan dari kurva f(x) di suatu titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut. Kemiringan ini ditentukan dengan memakai nilai limit dari kemiringan garis sekan.

NOTASI PENDIFERENSIALAN

Terdapat berbagai macam notasi matematika yang dapat digunakan digunakan untuk menyatakan turunan, meliputi notasi Leibniz, notasi Lagrange, notasi Newton, dan notasi Euler.

Notasi Leibniz diperkenalkan oleh Gottfried Leibniz dan merupakan salah satu notasi yang paling awal digunakan. Ia sering digunakan terutama ketika hubungan antar y = ƒ(x) dipandang sebagai hubungan fungsional antara variabel bebas dengan variabel terikat. Turunan dari fungsi tersebut terhadap x ditulis sebagai:

   ataupun  

Notasi Lagrange diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange dan merupakan notasi yang paling sering digunakan. Dalam notasi ini, turunan fungsi ƒ(x) ditulis sebagai ƒ′(x) ataupun hanya ƒ′.

Notasi Newton, juga disebut sebagai notasi titik, menempatkan titik di atas fungsi untuk menandakan turunan. Apabila y = ƒ(t), maka mewakili turunan y terhadap t. Notasi ini hampir secara eksklusif digunakan untuk melambangkan turunan terhadap waktu. Notasi ini sering terlihat dalam bidang fisika dan bidang matematika yang berhubungan dengan fisika.

Notasi Euler menggunakan operator diferensial D yang diterapkan pada fungsi ƒ untuk memberikan turunan pertamanya Df. Apabila y = ƒ(x) adalah variabel terikat, maka sering kali x dilekatkan pada D untuk mengklarifikasikan keterbebasan variabel x. Notasi Euler kemudian ditulis sebagai:

  atau   .

Notasi Euler ini sering digunakan dalam menyelesaikan persamaan diferensial linear.

	Notasi Leibniz	Notasi Lagrange	Notasi Newton	Notasi Euler
Turunan ƒ(x) terhadap x		ƒ′(x)	dengan y = ƒ(x)

Integral dapat dianggap sebagai perhitungan luas daerah di bawah kurva ƒ(x), antara dua titik a dan b.

Integral merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai luas wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah. Proses menemukan integral suatu fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi. Integral dibagi menjadi dua, yaitu: integral tertentu dan integral tak tentu. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan integral adalah , seperti huruf S yang memanjang (S singkatan dari "Sum" yang berarti penjumlahan).

INTEGRAL

 Integral dapat dianggap sebagai perhitungan luas daerah di bawah kurva ''ƒ''(''x''), antara dua titik ''a'' dan ''b''. Integral merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai luas wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah. Proses menemukan integral suatu fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi. Integral dibagi menjadi dua, yaitu: integral tertentu dan integral tak tentu. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan integral adalah  seperti huruf S yang memanjang (S singkatan dari ''"Sum"'' yang berarti penjumlahan).

INTEGRAL TERTENTU

Diberikan suatu fungsi ƒ bervariabel real x dan interval antara [a, b] pada garis real, integral tertentu:

secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik ƒ, sumbu-x, dan garis vertikal x = a dan x = b.

Pada notasi integral di atas: a adalah batas bawah dan b adalah batas atas yang menentukan domain pengintegralan, ƒ adalah integran yang akan dievaluasi terhadap x pada interval [a,b], dan dx adalah variabel pengintegralan.

Seiring dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar subinterval yang diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas daerah di bawah kurva.

Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya digunakan adalah definisi integral Riemann.

Integral Rieman didefinisikan sebagai limit dari penjumlahan Riemann. Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi ƒ pada interval tertutup [a,b]. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval [a,b] dapat kita bagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah n-1 titik {x₁, x₂, x₃,..., x_{n - 1}} antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:

Himpunan tersebut kita sebut sebagai partisi [a,b], yang

membagi [a,b] menjadi sejumlah n subinterval . Lebar subinterval pertama [x₀,x₁] kita nyatakan sebagai Δx₁, demikian pula lebar subinterval ke-i kita nyatakan sebagai Δx_i = x_i - x_{i - 1}. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang dan pada subinterval ke-i tersebut kita memilih titik sembarang t_i. Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar Δx dan tingginya berawal dari sumbu x sampai menyentuh titik (t_i, ƒ(t_i)) pada kurva. Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan mengalikan ƒ(t_i)· Δx_i dan menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita akan dapatkan:

Penjumlahan S_p disebut sebagai penjumlahan Riemann untuk ƒ pada interval [a,b]. Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil, hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah yang kita inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma partisi mendekati nol, maka kita akan mendapatkan luas daerah tersebut.

Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann adalah:

Diberikan ƒ(x) sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b]. Kita katakan bahwa bilangan I adalah integral tertentu ƒ di sepanjang [a,b] dan bahwa I adalah limit dari penjumlahan Riemann

apabila kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan ε > 0 apapun terdapat sebuah bilangan δ > 0 yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk setiap partisi di sepanjang [a,b] dengan dan pilihan t_i apapun pada [x_{k - 1}, t_i], kita dapatkan

Secara matematis dapat kita tuliskan:

Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah n subinterval yang sama, maka lebar Δx = (b-a)/n, sehingga persamaan di atas dapat pula kita tulis sebagai:

Limit ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval yang ada mendekati tak terhingga banyaknya.

Contoh

Sebagai contohnya, apabila kita hendak menghitung integral tertentu , yakni mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka perhitungan integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemannnya adalah

Pemilihan partisi ataupun titik t_i secara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama sepanjang norma partisi tersebut mendekati nol. Apabila kita memilih partisi P membagi-bagi interval [0,b] menjadi n subinterval yang berlebar sama Δx = (b - 0)/n = b/n dan titik t'_i yang dipilih adalah titik akhir kiri setiap subinterval, partisi yang kita dapatkan adalah:

dan

,

sehingga:

Seiring dengan n mendekati tak terhingga dan norma partisi mendekati 0, maka didapatkan:

Dalam prakteknya, penerapan definisi integral tertentu dalam mencari nilai integral tertentu tersebut jarang sekali digunakan karena tidak praktis. Teorema dasar kalkulus (lihat bagian bawah) memberikan cara yang lebih praktis dalam mencari nilai integral tertentu.

INTEGRAL TAK TENTU

Manakala integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol, teorema dasar kalkulus (lihat bagian bawah) menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung dengan mudah apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.

Keseluruhan himpunan antiturunan/antiderivatif sebuah fungsi ƒ adalah integral tak tentu ataupun primitif dari ƒ terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:

  di mana   

 

Ekspresi F(x) + C adalah antiderivatif umum ƒ dan C adalah konstanta sembarang.

Misalkan terdapat sebuah fungsi f(x) = x², maka integral tak tentu ataupun antiturunan dari fungsi tersebut adalah:

Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu dalam bentuk adalah sebuah bilangan, manakala integral tak tentu : adalah sebuah fungsi yang memiliki tambahan konstanta sembarang C.

TEOREMA DASAR

Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah dua operasi yang saling berlawanan. Lebih tepatnya, teorema ini menghubungkan nilai dari anti derivatif dengan integral tertentu. Karena lebih mudah menghitung sebuah anti derivatif daripada menerapkan definisi integral tertentu, teorema dasar kalkulus memberikan cara yang praktis dalam menghitung integral tertentu.

Teorema dasar kalkulus menyatakan:

Jika sebuah fungsi f adalah kontinu pada interval [a,b] dan jika F adalah fungsi yang mana turunannya adalah f pada interval (a,b), maka

Lebih lanjut, untuk setiap x di interval (a,b),

Sebagai contohnya apabila kita hendak menghitung nilai integral , daripada menggunakan definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann (lihat bagian atas), kita dapat menggunakan teorema dasar kalkulus dalam menghitung nilai integral tersebut. Anti derivatif dari fungsi adalah . Oleh sebab itu, sesuai dengan teorema dasar kalkulus, nilai dari integral tertentu adalah:

Apabila kita hendak mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka kita akan dapatkan:   

 

Perhatikan bahwa hasil yang kita dapatkan dengan menggunakan teorema dasar kalkulus ini adalah sama dengan hasil yang kita dapatkan dengan menerapkan definisi integral tertentu (lihat bagian atas). Oleh karena lebih praktis, teorema dasar kalkulus sering digunakan untuk mencari nilai integral tertentu.

 

Aplikasi

Pola spiral logaritma cangkang Nautilus adalah contoh klasik untuk menggambarkan perkembangan dan perubahan yang berkaitan dengan kalkulus.

Kalkulus digunakan di setiap cabang sains fisik, sains komputer, statistik, teknik, ekonomi, bisnis, kedokteran, kependudukan, dan di bidang-bidang lainnya. Setiap konsep di mekanika klasik saling berhubungan melalui kalkulus.

Massa dari sebuah benda dengan massa jenis yang tidak diketahui, momen inersia dari suatu objek, dan total energi dari sebuah objek dapat ditentukan dengan menggunakan kalkulus.

Dalam subdisiplin listrik dan magnetisme, kalkulus dapat digunakan untuk mencari total fluks dari sebuah medan elektromagnetik . Contoh historis lainnya adalah penggunaan kalkulus di hukum gerak Newton, dinyatakan sebagai laju perubahan yang merujuk pada turunan: Laju perubahan momentum dari sebuah benda adalah sama dengan resultan gaya yang bekerja pada benda tersebut dengan arah yang sama.

Bahkan rumus umum dari hukum kedua Newton: Gaya = Massa × Percepatan, menggunakan perumusan kalkulus diferensial karena percepatan bisa dinyatakan sebagai turunan dari kecepatan. Teori elektromagnetik Maxwell dan teori relativitas Einstein juga dirumuskan menggunakan kalkulus diferensial.

Daftar Pustaka ===

* Donald A. McQuarrie (2003). ''Mathematical Methods for Scientists and Engineers'', University Science Books. ISBN 978-1-891389-24-5

* James Stewart (2002). ''Calculus: Early Transcendentals'', 5th ed., Brooks Cole. ISBN 978-0-534-39321-2

Sumber

1.           ^ Helmer Aslaksen. Why Calculus? National University of Singapore. See

2.           ^ Archimedes, Method, in The Works of Archimedes ISBN 978-0-521-66160-7

3.           ^ Aryabhata the Elder

4.           ^ Ian G. Pearce. Bhaskaracharya II.

5.           ^ Victor J. Katz (1995). "Ideas of Calculus in Islam and India", Mathematics Magazine 68 (3), pp. 163-174.

6.           ^ J. L. Berggren (1990). "Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat", Journal of the American Oriental Society 110 (2), pp. 304-309.

7.           ^ Madhava. Biography of Madhava. School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland. Diakses pada 13 September 2006

8.           ^ An overview of Indian mathematics. Indian Maths. School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland. Diakses pada 7 Juli 2006

9.           ^ Science and technology in free India. Government of Kerala — Kerala Call, September 2004. Prof.C.G.Ramachandran Nair. Diakses pada 9 Juli 2006

10.        ^ Charles Whish (1835). Transactions of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland. 

11.        ^ UNESCO-World Data on Education isapi.dll?clientID=137079235&infobase=iwde.nfo&softpage=PL frame

Daftar Pustaka

          Donald A. McQuarrie (2003). Mathematical Methods for Scientists and Engineers, University Science Books. ISBN 978-1-891389-24-5

          James Stewart (2002). Calculus: Early Transcendentals, 5th ed., Brooks Cole. ISBN 978-0-534-39321-2

           

Sumber lain

Bacaan lebih lanjut

          Robert A. Adams. (1999) ISBN 978-0-201-39607-2 Calculus: A complete course.

          Albers, Donald J.; Richard D. Anderson and Don O. Loftsgaarden, ed. (1986) Undergraduate Programs in the Mathematics and Computer Sciences: The 1985-1986 Survey, Mathematical Association of America No. 7,

          John L. Bell: A Primer of Infinitesimal Analysis, Cambridge University Press, 1998. ISBN 978-0-521-62401-5.

          Florian Cajori, "The History of Notations of the Calculus." Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 25, No. 1 (Sep., 1923), pp. 1-46.

          Leonid P. Lebedev and Michael J. Cloud: "Approximating Perfection: a Mathematician's Journey into the World of Mechanics, Ch. 1: The Tools of Calculus", Princeton Univ. Press, 2004

          Cliff Pickover. (2003) ISBN 978-0-471-26987-8 Calculus and Pizza: A Math Cookbook for the Hungry Mind.

          Michael Spivak. (Sept 1994) ISBN 978-0-914098-89-8 Calculus. Publish or Perish publishing.

          Silvanus P. Thompson dan Martin Gardner. (1998) ISBN 978-0-312-18548-0 Calculus Made Easy.

          Mathematical Association of America. (1988) Calculus for a New Century; A Pump, Not a Filter, The Association, Stony Brook, NY. ED 300 252.

          Thomas/Finney. (1996) ISBN 978-0-201-53174-9 Calculus and Analytic geometry 9th, Addison Wesley.

          Weisstein, Eric W. "Second Fundamental Theorem of Calculus." dari MathWorld--A Wolfram Web Resource.

 

 

Pustaka daring

          Crowell, B., (2003). "Calculus" Light and Matter, Fullerton. Retrieved 6^th May 2007 from http://www.lightandmatter.com/calc/calc.pdf

          Garrett, P., (2006). "Notes on first year calculus" University of Minnesota. Retrieved 6^th May 2007 from http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/first_year/notes.pdf

          Faraz, H., (2006). "Understanding Calculus" Retrieved Retrieved 6^th May 2007 from Understanding Calculus, URL http://www.understandingcalculus.com/ (HTML only)

          Keisler, H. J., (2000). "Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals" Retrieved 6^th May 2007 from http://www.math.wisc.edu/~keisler/keislercalc1.pdf

          Mauch, S. (2004). "Sean's Applied Math Book" California Institute of Technology. Retrieved 6^th May 2007 from http://www.cacr.caltech.edu/~sean/applied_math.pdf

          Sloughter, Dan., (2000) "Difference Equations to Differential Equations: An introduction to calculus". Retrieved 6^th May 2007 from http://math.furman.edu/~dcs/book/

          Stroyan, K.D., (2004). "A brief introduction to infinitesimal calculus" University of Iowa. Retrieved 6^th May 2007 from http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm (HTML only)

          Strang, G. (1991) "Calculus" Massachusetts Institute of Technology. Retrieved 6^th May 2007 from http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm.

 

 

Halaman web

          Calculus.org: The Calculus page di Universitas California, Davis

          COW: Calculus on the Web di Universitas Temple

          Online Integrator (WebMathematica) dari Wolfram Research

          The Role of Calculus in College Mathematics dari ERICDigests.org

          OpenCourseWare Calculus dari Institut Teknologi Massachusetts

          Infinitesimal Calculus Encyclopaedia of Mathematics, Michiel Hazewinkel ed.