PARABOLA

2.1 Pengertian Parabola

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya sama terhadap suatu titik tertentu dan garis tertentu. Titik –tertentu itu disebut titik api ( fokus ) dan garis tertentu itu disebut direktriks.

2.2 Persamaan Parabola

A.  Persamaan Parabola yang berpuncak di O(0,0) dan fokus F(p,0)

 

Dari gambar diatas, O(0,0) merupakan puncak parabola, garis g adalah direktriks parabola dengan persamaan direktriks x = -p, F(p,0) merupakan fokus parabola, Sumbu x merupakan sumbu simetri parabola dengan persamaan parabola y = 0 dan CC₁ adalah panjang lactus rectum dari parabola.

        Misalkan P(x,y) adalah sembarang titik pada parabola, berdasarkan definisi parabola maka berlaku :

Jarak PF = jarak PQ

               

        

       

                                           

Dengan demikian persamaan parabola yang berpuncak di O(0,0) dengan

fokus F( p,0)adalah

 

Catatan :

1.   Jika p > 0 maka parabola terbuka kekanan

2.   Jika p < 0 maka parabola terbuka kekiri.

3.   Dengan :  -  Puncak (0,0)

                    -  Fokus F ( p,0 )

                    -  Persamaan direktriks : x = -p

                    -  Persamaan sumbu simetri : y = 0

B.  Persamaan Parabola yang berpuncak di O(0,0) dan fokus F (0,p)

 

Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik pada parabola, berdasarkan definisi parabola berlaku :

Jarak PF = jarak PQ

Dengan demikian persamaan parabola yang berpuncak di O(0,0) dengan

fokus F(0,p)adalah

Catatan :

1.   Jika p > 0 maka parabola terbuka keatas.

2.   Jika p < 0 maka parabola terbuka kebawah.

3.   Dengan :  -   Puncak (0,0)

-   Fokus F ( 0, p )

-   Persamaan direktriks : y = - p

-   Persamaan sumbu simetri : x = 0

C.  Persamaan parabola yang berpuncak di A(a,b)

 

Persamaan parabola yang berpuncak di A(a,b)  adalah :

           I.       

Catatan :

1.         Jika p > 0 maka parabola terbuka kekanan

2.         Jika p < 0 maka parabola terbuka kekiri.

3.         Dengan : -  Puncak (a,b)

-         Fokus F ( p+a , b )

-         Persamaan direktriks : x = - p +  a

-         Persamaan sumbu simetri : y = b

       II.       

Catatan :

1.   Jika p > 0 maka parabola terbuka keatas.

2.   Jika p < 0 maka parabola terbuka kebawah.

3.   Dengan : -   Puncak (a,b)

 -   Fokus F ( a , p + b )

 -   Persamaan direktriks : y = - p + b

 -   Persamaan sumbu simetri : x = a

Contoh 1.

Tentukan koordinat fokus dan persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks dan panjang lactus rectum dari persamaan parabola  !

Jawab :

Diketahui pers. Parabola , dimana persamaan umum parabola adalah . Sehingga diperoleh , maka p = - 2 < 0. Jadi parabola terbuka ke kiri. Dari hasil yang didapat , diperoleh :

-               Fokus parabola di F ( p , 0 ) = ( -2 , 0 )

-               Persamaan direktriks : x = - p = - (-2 ) = 2

-               Persamaan sumbu simetri : y = 0

-               Dari fokus F ( - 2 , 0 ) , x = - 2 , diperoleh , sehingga diperoleh . Jadi koordinat titik-titik ujung lactus rectumnya adalah

-               ( 2 , 4 ) dan ( -2 , - 4 ).Dengan demikian panjang lactus rectumnya adalah 2 . 4 = 8.

Contoh 2

Tentukan persamaanparabola jika titik puncaknya ( 2 , 3 ) dan titik fokusnya ( 6 , 3 ) !

Jawab :

Diketahui titik puncak ( 2 , 3, ) = ( a , b ), maka diperoleh a = 2, b = 3, Titik fokus

p = 4

p + 2 = 6 ,

p + a = 6 ,

Jadi persamaan parabolanya adalah  

Contoh 3

Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, sumbu simetri dan persamaan direktriks dari persamaan parabola  !

Jawab :

4 p = 4, p = 1

a = 1 , b = - 2, dengan demikian diperoleh :

- titik puncak ( a, b ) = ( 1, -2 )

- Titik fokus F ( p + a , b ) = ( 2, -2 )

- Persamaan direktriks : x = - p = - 1

- Persamaan sumbu simetri : y = b = -2

LATIHAN SOAL !

1. Tentukan titik fokus, persamaan direktriks, dan panjang lactus rectum dari persamaan parabila berikut ini :
a.  Jawab :
b. Jawab :
c. Jawab :
d.
2. Tentukan titik puncak, titik fokus, persamaan direktriks dan persamaan sumbu simetri dari persamaan parabola berikut ini :
a. Jawab :
b.  Jawab :
c. Jawab :
d.  Jawab :
e. Jawab :
3. Tentukan persamaan pareabola yang koordinat ujung-ujung lactus rectumnya di ( 6,-3) & (-2,-3 ) Jawab :
4. Tentukan persamaan parabola, jika diketahui hal-hal berikut ini :
a. Titik puncaknya (0,0) dan titik fokusnya (-4,0) Jawab :
b. Titik fokusnya (-3,0) dean direktriksnya x=3 Jawab :
c. Titik puncaknya (0,0) dan melalui (-2,-4) Jawab :
d. Titik fokusnya (4,3) dan persamaan direktriksnya y+1=0 Jawab :
e. Titik puncak di (4,-1), sumbu simetri sejajar sumbu x, melalui titik (1,6). Jawab :

SOAL TES FORMATIF !

1. Tentukan titik puncak, titik fokus, persamaan direktriks dan persamaan sumbu simetri dari persamaan parabola berikut ini :
a. Jawab :
b. Jawab :
c. Jawab :
d. Jawab :
2. Tentukan persamaan parabola , jika diketahui hal-hal berikut ini :
a. Titik puncak (-4,2); sumbu simetri garis y=2; dan melalui titik (0,6) Jawab :
b. Titik puncak (3,-2); sumbu simetri garis x=3; dan panjang lactus rectum=8 Jawab :
c. Persamaan direktriks x=4; sumbu simetri y=4; melalui titik (9,7). Jawab :
d. Titik fokus di (-,4); dan direktriks x=- Jawab :