Turunan Fungsi

Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
a) f(x) = 3x⁴ + 2x² − 5x
b) f(x) = 2x³ + 7x

Pembahasan
Rumus turunan fungsi aljabar bentuk axⁿ

Sehingga:
a) f(x) = 3x⁴ + 2x² − 5x
f '(x) = 4⋅3x^{4− 1} + 2⋅2x²⁻¹ − 5x^1-1
f '(x) = 12x³ + 4x¹ − 5x⁰
f '(x) = 12x³ + 4x − 5

b) f(x) = 2x³ + 7x
f '(x) = 6x² + 7

Soal No. 2
Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
a) f(x) = 10x
b) f(x) = 8
c) f(x) = 12

Pembahasan
a) f(x) = 10x
f(x) = 10x¹
f '(x) = 10x¹⁻¹
f '(x) = 10x⁰
f '(x) = 10



b) f(x) = 8
f(x) = 8x⁰
f '(x) = 0⋅ 8x⁰⁻¹
f '(x) = 0



c) f(x) = 12
f '(x) = 0

Soal No. 3
Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
a) f(x) = 5(2x² + 4x)
b) f(x) = (2x + 3)(5x + 4)

Pembahasan
Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
a) f(x) = 5(2x² + 4x)
f(x) = 10x² + 20x
f ' (x) = 20x + 20

b) f(x) = (2x + 3)(5x + 4)

Urai terlebih dahulu hingga menjadi
f (x) = 10x² + 8x + 15x + 12
f (x) = 10x² + 13x + 12

Sehingga
f ' (x) = 20x + 13

Soal No. 4
Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut

a)
b)
c)

Pembahasan

a)
b)
c)

Soal No. 5
Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut, nyatakan hasil akhir dalam bentuk akar

a)
b)
c)

Pembahasan

a)
b)
c)

Soal No. 6
Dengan menggunakan rumus turunan hasil kali fungsi berikut ini



Tentukan turunan untuk f(x) = (x² + 2x + 3)(4x + 5)

Pembahasan
Misal :
u = (x² + 2x + 3)
v = (4x + 5)

maka
u ' = 2x + 2
v ' = 4

sehingga penerapan rumus di atas menjadi



Soal No. 7
Diketahui

Jika f '(x) menyatakan turunan pertama f(x), maka f(0) + 2f ' (0) =...
A. − 10
B. − 9
C. − 7
D. − 5
E. − 3
(Soal UN 2008)

Pembahasan
Untuk x = 0 maka nilai f(x) adalah



Berikutnya menentukan turunan f (x) yang berbentuk hasil bagi fungsi



Misal:
u = x² + 3    ->    u' = 2x
v = 2x + 1    ->    v' = 2

Sehingga

Untuk nilai x = 0 langsung bisa dimasukkan saja seperti ini

Sehingga f(0) + 2f' (0) = 3 + 2(−6) = − 9

Turunan Fungsi Trigonometri

Soal Nomor 1

Turunkan fungsi berikut:

y = 5 sin x

Pembahasan

y = 5 sin x
y' = 5 cos x

Soal Nomor 2
Diberikan fungsi f(x) = 3 cos x
Tentukan nilai dari f ' ( ^π/2).

Pembahasan

Perhatikan rumus turunan untuk fungsi trigonometri berikut ini:

f(x) = 3 cos x
f '(x) = 3 (−sin x)
f '(x) = −3 sin x

Untuk x = ^π/2 diperoleh nilai f '(x)
f '(^π/2) = −3 sin ( ^π/2) = −3 (1) = −3

Soal Nomor 3
Tentukan turunan pertama dari y = −4 sin x

Pembahasan
y = −4 sin x
y' = −4 cos x

Soal Nomor 4
Diberikan y = −2 cos x. Tentukan y'

Pembahasan
y = −2 cos x
y' = −2 (−sin x)
y' = 2 sin x

Soal Nomor 5
Tentukan y' dari y = 4 sin x + 5 cos x

Pembahasan
y = 4 sin x + 5 cos x
y' = 4 (cos x) + 5 (−sin x)
y ' = 4 cos x − 5 sin x

Soal Nomor 6
Tentukan turunan dari
y = 5 cos x − 3 sin x

Pembahasan
y = 5 cos x − 3 sin x
y' = 5 (−sin x) − 3 (cos x)
y' = −5 sin x − cos x

Soal Nomor 7
Tentukan turunan dari:
y = sin (2x + 5)

Pembahasan
Dengan aplikasi turunan berantai maka untuk
y = sin (2x + 5)
y ' = cos (2x + 5) ⋅ 2
                            ↑
Angka 2 diperoleh dari menurunkan 2x + 5
y' = 2 cos (2x + 5)

Soal Nomor 8
Tentukan turunan dari y = cos (3x −1)

Pembahasan
Dengan aplikasi turunan berantai maka untuk
y = cos (3x − 1)
y ' = − sin (3x −1) ⋅ 3
                             ↑
Angka 3 diperoleh dari menurunkan 3x − 1

Hasil akhirnya adalah
y' = − 3 sin (3x − 1)

Soal Nomor 9
Tentukan turunan dari:
y = sin² (2x −1)

Pembahasan
Turunan berantai:
y = sin² (2x −1)
y' = 2 sin ²⁻¹ (2x −1) ⋅ cos (2x −1) ⋅ 2
y' = 2 sin (2x −1) ⋅ cos (2x −1) ⋅ 2
y' = 4 sin (2x −1) cos (2x −1)

Soal Nomor 10
Diketahui f(x) = sin³ (3 – 2x)
Turunan pertama fungsi f adalah f ' maka f '(x) =....
A. 6 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x)
B. 3 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x)
C. –2 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x)
D. –6 sin (3 – 2x) cos (6 – 4x)
E. – 3 sin (3 – 2x) sin (6 – 4x)
(Soal Ebtanas 2000)

Pembahasan
f(x) = sin³ (3 – 2x)

Turunkan sin³ nya,
Turunkan sin (3 – 2x) nya,
Turunkan (3 – 2x) nya,
Hasilnya dikalikan semua seperti ini:
f(x) = sin³ (3 – 2x)

f ' (x) = 3 sin ² (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x) ⋅ − 2
f ' (x) = −6 sin ² (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x)

Sampai sini sudah selesai, namun di pilihan belum terlihat, diotak-atik lagi pakai bentuk sin 2θ = 2 sin θ cos θ
f ' (x) = −6 sin ² (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x)
f ' (x) = −3 ⋅ 2 sin (3 − 2x) ⋅ sin (3 – 2x) ⋅ cos (3 − 2x)
f ' (x) = −3 ⋅ 2 sin (3 − 2x) ⋅ cos (3 – 2x) ⋅ sin (3 − 2x)
                  |_____________________|
                                 ↓
                         sin 2 (3 − 2x)

f ' (x) = −3 sin 2(3 – 2x) ⋅ sin (3 − 2x)
f ' (x) = −3 sin (6 – 4x) sin (3 − 2x)

atau:
f ' (x) = −3 sin (3 − 2x) sin (6 – 4x)

Soal Nomor 11
Diketahui fungsi f(x) = sin² (2x + 3) dan turunan dari f adalah f ′. Maka f ′(x) = …
A. 4 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
B. 2 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
C. sin (2x + 3) cos (2x + 3)
D. –2 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
E. –4 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
(Ebtanas 1998)

Pembahasan
Turunan berantai
f(x) = sin² (2x + 3)

Turunkan sin² nya,
Turunkan sin (2x + 3) nya,
Turunkan (2x + 3) nya.

f '(x) = 2 sin (2x + 3) ⋅ cos (2x + 3) ⋅ 2
f '(x) = 4 sin (2x + 3) ⋅ cos (2x + 3)