relasi dan fungsi

BAB I

Pendahuluan

A.       Latar Belakang

            Dalam kehidupan sehari-hari seseorang sering menjalani suatu aktivitas yang tanpa disadari berhubungan dengan matematika. Contohnya seorang kontraktor yang ingin merencanakan pembuatan jalan raya. Jika dalam 1 minggu ia dapat menyelesaikan pembuatan jalan untuk jarak 500 m, 2 minggu untuk jarak 1.000 m, 3 minggu untuk  jarak 1.500 m dan seterusnya maka dalam waktu 8 minggu pastilah ia dapat memprediksikan berapa jarak yang dapat ia selesaikan dalam waktu tersebut.

     Contoh tersebut dapat ditulis rumus secara matematis dengan

     s = 500 t,  dimana s adalah jarak (meter)

                                     t adalah waktu (minggu)

Persamaan s = 500t dalam matematika disebut fungsi, di mana nilai dari suatu peubah dapat ditentukan jika nilai dari peubah yang lain diketahui. Kenyataan dalam kehidupan sehari-hari di berbagai bidang kehidupan banyak membutuhkan pengetahuan tentang fungsi, antara lain bidang keteknikan, bidang ekonomi, bidang kesehatan dan sebagainya. Oleh karena itu topik tentang fungsi perlu diajarkan kepada siswa oleh guru matematika SMK teknik.

    

B.      Tujuan

     Bahan ajar tentang pembelajaran relasi dan fungsi ini disusun agar para tenaga kependidikan/guru:

1. Lebih menguasai materi pembelajaran relasi dan fungsi untuk siswa SMK Teknik
2. Lebih memiliki kemampuan mengembangkan teknik, model dan strategi pembelajaran relasi dan fungsi

C.      Ruang Lingkup

     Bahan ajar ini membahas topik-topik sebagai berikut:

1.    Pengertian relasi dan fungsi, dijelaskan beberapa macam fungsi dan grafiknya

2.    Komposisi fungsi

3.    Fungsi Invers

BAB II

Relasi dan Fungsi

            Pada sekitar abad ke-17, sebuah fungsi dinyatakan sebagai sebuah kurva yang dideskripsikan oleh sebuah pergerakan (motion). Selanjutnya pada abad ke-18, pengertian fungsi berubah ke bentuk analitik yang dinyatakan oleh variabel dan konstan yang merepresentasikan suatu relasi/hubungan antara dua variabel dengan grafik yang tidak memuat/tidak memiliki “pojok yang tajam”.

Dalam perkembangan matematika selanjutnya, konsep fungsi kemudian berubah menjadi definisi modern sekarang ini seperti yang ditulis pada bahan ajar ini. Sebelum memahami pengertian fungsi perlu dijelaskan terlebih dahulu tentang pengertian relasi.

A.     Pengertian Relasi dan Fungsi

1. Relasi antara dua himpunan

Jika A dan B dua himpunan yang tidak kosong, maka didefinisikan:

, A ´ B disebut hasil kali cartesian antara himpunan A dan B.

Jika R Ì (A ´ B), maka R disebut relasi dari himpunan A ke himpunan B. Relasi dapat diartikan sebagai aturan yang mengawankan dua himpunan.

Ada beberapa cara menyatakan relasi, yaitu:

a.        diagram panah

b.        himpunan pasangan berurutan

c.         grafik kartesius

Contoh:

Diketahui himpunan A = { 1, 2, 4, 5} dan B = { -1, 2, 3, 5}, nyatakan relasi dari A ke B dengan “dua lebihnya dari” !

Penyelesaian:

a.       diagram panah                                        c. Grafik kartesius

 

b.       himpunan pasangan berurutan

       {(1,-1), (4,2), (5,3)}

2. Pemetaan atau fungsi

            Pemetaan atau fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota  A dengan tepat satu  anggota pada B.

Pemetaan seperti ini biasa dinotasikan dengan

                        f :  x ® y  atau y = f(x)  

dibaca “f  memetakan x ke y ”

y  dinamakan peta atau bayangan dari x oleh fungsi f. Himpunan semua peta/bayangan dari fungsi disebut daerah hasil (range).

Jadi untuk suatu fungsi diperlukan syarat:

a.        Himpunan A sebagai daerah asal atau daerah definisi (domain).

b.        Himpunan B sebagai daerah kawan (kodomain).

c.         Himpunan R sebagai daerah hasil (range)

d.        Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B yang memetakan setiap anggota  A dengan tepat satu anggota pada B, atau dengan kata lain setiap anggota A dipasangkan habis tetapi tidak boleh ada satu anggota A yang punya pasangan lebih dari atau kurang dari satu.

Domain fungsi f biasanya dilambangkan dengan D_f sedangkan range fungsi f biasanya dilambangkan dengan R_f.

            Contoh:

1)     Diantara diagram panah berikut yang merupakan fungsi (pemetaan) dari A ke B adalah

a.                                                               c.

 

b.                                                               d.

	Gb.2.3.  diagram panah

 

Penyelesaian:

b adalah jawabnya, sebab setiap anggota A dipasangkan habis dan punya kawan tunggal

a bukan fungsi sebab ada  anggota A yang tidak punya kawan         c bukan fungsi sebab ada anggota A yang punya kawan lebih dari satu

d bukan fungsi sebab ada anggota A yang tidak punya kawan dan ada anggota A yang punya kawan lebih dari satu.

2)     Diketahui suatu fungsi yang memetakan A = {1, 8, 27} ke            B = {1, 2, 3, 4} dengan sifat “pangkat tiga dari”

a)         Buatlah diagram panahnya

b)         Tentukan domain, kodomain dan range fungsi tersebut.

Penyelesaian:

a)        

 

b)         Domain fungsi (D_f ) adalah A = {1, 8, 27}

        Kodomain fungsi adalah B = {1, 2, 3, 4}

        Range fungsi (R_f ) adalah R = {1, 2, 3}

Diagram panah di bawah ini menunjukkan kejadian khusus dari pemetaan yang disebut korespondensi satu-satu.

Korespondensi satu-satu adalah pemetaan yang menghubungkan setiap anggota  A dengan tepat satu  anggota pada B dan menghubungkan setiap anggota  B dengan tepat satu  anggota pada A.

                        Jika suatu fungsi f mempunyai daerah asal dan daerah kawan yang sama, misalkan D maka sering dikatakan fungsi f pada D. Jika daerah asal dari fungsi tidak dinyatakan maka yang dimaksud adalah himpunan  semua bilangan riil (Â). Untuk fungsi-fungsi pada  kita kenal beberapa fungsi khusus antara lain: fungsi linier dan fungsi kuadrat.

B.    Fungsi Linier

Fungsi linier mempunyai persamaan y = ax + b, a, b Î Â dan a ¹ 0. Grafik fungsi linier berupa garis lurus. Untuk menggambar grafik fungsi linier ada dua cara, yaitu: dengan tabel dan dengan menentukan titik potong pada sumbu x dan sumbu y.

Contoh:

Gambarlah grafik fungsi y = 2x + 2

Penyelesaian:

      1.  Dengan tabel

x	-1	0	1
y = 2x + 2	0	2	4

Dari tabel diperoleh titik-titik berupa pasangan koordinat, kita gambar titik tersebut dalam bidang kartesius kemudian dihubungkan sehingga tampak membentuk garis lurus. (gambar 2.6)

      2.  Dengan titik potong sumbu x dan sumbu y

Persamaan garis y = 2x + 2

Titik potong grafik dengan sumbu x:

·

      syarat  y = 0 ® 0 = 2x + 2

                                2x = -2

                                  x = -1

      sehingga titik potong grafik dengan sumbu x adalah ( -1,0)

Titik potong grafik dengan sumbu y:

      syarat x = 0 ® y = 2 . 0 + 2 = 2

      sehingga titik potong grafik dengan sumbu y adalah ( 0,2)

Kedua titik potong tersebut digambar dalam bidang kartesius kemudian dihubungkan sehingga tampak membentuk garis lurus (gambar 2.7).

 

       

1. Gradien

            Persamaan garis biasa juga ditulis y = mx + c, dengan m, c Î Â. Dalam hal ini m dan c adalah konstanta, dengan m melambangkan gradien (koefisien arah) garis  lurus.

Gradien adalah konstanta yang menunjukkan tingkat kemiringan garis. Dilihat dari gambar 2.8 maka m dapat dicari sebagai berikut:

 

m = tan a

Pada gambar 2.8, misalkan  a adalah sudut antara garis horisontal (sejajar sumbu x) dan grafik fungsi linier dengan arah putaran berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam, maka gradien dapat pula didefinisikan dengan .

Jadi

Sebagai catatan bahwa

a)        Jika m = 0 maka grafik sejajar dengan sumbu x dan ini sering disebut sebagai fungsi konstan.

b)        Jika m > 0 maka grafik miring ke kanan (0°< a < 90°)

c)        Jika m < 0 maka grafik condong ke kiri (90°< a < 180°)

2. Menentukan persamaan garis melalui satu titik dan bergradien m

            Misalkan garis y = mx + c melalui titik P(x₁,y₁), setelah titik (x₁,y₁) disubstitusikan ke persamaan garis tersebut diperoleh:

                         y = mx  +  c

                        y₁ = mx₁ + c

                        y - y₁ = m (x - x₁)

Jadi rumus persamaan garis melalui titik P(x₁,y₁) dan bergradien m adalah

      Contoh:

Tentukan persamaan garis yang melalui P(3,9) dan bergradien 6.

Penyelesaian:

Titik P(3,9) dan gradien m = 6 disubstitusikan ke persamaan diatas

                               y - y₁ = m(x - x₁)

                       Û    y - 9 = 6(x - 3)

                        Û           y = 6x - 18 +9

                        Û          y = 6x- 9

Jadi persamaan garisnya adalah   y = 6x- 9.

3. Menentukan persamaan garis melalui dua titik

            Persamaan garis melalui dua titik A(x₁,y₁) dan B(x₂,y₂) dapat dicari dengan langkah sebagai berikut:

persamaan garis melalui titik A(x₁,y₁) dan dengan memisalkan gradiennya m adalah

                        y - y₁ = m (x - x₁) …………………. (i)

karena garis ini juga melalui titik B(x₂,y₂), maka y₂ - y₁ = m (x₂ - x₁), sehingga diperoleh gradien

                              …………………. (ii)

persamaan (ii) disubstitusikan ke (i) diperoleh

Jadi persamaan garis melalui dua titik A(x₁,y₁) dan B(x₂,y₂) adalah

Contoh:

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (1,6) dan (3,8).

Penyelesaian:

Kedua titik (1,6) dan (3,8) disubstitusikan ke persamaan garis melalui dua titik.

                Û  

                                                Û 

                                                Û   y - 6 = x - 1

                                                            Û          y = x + 5

Jadi persamaan garisnya adalah y = x + 5

4. Menentukan titik potong antara dua garis

            Misalkan dua garis g₁  dan g₂ saling berpotongan di titik P(x,y), maka  nilai x dan y  harus memenuhi kedua persamaan garis tersebut. Titik potong dua garis dapat dicari dengan metode substitusi atau eliminasi.

Contoh:

Tentukan titik potong dari dua garis  g₁: y = 3x + 2 dan g₂: y = x + 8

Penyelesaian:

Soal di atas dapat diselesaikan dengan 2 metode

a.        Metode substitusi

Nilai y pada persamaan g₂ diganti dengan nilai y persamaan g₁

                 y = x + 8                    

Û    3x + 2 = x + 8                         

Û           2x = 6

Û             x = 3

x = 3 dimasukkan ke persamaan g₂ diperoleh

y = x + 8 = 3 + 8 = 11                

jadi titik potong  g₁: y = 3x + 2 dan g₂: y = x + 8 adalah (3,11)

b.        Metode eliminasi

Metode eliminasi dilakukan dengan menyamakan koefisien salah satu variabel untuk menghilangkan salah satu variabel lainnya. Karena kedua persamaan tersebut memiliki koefisien variabel y  yang sama maka langsung dieliminasikan

                        y = 3x + 2                           x = 3 dimasukkan ke persamaan g₂

                        y = x  +  8                           y = x + 8 = 3 + 8 = 11                

                        0 = 2x - 6

2x = 6   ®  x = 3

jadi titik potong g₁: y = 3x + 2 dan g₂: y = x + 8 adalah (3,11)

Catatan:

a.      Garis g₁  yang bergradien m₁ dikatakan sejajar dengan g₂ yang bergradien m₂  jika memenuhi m₁ = m₂

Contoh:

Apakah garis y = 5x + 12 sejajar dengan y = 5x - 8

Penyelesaian:

Karena m₁ = m₂ = 5 maka kedua garis tersebut sejajar.

b.      Garis g₁  yang bergradien m₁ dikatakan tegak lurus dengan g₂ yang bergradien m₂  jika memenuhi m₁ . m₂ = -1

Contoh:

Apakah garis 2y = 6x + 12 dan 9y = -3x + 8 saling tegak lurus?

Penyelesaian:

g₁: 2y = 6x + 12 Þ y = 3x + 6 Þ m₁ = 3

g₂: 9y = -3x + 8 Þ y =  Þ m₂ =

m₁ . m₂ = 3 .  = -1 sehingga kedua garis saling tegak lurus.

C.    Fungsi Kuadrat

Bentuk umum fungsi kuadrat adalah y = ax² + bx + c dengan               a, b, c Î Â dan a ¹ 0. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola maka sering juga disebut fungsi parabola.

Jika a > 0 , parabola terbuka ke atas sehingga mempunyai titik balik minimum (gambar 2.9.a)

Jika a < 0 , parabola terbuka ke bawah sehingga mempunyai titik balik maksimum (gambar 2.9.b)

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat  y = ax² + bx + c :

1.     Menentukan pembuat nol fungsi ® y = 0 atau f(x) = 0

            Pembuat nol fungsi dari persamaan kuadrat  y = ax² + bx + c diperoleh jika  ax² + bx + c = 0. Sehingga diperoleh nilai x yang memenuhi   ax² + bx + c = 0.

2.     Menentukan sumbu simetri

3.     Menentukan titik puncak P (x, y) dengan   dan

      Dengan nilai diskriminan D = b² - 4ac.

Jika ditinjau dari nilai a dan D maka  sketsa grafik parabola sebagai berikut:

a < 0,  D > 0	a < 0,  D = 0	a < 0,  D < 0
a > 0,  D > 0	a > 0,  D = 0	a > 0,  D < 0

Catatan:

persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dapat dicari akar-akarnya dengan:

-        Pemfaktoran

-        Kuadrat sempurna

-        Rumus abc: x₁₂ =

Contoh:

Gambarlah sketsa grafik fungsi y = x² - 6x + 8

Penyelesaian:

a.      Menentukan pembuat nol fungsi

Dengan pemfaktoran diperoleh

                        x² - 6x + 8 = 0

                        (x - 2) (x - 4) = 0

                        x = 2 atau x = 4

b.      Menentukan sumbu simetri

      

c.      Menentukan titik puncak P (x, y)

Karena x sudah dicari maka tinggal mencari nilai y dengan substitusi   x = 3  ke fungsi y  diperoleh

                        y = 3² - 6(3) + 8

               = 9 - 18 +8

               = -1

Jadi puncaknya adalah titik (3,-1).

Sehingga sketsa grafiknya adalah

D.    Komposisi Fungsi

Jika diketahui dua fungsi f: A ® B dan g: B ® C maka fungsi komposisi g f : A ® C ditentukan oleh rumus (g f)(x) = g(f(x)), x Î A.

 

Catatan: g f dibaca “g komposisi f ”.

Contoh:

Diketahui f(x) = x + 3 dan g(x) = 5x, tentukan:

1.     (f g)(x) dan (f g)(10)

2.     (g f)(x) dan (g f)(10)

Penyelesaian:

1.      (f g)(x) = f(g(x)) = f(5x) = 5x + 3

      (f g)(10) = 5.10 + 3 = 50 + 3 = 53

2.      (g f)(x) = g(f(x)) = g(x + 3) = 5(x + 3) = 5x + 15

      (g f)(10) = 5.10 + 15 = 50 + 15 = 65

Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa   ¹ , jadi komposisi fungsi tidak bersifat komutatif.

Catatan:

Syarat fungsi f dan g dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi   f g adalah D_f  Ç R_g ¹ Æ.

Artinya irisan antara domain fungsi f atau D_f  dan range fungsi g  atau R_g  tidak kosong.

1.      Komposisi dua fungsi atau lebih

Misalkan f, g dan h adalah fungsi maka fungsi-fungsi tersebut dapat tersusun menjadi fungsi komposisi:

a.      (f g)(x) = f(g(x))

b.      (f g h)(x) = f(g(h(x)))

Contoh:

Diketahui f(x) = 4x - 8 dan g(x) = 3x² dan h(x) = 2x.

Tentukan

1)  (f g)(x)

2)  (f f)(x)

3)  (f g h)(x)

Penyelesaian:

1)     (f g)(x) = f(g(x)) = f(3x²) = 4(3x²) - 8 = 12x² - 8

2)     (f f)(x) = f(f(x)) = f(4x - 8) = 4(4x - 8) - 8 = 16x - 40

3)     (f g h)(x) = f(g(h(x)))

                           = f(g(2x))

                           = f(3(2x )²)

                           = f(12x ²)

                           = 4(12x ²) - 8

                           = 48x ² - 8

2.      Sifat-sifat komposisi fungsi

a.      Operasi komposisi fungsi pada umumnya tidak bersifat komutatif          f g ¹ g f

b.      Operasi komposisi fungsi pada umumnya bersifat assosiatif

                  f (g h) = (f g) h

c.      Dalam operasi komposisi fungsi terdapat fungsi identitas, yaitu I(x) = x, sehingga berlaku: I f = f I = f

Contoh:

Pada contoh sebelumnya diketahui f(x) = 4x - 8, g(x) = 3x² dan  h(x) = 2x. Tunjukkan bahwa:

1)        (f g)(x)  ¹ (g f) (x)

2)        (f (g h))(x) = ((f g )h)(x)  

3)        (I f)(x) = (f I)(x) = f(x)  

Penyelesaian:

1)     (f g)(x) = f(g(x)) = f(3x²) = 4(3x²) - 8 = 12x² - 8

(g f)(x) = g(f(x))

               = g(4x - 8)

               = 3(4x - 8)²

               = 3(16 x² - 64x + 64)

               = 48 x² - 192x + 192

jadi (f g)(x)  ¹ (g f) (x)

2)     f(x) = 4x - 8, g(x) = 3x² dan  h(x) = 2x

menentukan (f (g h))(x)                      menentukan ((f g ) h)(x)  

            (g h)(x) = g(h(x))                             (f g)(x) = f(g(x))

                            = g(2x)                                               = f(3x²)   

                            = 3(2x )²                                             = 4(3x²) - 8                                         = 12x ²                                               = 12x² - 8

 (f (g h))(x) = f)(g h)(x))                    ((f g) h)(x) = (f g)(h(x))    

                               = f(12x ²)                                                  = (f g)(2x)    

                               = 4(12x ²) - 8                                          = 12(2x)² - 8   

                               = 48x ² - 8                                               = 48x ² - 8

Jadi terbukti bahwa (f (g h))(x) = ((f g ) h)(x)  

3)     I(x) = x dan f(x) = 4x - 8

            (I f)(x) = I(f(x)) = I(4x - 8) = 4x - 8 = f(x)

            (f I)(x) = f(I(x)) = f(x)

     Jadi terbukti bahwa (I f)(x) = (f I)(x) = f(x)  

3.      Menentukan fungsi f jika fungsi g dan f g diketahui

Contoh:

      Tentukan f(x) jika g(x) = 3x + 2 dan (f g)(x) = 18x² + 39x + 22

Penyelesaian:

       (f g)(x) = 18x² + 39x + 22

Û      f(g (x)) = 18x² + 39x + 22

Û   f(3x + 2) = 18x² + 39x + 22

Û   f(3x + 2) = 2(3x + 2)² - 24x - 8 + 39x + 22

Û   f(3x + 2) = 2(3x + 2)² + 15x +14

Û   f(3x + 2) = 2(3x + 2)² + 5(3x + 2) +4

jadi f(x) = 2x² + 5x + 4

Dengan cara sama dapat pula ditentukan fungsi g jika fungsi f dan  f g diketahui.

Contoh:

Tentukan   g(x)   jika   diketahui   f(x) = 3x dan (f g)(x) =12x + 24

Penyelesaian:

            (f g)(x) = 12x + 24

    Û       f(g(x)) = 12x + 24

    Û       3 g(x) = 12x + 24

    Û          g(x) = 4x + 8

 jadi  g(x) = 4x + 8

Catatan: dalam penyelesaian tersebut terkadang sulit untuk dikerjakan, namun dengan pengertian fungsi invers (balikan) akan memudahkan untuk menyelesaikan soal tersebut.

E.     Fungsi Invers

1. Pengertian invers suatu fungsi

      Perhatikan gambar 2.12 berikut

 

                                                                       

Pada gambar di atas fungsi f : A ® B dengan , relasi g: B ® A dengan  maka g adalah invers dari fungsi f dan ditulis f ^-1. Jika relasi f ^-1 merupakan fungsi maka f ^-1 disebut fungsi invers, jika relasi f ^-1 bukan merupakan fungsi maka   f ^-1 disebut invers dari f saja.

Jika fungsi g = f ^-1  ada maka f dan g disebut fungsi-fungsi invers, g adalah invers dari f dan f adalah invers dari g. Sehingga dapat dinyatakan dengan: .

Contoh:

Fungsi-fungsi dalam himpunan pasangan berurutan berikut ini nyatakan inversnya dan apakah merupakan fungsi invers.

a.   f  = {(2,4), (3,6), (5,10)}

b.   g = {(-2,4), (-1,1), (1,1), (2,4)}

c.    h = {(-1,-1), (-3,-3), (1,1), (3,3)}

Penyelesaian:

a.   f  ^-1= {(4,2), (6,3), (10,5)}, merupakan fungsi invers

b.   g ^-1= {(4, -2), (1, -1), (1,1), (4, 2)}, merupakan invers dari fungsi g tetapi bukan merupakan fungsi invers.

c.    h ^-1= {(-1, 1), (1,1), (-2, 4), (2, 4)}, merupakan fungsi invers

Catatan: syarat suatu fungsi memiliki fungsi invers adalah jika fungsi tersebut merupakan korespondensi satu-satu.

2. Menentukan fungsi invers

            Langkah-langkah untuk menentukan fungsi invers dari fungsi         y = f(x) adalah:

a.        Tentukan terlebih dulu fungsi x dari y sehingga didapat x = f(y)

b.        Setelah didapat x = f(y) selanjutnya tukarkan 2 variabel tersebut menjadi  y = f ^-1(x)

c.         Kemudian tunjukkan bahwa (f f ^-1)(x) = (f ^-1f)(x) = I(x) = x

Contoh:

Tentukan fungsi invers dari y = 2x + 10

Penyelesaian:

                        y = 2x + 10     Û      2x = y -10

                                                 Û            ® x = f(y)

jadi f ^-1(x) =  =

(f f ^-1)(x) = f )f ^-1(x)) =  = x

(f ^-1f)(x) = f ^-1(f(x)) =  = x

Karena (f f ^-1)(x) = (f ^-1f)(x) = I(x) = x maka fungsi invers dari        y = 2x + 10 adalah f ^-1(x) =

Catatan: grafik fungsi f akan simetris dengan fungsi f ^-1 dengan sumbu simetrinya adalah garis y = x.

3. Fungsi invers dari fungsi komposisi

 

     

Jika fungsi f: A ® B, g: B ® C dan (g  f): A ® C maka (g  f) memetakkan setiap x Î A oleh fungsi f dilanjutkan oleh fungsi g ke z Î C. Atau dapat ditulis:

f(x) = y dan g(y) = z   Þ   (g  f)(x) = g(f(x)) = z

Misalkan f ^-1 dan g ^-1 berturut-turut invers dari fungsi f dan g maka  (g  f) ^-1 memetakkan setiap z Î C oleh fungsi g ^–1 dilanjutkan oleh fungsi f ^–1 ke x Î A sehingga dapat dinyatakan dengan (f ^-1  g ^–1). Atau dapat ditulis:

g ^–1(z) = y dan f ^–1(y) = x  Þ  (f ^-1  g ^–1)(z) = f ^–1(g ^–1(z)) = x

Jadi (g  f) ^–1 = f ^-1  g ^–1

                        Jika f ^-1, g ^-1 dan h ^-1 berturut-turut masing-masing adalah fungsi invers dari fungsi-fungsi f , g  dan h maka berlaku hubungan:

a.        (f g) ^-1(x) = (g ^-1f ^-1)(x)

b.        (f g h) ^-1(x) = (h^-1 g ^-1 f ^-1)(x)

c.         ((f g) g ^-1)(x) = (g ^-1 (g f ))(x) = f(x)

d.        (f ^-1(x)) ^-1 = f(x)

Ada 2 cara dalam menentukan rumus invers fungsi dari fungsi komposisi, yaitu:

a.        Menentukan dulu rumus fungsi komposisi, kemudian menentukan inversnya.

Contoh:

Diketahui f = x - 7 dan g = 4x + 1, tentukan (f g) ^-1(x) Penyelesaian:

(f g)(x) = f(g(x)) = f(4x + 1) = 4x + 1 - 7 = 4x - 6

Misalkan   y = 4x - 6

        Û    4x = y + 6

        Û    

Jadi (f g) ^-1(x) =

b.        Menentukan dulu inversnya masing-masing fungsi, kemudian dikomposisikan

Contoh: (dari contoh sebelumnya)

Diketahui f(x) = x - 7 dan g(x)= 4x + 1, tentukan (f g) ^-1(x) Penyelesaian:

f (x) = x - 7 ® misalkan y = x - 7

                             Û          x = y + 7       sehingga f ^-1(x) = x + 7

g(x) = 4x + 1 ® misalkan y = 4x + 1

                             Û        4x = y - 1

                             Û                sehingga g^-1(x) =

(f g) ^-1(x) = (g ^-1 f ^-1)(x)

                   = g ^-1 (f ^-1(x))

                   = g ^-1(x + 7)

                   =

                   =

F.     Soal-soal

1. Diketahui A = {1, 3, 4, 5} dan B = {1, 8, 27, 64,125, 256}, relasi dari A ke B adalah “akar pangkat tiga dari”.

a.        Sajikan relasi itu dalam

i.          diagram panah

ii.        himpunan pasangan berurutan

b.        Tentukan domain, kodomain dan range relasi tersebut.

2. Dari titik-titik berikut, mana yang terletak pada garis 2x+ 3y = 15

      a. (3,3)            b. (9,-1)          c. (2.5,3.5)        d. (-10.5,12)

3. Carilah koordinat titik potong dengan sumbu dari garis  4x- 3y = 18
4. Jika  , tentukan f(2) dan f(-2)
5. Carilah pembuat nol persamaan berikut

a.        4x² - 8x - 32 = 0            b.  (3y - 2)(y + 4) = 24

6. Gambarlah sketsa grafik parabola berikut

a.        y = x² - 7x + 10              b.   y = 4x - x²

7. Diketahui f(x) = 3x - 21 dan g(x) = . Tentukan

a.        (f g)(x)  dan (g f) (x)

b.        (f g)(15)  dan (g f) (15)

c.         nilai x  sehingga memenuhi (f g)(x) = -12

d.        (f g)^-1(x)  dan (g f)^-1(x)

8. Cari g(x) jika f(x) = x + 2 dan (f g)(x) =  

BAB III

Penutup

            Pemahaman terhadap pengertian dasar fungsi harus betul-betul menjadi penekanan dalam proses pembelajaran sehingga siswa mampu untuk menyelesaikan persoalan fungsi.

            Beberapa macam fungsi yang dibahas dalam bahan ajar ini adalah fungsi linier dan fungsi kuadrat, untuk fungsi-fungsi lain seperti: fungsi eksponen, fungsi logaritma, fungsi trigonometri, fungsi modulus dan sebagainya dapat dipelajari di buku-buku referensi.

            Semoga bahan ajar ini menjadi salah satu sumber bacaan bagi para guru dalam pembelajaran matematika di SMK teknik. Penulis menyadari adanya keterbatasan dan kekurangan dalam penyusunan bahan ajar ini, sehingga kritik dan saran sangat diharapkan dari pembaca.

Daftar Pustaka

 

Fadjar Shadiq, M.App.Sc. & Rachmadi Widdiharto, M.A. (2001). Bahan Standarisasi Penataran Guru Matematika SMU “Fungsi”. Yogyakarta: PPPG Matematika.

Husein Tampomas (1999). Matematika SMU Kelas 2. Jakarta: Erlangga.

Richard G. Brown (1994). Advanced Mathematics . California: Houghton Mifflin Company.

Tumisah P. Jono & Mukimin (2002). Bahan Ajar Matematika SMK Kelas 1. Yogyakarta: PPPG Matematika.

		Kunci Jawaban

 

1.      a.   i)

            ii) { (1,1), (3,27), (4,64), (5,125) }

       b. domain = {1, 3, 4, 5}

            kodomain = {1, 8, 27, 64, 125, 256}

            range = {1, 27, 64, 125}

2.      jawabnya a, b dan d

3.      titik potong dengan sumbu x =

      titik potong dengan sumbu y = (0,–6)

4.      f(2) = 1 ; f(–2) = –2

5.      a.   x₁ = –2 atau x₂ = 4

      b.    y₁ =  atau y₂ = 2

6.      trivial (mudah), lihat contoh soal

7.      a. (f g)(x) =   dan (g f) (x) =

      b. (f g)(15) = –9   dan  (g f) (15) = 5

      c. x = 8

      d. (f g)^-1(x) =     dan  (g f)^-1(x) =

8.      g(x) = x² – 8x + 14