Suku Banyak dan Teorema Sisa

Perhatikan contoh-contoh soal suku banyak berikut ini:

Soal No. 1
Diberikan suku banyak
F(x) = 3x³ + 2x − 10.
Dengan cara substitusi, tentukan nilai dari F(2)

Pembahasan
Masukkan nilai x = 2 untuk F(x).

F(x) = 3x³ + 2x − 10
F(2) = 3(2)³ + 2(2) − 10
F(2) = 24 + 4 − 10 = 18

Soal No. 2
Diberikan suku banyak
F(x) = 3x³ + 2x − 10.
Dengan cara Horner, tentukan nilai dari F(2), cocokkan dengan jawaban nomor soal nomor 1 di atas!

Pembahasan
Cara Horner:

Bikin layoutnya dulu seperti di bawah ini, perhatikan asalnya angka 3, 0, 2 dan - 10 nya.


Ket:

Setelah 3 turun ke bawah, kemudian di kali 2, hasilnya 6. Jumlahkan dengan angka di atasnya, hasilnya kemudian kalikan 2 lagi dst. Hasil akhirnya F(2) = 18, cocok dengan jawaban hasil nomor 1.

Soal No. 3
Diketahui bahwa (x − 1) adalah faktor dari persamaan x³ − 2x² − 5x + 6 = 0.

Tentukan faktor-faktor yang lain!

Pembahasan
x − 1 merupakan faktor dari x³ − 2x² − 5x + 6 = 0, sehingga x = 1 adalah akar dari persamaan tersebut.

Untuk mencari faktor lain gunakan horner seperti berikut:

Pemfaktoran dengan horner untuk nilai x = 1

Diperoleh bahwa
koefisien x² adalah 1
koefisien x adalah −1
dan 6

Sehingga faktor yang didapat adalah
1x² − 1x − 6 = 0
x² − x − 6 = 0

Faktorkan lagi, lebih mudah karena x dalam pangkat dua, diperoleh
x² − x − 6 = 0
(x + 2)(x − 3) = 0

Jadi selain (x − 1) , faktor-faktor dari x³ − 2x² − 5x + 6 = 0 adalah (x + 2) dan (x − 3)

Soal No. 4
Diketahui x = 1 adalah akar dari persamaan suku banyak 2x³ − 9x² + 13x − 6 = 0. Tentukan akar-akar yang lain dari persamaan di atas!

Pembahasan
2x³ − 9x² + 13x − 6 = 0


2x² − 7x + 6 = (2x − 3)(x − 2)
2x − 3 = 0
x = 3/2

x − 2 = 0
x = 2

Jadi akar-akar yang lain adalah 3/2 dan 2

Soal No. 5
Diketahui;

2x³ − 9x² + 13x − 6 = 0

Jika x₁, x₂ dan x₃ adalah akar-akar dari persamaan di atas, tentukan:
a) hasil kali akar-akar
b) jumlah akar-akar

Pembahasan
Ax³ + Bx² + Cx + D = 0

maka berlaku

a) x₁ ⋅x₂ ⋅ x₃ = − D/A = − (−6)/2 = 6/2 = 3

b) x₁ + x₂ + x₃ = − B/A
= − (−9)/2 = 9/2

Soal No. 6
Diketahui;

2x⁴ + 5x³ − 11x² − 20x + 12 = 0

Jika x₁, x₂ , x₃ dan x₄ adalahakar-akar dari persamaan di atas, tentukan:
a) hasil kali akar-akar
b) jumlah akar-akar

Pembahasan
Ax⁴ + Bx³ + Cx² + Dx + E = 0

maka berlaku

a) x₁ ⋅x₂ ⋅ x₃ ⋅ x₄ = E/A =  (12)/2 = 6

b) x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = − B/A
=  −(5)/2 =− 5/2

Soal No. 7
Salah satu faktor suku banyak P(x) = x⁴ −15x² −10x + n adalah (x + 2) . Faktor lainnya adalah...
A. x − 4
B. x + 4
C. x + 6
D. x − 6
E. x − 8
(UN 2008)

Pembahasan
Tentukan lebih dulu nilai n dari suku banyak di soal. Jika x + 2 adalah faktor, maka x = − 2 jika dimasukkan persamaan di atas akan menghasilkan P(x) = 0.

P(x) = x⁴ −15x² −10x + n

0 = (−2)⁴ −15(−2)² −10(−2) + n

n = 24

Sehingga P(x) secara lengkap adalah

P(x) = x⁴ −15x² −10x + 24

Uji pilihan hingga mendapatkan nilai P(x) sama dengan nol seperti ini

A.  x − 4 → x = 4 → P(x) = (4)⁴ −15(4)² −10(4) + 24 = 0
B.  x + 4 → x = − 4 → P(x) = (−4)⁴ −15(−4)² −10(−4) + 24 = 80
C.  x + 6 → x = − 6 → P(x) = (−6)⁴ −15(−6)² −10(−6) + 24 = 840
dan seterusnya

Terlihat yang menghasilkan P(x) = 0 adalah untuk x = 4, sehingga faktor lainnya adalah (x − 4).

Dicoba:
Soal No. 8
Suku banyak P(x) = x³ + ax² - 13x + 10 mempunyai faktor linear (x - 2). Faktor linear yang lain adalah…
A. (x - 5)
B. (x + 1)
C. (x + 2)
D. (x - 1)
E. (x - 4)

Soal No. 9
Jika f(x) dibagi dengan (x – 2) sisanya 24, sedangkan jika f(x) dibagi dengan (2x – 3) sisanya 20. Jika f(x) dibagi dengan (x – 2) (2x – 3), sisanya adalah....
A. 8x + 8
B. 8x − 8
C. −8x + 8
D. −8x − 8
E. −8x + 6
(UN 2007)

Pembahasan
Misal sisa pembagian dari f(x) dirumuskan S(x) = ax + b
Dibagi dengan (x – 2) sisanya 24 artinya:
x – 2 = 0
x = 2

S(x) = ax + b
24 = 2a + b ..........(Persamaan 1)

Dibagi dengan (2x – 3) sisanya 20 artinya:
2x – 3 = 0
x = ³/₂

S(x) = ax + b
20 = ³/₂ a + b ..........(Persamaan 2)

Gabungkan persamaan 1 dan 2
24 = 2a    +  b
20 = ³/₂ a +  b
______________ −
4 = ¹/₂ a
a = 8

24 = 2a + b
24 = 2(8) + b
24 = 16 + b
b = 8

S(x) = 8x + 8

Soal No. 10
Diketahui suku banyak P(x) = 2x⁴ + ax³ − 3x² + 5x + b. . Jika P(x) dibagi (x − 1) sisa 11, dibagi (x + 1) sisa -1, maka nilai (2a+ b) =...
A. 13
B. 10
C. 8
D. 7
E. 6
(UN 2011)

Pembahasan
Untuk (x − 1)
x = 1 → P(x) = 11
2(1)⁴ + a(1)³ − 3(1)² + 5(1) + b = 11
2 + a − 3 + 5 + b = 11
a + b = 7 .............(Persamaan 1)

Untuk (x + 1)
x = − 1 → P(x) = − 1
2(−1)⁴ + a(−1)³ − 3(−1)² + 5(1) + b = −1
2 − a − 3 − 5 + b = − 1
− a + b = 5 ..........(Persamaan 2)

Dari Persamaan 1 dan 2
a + b = 7
− a + b= 5
__________ +
2b = 12
b = 12/2 = 6

a + b = 7
a + 6 = 7
a = 1

Sehingga
2a + b = 2(1) + 6 = 8

Soal No. 11
Suku banyak berderajat 3, jika dibagi (x² − x − 6) bersisa (5x − 2), jika dibagi (x² − 2x − 3) bersisa (3x + 4). Suku banyak tersebut adalah….
A. x³ − 2x² + x + 4
B. x³ − 2x² − x + 4
C. x³ − 2x² − x − 4
D. x³ − 2x² + 4
E. x³ + 2x² − 4

Pembahasan
Misalkan suku banyaknya:



Faktorkan dulu:



Masukkan nilai x yang telah diperoleh ke f(x):



Substitusikan f(-1) = 1 ini ke suku banyaknya dengan pembagi yang lain:



Dengan diketahui m = -1, maka suku banyak itu adalah

Soal No. 12
Suku banyak berderajat 3, jika dibagi (x² + 2x − 3) bersisa (3x − 4), jika dibagi (x² − x − 2) bersisa (2x + 3). Suku banyak tersebut adalah…..
A. x³ − x² − 2x − 1
B. x³ + x² − 2x − 1
C. x³ + x² + 2x − 1
D. x³ + 2x² − x − 1
E. x³ + 2x² + x + 1

Pembahasan
Seperti nomor sebelumnya, yaitu mencari suku banyaknya, akan dibahas dengan cara agak berbeda. Logikanya awalnya masih sama, begini misalkan kita membagi angka 23 dengan 4, maka akan diperoleh hasilnya 5 dan sisanya 3. Bisa ditulis seperti ini:
23 = 4⋅ 5 + 3

Dimana
4 sebagai pembagi
5 sebagi hasil bagi
3 sebagai sisa

Terapkan pengertian sederhana ini di soal di atas, misalkan suku banyaknya adalah
P(x) = ax³ + bx² + cx +d.

Dari pilihan jawaban yang ada, sudah bisa dipastikan kalau a = 1, sehingga permisalannya menjadi lebih mudah seperti ini saja:
P(x) = x³ + bx² + cx + d

Data soalnya:
P(x) jika dibagi (x² + 2x − 3) bersisa (3x − 4), artinya adalah
P(x) = (x² + 2x − 3)⋅ H(x) + (3x − 4)
P(x) = (x + 3)(x − 1) ⋅H(x) + (3x − 4)

Terlihat jika x diisi dengan x = − 3 atau diisi dengan x = 1, maka tinggal P(x) = 3x − 4 saja, karena sebelah kirinya yang warna merah akan menghasikan nol.
P(−3) =3⋅ −3 −4 = −13
P(1)=3⋅1 − 4 = −1

Berikutnya P(x) jika dibagi jika dibagi (x² − x − 2) sisanya 2x + 3 artinya
P(x) = (x² − x − 2)⋅H(x) + (2x + 3)
P(x) = (x − 2)(x + 1)⋅H(x) + (2x + 3)

Jika x diisi dengan x = 2 atau diisi dengan x = − 1, maka tinggal P(x) = 2x + 3 saja, karena sebelah kirinya yang warna merah akan menghasikan nol.
P(2) = 2⋅2 + 3 = 7
P(−1) = 2⋅ − 1 + 3 = 1

Jadi P(−3) = − 13, P(1) = (−1), P(2) = 7 dan P(−1) = 1. Masukkan data ini ke P(x) = x³ + bx² + cx + d, ambil data-data yang angka kecil saja:


Jika dari persamaan (i) dan (ii) dengan eliminasi ataupun substitusi belum dapat ditemukan nilai b, c dan d, maka silakan lanjut ke data P(−3) = 13 dan P(2) = 7. Di soal ini nampaknya cukup dari dua persamaan di atas, dibantu dengan melihat pilihan-pilihan jawabannya.

b + c + d = −2
b - c + d = 2
-------------------- −
2c = − 4
c = − 2, hanya pilihan A dan B yang memenuhi, dan dari kedua pilihan itu bisa dipastikan bahwa nilai d sama dengan − 1, sehingga tinggal mencari nilai b saja.

Dari persamaan (i) :
b + c + d = −2
b − 2 − 1 = −2
b = 1

Jadi selengkapnya b = 1, c = − 2 dan d= − 1 atau P(x) = x³ + x² −2x − 1
Jawaban: B

Soal No. 13
Sisa pembagian suku banyak F(x) = 2x³ − 7x² + 11x − 4 oleh (2x − 1) adalah....
A. −3
B. −2
C. −1
D. 0
E. 1

Pembahasan
F(x) = 2x³ − 7x² + 11x − 4 dibagi (2x − 1) sisanya adalah f(1/2).

Sisa = 2(1/2)³ − 7(1/2)² + 11(1/2) − 4

Soal No. 14
Akar-akar persamaan 2x³ − 3x² − 11x + p = 0 adalah x₁, x₂ dan x₃. Untuk x₁ = −2, nilai x₁ x₂ x₃ =.....
A. −6
B. −3
C. 0
D. 3
E. 6

Pembahasan
Menentukan nilai p terlebih dahulu, substitusikan x = − 2
2x³ − 3x² − 11x + p = 0
2(− 2)³ − 3(− 2)² − 11(− 2) + p = 0
−16 − 12 + 22 + p = 0
p = 28 − 22 = 6

Sehingga
2x³ − 3x² − 11x + 6 = 0

Hasil kali ketiga akar untuk bentuk ax³ + bx² + cx + d = 0 adalah:
x₁ x₂ x₃ = − d/a
= − 6 / 2
= − 3