HIMPUNAN DAN PELUANG

HIMPUNAN

A.     Pengertian himpuanan

Teori himpunan membantu kita dalam membandingkan himpunan-himpunan untuk melihat keterhubungannya, menyelesaikan persamaan, menggambar grafik, mempelajari peluang atau kemungkinan, menjelaskan konsep-konsep atau gambar-gambar  geometri akan mudah dan  lebih sederhana bila kita menggunakan konsep himpunan.

Himpunan secara sederhana artinya ialah kumpulan benda-benda real maupun abstrak. Dalam Matematika himpunan dapat merupakan kumpulan dari benda-benda, bilangan, manusia ataupun ide yang dapat didefinisikan secara jelas.

1.      Himpunan dan anggota himpunan

Suatu himpunan dinyatakan dengan hurup capital misalnya A,B,.., sedangkan elemen/anggotanya ditulis dengan huruf  kecil misalnya,a,b,c..  dan ditutup dengan menggunakan kurung kurawal.

a)      Tabulasi

Merupakan cara menyatakan suatu himpunan, yaitu dengan mencacah, menuliskan, mendaftar anggota-anggota himpunan tersebut.

Contoh :

S = {e,r,i}, J ={1,2,3,4}

b)      Pernyataan

Merupakn cara menyatakan keanggotaan suatu himpuna dengan membuat keanggotaan kedalam suatu pernyataan.

Contoh:

B ={x| 0 < x < 10,x bilangan prima}

2.      Himpunan kosong

Adalah suatu himpunan yang tidak mengandung elemen-elemen. Himpunan kosong dilambagkan  atau { }.

Contoh :

L = {x|x mahasiswa STKIP yang tidak lulus SLTA}, maka himpunan A himpunan

Kosong.

3.      Kesamaan dua himpunan

Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika keduanya memiliki anggota-anggota yang sama. Kesamaan duahimpunan dapat dinyatakan dengan A = B. Notasi : A = B  «  A Í B dan B Í A

Contoh:

 Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B

 Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B

 Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A ¹ B                                                            

Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:

(a) A = A, B = B, dan C = C    

(b) jika A = B, maka B = A

(c) jika A = B dan B = C, maka A = C

4.      Sub himpunan

Suatu himpunan A dikatakan sub himpunan B, apabila seluruh elemen himpunan A juga merupakan elemen himpunan B dilambangkan dengan AÌ B, sehingga didefinisikan jika xÎA maka xÎ B,

Contoh :

Missal A = {4,6},B = {1,4,6}, maka AÌ B atau A sub himpunan sejati dari B,

5.      Diagram Venn

Suatu cara yang sederhana dan  instruktif untuk menggambarkan hubungan antar himpunan digunakan Diagran Venn-Euler.

Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

Diagram Venn:

B.     Operasi-operasi himpunan.

1.      Perpaduan ( gabungan)

Perpaduan dua himpunan A  dan B adalah himpunan dari elemen-elemen yang termasuk dalam A atau B atau keduanya, dapat dinyatakan menurut definisi AB = {x | xA atau xB}

Contoh:

Missal P = {a,b,c,d}, dan K = {c,d,e,f,g,h}, maka

PK = {a,b,c,d,e,f,g},

KP = {a,b,c,d,e,f,g} sehingga PK = KP, serta P (PK) dan K (PK)

Dari definisi perpaduan dua buahhimpunan A dan B diperoleh beberapa sifat yang berkaitan dengan perpaduan dua himpunan, misal himpunan A dan B tidak kosong maka:

(1). AB = BA

(2), A (AB) dan B (AB)

2.      Perpotongan (intersection)

Perpotongan atau irisan dua himpunan A dan B adalah himpunan elemen-elemen yang termasuk A dan juga termasuk B, perpotongan himpunan A dan B dapat dinyatakan AB dan didefinisikan AB ={x|xÎA dan xÎB}

 

Contoh :

Misal U = [a,b,c,d,e},A = {a,c,e}, B = {c,d,e}, C = {a}, D = {e}

Maka :       AB = {c,e}

AC = C ={a}

BC =

(AB) D = {c,e}{e}

= {e}

= D

3.      Selisih

Selisih dua buah himpunan Adan B adalah hipuanan elemen-elemen yang termasuk A tetapi tidak termasuk B, selisih himpunan A dan B dapat dinyatakan A-B dan didefinisikan  A-B = {x|xA dan xÎb}

Dari definisi perpaduan dua buahhimpunan A dan B diperoleh beberapa sifat yang berkaitan dengan perpaduan dua himpunan, misal himpunan A dan B tidak kosong maka:

(1). AB = BA

(2), (AB) A dan (AB) B

(3), Jika A dan B dua himpunan yang terpisah maka  AB =

Contoh : Misal U = {a,b,c,d,e}, A = {a,c,e},B={c,d,e} C ={A}, D ={e}

                  Maka : U-A = {b,d}, U-B ={a,b}, U-C ={b,c,d,e}, U-D = {a,b,c,d}

                              A-B = {a}        = C, B-D = {c,d}

                              (AB)C     = {a,b,c,d,e}-{a}

                                                      ={c,d,e}

                              (AB)D     = {c,e}-{e} ={c}

4.      Komplemen

Komplemen suatu himpunan A adalah himpunan elemen-elemen yang idak termasuk A, komplemen himpunan A dan B dapat dinyatakan atau A, dan dapat didefenisikan = { x|xU  dan xÎA } atau  = {x|x A}

5.      Himpunan Saling Lepas

Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama. Notasi : A // B

Diagram Venn:

6.      Operasi- operasi keanggotaan suatu himpunan

a)      Apabila dua  himpuanan A dan B  adalah himpunan-himpunan yang tidak kosong atau tidak lepas atau AB, maka berlaku:

n(AB) = n(A) + n(B)- n(AB)

Dan n(ABC) = n(A) + n(B) + n(C) - n(AB)-n(AC) – n(BC) + n(ABC)

b)      Apabila dua himpunan A dan B adalah himpunan-himpunan yang tidak kosong atau saling lepas AB =, maka berlaku:

n(AB)= n(A) + n(B),  dan n(ABC)  = n(A + n(B) + n(C) (Hamonangan,2005)

C.     Hukum-hukum  himpunan.

1.   Hukum identitas:     A È Æ = A     A Ç U = A	2.   Hukum null/dominasi:     A Ç Æ = Æ     A È U = U
3.   Hukum komplemen:     A È  = U     A Ç  = Æ	4.   Hukum idempoten:     A È A = A     A Ç A = A
5.   Hukum involusi:     = A	6.   Hukum penyerapan (absorpsi):     A È (A Ç B) = A     A Ç (A È B) = A
7.   Hukum komutatif:     A È B = B È A     A Ç B = B Ç A	8.   Hukum asosiatif:     A È (B È C) = (A È B) È C     A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C
9.   Hukum distributif:     A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)     A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)	10. Hukum De Morgan:     =      =
11.  Hukum 0/1      = U      = Æ

D.    Prinsip Dualitas

·        Prinsip dualitas: dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar.

Contoh: AS à kemudi mobil di kiri depan

Inggris (juga Indonesia) à kemudi mobil di kanan depan

·        (Prinsip Dualitas pada Himpunan). Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti È, Ç, dan komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti  È ® Ç,  Ç ® È,  Æ ® U, U ® Æ, sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S.

1.   Hukum identitas:    A È Æ = A	Dualnya: A Ç U  = A
2.   Hukum null/dominasi:    A Ç Æ = Æ	Dualnya: A È U = U
3.   Hukum komplemen:     A È  = U	Dualnya: A Ç = Æ
4.   Hukum idempoten:     A È A = A	Dualnya: A Ç A = A
5.   Hukum penyerapan:     A È (A Ç B) = A	Dualnya:        A Ç (A È B) = A
6.   Hukum komutatif:     A È B = B È A	Dualnya:        A Ç B = B Ç A
7.   Hukum asosiatif:  A È (B È C) = (A È B) È C	Dualnya:  A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C
8.   Hukum distributif: A È (B Ç C)=(A È B) Ç (A È C)	Dualnya:  A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)
9.   Hukum De Morgan:      =  Ç	Dualnya:         =  È
10.  Hukum 0/1     = U	Dualnya:         = Æ

      http://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_(matematika)”Kategori:Teori himpunan

PELUANG

A.     Peluang

1.               Ruang contoh dan kejadian.

a)      Ruang contoh

Definisi: Ruang contoh merupakan himpuanan semua kemungkinan hasil suatu percobaan dan dilambangkan dengan huruf S.

Setiap kemungkinan hasil suatu ruang contoh disebutunsur atau anggta ruang contoh tersebut. Karena banyaknya anggota dari ruang contoh sehingga didaftarkan dengan menggunakankoma dan ditutupi oleh kurung kurawal

Contoh: pelemparan sebuah dadu berisi enam bila kita tertrik pada bilangan yang muncul, maka ruang contohnya S = {1,2,3,4,5,6}, tetapi tidak kita tarik pada apakah bilangan yang muncul genap atau ganjil

b)      Kejadian

Definisi : suatu himpunan bagian dari ruang contoh.

Contoh : Bila diketahui ruang contoh S = {t|t 0}, sedangkan t adalah umur komponen elektronik tertentu, maka kejadian A yaitu komponen rusak sebelum akhir tahun kelima dapat dinyatakan sebagai himpunan A = {t|0 t 5}.Himpunan A merupakan himpunan bagian ruang contoh S.

·        Kejadian sederhana dan kejadian majemuk.

Definisi : Bila suatu kejadian dapat dinyatakan sebagai suatu himpunan yang hanya terdiri dari satu titik contoh kejadian itu disebut kejadian sederhana. Sedangkan kejadian majemuk adalah kejadian yang dapat dinyatan sebagai gabungan beberapa kejadian sederhana.

Contoh :

Kejadian terambilnya kartu hati dari seperangkat (52 helai) kartu bridge dapat dinyatakansebagai A = {hati} yang merupakan himpunan bagian dari ruang contoh S = {hati, sekop, klaver, wajik}. Jadi A adalah kejadian sederhana. B yaitu terambilnya kartu merah merupakan kejadian majemuk, karena B = {hati wajik} = {hati, wajik}

·        Ruang nol

Definisi : ruang nol atau ruang kosong dan ruang kosong adalah himpunan bagian ruang contoh yang tidak mengandung satu pun anggota. Kejadian ini kita beri lambang khusus

Contoh :

Seandainya  A adalah kejadian terlihatnya organisme mikroskopik dengan mata telanjang dari suatu percobaan biologis, maka A =. Juga, jika B = {x|x adalah faktor bukan prima bagi 7 selain 1}, maka B pasti himpunan kosong. Karena faktor bagi 7 adalah 1 dan 7 sedangkan 7 bilangan prima.

2.      Definisi Peluang

a)      kejadian

Definisi : Kejadian atau peristiwa merupakan himpunan bagian dari ruang sampel

b)      Peluang

Definisi : Peluang suatu kejadian yang diinginkan adalah perbandingan banyaknya titik sample kejadian yang diinginkan itu dengan banyaknya anggota ruang sample kejadian tersebut.
Misalkan A adalah suatu kejadian  yang diinginkan, maka nilai peluang kejadia A dinyatakan dengan

Peluang disebut juga dengan nilai kemungkinan.

Contoh :Pada percobaan melempar sebuah dadu bermata 6, pada ruang sampelnya terdapat sebanyak 6 titik sampel, yaitu munculnya sisi dadu bermata 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Kejadian- kejadian yang mungkin terjadi misalnya :

Munculnya mata dadu ganjil  dan munculnya mata dadu genap

Penyelesaian :

Munculnya mata dadu prima Jika pada percobaan tersebut diinginkan kejadian munculnya mata dadu prima, maka mata dadu yang diharapkan adalah munculnya mata dadu 2, 3, dan 5, atau sebanyak 3 titik sampel. Sedang banyaknya ruang sampel adalah 6, maka peluang kejadian munculnya mata dadu prima adalah

Selain itu juga untuk menyatakan nilai peluang suatu kejadian pada suatu percobaan dapat dinyatakan dengan menggunakan cara :

Peluang kejadian A =

Contoh:
Pada percobaan melempar sebuah koin bersisi angka (A) dan gambar (G) dengan sebuah dadu bermata 1 sampai 6 bersama-sama sebanyak satu kali. Berapa peluang munculnya pasangan koin sisi gambar dan dadu mata ganjil ?

Banyaknya kejadian munculnya pasangan gambar dan mata dadu ganjil ada 3, yaitu (G,1), (G,3) dan (G,5).Peluang kejadian  munculnya pasangan gambar dan mata dadu ganjil adalah

·        Batas-batas nilai peluang

Nilai Peluang suatu kejadian (P) memenuhi sifat , yang berarti
Jika P = 0, maka kejadian tersebut tidak pernah terjadi atau suatu kemustahilan
Jika P = 1, maka kejadian tersebut merupakan kepastian.

Jika A adalah suatu kejadian  yang terjadi, dan A’ adalah suatu kejadian dimana A tidak terjadi,
maka :

            Contoh :

1)      Sebuah dadu berbentuk mata enam dilempar sekali. Tentukan nilai peluang :
a. munculnya mata dadu bilangan asli
b. munculnya mata dadu 7

Jawab :

a         Nilai peluang munculnya mata dadu bilangan asli adalah 1, karena merupakan suatu kepastian.

b        Nilai peluang munculnya mata dadu 7 adalah 0, karena merupakan suatukemustahilan

2)      Dua buah dadu kubus homogen bermata enam dilempar bersama-sama sebanyak satu kali. Berapakah peluang munculnya mata dadu tidak berjumlah 12 ?

Jawab :
Banyaknya ruang sampel percobaan tersebut ada 36 kejadian, sedang kejadian muncul mata dadu berjumlah 12 ada 1 kejadian yaitu (6,6), sehingga :

·        Peluang Kejadian Majemuk

Kejadian majemuk dapat dibentuk dengan cara menggabungkan dua atau lebih kejadian sederhana. Dengan menggambungkan operasi antarhimpunan, suatu kejdian majemuk dapat dibentuk dari dua kejadian majemuk yang lain. Operasi antarhimpunan yang dimaksudkan adalah operasi gabungan(union) dan operasi irisan.

gabungan dua kejadian, yaitu =A gabung Bkejadian M= A gabung B dapat diartikan sebagai “kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan prima.

irisan dua kejadian, yaitu N = A irisan B. kejadian N =A irisan B dapat diartikan sebagai “kejadian muncxulnya bilangan ganjil dan bilangan prima” kata ”dan” mempunyai arti bahwa kejadain A terjadi dan bersamaan itu pula keadaan B tarja

·        Peluang kejadian
Definisi: peluang suatu kejadian A sama dengan jumlah terjadinya kejadian A dibagi dengan seluruh yang mungkin.

P (A) = k/n

k : jumlah terjadinya kejadian A
n : jumlah seluruh yang mungkin

Jika kita melakukan percobaan, maka himpunan semua hasil disebut Ruang Sampel

Contoh:

1. Percobaan melempar uang logam 3 kali.
    A adalah kejadian muncul tepat dua muka berturut-turut.
    Maka :
    S = {mmm,mmb,mbm,mbb, bmm, bmb, bbm, bbb}
    A = {mmb, bmm}
    n(S) = 2³ = 8
    n(A) = 2
    P(A) = 2/8 = 1/4

2. Percobaan melempar dadu satu kali.
    A adalah kejadian muncul sisi dengan mata dadu genap.
    Maka :
    S = {1,2,3,4,5,6}
    A = {2,4,6}
    n(S) = 6
    n(A) = 3
    P(A) = 3/6 = 1/2

Jika peluang terjadinya A adalah P(A) dan peluang tidak terjadinya A adalah P(A) maka berlaku
P(A) + P(A) = 1

Contoh:

Dari setumpuk kartu Bridge yang terdiri dari 52 kartu diambil 1 kartu. Berapakah peluang  kartu yang terambil bukan kartu King?

Jawab:

P (King) = 4/52 = 1/13
P bukan King = 1 - 1/13 = 12/13

3.      Sifat-sifat peluang

a.       Frekuensi harapan satu kejadian

b.      Peluang kejadian saling asing

Jika A dan B dua kejadian yang tidak saling asing maka berlaku

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB)

Contoh:

Dalam pelemparan sebuah dada S : { 1, 2, 3, 4, 5, 6}

A : Kejadian muncul sisi dengan banyaknya mata dadu bilangan ganjil = { 1, 3, 5} → n(A) = 3/6
B : Kejadian muncul sisi dengan banyaknya mata dadu bilangan prima = {2, 3, 5} → n(B) = 3/6

Peluang dua kejadian saling asing jika A dan B dua kejadian yang saling asing maka berlaku :

P (AB) = P(A) + P(B)

Contoh:

Pada pelemparan sebuah dadu merah (m) dan sebuah dadu putih (p).

Maka: S={(1,1), (1,2), .....,(1,6), (2,1),(2,2),.....(6,6)}
         n(S) - (6)² = 36

A : Kejadian muncul m + p = 6 →{(1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1)},n(A) = 5

B : Kejadian muncul m + p = 10 → {(4,6), (5,5), (6,4)},n(B) = 3

P(A) = 5/36        P(B) = 3/36

AUB :Kejadian muncul m + p = 6 atau m + p = 10 → { (1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (4,6) (5,1) (5,5) (6,4)},n(AUB) = 8

P(AUB) = 8/36 = P(A) + P(B)

A dan B kejadian yang saling asing.

c.       Peluang kejadian saling bebas

Jika kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B dan sebaliknya maka dapat dirumuskan:

P(AB)=P(A) x P(B)

Definisi :Dua kejadian A dan B dikatakan bebas jika dan hanya jika

P(AB) = P(A). P(B)

Contoh:

Dalam tas I terdapat 4 bola putih dan 2 bola hitam. Dalam tas II terdapat 3 bola putih dan 5 bola hitam.
Sebuah bola diambil dari masing-masing tas.
a) Keduanya berwarna putih
b) Keduanya berwama hitam

Jawab:

Misal
A = bola putih dari tas I
B = bola putih dari tas II

P(A) = 4/6
P(B) = 3/8
P(A) = 2/6      P(B) = 5/8

a. P(AB) = P (A) . P (B) = 4/6 . 3/8 = 1/4
b. P((A) P(B)) = P(A). P(B) = 2/6 . 5/8 = 5/24

d.      Peluang Kejadian Bersyarat

P() = dengan syarat P(B) 0

e.      Peluang Komplemen Suatu Kejadian

Jika A adalah suatu kejadian didalam S dan A adalah kejdian yang bukan A, maka:

Contoh :

Misalkan A adalah kejadian munculnya Sisi gambar pada mata uang. Tentukan peluang munculnya sisi angka!

Penyelesaian :

S  ={G,A}   n(S) = 2

A = (G)       n(A) = 1

P(A) = n(A)/n(S) =1/2

f.        Peluang Kejadian Saling Lepas

Dua kejadian saling lepas adalah dua kejadian yang tidak dapat terjadi pada saat bersamaan.jika A dan B kejdian   yang saling lepas, maka:

Contoh:

Pada pelemparan mata unag, tentukan peluang munculnya sisi gambar  atau sisi angka!

Jawab:

n(S) =

A = kejadian munculnya sisi gambar ={(g)}  n(A) = 1

B = kejdian munculnya sisi angka ={(a)}    n(B) = 1

Sehingga :

B.     Distribusi Peluang

1.      Peubah acak

Definisi :

Suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan nyata yang ditentukakan oleh setiap unsure dalam ruang contoh disebut peubah acak.

Untuk peubah acak  disimbolkan dengan huruf kafital, misalnya X. Sedangkan nilai dari peubah acak itu sendiri disimbokan huruf keci misalnya x.

            Contoh:

1)      Dua kelereng diambil berturut-turut tanpa pemulihan dari sebuah kantung yang berisi 4 kelereng merah dan 3 kelereng hitam. Hasil-hasil percoban yang mungkin berikut nilai y bagi peubah acak Y yang menyatakan banyak kelereng merah yang terambil adalah….

Penyelesaian :

Ruang contoh	y
MM MH HM HH	2 1 1 0

2)      Seorang petugas penitipan topi mengembalikan topi secara acak kepada pemiliknya. Dengan masing- masing nama pemilik topi tersebut adalah E,R dan I dalam urutan tersebut, menerima masing-masing sebuah topi , daftarkan contoh bagi kemungkinan urutan pengembalian topi dan tentukan nilai m bagi peubah acak M yang melambangkan banyaknya pasangan topi dan pemiliknya yang tepat.

Penyelesaian :

Urutan pengembalian topi serta banyaknya pasangan topi dan pemiliknya yang tepat adalah terlihat pada tabel dibawah ini :

Ruang contoh	m
ERI EIR REI RIE IER IRE	3 1 1 0 0 1

·        Ruang contoh diskrit

Definisi : Bila suatu ruang contoh mengandung jumlah titik contoh yang terhingga atau suatu barisan unsure yang tidak pernah berakhir  tapi tidak sama banyaknya dengan bilangan cacah, maka ruang itu disebut ruang contoh diskrit.

·        Ruang contoh kontinu

Definisi : Bila suatu ruang contoh mengandung takhinggabanyaknya titik contoh yang sama dengan banyaknya titik pada ruas garis, maka ruang itu disebut ruang contoh kontinu.Pada ruang contoh kontinu merupakan data hasil pengukuran , misalnya, berkaitan dengan tinggi badan, panjang, atau yang memiliki satuan.

2.      Fungsi  peluang dan fungsi kepadatan

1)      Fungsi peluang

Terkadang suatu peluanga akan lebih memudahkan jika dibentuk dalam rumus, dan bentuk rumus ini adalah berupa fungsi, misalnya f(x), g(x),r(x). Jadi f(x) = P(X =x),misalnya f(3) = P(X= 3). Himpunan semua pasang berurutan (x, f(x)) disebut fungsi peluang sebaran peluang bagi peubah acak X

·        Sebaran peluang diskrit

Definisi : Sebuah tabel atau rumus yang menyantumkansemua kemungkinan nilai suatu peubah acak  diskret beriku peluangnya disebut sebaran peluang diskrit.

Contoh :                          

1.      Tentukan sebaran peluang bagi jumlah bilangan bila sepasang dadu dilemparkan.

Penyelesaian:

Misalkan X adalah peubah acak yang menyatakan jumlah bilangan dari kedua dadu tersebut. Maka X dapat mengambil sembarang  nila buat dari 2 sampai 12. Dua dadu dapat mendarat dalam 36 cara,masing-masing dengan peluang  1/36.P(X=3) =2/36.karena jumlah 3 hanya dappat terjadi dalam 2 cara.dengan memperrhatikan kemungkinan maka dapat digambarkan sebaran peluang sebagai berikut:

x	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
P(X =x)	1/36	2/36	3/36	4/36	5/36	6/36	5/36	4/36	3/36	2/36	1/36

2.      Tentukan rumus bagi sebaran peluang banyaknya sisi gambar bila sebuah uang logam dilemparkan 4 kali.

Penyelesaian :

Fungsi peluangnya f(x) = P(X =x) adalah

f (x) = ,untuk x = 0,1,2,3,….

·        Sebaran peluang kontinu

Definisi: Sebaran peluang  bagi peubah acak kontinu tidak dapat disajikan bentuk tabel, tetapi sebaran ini dapat dinyatakan dalam bentuk rumus yang merupakan fungsi nilai-nilai peubah acak kontinu X sehingga dapat dinyatakan  dalam suatu gambar kontinu.

2)      Fungsi kepadatan

Definisi : Fungsi f dikatakan fungsi kepekatan atau kepadatan peluang bagi peubah acak kontinu  X bila luas daerah di bawah kurva dan diatas sumbu-x sama sengan satu, dan bila luas daerah dibawah kurva antara x =a dan x = b menyatakan peluang X antara a dan b

Contoh :

Sebuah peubah acak kontinu X yang mengambil nilai antara  x =2  dan x= 4 mempunyai fungsi kepekatan/kepekatan peluang  f(x) =, perlihatkan bahwa P(2 < X < 4) = 1

Penyelesaian:

Jika digambarkan dalm bentuk grafik  f(x) dan x mak dapat kita cari luas  dengan rumus sebagai berikut :

 Luas =

=

Karena f(2)= 3/8 dan f (4) = 5/8, maka

P(2 <X <4) =

3.      Peluang Distribusi binomial dan distribusi poison

·        Distribusi/Sebaran Binom

Definisi:Bila suatu sebaran binom ,merupakan peluang keberhasilan p dan peluang kegagalan q = 1 – p, maka sebaran peluang peluang bagi peubah acak binom X yaitu banyaknya keberhasilan dalam n bilangan yang bebas adalah

b(x;n,p) =

Adapun ciri-ciri dari percobaan binom antara lain :

Ø      Percobaanya terdiri dari n ulangan

Ø      Dalam setiap ulangan, hasilnya dapat digolongkan sebagai berhsil atau gagal,

Ø      Peluang berhasil yang dilambangkan dengan p untuk setiap ulangan adalah sama, tidak berubah-berubah

Ø      Ulang-ulangan itu bersifat  bebas satu sama lain.

Contoh :

Pelemparan sekeping uang logam  sebanyak 3 kali, dan dikatakan “berhasil” bila muncul sisi gambar dan banyaknya keberhasilan dapat dipandang sebagai peubah acak X maka tentukan sebaran peluang yang mengkin !

Penyelesaian :

Dari soal diatas kemungkinan hasil dari nilai X-nya

Hasil percobaan	x
AAA AGA AAG GAA AGG GAG GGA GGG	0 1 1 1 2 2 2 3

Karena ulangan secara bebas maka memiliki peluag keberhasilan yang sama  yaitu 1/2,  sehingga P(GAG) =(1/2)(1/2)(1/2) =1/8, maka dapat digambarkan sebaran peluang bagi X adalah

x	0	1	2	3
P(X = x)	1/8	3/8	3/8	1/3

                        Atau bisa dengan menggunakan rumus :

                        b(x;3,1/2) =                                         untuk x = 0,1,2,3,..

                        contoh :

1).  Tentukan peuang mendapatkan tepat tiga bilangan 2 bila sebuah dadu setimbang dilemparkan 5 kali.

2).  Peluang seseorang sembuh dari penyakit darah yaitu 0,4.Bila 15 orang diketahui menderita penyakit ini, berapa peluang bahwa :

a).  sekurang- kurangnya 10 orang yang sembuh,

b).  ada 3 sampai 8 orang yang sembuh, dan

c).  tepat  5 orang yang sembuh.

Penyelesaian :

a)      Misalkan X adalah banyaknya orang yang sembuh, maka

P(X10)         =1 – P(X<10)

= 1-

= 1- 0,9662

= 0,0338

b)      P(3X8)       =

=  –

= 0,9050 – 0,0271

= 0,8779

c)      P(X =5)           = b(5;15,0,4)

= 15,0,4)- )

= 0,403-0,2137

= 0,1859

                        Nilai tengah  dan Ragam bagi sebaran binom adalah :

                        dan =

·        Distribusi Poison

Definisi :sebaran peluang pada peubah acak poison X yang menyatakan banyaknya hasil percobaan terjasi pada selang waktu atau daerah daerah tertentu adalah :

P(x;) =, untuk x =1,2,…..

µ = rata-rate

e = 2,718.

Contoh :

Rata-rata jumlah hari sekolah ditutup karena salju selama musim dingin disuatu kota dibagian timur Amerika Serikat adalah 4.Berapa peluang bahwa sekolah-sekolah dikota ini akan tutup selama 6 hari dalam suatu musim dingin?

Penyelesaian :

x = 6 dan µ=4

p(6:4) =  =  –

= 0,8893 – 0,7851 = 0,1042 (Ronald,2010)

Daftar Pustaka

Hamonangan M.2005.HIMPUNAN. STKIP Hamzanwadi Selong

http://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_(matematika)”Kategori:Teori himpunan kamis- 22april-2010 jam 17.00

http://id wikipedia.org/wiki/peuang(matematika) kamis 22- april 2010, pukul 17.00

Ronald E. Walpole. PENGANTAR STATISTIKA. Jakarta: gramedia

Noormandiri.2007.MATEMATIKA SAMA KELAS XI.Jakarta:Elangga