Aplikasi Turunan

Turunan fungsi biasa digunakan saat menentukan gradien garis singgung suatu kurva, menentukan dimana interval naik turun fungsi, menentukan jenis nilai stasioner dan beberapa aplikasi pada persamaan gerak atau masalah terkait maksimum dan minimum.

Berikut contoh-contoh soal aplikasi turunan:

Soal Nomor 1
Diberikan suatu fungsi dengan persamaan y = 2x − √x
Tentukan persamaan garis singgung kurva melalui titik (9, 16)

Pembahasan
Penggunaan turunan untuk menentukan persamaan garis singgung.
Turunkan fungsi untuk mendapatkan gradien dan masukkan x untuk mendapat nilainya.



Persamaan garis yang melalui titik (9 , 16) dengan gradien ¹¹/₆ adalah



Soal Nomor 2
Sebuah benda bergerak dengan persamaan gerak y = 5t² − 4t + 8 dengan y dalam meter dan t dalam satuan detik. Tentukan kecepatan benda saat t = 2 detik

Pembahasan
Persamaan kecepatan benda diperoleh dengan menurunkan persamaan posisi benda.
y = 5t² − 4t + 8
ν = y ' = 10t − 4

Untuk t = 2 detik dengan demikian kecepatan benda adalah
ν = 10(2) − 4 = 20 − 4 = 16 m/detik

Soal Nomor 3
Persamaan garis yang menyinggung kurva y = x³ + 2x² − 5x di titik (1, −2) adalah....
A. y = 2x
B. y = 2x − 3
C. y = 2x − 4
D. y = 2x + 3
E. y = 2x + 4
(Dari umptn 1996)

Pembahasan
Tentukan dulu gradien garis singgung
y = x³ + 2x² − 5x
m = y ' = 3x² + 4x − 5

Nilai m diperoleh dengan memasukkan x = 1
m = 3(1)² + 4(1) − 5 = 2

Persamaan garis dengan gradiennya 2 dan melalui titik (1, −2) adalah
y − y₁ = m(x − x₁)
y − (−2) = 2(x − 1)
y + 2 = 2x − 2
y = 2x − 4

Soal Nomor 4
Tentukan nilai maksimum dari fungsi f(x) = 3x(x² − 12)

Pembahasan
Nilai maksimum diperoleh saat f '(x) = 0
Urai kemudian turunkan
f(x) = 3x(x² − 12)
f(x) = 3x³ − 36x
f '(x) = 9x² − 36 = 0
9x² = 36
x² = 4
x = √4 = ±2

Untuk x = +2
f(x) = 3x³ − 36x = 3(2)³ − 36(2) = 24 − 72 = − 48

Untuk x = −2
f(x) = 3x³ − 36x = 3(−2)³ − 36(−2) = −24 + 72 = 48

Dengan demikian nilai maksimumnya adalah 48

Soal Nomor 5
Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam x hari

dengan biaya proyek perhari

ratus ribu rupiah.

Agar biaya minimum maka proyek tersebut diselesaikan dalam waktu....
A. 40 hari
B. 60 hari
C. 90 hari
D. 120 hari
E. 150 hari
(umptn 2001 - aplikasi turunan)

Pembahasan
Tentukan dulu fungsi biaya proyek dalam x hari, kalikan biaya pada soal dengan x



Biaya minimum tercapai saat turunannya = 0,

Soal Nomor 6
Suatu perusahaan memproduksi x buah barang. Setiap barang yang diproduksi memberikan keuntungan (225x − x²) rupiah. Supaya total keuntungan mencapai maksimum, banyak barang yang harus diproduksi adalah...
A. 120
B. 130
C. 140
D. 150
E. 160
(un 2005)

Pembahasan
Keuntungan satu barang adalah (225x − x²), sehingga jika diproduksi x buah barang maka persamaan keuntungannya adalah keuntungan satu barang dikalikan dengan x
U (x) = x (225x − x²)
U (x) = 225 x² − x³

Nilai maksimum U (x) diperoleh saat turunannya sama dengan nol
U ' (x) = 0
450 x − 3x² = 0

Faktorkan untuk memperoleh x
3x(150 − x) = 0
x = 0, x = 150

Sehingga banyak barang yang harus diproduksi adalah 150 buah.

Jadi berapa keuntungan maksimumnya? Masukkan nilai x = 150 ke fungsi U (x) untuk memperoleh besarnya keuntungan maksimum.

Soal Nomor 7
Dua bilangan bulat m dan n memenuhi hubungan 2m − n = 40. Nilai minimum dari p = m² + n² adalah....
A. 320
B. 295
C. 280
D. 260
E. 200

Pembahasan
Nilai minimum tercapai saat p' = 0


Soal Nomor 8
Dari selembar karton berbentuk persegi yang berukuran sisi 18 cm akan dibuat kotak tanpa tutup, dengan cara menggunting empat buah persegi di setiap pojok karton, seperti gambar berikut.


Volume kotak terbesar adalah...
A. 256 cm³
B. 392 cm³
C. 432 cm³
D. 512 cm³
E. 588 cm³
(un matematika 2013 - penerapan turunan)

Pembahasan
Kotak yang terbentuk memiliki sisi alas sepanjang (18 − 2x) dan tingginya sebesar x seperti gambar berikut:



Syarat yang diperlukan untuk nilai x adalah x > 0
dan
18 − 2x > 0
18 > 2x
x < 9

Jadi nilai x nantinya diantara 0 dan 9

Volume akan maksimum saat turunan pertamanya sama dengan nol.


Yang memenuhi syarat adalah untuk x = 3