LIMIT FUNGSI
PENGERTIAN LIMIT FUNGSI
LIMIT FUNGSI: Mendekati hampir, sedikit lagi, atau harga batas
Limit fungsi:Suatu limit f(x) dikatakan mendekati A {f(x) → A} sebagai suatu limit.
Bila x mendekati a {x→a}Dinotasikan Lim F(x) = A
x→a
Langkat-langkah mengerjakan limit fungsi (supaya bentuk tak tentu dapat dihindari) adalah ….
nSubtitusi langsung.
nFaktorisasi.
nMengalikan dengan bilangan sekawan.
nMembagi dengan variabel pangkat tertinggi.
SIFAT-SIFAT LIMIT FUNGSI
Berapa teorema limit:
Bila Lim f(x) = A dan Lim g(x) = B
x → a x →a
Maka
1. Lim [k.f(x)] = k Lim f(x)
x→a x→a
= k. A
2. Lim [f(x)+g(x)] = Lim f(x) + Lim g(x)
x→a x→a x→a
= A + B
3. Lim [f(x) x g(x)]
x→a
= Lim f(x) x Lim g(x)
x→a x→a
= A x B
4. Lim f(x) Lim f(x) x→a g(x) = x→a . = A
Lim g(x) B
x→a
n n n5. Lim f(x). = Lim f(x) = A
x→a x→a
n n n6. Lim √ f(x) = √ Lim f(x) = √ A
x→a x→a
Soal latihan:
1. Nilai dari Lim 3x adalah….
x→2
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 6
Pembahasan 1: Lim 3x = 3(2) = 6
x→2
Pembahasan 2:Lim 3x = 3 Lim x = 3(2) = 6
x→2 x→2
2. Nilai dari Lim (2x+4) adalah….
x→2
a. -2
b. 2
c. 4
d. 6
e. 8
Pembahasan:
Lim (2x+4) = 2(2) + 4 = 4 + 4 = 8
x→2
3. Nilai dari Lim [6x-2x] adalah….
x → 3
a. -6
b. 8
c. 12
d. 14
e. 16
Pembahasan 1: Lim [6x-2x] = Lim 4x = 4(3) = 12
x→3 x→3
Pembahasan 2: Lim [6x-2x] = Lim 6x – Lim 2x
x→3 x→3 x→3
= 6(3) – 2(3)
= 18 – 6 = 12
LIMIT FUNGSI BENTUK TAK TENTU
Limit fungsi bentuk 0
0
Jika f(x) = (x-a).h(x)
g(x) = (x-a).k(x)
Maka: Lim f(x) = Lim (x-a).h(x) = Lim h(x) = h(a)
x→a g(x) x→a (x-a).k(x) x→a k(x) k(a)
Limit Fungsi Bentuk ~
~
Jika diketahui limit tak hingga (~)
Sebagai berikut: Lim axn + bxn-1 + cxn-2 + …+ d = R
x→~ pxm + qxm-1 + rxm-2 + … + s
Maka:
1. R= 0 jika n<m
2. R= a jika n=m
p
3. R= ~ jika n>m
Limit Fungsi Bentuk (~ - ~)
a. Lim √ ax +b - √ px +q = R x→~
Maka: 1. R= ~ jika a>p
2. R= 0 jika a=p
3. R= -~ jika a<p
 |
b. . Lim √ ax2 + bx + c - √ px 2 + qx + r = R
x→~
Maka: 1. R= ~ jika a>p
2. R = b-q jika a=p
2√a
3. R= -~ jika a<p
Contoh Soal
1. Nilai dari Lim x4 – 3x2 + 4x adalah….
x→0 2x3 – x2 - 2x
Pembahasan: Lim x4 – 3x2 + 4x = 04 – 3.02 + 4.0 = 0
x→0 2x3 – x2 - 2x 203 – 02 – 2.0 0
Jika 0 didistribusikan menghasilkan (bukan solusi) sehingga soal diselesaikan dengan cara faktorisasi .
Maka: Lim x4 – 3x2 + 4x = Lim x x3 – 3x + 4 x→0 2x3 – x2 - 2x x→0 x 2x2 – x – 2
= Lim x3 – 3x + 4
x→0 2x2 – x – 2
= 0 – 0 + 4
0 – 0 – 2
= -2
2. Nilai dari Lim x2 – 4 adalah….
x→2 x2 + x - 6
Pembahasan: Lim x2 – 4 = Lim (x – 2) ( x + 2 )
x→2 x2 + x – 6 x→2 (x – 2) ( x + 3)
= Lim (x + 2)
x→2 (x + 3 )
= 2 + 2
2 + 3
= 4
5
3. Nilai dari Lim 4x2 + 3x - 6 adalah ….
x→~ 2x2 – 8x -1
Pembahasan
Perhatikan bahwa pangkat diatas sama dengan pangkat bawah sehingga p = q (p dibagi q)
Lim 4x2 + 3x - 6 = 4 = 2
x→~ 2x2 – 8x -1 2
4. Nilai dari Lim √ 4x2 – 2x + 6 - √ 4x2 + 2x -1 adalah…. x→~
Pembahasan:
R = b – q = -2 – 2 = -4 = -4 = -1
2√a 2√4 2.2 4
5. Nilai dari Lim (8x – 2)2 adalah….
x→~ (4x + 1)2
Pembahasan: Lim (8x – 2)2 .= Lim 64x2 – 32x + 4
x→~ (4x + 1)2 x→~ 16x2 + 8x + 1
= 64 = 4
16
6. Nilai dari Lim x2 – x adalah….
x→0 x2 + 2x
Pembahasan: Lim x2 – x = Lim x ( x – 1 )
x→0 x2 + 2x x→0 x (x + 2)
= Lim x – 1
x→0 x + 2
= 0 - 1
0 + 2
= -1
2
7. Nilai dari Lim 6x3 - 4x2 + 2x – 1 adalah….
x→~ 3x4 – 2x3 + 5x + 2
Pembahasan:
Perhatikan Pangkat tertinggi diatas 3 Pangkat tertinggi dibawah 4
Jadi n < m sehingga nilai R = 0
8. Nilai dari Lim 2x2 + 5x – 12 adalah….
x→-4 3x2 – 13x - 4
Pembahasan:
Lim 2x2 + 5x – 12
x→-4 3x2 – 13x - 4
= Lim (2x – 3) (x – 4)
x→-4 (3x + 1) (x – 4)
= Lim (2x – 3)
x→-4 (3x + 1)
= 2(-4) – 3 = 11
3(-4 ) + 1 13
9. Nilai dari Lim 2x2 + 4x – 10 adalah….
x→~ 4x2 + 7
Pembahasan:
Pangkat diatas = Pangkat dibawah
Maka 2 = 1
4 2
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
Rumus limit fungsi trigonometri
1. Lim x = 1 diperoleh lim sin x = 1
x→0 sin x x→0 x
2. Lim tan x = 1 diperoleh lim x = 1
x→0 x x→0 tan x
Akibatnya :
1. lim sin ax = 1
x→0 ax
2. lim ax = 1
x→0 sin ax
3. lim tan ax = 1
x→0 ax
4. lim ax = 1
x→0 tan ax
 |  |
Contoh : 1. lim sin 3x = . lim 3 sin 3x = 3 lim sin 3x . = 3 . 1 = 3
x→0 2x x→0 2 3x 2 x→0 3x 2 2
2. lim 4x = . lim 4 5x = 4 lim 5x = 4 x→0 tan 5x x→0 5 tan 5x 5 x→0 tan x 5
3. lim sin 3x = lim 3 sin 3x . 7x = 3 lim sin 3x lim 7x
x→0 tan 7x x→0 7 3x tan 7x 7 x→0 3x x→0 tan 7x
= 3 . 1 . 1
7
= 3
7
4. lim 1 – cos 2x = lim 1 – ( 1 – 2 sin 2 x)
x→0 3x2 x→0 3x2
= lim 2 sin 2x
x→0 3x2
= 2 lim sin x 2 3 x→0 x2
I. Latihan
Jawablah pertanyaan di bawah dengan benar
1. Nilai dari Lim x4 – 3x2 + 4x adalah….
x→0 2x3 – x2 - 2x
2. Nilai dari Lim x2 – 4 adalah….
x→2 x2 + x - 6
3. Nilai dari Lim 4x2 + 3x - 6 adalah ….
x→~ 2x2 – 8x -1
4. Nilai dari Lim √ 4x2 – 2x + 6 - √ 4x2 + 2x -1 adalah…. x→~
5. Nilai dari Lim (8x – 2)2 adalah….
x→~ (4x + 1)2
6. Nilai dari Lim x2 – x adalah….
x→0 x2 + 2x
7. Nilai dari Lim 6x3 - 4x2 + 2x – 1 adalah….
x→~ 3x4 – 2x3 + 5x + 2
8. Nilai dari Lim 2x2 + 5x – 12 adalah….
x→-4 3x2 – 13x - 4
9. Nilai dari Lim 2x2 + 4x – 10 adalah….
x→~ 4x2 + 7
10. lim 1 – cos x = …
x→0 x tan x
11. lim 4 x cot x adalah … x→0 3
12. lim sin (a + x) – sin (a – x ) adalah …
x→0 x
II. . Tes Formatif
( Terlampir)
III. Daftar pustaka
Tim penulis MGMP Matematika SMA kota Semarang, Matematika SMA / MA XI A IPA, ( Semarang : CV. Jabbaar Setia, 2008)
Tim penyusun KREATIF Matematika, Matematika SMA/MA kelas XI IPA semester gasal, ( Klaten, Viva Pakarindo, 2007)
Simangunsong Wilson, Matematika dasar, ( Jakarta: Erlangga, 2005)
Komentar
Posting Komentar