Trigonometri SMA
Soal No. 1
Nyatakan sudut-sudut berikut dalam satuan derajad:
a) 1/2 π rad
b) 3/4 π rad
c) 5/6 π rad
Nyatakan sudut-sudut berikut dalam satuan derajad:
a) 1/2 π rad
b) 3/4 π rad
c) 5/6 π rad
Pembahasan
Konversi:
1 π radian = 180°
Jadi:
a) 1/2 π rad
b) 3/4 π rad
c) 5/6 π rad
Soal No. 2
Nyatakan sudut-sudut berikut dalam satuan radian (rad):
a) 270°
b) 330°
Pembahasan
Konversi:
1 π radian = 180°
Jadi:
a) 270°
b) 330°
Soal No. 3
Diberikan sebuah segitiga siku-siku seperti gambar berikut ini.
Tentukan:
a) panjang AC
b) sin θ
c) cos θ
d) tan θ
e) cosec θ
f) sec θ
d) cotan θ
Pembahasan
a) panjang AC
Dengan phytagoras diperoleh panjang AC
b) sin θ
c) cos θ
d) tan θ
e) cosec θ
f) sec θ
g) cotan θ
Soal No. 4
Sebuah segitiga siku-siku.
Diketahui nilai dari sin β = 2/3. Tentukan nilai dari :
a) cos β
b) tan β
Pembahasan
sin β = 2/3 artinya perbandingan panjang sisi depan dengan sisi miringnya adalah 2 : 3
Gunakan phytagoras untuk menghitung panjang sisi yang ketiga (sisi samping):
Sehingga nilai cos β dan tan β berturut-turut adalah
Soal No. 5
Seorang anak berdiri 20 meter dari sebuah menara seperti gambar berikut.
Perkirakan ketinggian menara dihitung dari titik A! Gunakan √2 = 1,4 dan √3 = 1,7 jika diperlukan.
Pembahasan
tan 60 ° adalah √3, asumsinya sudah dihafal. Sehingga dari pengertian tan sudut
Tinggi menara sekitar 34 meter.
Soal No. 6
Sebuah marka kejut dipasang melintang pada sebuah jalan dengan sudut 30° seperti ditunjukkan gambar berikut.
Jika panjang marka kejut adalah 8 meter, tentukan lebar jalan tersebut!
Pembahasan
Segitiga dengan sudut istimewa 30° dan sisi miring 8 m.
sin 30° = 1/2
sin 30° = BC/AC
BC/AC = 1/2
BC = 1/2 × AC = 1/2 × 8 = 4 meter
Lebar jalan = BC = 4 meter
Soal No. 7
Diberikan sebuah segitiga sama sisi ABC seperti gambar berikut. Panjang TC adalah 12 cm.
Tentukan panjang sisi segitiga tersebut!
Pembahasan
Δ ABC sama sisi, sehingga sudut A = sudut B = sudut C = 60° Jika diambil titik ATC menjadi segitiga, maka didapat gambar berikut.
Sinus 60° pada segitiga ATC adalah perbandingan sisi TC (sisi depan) dengan sisi AC (sisi miring) sehingga
Soal No. 8
Diketahui segitiga ABC dengan panjang AC = AB = 6 cm. Sudut C sebesar 120°.
Tentukan luas segitiga ABC!
Pembahasan
Segitiga ABC adalah sama kaki. Jika diambil garis tinggi TC maka didapat gambar berikut.
Menentukan panjang AT dan CT dengan sudut yang diketahui yaitu 60°
Sehingga luas segitiga adalah
Soal No. 9
cos 315° adalah....
A. − 1/2 √3
B. − 1/2 √2
C. − 1/2
D. 1/2 √2
E. 1/2 √3
(Soal Ebtanas 1988)
Pembahasan
Sudut 315° berada di kuadran IV. Nilai-nilai cosinus sudut di kuadran IV memenuhi rumus berikut:
cos (360° − θ) = cos θ
Sehingga
cos 315° = (360° − 45°) = cos 45° = 1/2 √2
a) panjang AC
Dengan phytagoras diperoleh panjang AC
b) sin θ
c) cos θ
d) tan θ
e) cosec θ
f) sec θ
g) cotan θ
Soal No. 4
Sebuah segitiga siku-siku.
Diketahui nilai dari sin β = 2/3. Tentukan nilai dari :
a) cos β
b) tan β
Pembahasan
sin β = 2/3 artinya perbandingan panjang sisi depan dengan sisi miringnya adalah 2 : 3
Gunakan phytagoras untuk menghitung panjang sisi yang ketiga (sisi samping):
Sehingga nilai cos β dan tan β berturut-turut adalah
Soal No. 5
Seorang anak berdiri 20 meter dari sebuah menara seperti gambar berikut.
Perkirakan ketinggian menara dihitung dari titik A! Gunakan √2 = 1,4 dan √3 = 1,7 jika diperlukan.
Pembahasan
tan 60 ° adalah √3, asumsinya sudah dihafal. Sehingga dari pengertian tan sudut
Tinggi menara sekitar 34 meter.
Soal No. 6
Sebuah marka kejut dipasang melintang pada sebuah jalan dengan sudut 30° seperti ditunjukkan gambar berikut.
Jika panjang marka kejut adalah 8 meter, tentukan lebar jalan tersebut!
Pembahasan
Segitiga dengan sudut istimewa 30° dan sisi miring 8 m.
sin 30° = 1/2
sin 30° = BC/AC
BC/AC = 1/2
BC = 1/2 × AC = 1/2 × 8 = 4 meter
Lebar jalan = BC = 4 meter
Soal No. 7
Diberikan sebuah segitiga sama sisi ABC seperti gambar berikut. Panjang TC adalah 12 cm.
Tentukan panjang sisi segitiga tersebut!
Pembahasan
Δ ABC sama sisi, sehingga sudut A = sudut B = sudut C = 60° Jika diambil titik ATC menjadi segitiga, maka didapat gambar berikut.
Sinus 60° pada segitiga ATC adalah perbandingan sisi TC (sisi depan) dengan sisi AC (sisi miring) sehingga
Soal No. 8
Diketahui segitiga ABC dengan panjang AC = AB = 6 cm. Sudut C sebesar 120°.
Tentukan luas segitiga ABC!
Pembahasan
Segitiga ABC adalah sama kaki. Jika diambil garis tinggi TC maka didapat gambar berikut.
Menentukan panjang AT dan CT dengan sudut yang diketahui yaitu 60°
Sehingga luas segitiga adalah
Soal No. 9
cos 315° adalah....
A. − 1/2 √3
B. − 1/2 √2
C. − 1/2
D. 1/2 √2
E. 1/2 √3
(Soal Ebtanas 1988)
Pembahasan
Sudut 315° berada di kuadran IV. Nilai-nilai cosinus sudut di kuadran IV memenuhi rumus berikut:
cos (360° − θ) = cos θ
Sehingga
cos 315° = (360° − 45°) = cos 45° = 1/2 √2
Trigonometri Aturan Sinus
Perhatikan contoh-contoh penggunaan aturan sinus berikut ini:
Soal No. 1
Tentukan panjang BC pada segitiga berikut!
Soal No. 1
Tentukan panjang BC pada segitiga berikut!
Pembahasan
AC = 12 cm
∠A = 60°
∠B = 45°
Panjang BC =....
Perhatikan gambar, pada segitiga berlaku aturan sinus sebagai berikut
Sehingga
Soal No. 2
Tentukan besar sudut C pada segitiga berikut!
Pembahasan
Data
AC = 5/3 √6 cm
BC = 5 cm
Dari data yang ada bisa ditentukan besar sudut B terlebih dahulu
Jumlah sudut segitiga adalah 180°sehingga besar sudut C adalah
∠C = 180 − (60 + 45) = 75°
SehinggaSoal No. 2
Tentukan besar sudut C pada segitiga berikut!
Pembahasan
Data
AC = 5/3 √6 cm
BC = 5 cm
Dari data yang ada bisa ditentukan besar sudut B terlebih dahulu
Jumlah sudut segitiga adalah 180°sehingga besar sudut C adalah
∠C = 180 − (60 + 45) = 75°
Soal No. 3
Perhatikan gambar segitiga di bawah ini!
Tentukan perbandingan panjang sisi AB dan BC!
Pembahasan
Pada segitiga berlaku:
Sehingga perbandingan AB : BC = √2 : √3
Soal No. 4
Segitiga PQR dengan sisi-sisinya adalah p, q dan r. Jika p = 16 cm, r = 8√2 cm dan ∠ R = 30° tentukan besar ∠ P !
Pembahasan
Segitiga PQR
Berlaku aturan sinus
Besar sudut P dengan demikian adalah 45°
Perhatikan gambar segitiga di bawah ini!
Tentukan perbandingan panjang sisi AB dan BC!
Pembahasan
Pada segitiga berlaku:
Sehingga perbandingan AB : BC = √2 : √3
Soal No. 4
Segitiga PQR dengan sisi-sisinya adalah p, q dan r. Jika p = 16 cm, r = 8√2 cm dan ∠ R = 30° tentukan besar ∠ P !
Pembahasan
Segitiga PQR
Berlaku aturan sinus
Besar sudut P dengan demikian adalah 45°
Soal No. 5
Perhatikan gambar berikut!
Tentukan nilai kosinus sudut C!
Pembahasan
Dengan aturan sinus terlebih dahulu:
Untuk nilai kosinusnya gambar segitiga siku-siku bantu:
diperoleh nilai kosinusnya
Perhatikan gambar berikut!
Tentukan nilai kosinus sudut C!
Pembahasan
Dengan aturan sinus terlebih dahulu:
Untuk nilai kosinusnya gambar segitiga siku-siku bantu:
diperoleh nilai kosinusnya
Trigonometri Aturan Kosinus Segitiga
Pada suatu segitiga berlaku aturan kosinus sebagai berikut
Berikut beberapa contoh soal penggunaan aturan kosinus:
Berikut beberapa contoh soal penggunaan aturan kosinus:
Soal No. 1
Segitiga samakaki ABC dengan sudut C = 30°.
Jika panjang BC = 12 cm, tentukan panjang AB!
Segitiga samakaki ABC dengan sudut C = 30°.
Jika panjang BC = 12 cm, tentukan panjang AB!
Pembahasan
Dengan aturan kosinus
diperoleh
Soal No. 2
Pada suatu lingkaran dibuat sebuah segi delapan beraturan seperti gambar di bawah.
Pada suatu lingkaran dibuat sebuah segi delapan beraturan seperti gambar di bawah.
Jari-jari lingkaran adalah 12 cm.
Tentukan:
a) panjang sisi segi-8
b) kelililing segi delapan tersebut!
Tentukan:
a) panjang sisi segi-8
b) kelililing segi delapan tersebut!
Pembahasan
Segi delapan tersusun dari 8 buah segitiga sama kaki, dengan kedua kakinya panjangnya 12 cm, sama dengan jari-jari lingkaran.
Ambil satu segitiga,
a) panjang sisi segi-8
Segi delapan tersusun dari 8 buah segitiga sama kaki, dengan kedua kakinya panjangnya 12 cm, sama dengan jari-jari lingkaran.
Ambil satu segitiga,
a) panjang sisi segi-8
Terapkan aturan kosinus sebagai berikut:
b) Keliling segi delapan adalah 8 kali dari panjang sisinya
b) Keliling segi delapan adalah 8 kali dari panjang sisinya
Soal No. 3
Dalam suatu lingkaran berjari-jari 8 cm, dibuat segi-8 beraturan. Tentukan panjang sisi segi-8 tersebut!
Pembahasan
n = 8
r = 8 cm
Disini akan digunakan rumus jadi menentukan panjang sisi dari suatu segi-n dalam lingkaran yang berjari-jari r
atau bentuk lain
dengan format kedua diperoleh
Dalam suatu lingkaran berjari-jari 8 cm, dibuat segi-8 beraturan. Tentukan panjang sisi segi-8 tersebut!
Pembahasan
n = 8
r = 8 cm
Disini akan digunakan rumus jadi menentukan panjang sisi dari suatu segi-n dalam lingkaran yang berjari-jari r
atau bentuk lain
dengan format kedua diperoleh
Soal No. 4
Diketahui:
PQ = 6 cm, QR = 9 cm dan ∠PQR = 120°
Tentukan kelililing segitiga PQR
Pembahasan
Mencari panjang PR
Keliling segitiga
= 6 cm + 9 cm + 3√19
= (15 + 3√19) cm
Diketahui:
PQ = 6 cm, QR = 9 cm dan ∠PQR = 120°
Tentukan kelililing segitiga PQR
Pembahasan
Mencari panjang PR
Keliling segitiga
= 6 cm + 9 cm + 3√19
= (15 + 3√19) cm
Soal No. 5
Diberikan segitiga ABC seperti gambar berikut ini
AB = 20 cm, BC = 10√3 cm dan AC = 10 cm. Tentukan besar ∠A
Pembahasan
Data segitiga:
a = 10√3 cm
b = 10 cm
c = 20 cm
∠A =....
Dengan aturan kosinus pada ΔABC diperoleh nilai sudut A:
Sudut yang memiliki nilai cos sama dengan 1/2 adalah 60°
Soal No. 6
Sebuah segitiga ABC memiliki sisi-sisi a, b dan c. Pada segitiga tersebut berlaku (a − b)(a + b) = c (c − b √3 ) . Tentukan besar sudut A
Pembahasan
Diketahui:
Diberikan segitiga ABC seperti gambar berikut ini
AB = 20 cm, BC = 10√3 cm dan AC = 10 cm. Tentukan besar ∠A
Pembahasan
Data segitiga:
a = 10√3 cm
b = 10 cm
c = 20 cm
∠A =....
Dengan aturan kosinus pada ΔABC diperoleh nilai sudut A:
Sudut yang memiliki nilai cos sama dengan 1/2 adalah 60°
Soal No. 6
Sebuah segitiga ABC memiliki sisi-sisi a, b dan c. Pada segitiga tersebut berlaku (a − b)(a + b) = c (c − b √3 ) . Tentukan besar sudut A
Pembahasan
Diketahui:
(a −b)(a + b) = c (c − b √3 )
Uraikan
a2 − b2 = c2 − bc√3
a2 = b2 + c2 − bc√3
Dari aturan kosinus
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A
Terlihat bahwa 2bc cos A = bc√3 sehingga
2bc cos A = bc√3
cos A = 1/2 √3
A = 30°
Sudut dengan nilai cos sebesar 1/2 √3 adalah 30°.
Uraikan
a2 − b2 = c2 − bc√3
a2 = b2 + c2 − bc√3
Dari aturan kosinus
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A
Terlihat bahwa 2bc cos A = bc√3 sehingga
2bc cos A = bc√3
cos A = 1/2 √3
A = 30°
Sudut dengan nilai cos sebesar 1/2 √3 adalah 30°.
Soal No. 7
Perhatikan gambar berikut!
Panjang QR adalah √14 cm, PR = 6 cm dan PQ = 4 cm. Tentukan nilai sinus sudut P!
Pembahasan
Dengan menggunakan aturan cosinus terlebih dahulu:
Untuk nilai sinusnya gunakan perbandingan dasar trigonometri:
sehingga
Soal No. 8
Dari sebuah segitiga ABC diketahui panjang AB = 6 cm, BC = 5 cm dan AC = 4 cm. Nilai tangen sudut B adalah....
A. 4/6
B. 3/4
C. 7/16
D. 1/3 √7
E. 1/4 √7
Pembahasan
Segitiga ABC
Dari aturan kosinus
Gambar segitiga siku-siku khusus untuk sudut B, kosinus 3/4 artinya sisi samping 3 dan sisi miring 4.
Cari sisi depannya dengan pythagoras akan diperoleh sisi depannya √7:
Jadi tangen B adalah 1/3√7
Perhatikan gambar berikut!
Panjang QR adalah √14 cm, PR = 6 cm dan PQ = 4 cm. Tentukan nilai sinus sudut P!
Pembahasan
Dengan menggunakan aturan cosinus terlebih dahulu:
Untuk nilai sinusnya gunakan perbandingan dasar trigonometri:
sehingga
Soal No. 8
Dari sebuah segitiga ABC diketahui panjang AB = 6 cm, BC = 5 cm dan AC = 4 cm. Nilai tangen sudut B adalah....
A. 4/6
B. 3/4
C. 7/16
D. 1/3 √7
E. 1/4 √7
Pembahasan
Segitiga ABC
Dari aturan kosinus
Gambar segitiga siku-siku khusus untuk sudut B, kosinus 3/4 artinya sisi samping 3 dan sisi miring 4.
Cari sisi depannya dengan pythagoras akan diperoleh sisi depannya √7:
Jadi tangen B adalah 1/3√7
Trigonometri Luas Segitiga
Soal No. 1
Segitiga samasisi ABC dengan panjang sisi 12 cm diperlihatkan gambar berikut!
Tentukan luas segitiga dengan menggunakan rumus pertama di bawah!
Segitiga samasisi ABC dengan panjang sisi 12 cm diperlihatkan gambar berikut!
Tentukan luas segitiga dengan menggunakan rumus pertama di bawah!
Pembahasan
Ambil garis tinggi dari segitiga
Phytagoras saat mencari tinggi segitiga
Phytagoras saat mencari tinggi segitiga
Berikutnya menentukan luas segitiga. 4 kelompok rumus berikut untuk menentukan luas suatu segitiga.
Luas segitiga dengan rumus pertama:
Soal No. 2
Segitiga samasisi ABC dengan panjang sisi 12 cm diperlihatkan gambar berikut!
Tentukan luas segitiga dengan menggunakan rumus nomor 3 di atas!
Pembahasan
Cari setengah dari keliling segitiga terlebih dahulu
Masuk rumus nomor tiga
Soal No. 3
Segitiga samasisi ABC dengan ukuran diperlihatkan gambar berikut!
Tentukan luas segitiga!
Pembahasan
Satu sudut diketahui beserta dua sisi pengapitnya, gunakan rumus dari kelompok 2.
Soal No. 4
Jajargenjang PQRS diperlihatkan pada gambar berikut!
Panjang PQ adalah 10 cm dan QR adalah 8 cm. Sudut PQR = 60°. Tentukan luas jajargenjang PQRS!
Pembahasan
Jajar genjang tersusun dari dua buah segitiga, yaitu segitiga PQR dan segitiga PSR yang luasnya sama.
Sehingga luas jajargenjang sama dengan dua kali luas salah satu segitiga.
Soal No. 5
Segitiga PQR diperlihatkan gambar berikut.
Jika luas segitiga PQR adalah 24 cm2 tentukan nilai sin x
Pembahasan
Dari rumus luas segitiga ditemukan nilai sin x
Soal No. 6
Pada sebuah lingkaran dibuat segi-12 beraturan. Jika jari-jari lingkaran adalah 10 cm, tentukan luas segi-12 yang terbentuk!
Pembahasan
Kali ini akan digunakan rumus langsung untuk menentukan luas segi-n beraturan yang dibuat di dalam suatu lingkaran yang berjari-jari r, dasarnya dari luas segitiga menggunakan sinus, dikalikan banyaknya segitiga yang terbentuk.
Segi 12
n = 12
r = 10
A =.......
dengan rumus di atas diperoleh:
Pada sebuah lingkaran dibuat segi-12 beraturan. Jika jari-jari lingkaran adalah 10 cm, tentukan luas segi-12 yang terbentuk!
Pembahasan
Kali ini akan digunakan rumus langsung untuk menentukan luas segi-n beraturan yang dibuat di dalam suatu lingkaran yang berjari-jari r, dasarnya dari luas segitiga menggunakan sinus, dikalikan banyaknya segitiga yang terbentuk.
Segi 12
n = 12
r = 10
A =.......
dengan rumus di atas diperoleh:
Trigonometri Rumus Sudut Rangkap
Soal No. 1
Diketahui sin x = 3/5 dengan sudut x adalah lancip. Tentukan nilai dari sin 2x.
Diketahui sin x = 3/5 dengan sudut x adalah lancip. Tentukan nilai dari sin 2x.
Pembahasan
sin x sudah diketahui, tinggal cos x berapa nilainya
cos x = 4/5
Berikutnya gunakan rumus sudut rangkap untuk sinus,
sin 2x = 2 sin x cos x
= 2 (3/5)(4/5) = 24/25
Soal No. 2
Diketahui sin x = 1/4, tentukan nilai dari cos 2x.
Pembahasan
Rumus sudut rangkap untuk cosinus.
| cos 2x = cos2 x − sin2x cos 2x = 2 cos2 x − 1 cos 2x = 1 − 2 sin2 x |
Gunakan rumus ketiga
cos 2x = 1 − 2 sin2 x
= 1 − 2 (1/4)2
= 1 − 2/16 = 16/16 − 2/16 = 14 / 16 = 7 / 8
Soal No. 3
Diketahui sin α = 1/5 √13, α sudut lancip. Nilai cos 2α =....
A. −1
B. −1/2
C. −1/5
D. −1/25
E. 1
(Trigonometri - un 2009)
Pembahasan
Gunakan rumus untuk cosinus sudut ganda
Soal No. 4
Diketahui cos 2A = 1/3 dengan A adalah sudut lancip. Tentukan nilai tan A.
A. 1/3 √3
B. 1/2 √2
C. 1/3 √6
D. 2/3 √6
E. 2/5 √5
Pembahasan
Dari rumus cosinus untuk sudut rangkap akan diperoleh terlebih dahulu nilai sin A:
cos 2A = 1 − 2 sin2 A
1/3 = 1 − 2 sin2 A
2 sin2 A = 1 − 1/3
2 sin2 A = 2/3
sin2 A = 1/3
sin A = 1/√3
Menentukan tan A, liat segitiga berikut, sin A = 1/√3 artinya perbandingan pada segitiga sikusikunya adalah depan 1, miringnya √3, dari situ bisa di cari panjang sisi samping:
Sehingga nilai tan A = sisi depan / sisi samping = 1 / √2 = 1/2 √2
Soal No. 5
Jika tan A = p, untuk A lancip, maka sin 2A adalah....
A. p / (p2 + 1)
B. 2p /(p2 + 1)
C. 1 / p√(p2 + 1)
D. 2 / p√(p2 + 1)
E. 2 / √ (p2 + 1)
(Trigonometri sudut ganda - ebtanas 1994)
Pembahasan
sin 2A = 2 sin A cos A
Diketahui tan A = p, atau lengkapnya tan a = p/1
Diperoleh nilai sin A dan cos A sebagai berikut
Sehingga
Soal No. 6
Perhatikan segitiga berikut!
Sudut PRS sama besar dengan sudut SRQ. Tentukan panjang RS!
Pembahasan
Misal ∠PRS = ∠ SRQ = θ
Sehingga ∠ PRQ = 2θ
Dari tan sudut rangkap
Masukkan data
kalikan silang dan faktorkan
ambil x = 6 cm, sehingga
Trigonometri - Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Soal No. 1
Dengan menggunakan rumus penjumlahan dua sudut tentukan nilai dari:
a) sin 75°
b) cos 75°
c) tan 105°
Dengan menggunakan rumus penjumlahan dua sudut tentukan nilai dari:
a) sin 75°
b) cos 75°
c) tan 105°
Pembahasan
a) Rumus jumlah dua sudut untuk sinus
a) Rumus jumlah dua sudut untuk sinus
| sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B |
sin 75° = sin (45° + 30°)
= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4 (√6 + √2)
b) Rumus jumlah dua sudut untuk cosinus
= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4 (√6 + √2)
b) Rumus jumlah dua sudut untuk cosinus
| cos (a + B) = cos A cos B − sin A sin B |
cos 75° = cos (45° + 30°)
= cos 45° ⋅ cos 30° − sin 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4 (√6 − √2)
c) Rumus jumlah dua sudut untuk tan
= cos 45° ⋅ cos 30° − sin 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4 (√6 − √2)
c) Rumus jumlah dua sudut untuk tan
 |
tan 105° = tan (60° + 45°)
Soal No. 2
Dengan menggunakan rumus selisih dua sudut tentukan nilai dari:
a) sin 15°
b) cos 15°
c) tan (3x − 2y)
Pembahasan
a) Rumus selisih dua sudut untuk sinus
Soal No. 2
Dengan menggunakan rumus selisih dua sudut tentukan nilai dari:
a) sin 15°
b) cos 15°
c) tan (3x − 2y)
Pembahasan
a) Rumus selisih dua sudut untuk sinus
| sin (A − B) = sin A cos B − cos A sin B |
sin 15° = sin 45° − 30°)
= sin 45° ⋅ cos 30° − cos 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4(√6 − √2)
b) Rumus selisih dua sudut untuk cosinus
= sin 45° ⋅ cos 30° − cos 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4(√6 − √2)
b) Rumus selisih dua sudut untuk cosinus
| cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B |
cos 15° = cos (45° − 30°)
= cos 45° ⋅ cos 30° + sin 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4(√6 + √2)
= cos 45° ⋅ cos 30° + sin 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4(√6 + √2)
c) Rumus selisih sudut untuk tan
 |
Sehingga
Soal No. 3
Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai sinus masing-masing adalah sin A = 4/5 dan sin B = 12/13. Sudut A adalah sudut tumpul sedangkan sudut B adalah sudut lancip. Tentukan:
A. sin (A + B)
B. sin (A − B)
Pembahasan
Gambar segitiga untuk cek nilai sin dan cos kedua sudut, tentunya setelah itu aplikasikan rumus phytagoras untuk mendapatkan panjang sisi-sisi segitiga, seperti gambar berikut:
Nilai sin dan cos "sementara" untuk masing-masing sudut terlihat dari segitiga di atas. Dibilang sementara karena setelah itu kita harus tentukan positif atau negatifnya. Setelah dicocokkan dengan kuadrannya barulah didapat nilai sin atau cos yang benar.
Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai sinus masing-masing adalah sin A = 4/5 dan sin B = 12/13. Sudut A adalah sudut tumpul sedangkan sudut B adalah sudut lancip. Tentukan:
A. sin (A + B)
B. sin (A − B)
Pembahasan
Gambar segitiga untuk cek nilai sin dan cos kedua sudut, tentunya setelah itu aplikasikan rumus phytagoras untuk mendapatkan panjang sisi-sisi segitiga, seperti gambar berikut:
Nilai sin dan cos "sementara" untuk masing-masing sudut terlihat dari segitiga di atas. Dibilang sementara karena setelah itu kita harus tentukan positif atau negatifnya. Setelah dicocokkan dengan kuadrannya barulah didapat nilai sin atau cos yang benar.
sin A = 4/5
cos A = 3/5
sin B =12/13
cos B = 5/13
cos A = 3/5
sin B =12/13
cos B = 5/13
Periksa ulang,
- Sudut A tumpul sehingga berada di kuadran II (antara 90 dan 180) . Lihat ilustrasi di bawah, untuk kuadran II nilai sin adalah positif, sehingga sin A benar 4/5. Sementara untuk cos A, karena dikuadran II, nilainya negatif, jadi cos A = − 3/5
- Sudut B lancip, sehingga berada di kuadran I (antara 0 dan 90). Baik nilai sin atau cos dikuadran 1 adalah positif, sehingga data di atas bisa langsung digunakan.
a) dari data sin dan cos yang telah diperoleh didapatkan
b) dari data sin dan cos yang telah diperoleh didapatkan
Soal No. 4
Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai sinus masing-masing adalah sin A = 3/5 dan sin B = 12/13. Sudut A dan sudut B adalah sudut lancip. Tentukan nilai dari cos (A + B)
Pembahasan
Cek nilai sin dan cos dengan segitiga seperti sebelumnya
sin A = 3/5, cos A = 4/5
sin B = 12/13, cos B = 5/13
Kedua sudut adalah lancip hingga baik sin ataupun cos adalah positif semua.
Dari data yang telah diperoleh masukkan rumus untuk cos jumlah sudut
Soal No. 5
Diketahui Δ PQR dengan ∠ P dan ∠ Q lancip. Jika tan P = 3/4 dan tan Q = 1/3, tentukan nilai dari cos R
Pembahasan
Cek sin cos kedua sudut P dan Q
sin P = 3/5, cos P = 4/5
sin Q = 1/√10, cos Q = 3/√10
P + Q + R = 180 atau R = 180 - (P + Q)
cos R = cos (180 - (P + Q))
ingat cos (180 - x) = - cos x
Soal No. 6
Jika tan α = 1, tan β = 1/3 dengan α dan β sudut lancip maka sin (α − β) =....
A. 2/3 √5
B. 1/5 √5
C. 1/2
D. 2/5
E. 1/5
(UN 2007-2008)
Pembahasan
tan α = 1, jika digambarkan dalam sebuah segitiga seperti berikut:
Dari gambar terlihat:
sin α = 1/ √2
cos α = 1/ √2
tan β = 1/3, jika digambarkan dalam sebuah segitiga akan diperoleh nilai sin dan cosnya:
Diperoleh
sin β = 1/√10
cos β = 3/√10
Kembali ke soal, diminta sin (α − β) =....
Dengan rumus selisih dua sudut:
Jadi sin (α − β) = 1/5 √5
Soal No. 7
Jika A + B = π/3 dan cos A cos B = 5/8, maka cos (A − B) =....
A. 1/4
B. 1/2
C. 3/4
D. 1
E. 5/4
un hal 102
Pembahasan
Dari rumus selisih dua sudut untuk cosinus:
cos (A + B) = cos A cos B − sin A sin B
Masukkan data soal
1/2 = 5/8 − sin A sin B
sin A sin B = 5/8 − 1/2 = 1/8
Diminta cos (A − B) =....
cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B
= 5/8 + 1/8 = 6/8 = 3/4
Soal No. 8
ABC adalah sebuah segitiga. Jika sin A = 3/5 dan cotan B = 7, maka ∠C = .....
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
E. 135°
Pembahasan
Dari data sin A = 3/5 dan cotan B = 7 (atau kalau dari tan nya, tan B = 1/7), diperoleh
sin A = 3/5
cos A = 4/5
sin B = 1/5√2
cos B = 7/5√2
Jumlah sudut dalam suatu segitiga adalah 180, jadi A + B + C = 180° atau bisa juga C = 180 − (A + B)
Kembali ke soal, diminta ∠C, kita cari sin C dulu:
sin C = sin [180 − (A + B)]
sin C = sin (A + B), ingat kembali ada rumus sin (180 − x) = sin x
sin C = sin A cos B + cos A sin B
ingat cos (180 - x) = - cos x
Soal No. 6
Jika tan α = 1, tan β = 1/3 dengan α dan β sudut lancip maka sin (α − β) =....
A. 2/3 √5
B. 1/5 √5
C. 1/2
D. 2/5
E. 1/5
(UN 2007-2008)
Pembahasan
tan α = 1, jika digambarkan dalam sebuah segitiga seperti berikut:
Dari gambar terlihat:
sin α = 1/ √2
cos α = 1/ √2
tan β = 1/3, jika digambarkan dalam sebuah segitiga akan diperoleh nilai sin dan cosnya:
Diperoleh
sin β = 1/√10
cos β = 3/√10
Kembali ke soal, diminta sin (α − β) =....
Dengan rumus selisih dua sudut:
Jadi sin (α − β) = 1/5 √5
Soal No. 7
Jika A + B = π/3 dan cos A cos B = 5/8, maka cos (A − B) =....
A. 1/4
B. 1/2
C. 3/4
D. 1
E. 5/4
un hal 102
Pembahasan
Dari rumus selisih dua sudut untuk cosinus:
cos (A + B) = cos A cos B − sin A sin B
Masukkan data soal
1/2 = 5/8 − sin A sin B
sin A sin B = 5/8 − 1/2 = 1/8
Diminta cos (A − B) =....
cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B
= 5/8 + 1/8 = 6/8 = 3/4
Soal No. 8
ABC adalah sebuah segitiga. Jika sin A = 3/5 dan cotan B = 7, maka ∠C = .....
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
E. 135°
Pembahasan
Dari data sin A = 3/5 dan cotan B = 7 (atau kalau dari tan nya, tan B = 1/7), diperoleh
sin A = 3/5
cos A = 4/5
sin B = 1/5√2
cos B = 7/5√2
Jumlah sudut dalam suatu segitiga adalah 180, jadi A + B + C = 180° atau bisa juga C = 180 − (A + B)
Kembali ke soal, diminta ∠C, kita cari sin C dulu:
sin C = sin [180 − (A + B)]
sin C = sin (A + B), ingat kembali ada rumus sin (180 − x) = sin x
sin C = sin A cos B + cos A sin B
Sudut yang nilai sin nya 1/2 √2 adalah 45°
Menyelesaikan Persamaan Trigonometri
Rumus Penyelesaian Persamaan
Trigonometri
Untuk sinus
Untuk kosinus
Untuk tangen
k diisi nilai 0, 1, 2, 3 dan seterusnya.
Contoh:
Soal No. 1
Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari sin x = 1/2
Pembahasan
Dari:
sin x = 1/2
Untuk harga awal, sudut yang nilai sin nya 1/2 adalah 30°.
Sehingga
sin x = 1/2
sin x = sin 30°
Dengan pola rumus yang pertama di atas:
(i) x = 30 + k ⋅ 360
k = 0 → x = 30 + 0 = 30 °
k = 1 → x = 30 + 360 = 390 °
(ii) x = (180 − 30) + k⋅360
x = 120 + k⋅360
x = 150 + k⋅360
k = 0 → x = 150 + 0 = 150 °
k = 1 → x = 150 + 360 = 510 °
Dari penggabungan hasil (i) dan hasil (ii), dengan batas permintaan 0° ≤ x ≤ 360°, yang diambil sebagai himpunan penyelesaiannya adalah:
HP = {30°, 150°}
Soal No. 2
Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari cos x = 1/2
Pembahasan
1/2 adalah nilai cosinus dari 60°.
Sehingga
cos x = cos 60°
(i) x = 60° + k ⋅ 360°
k = 0 → x = 60 + 0 = 60 °
k = 1 → x = 60 + 360 = 420°
(ii) x = −60° + k⋅360
x = −60 + k⋅360
k = 0 → x = −60 + 0 = −60°
k = 1 → x = −60 + 360° = 300°
Himpunan penyelesaian yang diambil adalah:
HP = {60°, 300°}
Soal No. 3
Untuk 0° ≤ x ≤ 720° tentukan himpunan penyelesaian dari sin (x − 30) = 1/2 √3
Pembahasan
1/2 √3 miliknya sin 60°
Sehingga
sin (x − 30) = sin 60°
dan
Untuk 0° ≤ x ≤ 720°, HP = {90°, 150°, 450°, 510°}
Soal No. 4
Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari
cos (x − 30°) = 1/2 √2
Pembahasan
Harga awal untuk 1/2 √2 adalah 45°
HP = {75°, 345°}
Soal No. 5
Himpunan penyelesaian persamaan:
cos 2x + sin x = 0
untuk 0 < x ≤ 2π adalah.....
A. {π/2, 4π/3, 5π/3}
B. {π/2, 7π/6, 4π/3}
C. {π/2, 7π/6, 5π/3}
D. {π/2, 7π/6, 11π/6}
E. {π/2, 5π/3, 11π/6}
Pembahasan
Dari rumus sudut rangkap dari pelajaran sebelumnya:
k = 0 → x = 150 + 0 = 150 °
k = 1 → x = 150 + 360 = 510 °
Dari penggabungan hasil (i) dan hasil (ii), dengan batas permintaan 0° ≤ x ≤ 360°, yang diambil sebagai himpunan penyelesaiannya adalah:
HP = {30°, 150°}
Soal No. 2
Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari cos x = 1/2
Pembahasan
1/2 adalah nilai cosinus dari 60°.
Sehingga
cos x = cos 60°
(i) x = 60° + k ⋅ 360°
k = 0 → x = 60 + 0 = 60 °
k = 1 → x = 60 + 360 = 420°
(ii) x = −60° + k⋅360
x = −60 + k⋅360
k = 0 → x = −60 + 0 = −60°
k = 1 → x = −60 + 360° = 300°
Himpunan penyelesaian yang diambil adalah:
HP = {60°, 300°}
Soal No. 3
Untuk 0° ≤ x ≤ 720° tentukan himpunan penyelesaian dari sin (x − 30) = 1/2 √3
Pembahasan
1/2 √3 miliknya sin 60°
Sehingga
sin (x − 30) = sin 60°
dan
Untuk 0° ≤ x ≤ 720°, HP = {90°, 150°, 450°, 510°}
Soal No. 4
Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari
cos (x − 30°) = 1/2 √2
Pembahasan
Harga awal untuk 1/2 √2 adalah 45°
HP = {75°, 345°}
Soal No. 5
Himpunan penyelesaian persamaan:
cos 2x + sin x = 0
untuk 0 < x ≤ 2π adalah.....
A. {π/2, 4π/3, 5π/3}
B. {π/2, 7π/6, 4π/3}
C. {π/2, 7π/6, 5π/3}
D. {π/2, 7π/6, 11π/6}
E. {π/2, 5π/3, 11π/6}
Pembahasan
Dari rumus sudut rangkap dari pelajaran sebelumnya:
| cos 2x = cos2 x − sin2x cos 2x = 2 cos2 x − 1 cos 2x = 1 − 2 sin2 x |
cos 2x + sin x = 0
1 − 2 sin2 x + sin x = 0
− 2 sin2 x + sin x + 1 = 0
2 sin2 x − sin x − 1 = 0
Faktorkan:
(2sin x + 1)(sin x − 1) = 0
2sin x + 1 = 0
2sin x = −1
sin x = −1/2
x = 210° dan x = 330°
atau
sin x − 1 = 0
sin x = 1
x = 90°
Sehingga:
HP = {90°, 210°, 330°} dalam satuan derajat.
HP = {π/2, 7π/6, 11π/6} dalam satuan radian.
Jawaban : D.
Soal No. 6
Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + 5 sin x + 2 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah…
A. {2π/3,4π/3}
B. {4π/3, 5π/3}
C. {5π/6, 7π/6}
D. {5π/6, 11π/6}
E. {7π/6, 11π/6}
Pembahasan
Persamaan trigonometri:
Misalkan sin x sebagai P dan juga cos 2x = 1 − 2sin2 x
Soal No. 7
Himpunan penyelesaian persamaan 2cos 2x − 3 cos x + 1 = 0 untuk 0 < x < 2π adalah…
A. {π/6, 5π/6}
B. {π/6, 11π/6}
C. {π/3, 2π/3}
D. {π/3, 5π/3}
E. {2π/3, 4π/3}
Pembahasan
2cos 2x − 3 cos x + 1 = 0
Faktorkan:
(2cos x − 1)(cos x − 1) = 0
(2cos x − 1) = 0
2cos x = 1
cos x = 1/2
x = 60° = π/3 dan x = 300° = 5π/3
atau
(cos x − 1) = 0 cos x = 1
x = 0° dan x = 360° = 2π (Tidak diambil, karena diminta 0 < x < 2π)
Jadi HP = {π/3, 5π/3}
Jawaban: D
Soal No. 8
Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 4x + 3 sin 2x = −1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah…
A. {150°,165°}
B. {120°,150°}
C. {105°,165°}
D. {30°,165°}
E. (15°,105°)
Pembahasan
Ubah ke bentuk sin semua, dengan rumus sudut rangkap, kemudian faktorkan:
cos 4x + 3 sin 2x = −1
Untuk faktor
Tidak Memenuhi, lanjut ke faktor
Diperoleh
Jadi HP = {105°,165°}
Untuk faktor
Tidak Memenuhi, lanjut ke faktor
Diperoleh
Jadi HP = {105°,165°}
Soal No. 9
Himpunan penyelesaian dari 2 sin2 x − 3 sin x + 1 = 0 dengan 0° ≤ x ≤ 360° adalah....
A. {30°, 90°, 150°}
B. {30°, 120°, 240°}
C. {30°, 120°, 300°}
D. {30°, 150°, 270°}
E. {60°, 120°, 270°}
(UN Matematika SMA IPA 2014)
Pembahasan
Soal ini akan coba diselesaikan dengan cara coba-coba. Ambil salah satu sudut dari pilihan jawaban yang ada, untuk mengeliminir pilihan lainnya. Dari yang mudah yaitu 30° atau 90°. Nilai sin 30° adalah 1/2, jika sudut ini termasuk jawaban maka akan sama dengan nol seperti permintaan soal.
Persamaan di soal:
2 sin2 x − 3 sin x + 1 = ?
30° → 2 sin2 (30°) − 3 sin (30°) + 1 = ?
= 2 (1/2)2 − 3 (1/2) + 1
= 0 (Benar, jadi jawaban harus memuat angka 30°, pilihan E salah karena tidak memuat 30 derajad.)
Berikutnya coba 90°, tentunya sudah tahu sin 90° = 1
2 sin2 x − 3 sin x + 1 = ?
90° → 2 sin2 90° − 3 sin 90° + 1 = ?
= 2 (1)2 − 3 (1) + 1
= 2 − 3 + 1
= 0 (Benar, Jawaban harus memuat 90° jadi B, C, D, dan E salah, A dipastikan benar tanpa dilakukan pengecekan pada 150°, tentunya kalau soalnya ndak error)
Himpunan penyelesaian dari 2 sin2 x − 3 sin x + 1 = 0 dengan 0° ≤ x ≤ 360° adalah....
A. {30°, 90°, 150°}
B. {30°, 120°, 240°}
C. {30°, 120°, 300°}
D. {30°, 150°, 270°}
E. {60°, 120°, 270°}
(UN Matematika SMA IPA 2014)
Pembahasan
Soal ini akan coba diselesaikan dengan cara coba-coba. Ambil salah satu sudut dari pilihan jawaban yang ada, untuk mengeliminir pilihan lainnya. Dari yang mudah yaitu 30° atau 90°. Nilai sin 30° adalah 1/2, jika sudut ini termasuk jawaban maka akan sama dengan nol seperti permintaan soal.
Persamaan di soal:
2 sin2 x − 3 sin x + 1 = ?
30° → 2 sin2 (30°) − 3 sin (30°) + 1 = ?
= 2 (1/2)2 − 3 (1/2) + 1
= 0 (Benar, jadi jawaban harus memuat angka 30°, pilihan E salah karena tidak memuat 30 derajad.)
Berikutnya coba 90°, tentunya sudah tahu sin 90° = 1
2 sin2 x − 3 sin x + 1 = ?
90° → 2 sin2 90° − 3 sin 90° + 1 = ?
= 2 (1)2 − 3 (1) + 1
= 2 − 3 + 1
= 0 (Benar, Jawaban harus memuat 90° jadi B, C, D, dan E salah, A dipastikan benar tanpa dilakukan pengecekan pada 150°, tentunya kalau soalnya ndak error)
Soal No. 10
Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x − 2 sin x = 1; 0 ≤ x < 2π adalah....
A. {0, π, 3π/2, 2π}
B. {0, π, 4π/3, 2π}
C. {0, 2π/3; π, 2π}
D. {0, π, 2π}
E. {0, π, 3π/2}
Pembahasan
Soal ini lebih mudah lagi, syaratnya adalah 0 ≤ x < 2π , maka x tidak boleh memuat 2π, karena tandanya adalah lebih kecil dari 2π bukan lebih kecil atau sama dengan. Jadi pilihan yang ada 2π nya salah, hanya E yang tidak memuat 2π. Jadi jawabnya yang E, soal di atas dari soal UN, namun soal seperti ini jarang-jarang ada.
Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x − 2 sin x = 1; 0 ≤ x < 2π adalah....
A. {0, π, 3π/2, 2π}
B. {0, π, 4π/3, 2π}
C. {0, 2π/3; π, 2π}
D. {0, π, 2π}
E. {0, π, 3π/2}
Pembahasan
Soal ini lebih mudah lagi, syaratnya adalah 0 ≤ x < 2π , maka x tidak boleh memuat 2π, karena tandanya adalah lebih kecil dari 2π bukan lebih kecil atau sama dengan. Jadi pilihan yang ada 2π nya salah, hanya E yang tidak memuat 2π. Jadi jawabnya yang E, soal di atas dari soal UN, namun soal seperti ini jarang-jarang ada.
Komentar
Posting Komentar