Vektor Matematika
Perhatikan gambar berikut, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q
a) Nyatakan PQ dalam bentuk vektor kolom
b) Nyatakan PQ dalam bentuk i, j (vektor satuan)
c) Tentukan modulus atau panjang vektor PQ
Pembahasan
Titik P berada pada koordinat (3, 1)
Titik Q berada pada koordinat (7,4)
a) PQ dalam bentuk vektor kolom
b) PQ dalam bentuk i, j (vektor satuan)
PQ = 4i + 3j
c) Modulus vektor PQ
Soal No. 2
Perhatikan gambar kubus dengan sisi sepanjang 10 satuan berikut:
Titik S tepat berada pada perpotongan kedua diagonal sisi alas kubus. Tentukan:
a) Koordinat titik S
b) Koordinat titik V
c) Vektor SV dalam bentuk kolom
d) SV dalam bentuk vektor satuan
e) Modulus atau panjang SV
Pembahasan
a) Koordinat titik S
x = 5
y = 0
z = 5
(5, 0, 5)
b) Koordinat titik V
x = 10
y = 10
z = 0
(10, 10, 0)
c) Vektor SV dalam bentuk kolom
d) SV dalam bentuk vektor satuan
SV = 5i + 10j − k
e) Modulus atau panjang SV
Soal No. 3
Diberikan dua buah vektor masing-masing a = 9 dan b = 4. Nilai cosinus sudut antara kedua vektor adalah 1/3 . Tentukan:
a) |a + b|
b) |a – b|
Pembahasan
a) |a + b|
Jumlah dua buah vektor
b) |a – b|
Selisih dua buah vektor
Soal No. 4
Dua buah vektor masing-masing:
p = 3i + 2j + k
q = 2i – 4 j + 5k
Tentukan nilai cosinus sudut antara kedua vektor tersebut!
Pembahasan
Jumlahkan dua buah vektor dalam i, j, k
Dengan rumus penjumlahan
Soal No. 5
Diketahui vektor a = 2i – 6j – 3k dan b = 4i + 2j – 4k . Panjang proyeksi vektor a pada b adalah…..
A. 4/3
B. 8/9
C. ¾
D. 3/8
E. 8/36
(Soal Ebtanas Tahun 2000)
Pembahasan
Panjang masing-masing vektor, jika nanti diperlukan datanya:
Proyeksi vektor a pada vektor b, namakan c:
Soal No. 6
Diketahui vektor a = 4i − 2j + 2k dan vektor b = 2 i − 6 j + 4k. Proyeksi orthogonal vektor a pada vektor b adalah....
A. i − j + k
B. i − 3j + 2k
C. i − 4j + 4k
D. 2i − j + k
E. 6i − 8j + 6k
(Dari Soal UN Matematika Tahun 2011 Paket 12)
Pembahasan
Proyeksi vektor a pada vektor b namakan c, hasil akhirnya dalam bentuk vektor (proyeksi vektor ortogonal).
Titik P berada pada koordinat (3, 1)
Titik Q berada pada koordinat (7,4)
a) PQ dalam bentuk vektor kolom
b) PQ dalam bentuk i, j (vektor satuan)
PQ = 4i + 3j
c) Modulus vektor PQ
Soal No. 2
Perhatikan gambar kubus dengan sisi sepanjang 10 satuan berikut:
Titik S tepat berada pada perpotongan kedua diagonal sisi alas kubus. Tentukan:
a) Koordinat titik S
b) Koordinat titik V
c) Vektor SV dalam bentuk kolom
d) SV dalam bentuk vektor satuan
e) Modulus atau panjang SV
Pembahasan
a) Koordinat titik S
x = 5
y = 0
z = 5
(5, 0, 5)
b) Koordinat titik V
x = 10
y = 10
z = 0
(10, 10, 0)
c) Vektor SV dalam bentuk kolom
d) SV dalam bentuk vektor satuan
SV = 5i + 10j − k
e) Modulus atau panjang SV
Soal No. 3
Diberikan dua buah vektor masing-masing a = 9 dan b = 4. Nilai cosinus sudut antara kedua vektor adalah 1/3 . Tentukan:
a) |a + b|
b) |a – b|
Pembahasan
a) |a + b|
Jumlah dua buah vektor
b) |a – b|
Selisih dua buah vektor
Soal No. 4
Dua buah vektor masing-masing:
p = 3i + 2j + k
q = 2i – 4 j + 5k
Tentukan nilai cosinus sudut antara kedua vektor tersebut!
Pembahasan
Jumlahkan dua buah vektor dalam i, j, k
Dengan rumus penjumlahan
Soal No. 5
Diketahui vektor a = 2i – 6j – 3k dan b = 4i + 2j – 4k . Panjang proyeksi vektor a pada b adalah…..
A. 4/3
B. 8/9
C. ¾
D. 3/8
E. 8/36
(Soal Ebtanas Tahun 2000)
Pembahasan
Panjang masing-masing vektor, jika nanti diperlukan datanya:
Proyeksi vektor a pada vektor b, namakan c:
Soal No. 6
Diketahui vektor a = 4i − 2j + 2k dan vektor b = 2 i − 6 j + 4k. Proyeksi orthogonal vektor a pada vektor b adalah....
A. i − j + k
B. i − 3j + 2k
C. i − 4j + 4k
D. 2i − j + k
E. 6i − 8j + 6k
(Dari Soal UN Matematika Tahun 2011 Paket 12)
Pembahasan
Proyeksi vektor a pada vektor b namakan c, hasil akhirnya dalam bentuk vektor (proyeksi vektor ortogonal).
Soal No. 7
Besar sudut antara vektor a = 2i − j + 3k dan b = i + 3j − 2k adalah....
A. 1/8 π
B. 1/4 π
C. 1/3 π
D. 1/2 π
E. 2/3 π
(Soal Ebtanas 1988)
Pembahasan
Sudut antara dua buah vektor:
Soal No. 8
Ditentukan A(4 , 7 , 0) , B(6 , 10 , –6) dan C(1 , 9 , 0). AB dan AC wakil-wakil dari vektor u dan v. Besar sudut antara u dan v adalah....
A. 0
B. 1/4 π
C. 1/2 π
D. 3/4 π
E. π
(Soal Ebtanas 1989 - Vektor)
Pembahasan
Tentukan vektor u dan v terlebih dulu:
u = AB = B − A = (6 , 10 , –6) − (4 , 7 , 0) = (2, 3, −6) → u = 2i + 3j − 6k
v = AC = C − A = (1 , 9 , 0) − (4 , 7 , 0) = (− 3, 2, 0) → v = − 3i + 2j
Sudut dengan nilai cosinus nol adalah 90° atau 1/2 π
Soal No. 9
Besar sudut antara vektor a = 2i − j + 3k dan b = i + 3j − 2k adalah....
A. 1/8 π
B. 1/4 π
C. 1/3 π
D. 1/2 π
E. 2/3 π
(Soal Ebtanas 1988)
Pembahasan
Sudut antara dua buah vektor:
Soal No. 8
Ditentukan A(4 , 7 , 0) , B(6 , 10 , –6) dan C(1 , 9 , 0). AB dan AC wakil-wakil dari vektor u dan v. Besar sudut antara u dan v adalah....
A. 0
B. 1/4 π
C. 1/2 π
D. 3/4 π
E. π
(Soal Ebtanas 1989 - Vektor)
Pembahasan
Tentukan vektor u dan v terlebih dulu:
u = AB = B − A = (6 , 10 , –6) − (4 , 7 , 0) = (2, 3, −6) → u = 2i + 3j − 6k
v = AC = C − A = (1 , 9 , 0) − (4 , 7 , 0) = (− 3, 2, 0) → v = − 3i + 2j
Sudut dengan nilai cosinus nol adalah 90° atau 1/2 π
Soal No. 9
| Diketahui |  | Proyeksi skalar 2u + 3v pada v adalah.... |
A. 1/2
B. 1/2 √2
C. 1/14√14
D. 2√14
E. 7/2√14
Pembahasan
2u + 3v misalkan dinamakan r
Proyeksi vektor r pada v misal namanya s adalah
Soal No. 10
Diberikan tiga buah vektor masing-masing:
a = 6p i + 2p j − 8 k
b = −4 i + 8j + 10 k
c = − 2 i + 3 j − 5 k
Jika vektor a tegak lurus b, maka vektor a − c adalah.....
A. − 58 i − 20 j − 3k
B. − 58 i − 23 j − 3k
C. − 62 i − 17 j − 3k
D. − 62 i − 20 j − 3k
E. − 62 i − 23 j − 3k
B. 1/2 √2
C. 1/14√14
D. 2√14
E. 7/2√14
Pembahasan
2u + 3v misalkan dinamakan r
Proyeksi vektor r pada v misal namanya s adalah
Soal No. 10
Diberikan tiga buah vektor masing-masing:
a = 6p i + 2p j − 8 k
b = −4 i + 8j + 10 k
c = − 2 i + 3 j − 5 k
Jika vektor a tegak lurus b, maka vektor a − c adalah.....
A. − 58 i − 20 j − 3k
B. − 58 i − 23 j − 3k
C. − 62 i − 17 j − 3k
D. − 62 i − 20 j − 3k
E. − 62 i − 23 j − 3k
Pembahasan
Tentukan nilai p terlebih dahulu, dua vektor yang tegak lurus maka perkalian titiknya sama dengan nol. a dan b tegak lurus maka berlaku:
Tentukan nilai p terlebih dahulu, dua vektor yang tegak lurus maka perkalian titiknya sama dengan nol. a dan b tegak lurus maka berlaku:
a ⋅ b = 0
(6p i + 2p j − 8 k)⋅ (−4 i + 8j + 10 k) = 0
− 24p + 16p − 80 = 0
− 8p = 80
p = − 10
Dengan demikian vektor a adalah
a = 6p i + 2p j − 8 k
a = 6(− 10) i + 2(− 10) j − 8 k
a = −60 i − 20 j − 8 k
a − c = ( −60 i − 20 j − 8 k) − (− 2 i + 3 j − 5 k)
a − c = − 58 i − 23 j − 3k
(6p i + 2p j − 8 k)⋅ (−4 i + 8j + 10 k) = 0
− 24p + 16p − 80 = 0
− 8p = 80
p = − 10
Dengan demikian vektor a adalah
a = 6p i + 2p j − 8 k
a = 6(− 10) i + 2(− 10) j − 8 k
a = −60 i − 20 j − 8 k
a − c = ( −60 i − 20 j − 8 k) − (− 2 i + 3 j − 5 k)
a − c = − 58 i − 23 j − 3k
Read more: http://www.matematikastudycenter.com/kelas-12/76-vektor-12#ixzz4dmpgpa5h
Nomor 1
Jika a = t i - 2 j + hk dan b = (t +2) i + 2 j + 3 k. Jika a = - b maka vektor a dapat dinyatakan ...
A. 3i + 2j + 3 k
B. 5i + 2 j - 3k
C. 6i - 2j + 3k
D. - 6i - 2j + 3k
E. - i - 2 j - 3 k
Pembahasan
Karena a = - b diperoleh t i - 2j + hk = - (t +2) i - 2 j - 3 k
t = - (t +2)
t = - t - 2
2t = -2
t = -1 lalu h = - 3
Jadi diperoleh a = -i - 2j - 3k
Jawaban: E
Nomor 2
Diketahui vektor a = 7 i + 5 j - 3k dan b = 5 i + 2 j + 3k serta c = a - b, vektor satuan yang searah denga c adalah...
A. 1/7 i + 2/7 j + 3/7 k
B. 2/7 i + 3/7 j - 6/7 k
C. 2/7 i - 3/7 j + 3/7 k
D. 5/7 i - 3/7 j - 2/5 k
E. 9/7 i + 6/7 j - 5/7 k
Pembahasan
Terlebih dahulu hitung nilai c:
c = a - b = (7 i + 5 j - 3k) - (5 i + 2 j + 3k) = 2 i + 3j - 6k
Diperoleh:
Menentukan vektor yang searah dengan c adalah
c = (2, 3, -6) / 7 atau c = 2/7 i + 3/7 j - 6/7 k
Jawaban: B
Nomor 3
Titik A(1,4,2), B(3,1,-1), C(4,2,2). Jika a = AB, b = CA, c = b - a maka vektor c adalah...
A. (4,5,3)
B. (-5,5,3)
C. (-5,-4,3)
D. (-5,3,5)
E. (-7,-3,5)
Pembahasan
Berdasarkan soal:
a = AB = B - A = (3,1,-1) - (1,4,2) = (2,-3,-3)
b = CA = A - C = (1,4,2) - (4,2,2) = (-3,2,0)
c = b - a = (-3,2,0) - (2,-3,-3) = (-5,5,3)
Jawaban: B
Nomor 4
Jika U = 3 i + 2 j + k dan v = 2i + j dimana W = 3 U - 4 V maka besar W =...
A. √6
B. √8
C. √10
D. √12
E. √14
Pembahasan
Tentukan terlebih dahulu persamaan W:
W = 3 (3 i + 2 j + k) - 4 (2i + j) = i + 2j + 3k
Menghitung besar W
Jawaban: E
Nomor 5
Vektor u = 2 i - 3 j + 5 k dan v = - 3 i - 5 j + 2 k mengapit sudut Ɵ. Maka nilai tan Ɵ adalah...
A. √2/3
B. √3
C. √7
D. √8
E. 1
Jika a = t i - 2 j + hk dan b = (t +2) i + 2 j + 3 k. Jika a = - b maka vektor a dapat dinyatakan ...
A. 3i + 2j + 3 k
B. 5i + 2 j - 3k
C. 6i - 2j + 3k
D. - 6i - 2j + 3k
E. - i - 2 j - 3 k
Pembahasan
Karena a = - b diperoleh t i - 2j + hk = - (t +2) i - 2 j - 3 k
t = - (t +2)
t = - t - 2
2t = -2
t = -1 lalu h = - 3
Jadi diperoleh a = -i - 2j - 3k
Jawaban: E
Nomor 2
Diketahui vektor a = 7 i + 5 j - 3k dan b = 5 i + 2 j + 3k serta c = a - b, vektor satuan yang searah denga c adalah...
A. 1/7 i + 2/7 j + 3/7 k
B. 2/7 i + 3/7 j - 6/7 k
C. 2/7 i - 3/7 j + 3/7 k
D. 5/7 i - 3/7 j - 2/5 k
E. 9/7 i + 6/7 j - 5/7 k
Pembahasan
Terlebih dahulu hitung nilai c:
c = a - b = (7 i + 5 j - 3k) - (5 i + 2 j + 3k) = 2 i + 3j - 6k
Diperoleh:
Menentukan vektor yang searah dengan c adalah
c = (2, 3, -6) / 7 atau c = 2/7 i + 3/7 j - 6/7 k
Jawaban: B
Nomor 3
Titik A(1,4,2), B(3,1,-1), C(4,2,2). Jika a = AB, b = CA, c = b - a maka vektor c adalah...
A. (4,5,3)
B. (-5,5,3)
C. (-5,-4,3)
D. (-5,3,5)
E. (-7,-3,5)
Pembahasan
Berdasarkan soal:
a = AB = B - A = (3,1,-1) - (1,4,2) = (2,-3,-3)
b = CA = A - C = (1,4,2) - (4,2,2) = (-3,2,0)
c = b - a = (-3,2,0) - (2,-3,-3) = (-5,5,3)
Jawaban: B
Nomor 4
Jika U = 3 i + 2 j + k dan v = 2i + j dimana W = 3 U - 4 V maka besar W =...
A. √6
B. √8
C. √10
D. √12
E. √14
Pembahasan
Tentukan terlebih dahulu persamaan W:
W = 3 (3 i + 2 j + k) - 4 (2i + j) = i + 2j + 3k
Menghitung besar W
Nomor 5
Vektor u = 2 i - 3 j + 5 k dan v = - 3 i - 5 j + 2 k mengapit sudut Ɵ. Maka nilai tan Ɵ adalah...
A. √2/3
B. √3
C. √7
D. √8
E. 1
Pembahasan
Tentukan terlebih dahulu nilai u dan v kemudian diperoleh nilai sudutnya:
Tentukan terlebih dahulu nilai u dan v kemudian diperoleh nilai sudutnya:
θ = 60o
Jadi:
tan θ = tan 60o = √3
Jadi:
tan θ = tan 60o = √3
Jawaban: B
Nomor 6
Diketahui a = 3i - 2j + k, b = 2i - 4j - 3k dan c = -i +2j + 2k, maka 2a - 3b - 5 c sama dengan...
A. 3i + 7j + 3k
B. 4i - 5j + 3k
C. 5i - 2j + k
D. 7i + 2j + 5k
E. 9i - 2 j - 5k
Pembahasan
Ganti saja nilai a, b dan c dengan persamaan yang sudah diketahui:
2a - 3b - 5 c = 2 (3i - 2j + k)
2a - 3b - 5 c = 2 (3i - 2j + k)
-3(2i - 4j - 3k) - 5(-i + 2j + 2k) = 5i - 2j + k
Jawaban: C
Nomor 7
Vektor u dan vektor v membentuk sudut 60 derajat dengan IuI = 2 dan IvI = 5. u (v + u) = ....
A.2
B.4
C.6
D. 9
E. 10
Pembahasan
Uraikan persamaan u (v + u) seperti dibawah ini:
u (v + u) = u . v + u2 = IuI IvI cos 60 + u2 = 2 . 5 . 1/2 + 22 = 5 + 4 = 9
u (v + u) = u . v + u2 = IuI IvI cos 60 + u2 = 2 . 5 . 1/2 + 22 = 5 + 4 = 9
Jawaban: B
Nomor 8
Titik A (3,-1,0), B(2,4,1) dan C(1.0,5). Panjang proyeksi vektor AB pada vektor BC adalah...
A. 1/3 √35
B. 2/5 √30
C. 3/5 √35
D. 7/5 √30
E. 9√30
Pembahasan
Berdasarkan soal diperoleh:
AB = B - A = (2,4,1) - (3,-1,0) = (-1,5,1)
AB = B - A = (2,4,1) - (3,-1,0) = (-1,5,1)
AC = C - A = (1,0,5) - (3,-1,0) = (-2,1,5)
Menghitung panjang proyeksi vektor AB pada vektor BC adalah:
Nomor 9
Diketahui dua vektor u = 4i - mj + 2 k dan v = 5i + 2j - 4k saling tegak lurus. Maka harga m adalah ...
A.1
B.5
C. 6
D. 9
E. 10
Pembahasan
Berdasarkan soal, u tegak lurus v maka:
u . v = 0
(4i - mj + 2k) (5i + 2j - 4k) = 20 - 2m - 8 = 0
m = 6
Jawaban: C
Nomor 10
Misalkan D adalah titik berat segitiga ABC dimana A(2,3,-2), B(-4,1,2) dan C(8,5,-3). Panjang vektor posisi d sama dengan:
A. 3
B.5
C. √5
D. √13
E. √14
Pembahasan
Hitung terlebih dahulu titik D:
Hitung terlebih dahulu titik D:
D titik berat segitiga sehingga D = 1/3 (A + B + C)
D = 1/3 (2,3,-2) + (-4,1,2) + (8,5,-3)
D = 1/3 (6,9,-3) = (2,3,-1)
Menghitung panjang proyeksi D adalah:
Jawaban: E
Nomor 9
Misalkan titik P, Q, R segaris dan P(-1,1) dan R (3,5) dan PQ = QR maka titik Q adalah...
A. (3,4)
B. (1,3)
C. (1,4)
D. (4,3)
E. (-4,-1)
Pembahasan
Berdasarkan soal didapat:
PQ = QR maka Q - R = R - Q
PQ = QR maka Q - R = R - Q
2Q = R + P
Q = 1/2 (R + P)
Q = 1/2 (3,5) + (-1,1) = 1/2 (2,6) = (1,3)
Jawaban: B
http://untukku-saja.blogspot.jp/2015/01/pembahasan-soal-soal-vektor.html
Komentar
Posting Komentar