Vektor Matematika

Dibawah ini adalah pembahasan soal-soal matematika tentang vektor dan dilengkapi dengan ringkasan materi. Mudah-mudahan pembahasan ini dapat bermanfaat buat siapa saja yang membutuhkan, khususnya siswa yang kesulitan belajar matematika. Pembahasan soal ini dapat dijadikan bahan belajar dalam menghadapi ulangan harian, UTS, UAS, UKK, ujian sekolah, ujian nasional dan ujian lainnya. Langsung saja bisa disimak pembahasan soalnya dibawah ini.

Soal No. 1
Perhatikan gambar berikut, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q



a) Nyatakan PQ dalam bentuk vektor kolom
b) Nyatakan PQ dalam bentuk i, j (vektor satuan)
c) Tentukan modulus atau panjang vektor PQ

Pembahasan
Titik P berada pada koordinat (3, 1)
Titik Q berada pada koordinat (7,4)
a) PQ dalam bentuk vektor kolom



b) PQ dalam bentuk i, j (vektor satuan)
PQ = 4i + 3j

c) Modulus vektor PQ



Soal No. 2
Perhatikan gambar kubus dengan sisi sepanjang 10 satuan berikut:



Titik S tepat berada pada perpotongan kedua diagonal sisi alas kubus. Tentukan:
a) Koordinat titik S
b) Koordinat titik V
c) Vektor SV dalam bentuk kolom
d) SV dalam bentuk vektor satuan
e) Modulus atau panjang SV

Pembahasan
a) Koordinat titik S
x = 5
y = 0
z = 5
(5, 0, 5)

b) Koordinat titik V
x = 10
y = 10
z = 0
(10, 10, 0)

c) Vektor SV dalam bentuk kolom



d) SV dalam bentuk vektor satuan
SV = 5i + 10j − k

e) Modulus atau panjang SV



Soal No. 3
Diberikan dua buah vektor masing-masing a = 9 dan b = 4. Nilai cosinus sudut antara kedua vektor adalah 1/3 . Tentukan:
a) |a + b|
b) |a – b|

Pembahasan
a) |a + b|
Jumlah dua buah vektor



b) |a – b|
Selisih dua buah vektor



Soal No. 4
Dua buah vektor masing-masing:
p = 3i + 2j + k
q = 2i – 4 j + 5k

Tentukan nilai cosinus sudut antara kedua vektor tersebut!

Pembahasan
Jumlahkan dua buah vektor dalam i, j, k



Dengan rumus penjumlahan



Soal No. 5
Diketahui vektor a = 2i – 6j – 3k dan b = 4i + 2j – 4k . Panjang proyeksi vektor a pada b adalah…..
A. 4/3
B. 8/9
C. ¾
D. 3/8
E. 8/36
(Soal Ebtanas Tahun 2000)

Pembahasan
Panjang masing-masing vektor, jika nanti diperlukan datanya:



Proyeksi vektor a pada vektor b, namakan c:



Soal No. 6
Diketahui vektor a = 4i − 2j + 2k dan vektor b = 2 i − 6 j + 4k. Proyeksi orthogonal vektor a pada vektor b adalah....
A. i − j + k
B. i − 3j + 2k
C. i − 4j + 4k
D. 2i − j + k
E. 6i − 8j + 6k
(Dari Soal UN Matematika Tahun 2011 Paket 12)

Pembahasan
Proyeksi vektor a pada vektor b namakan c, hasil akhirnya dalam bentuk vektor (proyeksi vektor ortogonal).

Soal No. 7
Besar sudut antara vektor a = 2i − j + 3k dan b = i + 3j − 2k adalah....
A. 1/8 π
B. 1/4 π
C. 1/3 π
D. 1/2 π
E. 2/3 π
(Soal Ebtanas 1988)

Pembahasan
Sudut antara dua buah vektor:



Soal No. 8
Ditentukan A(4 , 7 , 0) , B(6 , 10 , –6) dan C(1 , 9 , 0). AB dan AC wakil-wakil dari vektor u dan v. Besar sudut antara u dan v adalah....
A. 0
B. ¹/₄ π
C. ¹/₂ π
D. ³/₄ π
E. π
(Soal Ebtanas 1989 - Vektor)

Pembahasan
Tentukan vektor u dan v terlebih dulu:
u = AB = B − A = (6 , 10 , –6) − (4 , 7 , 0) = (2, 3, −6) → u = 2i + 3j − 6k
v = AC = C − A = (1 , 9 , 0) − (4 , 7 , 0) = (− 3, 2, 0) → v = − 3i + 2j



Sudut dengan nilai cosinus nol adalah 90° atau ¹/₂ π

Soal No. 9

Diketahui

Proyeksi skalar 2u + 3v pada v adalah....

A. ¹/₂
B. ¹/₂ √2
C. ¹/₁₄√14
D. 2√14
E. ⁷/₂√14

Pembahasan
2u + 3v misalkan dinamakan r



Proyeksi vektor r pada v misal namanya s adalah



Soal No. 10
Diberikan tiga buah vektor masing-masing:
a = 6p i + 2p j − 8 k
b = −4 i + 8j + 10 k
c = − 2 i + 3 j − 5 k

Jika vektor a tegak lurus b, maka vektor a − c adalah.....
A. − 58 i − 20 j − 3k
B. − 58 i − 23 j − 3k
C. − 62 i − 17 j − 3k
D. − 62 i − 20 j − 3k
E. − 62 i − 23 j − 3k

Pembahasan
Tentukan nilai p terlebih dahulu, dua vektor yang tegak lurus maka perkalian titiknya sama dengan nol. a dan b tegak lurus maka berlaku:

a ⋅ b = 0

(6p i + 2p j − 8 k)⋅ (−4 i + 8j + 10 k) = 0
− 24p + 16p − 80 = 0
− 8p = 80
p = − 10

Dengan demikian vektor a adalah
a = 6p i + 2p j − 8 k
a = 6(− 10) i + 2(− 10) j − 8 k
a = −60 i − 20 j − 8 k

a − c = ( −60 i − 20 j − 8 k) − (− 2 i + 3 j − 5 k)
a − c = − 58 i − 23 j − 3k

Read more: http://www.matematikastudycenter.com/kelas-12/76-vektor-12#ixzz4dmpgpa5h

Nomor 1
Jika a = t i - 2 j + hk dan b = (t +2) i + 2 j + 3 k. Jika a = - b maka vektor a dapat dinyatakan ...
A. 3i + 2j + 3 k
B. 5i + 2 j - 3k
C. 6i - 2j + 3k
D. - 6i - 2j + 3k
E. - i - 2 j - 3 k

Pembahasan
Karena a = - b diperoleh t i - 2j + hk = - (t +2) i - 2 j - 3 k
t = - (t +2)
t = - t - 2
2t = -2
t = -1 lalu h = - 3
Jadi diperoleh a = -i - 2j - 3k
Jawaban: E

Nomor 2
Diketahui vektor a = 7 i + 5 j - 3k dan b = 5 i + 2 j + 3k serta c = a - b, vektor satuan yang searah denga c adalah...
A. 1/7 i + 2/7 j + 3/7 k
B. 2/7 i + 3/7 j - 6/7 k
C. 2/7 i - 3/7 j + 3/7 k
D. 5/7 i - 3/7 j - 2/5 k
E. 9/7 i + 6/7 j - 5/7 k

Pembahasan
Terlebih dahulu hitung nilai c:
c = a - b = (7 i + 5 j - 3k) - (5 i + 2 j + 3k) = 2 i + 3j - 6k
Diperoleh:


Menentukan vektor yang searah dengan c adalah
c = (2, 3, -6) / 7 atau c = 2/7 i + 3/7 j - 6/7 k
Jawaban: B

Nomor 3
Titik A(1,4,2), B(3,1,-1), C(4,2,2). Jika a = AB, b = CA, c = b - a maka vektor c adalah...
A. (4,5,3)
B. (-5,5,3)
C. (-5,-4,3)
D. (-5,3,5)
E. (-7,-3,5)

Pembahasan
Berdasarkan soal:
a = AB = B - A = (3,1,-1) - (1,4,2) = (2,-3,-3)
b = CA = A - C = (1,4,2) - (4,2,2) = (-3,2,0)
c = b - a = (-3,2,0) - (2,-3,-3) = (-5,5,3)
Jawaban: B

Nomor 4
Jika U = 3 i + 2 j + k dan v = 2i + j dimana W = 3 U - 4 V maka besar W =...
A. √6
B. √8
C. √10
D. √12
E. √14

Pembahasan
Tentukan terlebih dahulu persamaan W:
W = 3 (3 i + 2 j + k) - 4 (2i + j) = i + 2j + 3k
Menghitung besar W

Jawaban: E

Nomor 5
Vektor u = 2 i - 3 j + 5 k dan v = - 3 i - 5 j + 2 k mengapit sudut Ɵ. Maka nilai tan Ɵ adalah...
A. √2/3
B. √3
C. √7
D. √8
E. 1

Pembahasan
Tentukan terlebih dahulu nilai u dan v kemudian diperoleh nilai sudutnya:

θ = 60o
Jadi:
tan θ = tan 60o = √3

Jawaban: B

Nomor 6

Diketahui a = 3i - 2j + k, b = 2i - 4j - 3k dan c = -i +2j + 2k, maka 2a - 3b - 5 c sama dengan...

A. 3i + 7j + 3k

B. 4i - 5j + 3k

C. 5i - 2j + k

D. 7i + 2j + 5k

E. 9i - 2 j - 5k

医者も驚きを隠せない! 女性を10歳若く見せます! そのレシピとは…

Pembahasan

Ganti saja nilai a, b dan c dengan persamaan yang sudah diketahui:
2a - 3b - 5 c = 2 (3i - 2j + k)

-3(2i - 4j - 3k) - 5(-i + 2j + 2k) = 5i - 2j + k 

Jawaban: C

Nomor 7

Vektor u dan vektor v membentuk sudut 60 derajat dengan IuI = 2 dan IvI = 5.  u (v + u) = ....

A.2

B.4

C.6

D. 9

E. 10

Pembahasan

Uraikan persamaan u (v + u) seperti dibawah ini:
u (v + u) = u . v + u2 = IuI IvI cos 60 + u2 = 2 . 5 . 1/2 + 22 = 5 + 4 = 9

Jawaban: B

Nomor 8

Titik A (3,-1,0), B(2,4,1) dan C(1.0,5). Panjang proyeksi vektor AB pada vektor BC adalah...

A. 1/3 √35

B. 2/5 √30

C. 3/5 √35

D. 7/5 √30 

E. 9√30

Pembahasan

Berdasarkan soal diperoleh:
AB = B - A = (2,4,1) - (3,-1,0) = (-1,5,1)

AC = C - A = (1,0,5) - (3,-1,0) = (-2,1,5)

Menghitung panjang proyeksi vektor AB pada vektor BC adalah:

Jawaban: B

Nomor 9

Diketahui dua vektor u = 4i - mj + 2 k dan v = 5i + 2j - 4k saling tegak lurus. Maka harga m adalah ...

A.1

B.5

C. 6

D. 9

E. 10

Pembahasan

Berdasarkan soal, u tegak lurus v maka:

u . v = 0

(4i - mj + 2k) (5i + 2j - 4k) = 20 - 2m - 8 = 0 

m = 6

Jawaban: C

Nomor 10

Misalkan D adalah titik berat segitiga ABC dimana A(2,3,-2), B(-4,1,2) dan C(8,5,-3). Panjang vektor posisi d sama dengan:

A. 3

B.5

C.  √5

D.  √13

E.  √14

Pembahasan
Hitung terlebih dahulu titik D: 

D titik berat segitiga sehingga D = 1/3 (A + B + C)

D = 1/3 (2,3,-2) + (-4,1,2) + (8,5,-3)

D = 1/3 (6,9,-3) = (2,3,-1)

Menghitung panjang proyeksi D adalah:

Jawaban: E

Nomor 9

Misalkan titik P, Q, R segaris dan P(-1,1) dan R (3,5) dan PQ = QR maka titik Q adalah...

A. (3,4)

B. (1,3)

C. (1,4)

D. (4,3)

E. (-4,-1)

Pembahasan

Berdasarkan soal didapat:
PQ = QR maka Q - R = R - Q 

2Q = R + P 

Q = 1/2 (R + P)

Q = 1/2 (3,5) + (-1,1) = 1/2 (2,6) = (1,3)

Jawaban: B

http://untukku-saja.blogspot.jp/2015/01/pembahasan-soal-soal-vektor.html

Suku Banyak dan Teorema Sisa

Perhatikan contoh-contoh soal suku banyak berikut ini:

Soal No. 1
Diberikan suku banyak
F(x) = 3x³ + 2x − 10.
Dengan cara substitusi, tentukan nilai dari F(2)

Pembahasan
Masukkan nilai x = 2 untuk F(x).

F(x) = 3x³ + 2x − 10
F(2) = 3(2)³ + 2(2) − 10
F(2) = 24 + 4 − 10 = 18

Soal No. 2
Diberikan suku banyak
F(x) = 3x³ + 2x − 10.
Dengan cara Horner, tentukan nilai dari F(2), cocokkan dengan jawaban nomor soal nomor 1 di atas!

Pembahasan
Cara Horner:

Bikin layoutnya dulu seperti di bawah ini, perhatikan asalnya angka 3, 0, 2 dan - 10 nya.


Ket:

Setelah 3 turun ke bawah, kemudian di kali 2, hasilnya 6. Jumlahkan dengan angka di atasnya, hasilnya kemudian kalikan 2 lagi dst. Hasil akhirnya F(2) = 18, cocok dengan jawaban hasil nomor 1.

Soal No. 3
Diketahui bahwa (x − 1) adalah faktor dari persamaan x³ − 2x² − 5x + 6 = 0.

Tentukan faktor-faktor yang lain!

Pembahasan
x − 1 merupakan faktor dari x³ − 2x² − 5x + 6 = 0, sehingga x = 1 adalah akar dari persamaan tersebut.

Untuk mencari faktor lain gunakan horner seperti berikut:

Pemfaktoran dengan horner untuk nilai x = 1

Diperoleh bahwa
koefisien x² adalah 1
koefisien x adalah −1
dan 6

Sehingga faktor yang didapat adalah
1x² − 1x − 6 = 0
x² − x − 6 = 0

Faktorkan lagi, lebih mudah karena x dalam pangkat dua, diperoleh
x² − x − 6 = 0
(x + 2)(x − 3) = 0

Jadi selain (x − 1) , faktor-faktor dari x³ − 2x² − 5x + 6 = 0 adalah (x + 2) dan (x − 3)

Soal No. 4
Diketahui x = 1 adalah akar dari persamaan suku banyak 2x³ − 9x² + 13x − 6 = 0. Tentukan akar-akar yang lain dari persamaan di atas!

Pembahasan
2x³ − 9x² + 13x − 6 = 0


2x² − 7x + 6 = (2x − 3)(x − 2)
2x − 3 = 0
x = 3/2

x − 2 = 0
x = 2

Jadi akar-akar yang lain adalah 3/2 dan 2

Soal No. 5
Diketahui;

2x³ − 9x² + 13x − 6 = 0

Jika x₁, x₂ dan x₃ adalah akar-akar dari persamaan di atas, tentukan:
a) hasil kali akar-akar
b) jumlah akar-akar

Pembahasan
Ax³ + Bx² + Cx + D = 0

maka berlaku

a) x₁ ⋅x₂ ⋅ x₃ = − D/A = − (−6)/2 = 6/2 = 3

b) x₁ + x₂ + x₃ = − B/A
= − (−9)/2 = 9/2

Soal No. 6
Diketahui;

2x⁴ + 5x³ − 11x² − 20x + 12 = 0

Jika x₁, x₂ , x₃ dan x₄ adalahakar-akar dari persamaan di atas, tentukan:
a) hasil kali akar-akar
b) jumlah akar-akar

Pembahasan
Ax⁴ + Bx³ + Cx² + Dx + E = 0

maka berlaku

a) x₁ ⋅x₂ ⋅ x₃ ⋅ x₄ = E/A =  (12)/2 = 6

b) x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = − B/A
=  −(5)/2 =− 5/2

Soal No. 7
Salah satu faktor suku banyak P(x) = x⁴ −15x² −10x + n adalah (x + 2) . Faktor lainnya adalah...
A. x − 4
B. x + 4
C. x + 6
D. x − 6
E. x − 8
(UN 2008)

Pembahasan
Tentukan lebih dulu nilai n dari suku banyak di soal. Jika x + 2 adalah faktor, maka x = − 2 jika dimasukkan persamaan di atas akan menghasilkan P(x) = 0.

P(x) = x⁴ −15x² −10x + n

0 = (−2)⁴ −15(−2)² −10(−2) + n

n = 24

Sehingga P(x) secara lengkap adalah

P(x) = x⁴ −15x² −10x + 24

Uji pilihan hingga mendapatkan nilai P(x) sama dengan nol seperti ini

A.  x − 4 → x = 4 → P(x) = (4)⁴ −15(4)² −10(4) + 24 = 0
B.  x + 4 → x = − 4 → P(x) = (−4)⁴ −15(−4)² −10(−4) + 24 = 80
C.  x + 6 → x = − 6 → P(x) = (−6)⁴ −15(−6)² −10(−6) + 24 = 840
dan seterusnya

Terlihat yang menghasilkan P(x) = 0 adalah untuk x = 4, sehingga faktor lainnya adalah (x − 4).

Dicoba:
Soal No. 8
Suku banyak P(x) = x³ + ax² - 13x + 10 mempunyai faktor linear (x - 2). Faktor linear yang lain adalah…
A. (x - 5)
B. (x + 1)
C. (x + 2)
D. (x - 1)
E. (x - 4)

Soal No. 9
Jika f(x) dibagi dengan (x – 2) sisanya 24, sedangkan jika f(x) dibagi dengan (2x – 3) sisanya 20. Jika f(x) dibagi dengan (x – 2) (2x – 3), sisanya adalah....
A. 8x + 8
B. 8x − 8
C. −8x + 8
D. −8x − 8
E. −8x + 6
(UN 2007)

Pembahasan
Misal sisa pembagian dari f(x) dirumuskan S(x) = ax + b
Dibagi dengan (x – 2) sisanya 24 artinya:
x – 2 = 0
x = 2

S(x) = ax + b
24 = 2a + b ..........(Persamaan 1)

Dibagi dengan (2x – 3) sisanya 20 artinya:
2x – 3 = 0
x = ³/₂

S(x) = ax + b
20 = ³/₂ a + b ..........(Persamaan 2)

Gabungkan persamaan 1 dan 2
24 = 2a    +  b
20 = ³/₂ a +  b
______________ −
4 = ¹/₂ a
a = 8

24 = 2a + b
24 = 2(8) + b
24 = 16 + b
b = 8

S(x) = 8x + 8

Soal No. 10
Diketahui suku banyak P(x) = 2x⁴ + ax³ − 3x² + 5x + b. . Jika P(x) dibagi (x − 1) sisa 11, dibagi (x + 1) sisa -1, maka nilai (2a+ b) =...
A. 13
B. 10
C. 8
D. 7
E. 6
(UN 2011)

Pembahasan
Untuk (x − 1)
x = 1 → P(x) = 11
2(1)⁴ + a(1)³ − 3(1)² + 5(1) + b = 11
2 + a − 3 + 5 + b = 11
a + b = 7 .............(Persamaan 1)

Untuk (x + 1)
x = − 1 → P(x) = − 1
2(−1)⁴ + a(−1)³ − 3(−1)² + 5(1) + b = −1
2 − a − 3 − 5 + b = − 1
− a + b = 5 ..........(Persamaan 2)

Dari Persamaan 1 dan 2
a + b = 7
− a + b= 5
__________ +
2b = 12
b = 12/2 = 6

a + b = 7
a + 6 = 7
a = 1

Sehingga
2a + b = 2(1) + 6 = 8

Soal No. 11
Suku banyak berderajat 3, jika dibagi (x² − x − 6) bersisa (5x − 2), jika dibagi (x² − 2x − 3) bersisa (3x + 4). Suku banyak tersebut adalah….
A. x³ − 2x² + x + 4
B. x³ − 2x² − x + 4
C. x³ − 2x² − x − 4
D. x³ − 2x² + 4
E. x³ + 2x² − 4

Pembahasan
Misalkan suku banyaknya:



Faktorkan dulu:



Masukkan nilai x yang telah diperoleh ke f(x):



Substitusikan f(-1) = 1 ini ke suku banyaknya dengan pembagi yang lain:



Dengan diketahui m = -1, maka suku banyak itu adalah

Soal No. 12
Suku banyak berderajat 3, jika dibagi (x² + 2x − 3) bersisa (3x − 4), jika dibagi (x² − x − 2) bersisa (2x + 3). Suku banyak tersebut adalah…..
A. x³ − x² − 2x − 1
B. x³ + x² − 2x − 1
C. x³ + x² + 2x − 1
D. x³ + 2x² − x − 1
E. x³ + 2x² + x + 1

Pembahasan
Seperti nomor sebelumnya, yaitu mencari suku banyaknya, akan dibahas dengan cara agak berbeda. Logikanya awalnya masih sama, begini misalkan kita membagi angka 23 dengan 4, maka akan diperoleh hasilnya 5 dan sisanya 3. Bisa ditulis seperti ini:
23 = 4⋅ 5 + 3

Dimana
4 sebagai pembagi
5 sebagi hasil bagi
3 sebagai sisa

Terapkan pengertian sederhana ini di soal di atas, misalkan suku banyaknya adalah
P(x) = ax³ + bx² + cx +d.

Dari pilihan jawaban yang ada, sudah bisa dipastikan kalau a = 1, sehingga permisalannya menjadi lebih mudah seperti ini saja:
P(x) = x³ + bx² + cx + d

Data soalnya:
P(x) jika dibagi (x² + 2x − 3) bersisa (3x − 4), artinya adalah
P(x) = (x² + 2x − 3)⋅ H(x) + (3x − 4)
P(x) = (x + 3)(x − 1) ⋅H(x) + (3x − 4)

Terlihat jika x diisi dengan x = − 3 atau diisi dengan x = 1, maka tinggal P(x) = 3x − 4 saja, karena sebelah kirinya yang warna merah akan menghasikan nol.
P(−3) =3⋅ −3 −4 = −13
P(1)=3⋅1 − 4 = −1

Berikutnya P(x) jika dibagi jika dibagi (x² − x − 2) sisanya 2x + 3 artinya
P(x) = (x² − x − 2)⋅H(x) + (2x + 3)
P(x) = (x − 2)(x + 1)⋅H(x) + (2x + 3)

Jika x diisi dengan x = 2 atau diisi dengan x = − 1, maka tinggal P(x) = 2x + 3 saja, karena sebelah kirinya yang warna merah akan menghasikan nol.
P(2) = 2⋅2 + 3 = 7
P(−1) = 2⋅ − 1 + 3 = 1

Jadi P(−3) = − 13, P(1) = (−1), P(2) = 7 dan P(−1) = 1. Masukkan data ini ke P(x) = x³ + bx² + cx + d, ambil data-data yang angka kecil saja:


Jika dari persamaan (i) dan (ii) dengan eliminasi ataupun substitusi belum dapat ditemukan nilai b, c dan d, maka silakan lanjut ke data P(−3) = 13 dan P(2) = 7. Di soal ini nampaknya cukup dari dua persamaan di atas, dibantu dengan melihat pilihan-pilihan jawabannya.

b + c + d = −2
b - c + d = 2
-------------------- −
2c = − 4
c = − 2, hanya pilihan A dan B yang memenuhi, dan dari kedua pilihan itu bisa dipastikan bahwa nilai d sama dengan − 1, sehingga tinggal mencari nilai b saja.

Dari persamaan (i) :
b + c + d = −2
b − 2 − 1 = −2
b = 1

Jadi selengkapnya b = 1, c = − 2 dan d= − 1 atau P(x) = x³ + x² −2x − 1
Jawaban: B

Soal No. 13
Sisa pembagian suku banyak F(x) = 2x³ − 7x² + 11x − 4 oleh (2x − 1) adalah....
A. −3
B. −2
C. −1
D. 0
E. 1

Pembahasan
F(x) = 2x³ − 7x² + 11x − 4 dibagi (2x − 1) sisanya adalah f(1/2).

Sisa = 2(1/2)³ − 7(1/2)² + 11(1/2) − 4

Soal No. 14
Akar-akar persamaan 2x³ − 3x² − 11x + p = 0 adalah x₁, x₂ dan x₃. Untuk x₁ = −2, nilai x₁ x₂ x₃ =.....
A. −6
B. −3
C. 0
D. 3
E. 6

Pembahasan
Menentukan nilai p terlebih dahulu, substitusikan x = − 2
2x³ − 3x² − 11x + p = 0
2(− 2)³ − 3(− 2)² − 11(− 2) + p = 0
−16 − 12 + 22 + p = 0
p = 28 − 22 = 6

Sehingga
2x³ − 3x² − 11x + 6 = 0

Hasil kali ketiga akar untuk bentuk ax³ + bx² + cx + d = 0 adalah:
x₁ x₂ x₃ = − d/a
= − 6 / 2
= − 3

Turunan Fungsi

Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
a) f(x) = 3x⁴ + 2x² − 5x
b) f(x) = 2x³ + 7x

Pembahasan
Rumus turunan fungsi aljabar bentuk axⁿ

Sehingga:
a) f(x) = 3x⁴ + 2x² − 5x
f '(x) = 4⋅3x^{4− 1} + 2⋅2x²⁻¹ − 5x^1-1
f '(x) = 12x³ + 4x¹ − 5x⁰
f '(x) = 12x³ + 4x − 5

b) f(x) = 2x³ + 7x
f '(x) = 6x² + 7

Soal No. 2
Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
a) f(x) = 10x
b) f(x) = 8
c) f(x) = 12

Pembahasan
a) f(x) = 10x
f(x) = 10x¹
f '(x) = 10x¹⁻¹
f '(x) = 10x⁰
f '(x) = 10



b) f(x) = 8
f(x) = 8x⁰
f '(x) = 0⋅ 8x⁰⁻¹
f '(x) = 0



c) f(x) = 12
f '(x) = 0

Soal No. 3
Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
a) f(x) = 5(2x² + 4x)
b) f(x) = (2x + 3)(5x + 4)

Pembahasan
Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
a) f(x) = 5(2x² + 4x)
f(x) = 10x² + 20x
f ' (x) = 20x + 20

b) f(x) = (2x + 3)(5x + 4)

Urai terlebih dahulu hingga menjadi
f (x) = 10x² + 8x + 15x + 12
f (x) = 10x² + 13x + 12

Sehingga
f ' (x) = 20x + 13

Soal No. 4
Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut

a)
b)
c)

Pembahasan

a)
b)
c)

Soal No. 5
Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut, nyatakan hasil akhir dalam bentuk akar

a)
b)
c)

Pembahasan

a)
b)
c)

Soal No. 6
Dengan menggunakan rumus turunan hasil kali fungsi berikut ini



Tentukan turunan untuk f(x) = (x² + 2x + 3)(4x + 5)

Pembahasan
Misal :
u = (x² + 2x + 3)
v = (4x + 5)

maka
u ' = 2x + 2
v ' = 4

sehingga penerapan rumus di atas menjadi



Soal No. 7
Diketahui

Jika f '(x) menyatakan turunan pertama f(x), maka f(0) + 2f ' (0) =...
A. − 10
B. − 9
C. − 7
D. − 5
E. − 3
(Soal UN 2008)

Pembahasan
Untuk x = 0 maka nilai f(x) adalah



Berikutnya menentukan turunan f (x) yang berbentuk hasil bagi fungsi



Misal:
u = x² + 3    ->    u' = 2x
v = 2x + 1    ->    v' = 2

Sehingga

Untuk nilai x = 0 langsung bisa dimasukkan saja seperti ini

Sehingga f(0) + 2f' (0) = 3 + 2(−6) = − 9

Turunan Fungsi Trigonometri

Soal Nomor 1

Turunkan fungsi berikut:

y = 5 sin x

Pembahasan

y = 5 sin x
y' = 5 cos x

Soal Nomor 2
Diberikan fungsi f(x) = 3 cos x
Tentukan nilai dari f ' ( ^π/2).

Pembahasan

Perhatikan rumus turunan untuk fungsi trigonometri berikut ini:

f(x) = 3 cos x
f '(x) = 3 (−sin x)
f '(x) = −3 sin x

Untuk x = ^π/2 diperoleh nilai f '(x)
f '(^π/2) = −3 sin ( ^π/2) = −3 (1) = −3

Soal Nomor 3
Tentukan turunan pertama dari y = −4 sin x

Pembahasan
y = −4 sin x
y' = −4 cos x

Soal Nomor 4
Diberikan y = −2 cos x. Tentukan y'

Pembahasan
y = −2 cos x
y' = −2 (−sin x)
y' = 2 sin x

Soal Nomor 5
Tentukan y' dari y = 4 sin x + 5 cos x

Pembahasan
y = 4 sin x + 5 cos x
y' = 4 (cos x) + 5 (−sin x)
y ' = 4 cos x − 5 sin x

Soal Nomor 6
Tentukan turunan dari
y = 5 cos x − 3 sin x

Pembahasan
y = 5 cos x − 3 sin x
y' = 5 (−sin x) − 3 (cos x)
y' = −5 sin x − cos x

Soal Nomor 7
Tentukan turunan dari:
y = sin (2x + 5)

Pembahasan
Dengan aplikasi turunan berantai maka untuk
y = sin (2x + 5)
y ' = cos (2x + 5) ⋅ 2
                            ↑
Angka 2 diperoleh dari menurunkan 2x + 5
y' = 2 cos (2x + 5)

Soal Nomor 8
Tentukan turunan dari y = cos (3x −1)

Pembahasan
Dengan aplikasi turunan berantai maka untuk
y = cos (3x − 1)
y ' = − sin (3x −1) ⋅ 3
                             ↑
Angka 3 diperoleh dari menurunkan 3x − 1

Hasil akhirnya adalah
y' = − 3 sin (3x − 1)

Soal Nomor 9
Tentukan turunan dari:
y = sin² (2x −1)

Pembahasan
Turunan berantai:
y = sin² (2x −1)
y' = 2 sin ²⁻¹ (2x −1) ⋅ cos (2x −1) ⋅ 2
y' = 2 sin (2x −1) ⋅ cos (2x −1) ⋅ 2
y' = 4 sin (2x −1) cos (2x −1)

Soal Nomor 10
Diketahui f(x) = sin³ (3 – 2x)
Turunan pertama fungsi f adalah f ' maka f '(x) =....
A. 6 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x)
B. 3 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x)
C. –2 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x)
D. –6 sin (3 – 2x) cos (6 – 4x)
E. – 3 sin (3 – 2x) sin (6 – 4x)
(Soal Ebtanas 2000)

Pembahasan
f(x) = sin³ (3 – 2x)

Turunkan sin³ nya,
Turunkan sin (3 – 2x) nya,
Turunkan (3 – 2x) nya,
Hasilnya dikalikan semua seperti ini:
f(x) = sin³ (3 – 2x)

f ' (x) = 3 sin ² (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x) ⋅ − 2
f ' (x) = −6 sin ² (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x)

Sampai sini sudah selesai, namun di pilihan belum terlihat, diotak-atik lagi pakai bentuk sin 2θ = 2 sin θ cos θ
f ' (x) = −6 sin ² (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x)
f ' (x) = −3 ⋅ 2 sin (3 − 2x) ⋅ sin (3 – 2x) ⋅ cos (3 − 2x)
f ' (x) = −3 ⋅ 2 sin (3 − 2x) ⋅ cos (3 – 2x) ⋅ sin (3 − 2x)
                  |_____________________|
                                 ↓
                         sin 2 (3 − 2x)

f ' (x) = −3 sin 2(3 – 2x) ⋅ sin (3 − 2x)
f ' (x) = −3 sin (6 – 4x) sin (3 − 2x)

atau:
f ' (x) = −3 sin (3 − 2x) sin (6 – 4x)

Soal Nomor 11
Diketahui fungsi f(x) = sin² (2x + 3) dan turunan dari f adalah f ′. Maka f ′(x) = …
A. 4 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
B. 2 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
C. sin (2x + 3) cos (2x + 3)
D. –2 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
E. –4 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
(Ebtanas 1998)

Pembahasan
Turunan berantai
f(x) = sin² (2x + 3)

Turunkan sin² nya,
Turunkan sin (2x + 3) nya,
Turunkan (2x + 3) nya.

f '(x) = 2 sin (2x + 3) ⋅ cos (2x + 3) ⋅ 2
f '(x) = 4 sin (2x + 3) ⋅ cos (2x + 3)