himpunan

A. Pengertian himpuanan

Teori himpunan membantu kita dalam membandingkan himpunan-himpunan untuk melihat keterhubungannya, menyelesaikan persamaan, menggambar grafik, mempelajari peluang atau kemungkinan, menjelaskan konsep-konsep atau gambar-gambar geometri akan mudah dan lebih sederhana bila kita menggunakan konsep himpunan.

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalamhimpunan tersebut.

Himpunan secara sederhana artinya ialah kumpulan benda-benda real maupun abstrak. Dalam Matematika himpunan dapat merupakan kumpulan dari benda-benda, bilangan, manusia ataupun ide yang dapat didefinisikan secara jelas.

1. Himpunan dan anggota himpunan

Suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkan dengan huruf besar (kapital) A, B, C, ..., Z. Adapun benda atau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis dengan menggunakan pasangan kurung kurawal {...}.

Contoh :

1. Nyatakan himpunan berikut dengan menggunakan tanda kurung kurawal.

a. A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6.

b. P adalah himpunan huruf-huruf vokal.

c. Q adalah himpunan tiga binatang buas.

Penyelesaian :

a. A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6. Anggota himpunan bilangan cacah kurang dari 6 adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Jadi, A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

b. P adalah himpunan huruf-huruf vokal. Anggota himpunan huruf-huruf vokal adalah a, e, i, o, dan u, sehingga ditulis P = {a, e, i, o, u}.

c. Q adalah himpunan tiga binatang buas. Anggota himpunan binatang buas antara lain harimau, singa, dan serigala.

Jadi, Q = {harimau, singa, serigala}.

Setiap benda atau objek yang berada dalam suatu himpunan disebut anggota atau elemen dari himpunan itu dan dinotasikan denganÎ. Adapun benda atau objek yang tidak termasuk dalam suatu himpunan dikatakan bukan anggota himpunan dan dinotasikan dengan Ï.

Berdasarkan contoh di atas, A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6, sehingga A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Bilangan 0, 1, 2, 3, 4, dan 5 adalah anggota atau elemen dari himpunan A, ditulis 0 ÎA, 1 ÎA, 2 ÎA, 3 ÎA, 4 ÎA, dan 5 ÎA. Karena 6, 7, dan 8 bukan anggota A, maka ditulis 6 ÎA, 7 ÎA, dan 8 ÎA. Banyak anggota suatu himpunan dinyatakan dengan n. Jika A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} maka n(A) = banyak anggota himpunan A = 6.

Dalam matematika, beberapa huruf besar digunakan sebagai lambang himpunan bilangan tertentu, di antaranya sebagai berikut :

Huruf A : lambang himpunan bilangan asli.

A = {1, 2, 3, 4, ... }

Huruf B : lambang himpunan bilangan bulat.

B = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}

Huruf C : lambang himpunan bilangan cacah.

C = {0, 1, 2, 3, ... }

Huruf L : lambang himpunan bilangan ganjil.

Huruf N : lambang himpunan bilangan genap.

Huruf P : lambang himpunan bilangan prima.

Huru Q : lambang himpunan bilangan rasional.

Q =

/ aÎB dan bÎA, dibaca himpunan

dimana a anggota himpunan bilangan bulat anggota himpunan bilangan bulat dan b anggota himpunan bilangan asli.

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara sebagai berikut.

a. Dengan kata-kata.

Dengan cara menyebutkan semua syarat/sifat keanggotaannya.

Contoh: P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 40, ditulis P = {bilangan prima antara 10 dan 40}.

b. Dengan notasi pembentuk himpunan.

Sama seperti menyatakan himpunan dengan kata-kata, pada cara ini disebutkan semua syarat/sifat keanggotannya. Namun, anggota himpunan dinyatakan dengan suatu peubah. Peubah yang biasa digunakan adalah x atau y.

Contoh: P : {bilangan prima antara 10 dan 40}.

Dengan notasi pembentuk himpunan, ditulis

P = {10 < x < 40, x Îbilangan prima}.

c. Dengan mendaftar anggota-anggotanya.

Dengan cara menyebutkan anggota-anggotanya, menuliskannya dengan menggunakan kurung kurawal, dan anggotaanggotanya dipisahkan dengan tanda koma.

Contoh: P = {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}

A = {1, 2, 3, 4, 5}

Contoh :

Z adalah himpunan bilangan ganjil antara 20 dan 46. Nyatakan himpunan Z dengan kata-kata, dengan notasi pembentuk himpunan, dan dengan mendaftar anggota-anggotanya.

Penyelesaian:

Z adalah himpunan bilangan ganjil antara 20 dan 46.

a. Dinyatakan dengan kata-kata.

Z = {bilangan ganjil antara 20 dan 46}

b. Dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan.

Z = {20 < x < 46, x bilangan ganjil}

c. Dinyatakan dengan mendaftar anggota-anggotanya.

Z = {21, 23, 25, ..., 43, 45}

Suatu himpunan dinyatakan dengan hurup capital misalnya A,B,.., sedangkan elemen/anggotanya ditulis dengan huruf kecil misalnya,a,b,c.. dan ditutup dengan menggunakan kurung kurawal.

a) Tabulasi

Merupakan cara menyatakan suatu himpunan, yaitu dengan mencacah, menuliskan, mendaftar anggota-anggota himpunan tersebut.

Contoh :

S = {e,r,i}, J ={1,2,3,4}

b) Pernyataan

Merupakn cara menyatakan keanggotaan suatu himpuna dengan membuat keanggotaan kedalam suatu pernyataan.

Contoh:

B ={x| 0 < x < 10,x bilangan prima}

2. Himpunan Berhingga dan Himpunan Tak Berhingga

Banyaknyaanggota himpunan A dinyatakan dengan n(A).

Jika suatu himpunan dinyatakan dengan mendaftar anggota-anggotanya maka kalian dapat menentukan banyaknya anggota

himpunan tersebut. Jika A adalah himpunan bilangan prima kurang

dari 13 maka A = {2, 3, 5, 7, 11} dengan n(A) = 5. Himpunan A

disebut himpunan berhingga, artinya banyaknya anggota A

berhingga.

Jika B = {bilangan asli yang habis dibagi 2} maka B = {2, 4,

6, ...}, dengan n(B) = tidak berhingga. Himpunan B disebut

himpunan tak berhingga, karena banyaknya anggota B tak

berhingga.

Himpunan yang memiliki banyak anggota berhingga disebut himpunan berhingga. Himpunan yang memiliki banyak anggota tak berhingga disebut himpunan tak berhingga.

Tentukan banyak anggota dari himpunan-himpunan

berikut.

a. P = {1, 3, 5, 7, 9, 11}

b. Q = {0, 1, 2, 3, ..., 10}

c. R = {..., –2, –1, 0, 1,2, ...}

Penyelesaian:

a. Banyak anggota P adalah 6, ditulis n(P) = 6.

b. Banyak anggota Q adalah 11, ditulis n(Q) = 11.

c. Banyak anggota R adalah tidak berhingga ataun(R) = tidak berhingga.

3. Himpunan kosong

Adalah suatu himpunan yang tidak mengandung elemen-elemen. Himpunan kosong dilambagkan

atau { }.

Di bagian depan kalian telah mempelajari mengenai banyaknya anggota suatu himpunan dan notasinya. Apakah setiap himpunan pasti mempunyai anggota?

Jika P adalah himpunan persegi yang mempunyai tiga buah sisi maka anggota P tidak ada atau kosong. Himpunan P disebut himpunan kosong (tidak mempunyai anggota), karena jumlah sisi persegi adalah empat.

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota, dan dinotasikan dengan { } atau 􀁉.

Jika R = {x | x < 1, x 􀂏C} maka R = {0} atau n(R) = 1.

Himpunan R disebut himpunan nol. Anggota himpunan R adalah 0. Jadi, himpunan R bukan merupakan himpunan kosong.

Himpunan nol adalah himpunan yang hanya mempunyai 1anggota, yaitu nol (0).

N adalah himpunan namanama bulan dalam setahunyang diawali dengan huruf C. Nyatakan N dalam notasihimpunan.

Penyelesaian:

Nama-nama bulan dalam setahun adalah Januari, Februari,

Maret, April, Mei, Juni, Juli, Agustus, September, Oktober,

November, dan Desember. Karena tidak ada nama bulan

yang diawali dengan huruf C, maka N adalah himpunan

kosong ditulis N = 􀁉atau N = { }.

Contoh :

L = {x|x mahasiswa STKIP yang tidak lulus SLTA}, maka himpunan A himpunan

Kosong.

4. Himpunan Semesta

Jika P = {pisang, jeruk, apel, anggur} maka semesta pembicaraan dari himpunan P adalah himpunan S = {buah-buahan}.

Dengan kata lain, S adalah himpunan semesta dari P. Himpunan S memuat semua anggota himpunan P.

Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua anggota atau objek himpunan yang dibicarakan.

Himpunan semesta (semesta pembicaraan) biasanya dilambangkan dengan S. Tentukan tiga himpunan semesta yang mungkin dari himpunan berikut.

a. {2, 3, 5, 7}

b. {kerbau, sapi, kambing}

Penyelesaian:

a. Misalkan A = {2, 3, 5, 7}, maka himpunan semesta

yang mungkin dari himpunan A adalah

S = {bilangan prima} atau

S = {bilangan asli} atau

S = {bilangan cacah}.

b. Himpunan semesta yang mungkin dari {kerbau, sapi,kambing} adalah {binatang}, {binatang berkakiempat}, atau {binatang memamah biak}.

5. Kesamaan dua himpunan

Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika keduanya memiliki anggota-anggota yang sama. Kesamaan duahimpunan dapat dinyatakan dengan A = B. Notasi : A = B « A Í B dan B Í A

Contoh:

Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B

Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B

Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A ¹ B

Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:

(a) A = A, B = B, dan C = C

(b) jika A = B, maka B = A

6. Sub himpunan

Suatu himpunan A dikatakan sub himpunan B, apabila seluruh elemen himpunan A juga merupakan elemen himpunan B dilambangkan dengan AÌ B, sehingga didefinisikan jika xÎA maka xÎ B,

Contoh :

Missal A = {4,6},B = {1,4,6}, maka AÌ B atau A sub himpunan sejati dari B,

7. Diagram Venn

Suatu cara yang sederhana dan instruktif untuk menggambarkan hubungan antar himpunan digunakan Diagran Venn-Euler.

Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

Diagram Venn:

B. Operasi-operasi himpunan.

1. Perpaduan ( gabungan)

Perpaduan dua himpunan A dan B adalah himpunan dari elemen-elemen yang termasuk dalam A atau B atau keduanya, dapat dinyatakan menurut definisi A

B = {x | x

A atau x

Contoh:

Missal P = {a,b,c,d}, dan K = {c,d,e,f,g,h}, maka

K = {a,b,c,d,e,f,g},

P = {a,b,c,d,e,f,g} sehingga P

K = K

P, serta P

K) dan K

Dari definisi perpaduan dua buahhimpunan A dan B diperoleh beberapa sifat yang berkaitan dengan perpaduan dua himpunan, misal himpunan A dan B tidak kosong maka:

(1). A

B = B

(2), A

B) dan B

2. Perpotongan (intersection)

Perpotongan atau irisan dua himpunan A dan B adalah himpunan elemen-elemen yang termasuk A dan juga termasuk B, perpotongan himpunan A dan B dapat dinyatakan A

B dan didefinisikan A

B ={x|xÎA dan xÎB}

Contoh :

Misal U = [a,b,c,d,e},A = {a,c,e}, B = {c,d,e}, C = {a}, D = {e}

Maka : A

B = {c,e}

C = C ={a}

C =

D = {c,e}{e}

= {e}

= D

3. Selisih

Selisih dua buah himpunan Adan B adalah hipuanan elemen-elemen yang termasuk A tetapi tidak termasuk B, selisih himpunan A dan B dapat dinyatakan A-B dan didefinisikan A-B = {x|x

A dan xÎb}

Dari definisi perpaduan dua buahhimpunan A dan B diperoleh beberapa sifat yang berkaitan dengan perpaduan dua himpunan, misal himpunan A dan B tidak kosong maka:

(1). A

B = B

(2), (A

A dan (A

(3), Jika A dan B dua himpunan yang terpisah maka A

B =

Contoh : Misal U = {a,b,c,d,e}, A = {a,c,e},B={c,d,e} C ={A}, D ={e}

Maka : U-A = {b,d}, U-B ={a,b}, U-C ={b,c,d,e}, U-D = {a,b,c,d}

A-B = {a} = C, B-D = {c,d}

C = {a,b,c,d,e}-{a}

={c,d,e}

D = {c,e}-{e} ={c}

4. Komplemen

Komplemen suatu himpunan A adalah himpunan elemen-elemen yang idak termasuk A, komplemen himpunan A dan B dapat dinyatakan

atau A, dan dapat didefenisikan

= { x|x

U dan xÎA } atau

= {x|x A}

5. Himpunan Saling Lepas

Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama. Notasi : A // B

Diagram Venn:

6. Operasi- operasi keanggotaan suatu himpunan

a) Apabila dua himpuanan A dan B adalah himpunan-himpunan yang tidak kosong atau tidak lepas atau A

, maka berlaku:

n(A

B) = n(A) + n(B)- n(A

Dan n(A

C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A

B)-n(A

C) – n(B

C) + n(A

b) Apabila dua himpunan A dan B adalah himpunan-himpunan yang tidak kosong atau saling lepas A

B =

, maka berlaku:

n(A

B)= n(A) + n(B), dan n(A

C) = n(A + n(B) + n(C) (Hamonangan,2005)

C. Hukum-hukum himpunan.

1. Hukum identitas: A È Æ = A A Ç U = A	2. Hukum null/dominasi: A Ç Æ = Æ A È U = U
3. Hukum komplemen: A È = U A Ç = Æ	4. Hukum idempoten: A È A = A A Ç A = A
5. Hukum involusi: = A	6. Hukum penyerapan (absorpsi): A È (A Ç B) = A A Ç (A È B) = A
7. Hukum komutatif: A È B = B È A A Ç B = B Ç A	8. Hukum asosiatif: A È (B È C) = (A È B) È C A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C
9. Hukum distributif: A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C) A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)	10. Hukum De Morgan: = =
11. Hukum 0/1 = U = Æ

D. Prinsip Dualitas

· Prinsip dualitas: dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar.

Contoh: AS à kemudi mobil di kiri depan

Inggris (juga Indonesia) à kemudi mobil di kanan depan

· (Prinsip Dualitas pada Himpunan). Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti È, Ç, dan komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti È ® Ç, Ç ® È, Æ ® U, U ® Æ, sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S.

1. Hukum identitas: A È Æ = A	Dualnya: A Ç U = A
2. Hukum null/dominasi: A Ç Æ = Æ	Dualnya: A È U = U
3. Hukum komplemen: A È = U	Dualnya: A Ç = Æ
4. Hukum idempoten: A È A = A	Dualnya: A Ç A = A
5. Hukum penyerapan: A È (A Ç B) = A	Dualnya: A Ç (A È B) = A
6. Hukum komutatif: A È B = B È A	Dualnya: A Ç B = B Ç A
7. Hukum asosiatif: A È (B È C) = (A È B) È C	Dualnya: A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C
8. Hukum distributif: A È (B Ç C)=(A È B) Ç (A È C)	Dualnya: A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)
9. Hukum De Morgan: = Ç	Dualnya: = È
10. Hukum 0/1 = U	Dualnya: = Æ

Soal pilihan ganda

1. Jika himpunan semesta S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 3, 5}, dan B = {2, 4, 6, 8}, maka B^c – A adalah . . . . . .

A. { 2 } C. { 7, 9 } E. { 2, 4, 6, 8, 9 }

B. { 9 } D. { 1, 3, 5, 7, 9 }

Jawaban: C

2. Jika P = { tiga bilangan prima yang pertama }, dan Q = { bilangan asli kurang dari 10 }

Maka Q – P adalah . . . . .

A. { 1, 4, 6, 8, 9 } C. { 1, 2, 4, 6, 8, 9 } E. { 1, 4, 6, 7, 8, 9 }

B. { 1, 2, 4, 6, 8 } D. { 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9 }

Jawaban: E

3. Jika K = { 1, 2, 3, 4, 5 }, L = { 1, 3, 5, 7, 9 }, M = { 6, 7, 8, 9 } dan N = { 2, 4, 6, 8 }, maka:

A. K∪M = L∪N C. L∪N = L∩N E. L∩N = { 9 }

B. L∩N = { 0 } D. L∩M = { 2, 3 }

Jawaban: A

4. Jika S = { 1, 2, 3, 4, . . . , 10 } adalah himpunan semesta, K = { x | x ∈ S dan x bilangan genap }, L = { x | x ∈ S dan x bilangan prima }, M = { 2, 3, 4, 5}, dan A’ komplemen A, maka:

A. K∩L = { } C. (K∩L)’ = { 2,3 } E. (L∪M)’ = { 1, 3, 5, 7}

B. (L∩M)’ = { } D. L∪M = { 2, 3, 4, 5, 7}

Jawaban: D

5. Diketahui himpunan A = {x | 0 ≤ x < 1}dan B = {y | y bilangan bulat lebih kecil dari 7}. Pernyataan di bawah ini yang benar adalah . . . . . .

A. A∪B = B C. A – B = A E. (A∩B) = { 0 }

B. A∩B = Φ D. (A∪B)’ = A’∪B’

Jawaban: E

6. Jika P = { x | x² - 2 x - 3 ≤ 0} dan Q = { x | x² - 2 x > 0} maka himpunan P – Q adalah . .

A. {x | 0 ≤ x ≤ 2} C. {x | -1 ≤ x < 2} E. {x | -1 < x ≤ 3}

B. {x | 0 < x ≤ 3} D. {x | -1 ≤ x ≤ 3}

Jawaban: A

7. Jika R himpunan semesta, A = { x | x² – 3x - 10 < 0}, B = { x | |x| > 2} dan B^c komplemen B, maka A∩B^c = . . . . . .

A. {x | -2 < x ≤ 2} C. {x | 2 < x < 5} E. {x | 2 ≤ x ≤ 5}

B. {x | -2 ≤ x ≤ 2} D. {x | x < 2}

Jawaban: A

8. Diantara hubungan berikut ini, yang benar adalah . . . . .

A. Jika A ⊂ C dan B ⊂ C, maka A ⊂ B D. Jika A ⊂ C dan C ⊂ B, maka B ⊂ A

B. Jika A ⊂ B dan C ⊂ B, maka A ⊂ C E. Jika A ⊂ B dan B ⊂ C, maka A ⊂ C

C. Jika B ⊂ A dan C ⊂ B, maka A ⊂ C

Jawaban: E

9. Jika K ⊂ L, L ⊂ M, dan K’ komplemen K, maka (M – L) ∪ (L – K)' sama dengan . . . . .

A. M ∩ L’ ∩ K C. M ∩ (L’ ∪ K’) E. (L’ ∩ K)

B. M ∩ L ∪ K D. (L ∩ K’)

Jawaban: E

10. Diketahui dua himpunan A dan B. Jika A – B = Φ, maka dapat terjadi . . . . . .

A. A ⊃ B C. A’ = B E. A = B’

B. B ⊃ A

Jawaban: B

11. Jika himpunan P dan Q berpotongan, sedangkan P^c dan Q^c berturut-turut adalah komplemen dari P dan Q, maka (P ∩ Q) ∪ (P ∩ Q^c) = . . . . . . .

A. P^cC. Q E.P^c∩ Q^c

B. Q^c D. P

Jawaban: D

12. Anggota himpunan bilangan prima kurang dari 10 adalah . . . . .

A. {1, 2, 3, 5, 7, 9} C. {2, 3, 5, 7, 9} E. {2, 3, 5, 7}

B. {1, 2, 3, 5, 7} D. {1, 2, 3, 5}

Jawaban: C

13. Diketahui 2 himpunan P = {0, 1, 2, 3} dan Q = {2, 4, 6} maka P∪Q = . . . . . . .

A. {0, 1, 3, 4} C. {0, 1, 2, 3} E. {2, 4, 6}

B. {0, 1, 2, 3, 4, 6} D. {0, 2, 4, 6}

Jawaban: B

14. Dari soal diatas, maka P ∩ Q adalah . . . . . . . . .

A. { } C. {Φ} E. {0}

B. {1, 3} D. {2}

Jawaban: D

15. Jika A dan B adalah dua buah himpunan bagian dari himpunan semesta S, dan A’ adalah komplemen A, maka [A’∩(A∪B)∪(A∩B) = . . . . . . . .

A. A C. A∩B E. A’∩B

B. B D. A∪B

Jawaban: B.

16. S adalah sembarang himpunan yang tidak kosong. Pernyataan-pernyataan dibawah ini yang salah adalah . . . . . . .

A. S ∈ Φ C.{S} ⊂ P(S) E. {Φ}

B. S ⊂ P(S) D. {S}

Jawaban: C

17. Jika himpunan semesta S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6, 8} dan B’ komplemen B, maka B’ – A = . . . . . .

A. {Φ} C. {7, 9} E. {2, 4, 6, 8, 9}

B. {9} D. {!, 3, 5, 7, 9}

Jawaban: C

18. Jika A = {2, 3, 5) maka banyak himpunan bagian dari A adalah . . . . . .

A. 2 C. 3 E. 4

B. 5 D. 6

Jawaban: E

19. Dua buah himpunan A dan B merupakan himpunan yang equipalen, jika A = {2, 4, 6, 8} maka himpunan B adalah . . . . . .

A. {2, 4, 6, 8} C. {a, b, c, d} E. {2}

B. {4} D. {6}

Jawaban: C

20. Bila A merupakan himpunan kosong maka anggota dari himpunan A adalah . . . . . . . .

A. Φ C. {0} E, 0

B. {1} D. {2}

Jawaban: A

21. A himpunan bilangan asli dan C himpunan bilangan cacah. Banyak himpunan bagian (C – A) adalah . . . . .

A. 0 C. 2 E. 4

B. 1 D. 3

Jawaban: C

22. Jika A = {1, 3, 4, 5}, A dan B merupakan dua buah himpunan yang equivalen, maka banyak himpunan bagian dari B adalah . . . . . .

A. 4 C. 8 E. 16

B. 12 D. 20

Jawban: E

23. Banyak himpunan bagian dari himpunan {y | y²- 7y + 10 = 0} adalah . . . .

A. 6 C. 15 E. 25

B. 10 D. 20

Jawaban: D

24. Jika M adalah himpunan huruf yang terdapat pada kata “CATATAN”, maka banyak himpunan bagian dari M yang tidak kosong adalah . . . . .

A. 15 C 31 E. 128

B. 16 D. 127

Jawaban: A

25. Jika H himpunan huruf yang terdapat dalam kata “PRAKIRAAN”, maka banyak himpunan dari H yang mempunyai anggota dua atau lebih adalah . . . . . .

A. 31 C. 58 E. 504

B. 57 D. 503

Jawaban: B

26. Dari soal di atas, berapakah himpunan bagian dari H yang mempunyai anggota himpunan kosong adalah . . . . . .

A. 1 C. 3 E. 5

B. 2 D. 4

Jawaban: A

27. Diketahui A = {p, q, r, s, t, u}. Banyak himpunan bagian A yang memiliki anggota paling sedikit 3 elemen adalah . . . . . .

A. 22 C. 41 E. 57

B. 25 D. 42

Jawban: D

28. n(S) adalah banyak anggota himpunan S. Jika n(A) = a; n(B) = b; dan n(A∩B) = c maka n(A∪B) = . . . . . . . .

A. a + b + c C. a – b – c E. a + b – 2c

B. a + b – c D. b – a – c

Jawaban: B

29. Diketahui X himpunan, X’ menyatakan komplemen X, n(X) menyatakan banyak unsur X, sedangkan S menyatakan himpunan semeata. Seandenya n(S) = 4, n(A) = 17, n(B) = 18 dan n(A’∩B’) = 2 maka n(A∩B) adalah . . . . .

A. 3 C. 5 E. 7

B. 4 D. 6

Jawaban: A

30. Dari angket yang dilaksanakan pada suatu kelas yang terdiri atas 50 siswa diperoleh data sebagai berikut: 20 orang siswa senang bermain bol basket, 30 orang senang bermain bola voli, dan 10 orang tidak senang keduanya. Banyaknya siswa yang senang bermain kduanya adalah . . . . .

A. 0 C. 10 E. 20

B. 5 D. 15

Jawaban: C

31. Dari 100 anak, 39 diantaranya gemar olahraga. Di antara penggemar olah raga ini 11 Orang anak juga gemar bermain musik. Jika ternyata 32 anak tidak gemar keduanya. Maka banyak penggemar musik diantara 100 anak tersebut adalah. . . . .

A. 11 C.29 E. 40

B.29 E. 40

Jawaban: E

32. Jika dari 50 orang pengikut tes masuk suatu perguruan tinggi ada 35 orang lulus matematika, 20 orang lulus fisika 10 orang lulus keduanya, maka banyak orang yang tidak lulus keduanya adalah . . . . . . .

A. 0 C. 10 E. 20

B. 5 D. 15

Jawaban: B

33. Dalam suatu kandang terdapat 50 ekor ayam, 27 ekor ayam janta, 18 diantaranya hitam. Ayam yang berwarna hitam seluruhnya 35 ekor. Berapa ekor ayam betina yang tidak berwarna hitam?

A. 6 ekor C. 17 ekor E. 26 ekor

B. 8 ekor D. 23 ekor

Jawaban: A

34. Suatu himpunan bilangan asli terdiri atas 10 bilangan yang habis dibagi 6, 15 bilangan yang habis dibagi 2, 10 bilangan yang habis dibagi 3, dan satu bilangan yang tidak habis dibagi 2 maupun 3. Banyak anggota himpunan bilanan tersebut adalah . . . .

A. 36 C. 21 E. 15

B. 26 D. 16

Jawaban: D

35. Diketahui himpunan A = {p, q, r, s, t} dan himpunan B = {s, t, u, v} maka A∩B = . . . . .

A. {s, t} C. {p, q, r} E. {u, v}

B. {p, q, r, s, t} D. {s, t, u, v}

Jawaban: A

36. Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {e, f, g}, maka P∪Q = . . . . . . .

A. {a, b, c, d} C. {e, f, g} E. {f, g, h}

B. {a, b, c, d, e, f, g} D. {b, c, d}

Jawaban: B

37. Jika C = {lima bilangan cacah pertama} dan P = {3 bilangan prima pertama}, maka P∪C = . . . . . . .

A. Φ C. {} E. P

B. P – C E. C

Jawaban: E

38. Dikettahui P = {bilangan cacah anatara 1 dan 21 yang habis dibagi 2} dan Q = {bilangan cacah antara 1 dan 21 yang habis dibagi 5}, maka P∩Q = . . . . .

A. {2, 4, 6, 8, 10, 20} C. {2, 10, 20} E. {5, 10, 20}

B. {2, 5, 10, 20} D. {10, 20}

Jawaban: D

39. Jika A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 5} dan C = {3, 4, 5, 6, 7}, maka (A∩C)∪B = . . . . . .

A. {3} C.{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} E. {2, 3, 5}

B. {3, 4, 5, 6, 7} D. {1, 2, 3}

Jawaban: E

40. Jika P = {a, b, c, d}, Q ={a, b, e, f}, R = {c, d, e}, maka (P∪R)∩Q = . . . . . .

A. {a, b, e, f) C. {a, b, c, d} E. {a, b}

B. {a, b, c, d} D. {c, d, e, f}

Jawaban: A

41. Jika P adalah himpunan semua bilangan cacah yang ganjil yang lebih kecil dari 26 dan Q himpunan semua kuadrat bilangan bulat, maka P∩Q = . . . . . . . .

A. {9, 25} C. {1, 9, 25} E. {-1, -9, -25, 1, 9, 25}

B. {0, 4, 9, 16, 25} D. {}

Jawaban: C

42. Jika K adalah himpunan bilangan cacah yang lebih kecil dari 5,maka dapat ditus . . . . . .

A. K = {< 5} C. K = {0, 1, 2, 3, 4, 5} E. K < 5

B. K = {0, 1, 2, 3, 4} D. K = {1, 2, 3, 4}

Jawaban: B

43. Jika X = {p, q, r, s, t}, Y = {a, q, r, s, t}, dan Z = {a, s, n}, maka (X∩Y) – Z = . . . . .

A. {p} C. {n} E. {q}

B. {p, q, r, s, t} D. {q, r, t}

Jawaban: D

44. Jika A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 3, 4, 5}, dan C = {4, 5, 6}, maka A – (B∩C} = . . . . . .

A. {6} C. {2, 3, 4, 5} E. {1, 2, 3}

B. {4, 5} D. {1}

Jawaban: E

45. Diketahui P = {1, 2}, Q = {2, 4} dan R = {2, 5, 7}, maka {2} = . . . . .

A. P∩Q∩R C. (P∩Q)∪R E. (P – Q)∪R

B. P∪Q∪R D. P – Q

Jawaban: A

46. Jika A = {a, b, c, d, e}, B = {c, d, a, f}, dan C = {a, f, g, h}, maka {b, c, d, e} = . . . . . . . A. (A∩B) – C C. A∩B∩C E. C – (A∪B)

B. (A∪B) – C D. C – (A∩B)

Jawaban: B

47. Jika R = {x | x adalah bilangan rasional}, dan S = {x | x adalah bilangan bulat}, maka R – S = . . . . . . . .

A. Φ C. {x | x adalah bilangan pecahan}

B. {x | x adalah bilangan rasional} D. {x | x adalah bilangan cacah}

E. {x | x adalah bilangan asli}

Jawaban: C

48. Jika S = {x | x < 10, x bilangan cacah}, A = {x | x bilangan prima}, B = {x | x bilangan ganjil}, dan C = {x | x faktor dari 12}, maka A∪(B∩C) = . . . . .

A. S C. {2, 3, 5, 6, 9, 12} E. {0, 2, 3, 5, 7, 12}

B. {2, 3, 5, 6, 9, 12} D. {1, 2, 3, 5, 7}

Jawaban: D

49. Jika A = {0, 4, 6, 8}, B = {1, 2, 4, 8}, dan C = {x | 1 ≤ x ≤ 7}, maka (A∩C) ∩ (B∩C) = . . . . . . .

A. {8} C. {x | 1 ≤ x ≤ 7} E. {4}

B. {4, 8} D. {x | 1 ≤ x ≤ 7} ∪{8}

Jawaban: E

50. Jika = {x | x bilangan cacah, x < 10}, B = { x | x bilangan prima, x < 10}, C = { x | x bilangan genap,2 < x < 10}, maka himpunan yang menyatakan himpunan kosong adalah . . . . .

A. A∩B∩C C. (A∪B) ∩ C E. A – B

B. A – C D. B – C

Jawaban: A

Soal dan pembahasan

1. Z adalah himpunan bilangan ganjil antara 20 dan 46. Nyatakan himpunan Z dengan kata-kata, dengan notasi pembentuk himpunan, dan dengan mendaftar anggota-anggotanya.

Penyelesaian:

Z adalah himpunan bilangan ganjil antara 20 dan 46.

a. Dinyatakan dengan kata-kata.

Z = {bilangan ganjil antara 20 dan 46}

b. Dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan.

Z = {20 < x < 46, x 􀂏bilangan ganjil}

c. Dinyatakan dengan mendaftar anggota-anggotanya.

Z = {21, 23, 25, ..., 43, 45}.

2. Dari 50 anak, 15 diantaramya gemar makan bakso. Diantara penggemar bakso ini 5 anak penggemar Soto. Jika ternyata 10 anak tidak gemar keduanya. Maka banyak siswa yang gemar keduanya adalah . . . . .

Penyelesaian:

Misal R = {anak yang gemar makan bakso}

M = {anak yang gemar makan soto}

(R’∩M’) = {anak yang tidak gemar keduanya}

n(R ∪ M) = n(S) – n(R’∩M’)

= 50 – 10 = 40

n(R) = 15, n(R∩M) = 5

n(R ∪ M) = n(R) + n(M) – n(R∩M)

40 = 15 + n(M) – 5

n(M) = 45 – 15

= 30

Jadi ada 30 anak yang gemar makan bakso

3. Dalam suatu kandang terdapat 50 ekor sapi, 27 ekor sapi jantan 18 diantaranya berwarna merah tua. Sapi yang berwarna merah tua seluruhnya ada 35 ekor. Berapa ekor sapi betina yang tidak berwarna merah tua.?

Pembahasan :

Jumlah sapi = 50 ekor

Sapi jantan = 27

Sapi betina = (50 – 27) = 23 ekor

Sapi jantan berwarna merah tua = 18 ekor

Sapi betina berwarna merah tua = 35 – 18 = 17 ekor

Sapi betina yang tidak berwarna merah tua = 23 – 17 = 6 ekor

Jadi sapi betina yang tidak berwaRNA merah tua adaalah 6 ekor.

4. M adalah himpunan huruf yang terdapat pada kata “SAYANG”. Carilah himpunan bagian dari M.?

Pembahasan :

M = {S, A, Y, N, G} n(M) = 5

Maka banyak himpunan bagian dari M adalah = 2⁵ = 32

Jadi banyak himpunan bagian dari M adalah = 32

5. Dalam suatu kelas yang terdiri atas 40 siswa, diketahui 24 siswa gemar bermain tenis, 23 siswa gemar sepak bola, dan 11 siswa gemar keduaduanya. Gambarlah diagram Venn dari keterangan tersebut, kemudian tentukan banyaknya siswa

a. yang hanya gemarbermain tenis;

b. yang hanya gemar bermain sepa bola;

c. yang tidak gemar kedua-duanya.

Penyelesaian:

Dalam menentukan banyaknya anggota masingmasing himpunan pada diagram Venn, tentukan terlebih dahulu banyaknya anggota yang gemar bermain tenis dan sepak bola, yaitu 11 siswa.

Diagram Venn-nya seperti gambar berikut.

Tenis Sepak Bola

a. Banyak siswa yang hanya gemar tenis

= 24 – 11 = 13 siswa

b. Banyak siswa yang hanya gemar sepak bola

= 23 – 11 = 12 siswa

c. Banyak siswa yang tidak gemar kedua-duanya

= 40 – 13 – 11 – 12 = 4 siswa

6. Dari sekelompok anak, diperoleh data 23 orang suka makan bakso dan mi ayam, 45 orang suka makan bakso, 34 orang sukamakan mi ayam, dan 6 orang tidak suka kedua-duanya.

a. Gambarlah diagram Venn yang menyatakan keadaan tersebut.

b. Tentukan banyak anak dalam kelompok tersebut.

Penyelesaian:

a. Dalam menentukan banyak anak dalam kelompok tersebut, tuliskan terlebih dahulu banyak anak yang suka makan bakso dan mi ayam, serta banyak anak yang tidak suka keduanya pada diagram Venn. Kemudian, tentukan banyak anggota masng-masing. Diagram Venn-nya sebagai berikut.

Bakso mie Ayam

b. Dari diagram Venn, tampak bahwa banyak anak dalam kelompok tersebut

= 22 + 23 + 11 + 6= 62 anak.

7. Dari 40 siswa, 32 siswa gemar matematika (M) dan 24 siswa gemar fisika (F), jika 18 siswa gemar matematika dan fisika, tentukan berapa siswa yang gemar matematika atau fisika?

Penyelesaian:

n(M) = 32

n(F) = 24

n(M Ç F) = 18

maka n(M È F) = n(M) + n(F) – n(M Ç F)

= 32 + 24 – 18 = 38

Jadi, banyak siswa yang gemar matematika atau fisika adalah 38 siswa.

Di antara 100 orang siswa di suatu SMP didapatkan data sebagai berikut:

45 siswa menyenangi pelajaran Matematika,

38 siswa menyenangi pelajaran Bahasa Inggris,

20 siswa menyenangi pelajaran IPA,

12 siswa menyenangi pelajaran Matematika dan Bahasa Inggris,

10 siswa menyenangi pelajaran Matematika dan IPA,

8 siswa menyenangi pelajaran IPA dan Bahasa Inggris

4 orang menyenangi ketiga pelajaran tersebut (Matematika, IPA, Bahasa Inggris).

Berdasarkan keterangan tersebut,

a. Gambarkan diagram Venn yang menggambarkan keadaan tersebut!

b. Hitunglah banyak siswa yang:

1) menyenangi Matematika saja.

2) menyenangi Bahasa Inggris saja.

3) menyenangi IPA saja.

4) menyenangi Matematika tetapi tidak menyenangi IPA.

5) menyenangi Matematika tetapi tidak menyenangi Bahasa Inggris.

6) menyenangi IPA tetapi tidak menyenangi Matematika

7) menyenangi IPA tetapi tidak menyenangi Bahasa Inggris.

8) menyenangi Bahasa Inggris tetapi tidak menyenangi Matematika.

9) menyenangi Bahasa Inggris tetapi tidak menyenangi IPA.

10) tidak menyenangi ketiganya.

Jawab:

Misalkan M = Himpunan siswa yang menyenangi pelajaran Matematika.

B = Himpunan siswa yang menyenangi pelajaran Bahasa Inggris.

I = Himpunan siswa yang menyenangi pelajaran IPA.

maka:

a. diagram Venn yang menggambarkan keadaan di atas adalah sebagai berikut.

M B

b. Banyak siswa yang:

1) menyenangi Matematika saja 27 orang.

2) menyenangi Bahasa Inggris saja 22 orang.

3) menyenangi IPA saja 6 orang.

4) menyenangi Matematika tetapi tidak menyenangi IPA (27+8) orang = 35 orang.

5) menyenangi Matematika tetapi tidak menyenangi Bahasa Inggris ada (27 + 6) orang = 33 orang.

6) menyenangi IPA tetapi tidak menyenangi Matematika ada (6 + 4) orang = 10 orang.

7) menyenangi IPA tetapi tidak menyenangi Bahasa

Inggris ada (6 + 6) orang.

8) menyenangi Bahasa Inggris tetapi tidak menyenangi Matematika ada (22 + 4) orang = 26 orang.

9) menyenangi Bahasa Inggris tetapi tidak menyenangi IPA ada (22 + 8) orang = 30 orang.

10) tidak menyenangi ketiga pelajaran ada 23 orang

8. Misal S = Himpunan 40 bilangan asli pertama.

A = Himpunan kuadrat dari 6 bilangan asli yang pertama.

B = Himpunan 6 bilangan asli kelipatan 4 yang pertama.

Carilah (A Ç B)’

Jawab:

Karena S = {1, 2, 3, ..., 38, 39, 40}

A = {1, 4, 9, 16, 25, 36} dan

B = {4, 8, 12, 16, 20, 24}

maka A Ç B = { 4, 16} dan

(AÇ B)’= {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40}

9. Diketahui S = {1, 2, 3, ..., 10} adalah himpunan semesta.

Jika A = {1, 2, 3, 4} dan B = {2, 3, 5, 7}, tentukan :

a. anggota

b. anggota

;

c. anggota

Penyelesaian:

Diketahui

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 10}

A = {1, 2, 3, 4}

B = {2, 3, 5, 7}

= {5, 6, 7, 8, 9, 10}

= {1, 4, 6, 8, 9, 10}

c. Untuk menentukan anggota

, tentukan

terlebih dahulu anggota dari A Ç B.

A ÇB = {2, 3}

, = {1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

10. Diketahui A = {a, b, c, d} dan B = {a, c, f, g}.

Selisih A dan B adalah A – B = {a, b, c, d} – {a, c, f, g} = {b, d}, sedangkan selisih B dan A adalah B – A = {a, c, f, g} – {a, b, c, d} = {f, g}. tentukan :

a. anggota S – P;

b. anggota P – Q;

c. anggota Q – P.

Penyelesaian:

a. S – P = {1, 2, 3, ..., 10} – {2, 3, 5, 7} = {1, 4, 6, 8, 9, 10}

b. P – Q = {2, 3, 5, 7} – {1, 3, 5, 7, 9} = {2}

c. Q – P = {1, 3, 5, 7, 9} – {2, 3, 5, 7} = {1, 9}.

11. Diketahui

K = {faktor dari 6} dan

L = {bilangan cacah kurang dari 6}.

Dengan mendaftar anggotanya, tentukan

a. anggota K Ç L;

b. anggota K ÈL;

c. n(K È L).

Penyelesaian:

K = {faktor dari 6} = {1, 2, 3, 6}, n(K) = 4

L = {bilangan cacah kurang dari 6} = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, n(L) = 6

a. K Ç L = {1, 2, 3}

b. K È L = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

c. n(K È L) = 7. n(K È L) juga dapat diperoleh dengan rumus berikut.

n(K ÈL) = n(K) + n(L) – n(K Ç L) = 4 + 6 – 3 = 7

12. Tulislah anggota dari masing- masing himpunan berikut. Kemudian tentukan hubungan antarhimpunan

tersebut. P ={x | x < 7, x Î A}

Q = {bilangan prima kurangdari 10}

R = {empat huruf pertama dalam abjad}

S ={x | 1 £ x £ 6, x Î C}

Penyelesaian:

Dengan mendaftar masing-masing anggotanya, diperoleh

sebagai berikut.

P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Q = {2, 3, 5, 7}

R = {a, b, c, d}

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

– Perhatikan himpunan P dan Q. Anggota persekutuan dari himpunan P dan Q adalah {2, 3, 5}. Namun masih terdapat anggota himpunan P yang tidak menjadi anggota himpunan Q, yaitu {1, 4, 6}. Demikian pula, terdapat anggota himpunan Q yang tidak menjadi anggota himpunan P, yaitu {7}. Dengan demikian, himpunan P dan Q dikatakan tidak saling lepas (berpotongan).

– Perhatikan himpunan Q dan R. Karena tidak ada anggota persekutuan antara himpunan Q dan R, maka dikatakan himpunan Q dan R saling lepas atau saling asing. Namun, perhatikan bahwa Q = {2, 3, 5, 7}, n(Q) = 4 dan R = {a, b, c, d}, n(R) = 4. Dengan demikian, dikatakan bahwa himpunan Q dan R ekuivalen, karena n(Q) = n(R).

– Sekarang, perhatikan himpunan P dan S. Kedua himpunan mempunyai anggota yang tepat sama. Jadi, himpunan P dan S dikatakan dua himpunan sama.

Cari Blog Ini

Ofick D'Sensei

himpunan

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

101 Kreasi Unik Dari Kardus Bekas

Turunan Fungsi

soal deret