turunan

Uraian materi kegiatan Belajar

Perhatikan gambar di bawah ini !

         Y                       B(b,f(b))

      f(b)

      f(c)                                           C(c,f(c))            y = f(x)

      f(d)

                                                                   D(d,f(d))

                                                                                          X

      O                     a          b          c          d          e         

Tampak bahwa pada interval a < x < b dan d < x < e grafik fungsi naik dan pada interval b < x < c dan c < x < d grafik fungsi turun.

Titik B(b,f(b)) disebut titik balik maksimum / titik ekstrim maksimum.

Titik D(d,f(d)) disebut titik balik minimum / titik ekstrim minimum.

Titik C(c,f(c)) disebut titik belok horizontal.

Syarat-syarat fungsi naik, turun dan stasioner :

·        Fungsi naik jika  > 0.

·        Fungsi turun jika  < 0.

·        Nilai stasioner jika  = 0.

Jenis-jenis stasioner :

·        Titik balik maksimum jika  = 0 dan  < 0.

·        Titik balik minimum jika  = 0 dan  > 0.

·        Titik belok horizontal  jika  = 0 dan  = 0.

Contoh:

1. Tentukan interval dari fungsi f(x) = x² – 6x jika fungsinya :

a.  naik

b. turun

Jawab;

f(x) = x² – 6x

 = 2x – 6

a. Fungsi naik jika  > 0.

              2x – 6 > 0

              2x > 6

              x > 3

    Jadi fungsi naik pada interval x > 3.

b. Fungsi turun jika  < 0.

              2x – 6 < 0

              2x < 6

              x < 3

    Jadi fungsi turun pada interval x > 3.

2. Diketahui  f(x) = 3x⁵ – 5x³, tentukan :

a. interval dimana f(x) naik

b. interval dimana f(x) turun

c. titik stasioner dan jenisnya

Jawab:

f(x) = 3x⁵ – 5x³

 = 15x⁴ – 15x²

a. Fungsi naik    ®          > 0

                                      15x⁴ – 15x² > 0

    Pembuat nol : 15x⁴ – 15x² = 0

                            15x²(x² – 1) = 0

                            15x²(x – 1)(x + 1) = 0

                             x = 0 Ú x = 1 Ú x = -1

    Titik uji:

              +          -           -           +

                        -1         0           1

Untuk x < -1, misal x = -2 ® (-2) = 15(-2)²(-2 – 1)(-2 + 1) > 0

Untuk -1 < x < 0, misal x =  ® () = 15()²( – 1)(  + 1) < 0

Untuk 0 < x < 1, misal x =  ® () = 15()²( – 1)(  + 1) < 0

Untuk x > 1, misal x = 2 ® (2) = 15(2)²(2 – 1)(2 + 1) > 0

Jadi fungsi naik pada interval x < -1 atau x > 1.

b. Fungsi turun    ®         < 0

    Fungsi turun pada interval -1 < x < 0 atau        0 < x < 1.

c. Syarat stasioner ®      = 0

Diperoleh pembuat nol : x = -1, x = 0, x = 1

Untuk x = -1 ® f(-1) = 3(-1)⁵ – 5(-1)³ = -3 + 5 = 2 ® (-1, 2) titik maksimum

Untuk x = 0 ® f(0) = 3(0)⁵ – 5(0)³ = 0 ® (0, 0) titik belok

Untuk x = 1 ® f(1) = 3(1)⁵ – 5(1)³ = 3 - 5 = 2 ® (1, -2) titik minimum

Cara lain:

f(x) = 3x⁵ – 5x³

 = 15x⁴ – 15x²

= 60x³- 30x

Nilai stasioner tercapai jika  = 0.

15x⁴ – 15x² = 0

  15x²(x² – 1) = 0

  15x²(x – 1)(x + 1) = 0

   x = 0 Ú x = 1 Ú x = -1

Titik stasionernya :

    x₁ = 0 ® y = f(0) = 3(0)⁵ – 5(0)³ = 0 ® (0, 0)

    x₂ = 1 ® y = f(1) = 3(1)⁵ – 5(1)³ = 3 - 5 = 2 ® (1, -2)

    x₃ = -1 ® y = f(-1) = 3(-1)⁵ – 5(-1)³ = -3 + 5 = 2 ® (-1, 2)

Jenisnya :

x₁ = 0 ® (0) = 60(0)³ – 30(0) = 0 ® (0, 0)  titik belok

x₂ = 1 ® (1) =  60(1)³ – 30(1) = 30 > 0 ® (1, -2)  titik balik minimum

            x₃ = -1 ® (-1) = 60(-1)³ – 30(-1) = -30 < 0  ® (-1, 2)  titik balik maksimum

Penggunaan Maksimum / Minimum

Contoh:

1. Tinggi h meter suatu roket setelah t detik adalah : h(t) = 500t – 5t².

    a.  Setelah berapa detik roket mencapai tinggi maksimum?

    b.  Berapa meter tinggi maksimum itu?

   

    Jawab:

h(t) = 500t – 5t²

 = 500 – 10t

a.       Roket mencapai tinggi maksimum ®  = 0

500 – 10t = 0

10t = 500

t = 50

Jadi roket mencapai tinggi maksimum setelah 50 detik.

b.      t = 50 ® h(50) = 500(50) – 5(50)²

     = 25.000 – 12.500

     = 12.500

Jadi tinggi maksimum = 12.500 m.

2. Fungsi y = x² + 2x -  mempunyai minimum 2. Carilah m !

Jawab:

y = x² + 2x -

 = 2x + 2

Minimum dicapai ®  = 0

              2x + 2 = 0

              2x = -2

              x = -1

y = 2 Ù x = -1 ® 2 = (-1)² + 2(-1) -

                          3 = -

                          m =

V.  Alat/Bahan/Sumber belajar

1.      Modul konsep limit fungsi dan turunan fungsi

2.      Buku matematika program keahlian teknologi, kesehatan dan pertanian untuk SMK dan MAK kelas XII karangan Kasmina dkk.

VI. Penilaian

Teknik                       :  Tugas individu, Kuis, Ulangan harian.

Bentuk Instrumen       :  Tertulis uraian singkat dan pilihan ganda, Lesan.

Contoh Instrumen      :

Soal :

1.      Kaplingan tanah berbentuk persegi panjang dengan keliling 40 m, tentukan ukuran kaplingan tanah tersebut agar luasnya mencapai maksimum !

2.      Dua bilangan bulat positif mempunyai jumlah 60, tentukan hasil kali terbesar dua bilangan tersebut !

3.      Suatu tabung tanpa tutup mempunyai volume 64π cm³, tentukan ukurannya agar tabung tersebut mempunyai luas minimum !

4.      Tinggi h meter suatu peluru setelah ditembakkan t detik dinyatakan h(t) = –5t² + 800t, tentukan tinggi maksimum roket tersebut !

5.      Sebuah kotak tanpa tutup dan alasnya berbentuk persegi, jumlah luas kelima sisinya 192 dm², tentukan ukuran kotak tersebut supaya volumenya maksimum !

Kunci Jawaban :

1).     Panjang = 10 m dan lebar = 10 m                             

2).     Misal bilangan itu x dan y maka x = 30 dan y = 30                            

3).     r = 4 cm dan t = 4 cm

4).     h_maximum = 32 000 m             

5).     Panjang alas x = 8 dm dan tinggi t = 7/8 dm

Penilaian :

Nomor 1 skor 1

Nomor 2 skor 1

Nomor 3 skor 3

Nomor 4 skor 2

Nomor 5 skor 3

Nilai betul semua 10.

                                                                                               

Sulang,     Juli 2010

Mengetahui,

Kepala SMK Annuroniyahi                                         Guru Penyusun

Aly Muhtarom, S. Pd. I                                              Mahmudah, S. Pd.