Kemampuan Berhitung Cepat

a.       Pengertian Kemampuan Berhitung Cepat(Numerik)

Muhammad Ali (1996) mengatakan, numerik adalah “prihal menghitung, membilang penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian”, sedangkan Nyoman Dantes (1992) mengatakan bahwa “numerik adalah hitung menghitung dalam matematika”.

Berdasarkan pendapat diatas dapat diambil kesimpulan bahwa Kemampuan berhitung cepat adalah kemampuan tentang prihal hitung menghitung dalam matematika yang mencakup penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian secara cepat, tepat dan sistematis. Kemampuan berhitung cepat juga didukung oleh teorema-teorema, dalil-dalil, sifat-sifat, definisi dan postulat, serta hal-hal lain yang mendukung terjadinya suatu perhitungan yang berlaku secara wajar

b.      Aspek-Aspek Kemampuan berhitung cepat

Ada beberapa aspek yang harus dikuasai oleh seseorang siswa dalam operasi matematika. Operasi hitung dalam matematika pada dasarnya mencakup empat pengerjaan dasar yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Berikut ini penjelasan masing-masing aspek operasi hitung terhadap kemampuan menghitung dalam matematika. Berhitung cepat dapat dilakukan dalam berbagai bentuk baik dengan menggunakan jarimatika, dan teknik cepat perkalian yang selalu menjadi andalan dalam melakukan perhitungan dalam matematika.

1.   Metode jarimatika

a.      Pengertian Jarimatika

Jarimatika adalah cara berhitung (operasi Kali-Bagi-Tambah-Kurang) dengan menggunakan jari-jari tangan. Jarimatika adalah sebuah cara sederhana, cepat dan tepat, dimulai dengan memberikan pemahaman secara benar terlebih dahulu tentang konsep bilangan, lambang bilangan, dan operasi hitung dasar, kemudian dilanjutkan dengan perhitungan yang menggunakan angka yang lebih besar.( Septi Peni Wulandani,  2007 : 2)

b. Formasi Jarimatika Operasi Perkalian dan Menghitung

1.   Untuk perkalian 1 digit x 1 digit (perkalian 6 s.d 10)

Rumus : (B+B) + (AxA)  Ket: B = Yang dibuka (puluhan)

                               A = Yang ditutup (satuan)

Susunan jari tangan :

jari kelingking  .........................nilanya = 6

jari manis  .................................nilainya = 7

jari tengah  ................................nilainya = 8

jari telunjuk  ..............................nilainya = 9

jari jempol/ibu jari  ...................nilainya = 10

Misal  :  6 x 6  atau   6²

Tangan kananàjari kelingking = 6 dibuka, keempat jari lainnya ditutup.

Tangan kiriàjari kelingking = 6 dibuka, keempat jari lainnya ditutup

Masing-masing jari kelingking yang dibuka sebagai puluhanatau jumlah yang berdiri dianggap satuan dan dikalikan 10 , maka  tambahkan  :   ( 10 + 10 = 20 )

Masing-masing keempat jari yang ditutup sebagai satuan, maka kalikan ( 4 x 4 = 16 )  Hasilnya  :  20 + 16  =  36

2.Untuk perkalian 2 digit x 2 digit  (perkalian 11 s.d 15)

 Rumus : (B+B) + (BsxBs) + 100

 Ket: B = Yang dibuka (puluhan)

        Bs = Yang dibuka dianggap     (satuan)

Susunan jari tangan :

jari kelingking  .........................nilanya = 11

jari manis  .................................nilainya = 12

jari tengah  ................................nilainya = 13

 jari telunjuk  ..............................nilainya = 14

jari jempol/ibu jari  ...................nilainya = 15

Misal  :  12 x 13 

Tangan kananà  jari manis  =  12  dibuka, ketiga  jari lainnya ditutup.Tangan kirià  jari tengah = 13 dibuka, kedua jari lainnya ditutup, Masing-masing jari manis dan jari tengah  yang dibuka sebagai puluhan atau jumlah yang berdiri dianggap satuan dan dikalikan 10 , maka  tambahkan  :   ( 20 + 30 = 50 ), Masing-masing kelima jari yang dibuka sebagai satuan, maka kalikan ( 2 x 3 = 6 ). Jumlahkan terlebih dahulu   : 50 + 6  =  56. Terakhir jumlahkan dengan 100 maka hasilnya (56 + 100 = 156)

3.                                    Untuk perkalian 2 digit x 2 digit  (perkalian 16 s.d 20)

 Rumus : (B x 20) + (AxA) + 200

 Ket: B = Yang dibuka (puluhan)

        A  = Yang tutup     (satuan)

Susunan jari tangan :

 jari kelingking  .........................nilanya = 16

 jari manis  .................................nilainya = 17

 jari tengah  ................................nilainya = 18

 jari telunjuk  ..............................nilainya = 19

 jari jempol/ibu jari  ...................nilainya = 20

Misal  :  17 x 18 

Tangan kananàjari manis  =  17  dibuka, ketiga  jari lainnya ditutup. Tangan kiriàjari tengah = 18 dibuka, kedua jari lainnya ditutup, Masing-masing jari manis dan jari tengah  yang dibuka sebagai puluhan atau jumlah yang berdiri dianggap satuan dan dikalikan 10 , maka  tambahkan  :   ( 5 dikalikan 20 = 100 ) Masing-masing kelima jari yang ditutup sebagai satuan, maka kalikan ( 2 x 3 = 6 ) Jumlahkan terlebih dahulu   :  100 + 6  =  106. Terakhir jumlahkan dengan 100 maka hasilnya (106 + 200 =  306)

Dengan langkah-langkah diatas dapat pula dilakukan langkah perkalian jarimatika sampai tidak terbatas, namun hanya bisa sampai lima jari saja. Adapun rumus-rumusnya antara lain:

a.       Perkalian 6 s/d 10 = (B dikalikan 10)+(A+A)

b.      Perkalian 11 s/d 15 = (B dikalaikan 10)+(BsXBs) + 100

c.       Perkalian 16 s/d 20 = (B dikalikan 20) + (AxA) + 200

d.      Perkalian 21 s/d 25 = (B dikalikan 20)+(BsxBs) + 400

e.       Perkalian 26 s/d 30 = (B dikalikan 30)+(AxA) + 400

f.        Perkalian 31 s/d 35 = (B dikalikan 30)+(BsxBs) + 600

g.       Dan seterusnya untuk tehnik jarimatika.

2.      Tehnik lain dalam berhitung cepat

Berikut ini contoh perhitungan yang dilaksanakan   dengan  melakukan berbagai visualisasi dengan teknik perkalian .

a.      pengkuadratan

54² = 2916,    55² = 3025,     56² = 3136

Tentu kita dapat menghitungnya dengan cara seperti biasa. Kita juga dapat menyelesaikannya dengan kalkulator. Adapun langkah yang lain:

54² = 2916

29 kita peroleh dari 25 + 4

16 kita peroleh dari 4²

56² = 3136

31 kita peroleh dari 25 + 6

36 kita peroleh dari 6²

57² = 3249

32 kita peroleh dari 25 + 7

⁴⁹       kita peroleh dari 7²

b.      Perkalian 9, 99, atau 999

Mengalikan dengan 9 sebenarnya adalah mengalikan dengan 10 - 1.Jadi, 9 × 9 sama saja dengan 9 x (10 - 1) = (9 × 10) - 9 = 90 - 9 = 81. Ayo coba contoh yang lebih sulit: 46 × 9 = 46 × (10 - 1) = 460 - 46 = 414. Satu contoh lagi: 68 × 9 = 680 -68 = 612. Untuk perkalian 99, artinya kita mengalikan dengan 100-1. Jadi, 46 × 99 = 46 x (100 - 1) = 4600 - 46 = 4554. Maka kita semua pasti tahu bahwa perkalian 999 sama dengan perkalian 1000 - 1, 38 × 999 = 38 x (1000 - 1) = 38000 - 38 = 37962.

c.       Perkalian 11

Perkalian 11 artinya kita menjumlahkan sepasang angka, kecuali bagi angka yang ada di bagian ujung. Lebih jelasnya lihatlah pada contoh dibawah ini : untuk perkalian 436 dengan 11 mulailah dari kanan ke kiri (selalu dari kanan ke kiri) Pertama tulis 6 lalu jumlahkan 6 dengan angka di sebelahnya yaitu 3 sehingga didapatkan angka 9.Tuliskan 9 disebelah kiri 6. Lalu jumlahkan 3 dengan 4 untuk mendapat angka 7. Tuliskan angka 7. Terakhir tuliskan angka yang paling kiri yaitu 4.Jadi, 436 × 11 = 4796. Ayo kita buat contoh yang lebih sulit: 3254 × 11. (3) (3 + 2) (2 + 5) (5 + 4)(4) = 35794. Ingat selalu mulai dari kanan ke kiri.

Sekarang contoh yang lebih sulit lagi: 4657 × 11. (4)(4 + 6)(6 + 5)(5 + 7)(7). Mulai dari kanan tuliskan angka 7. Lalu 5 + 7 = 12. Tuliskan 2 dan simpan angka 1. 6 + 5 = 11, tambah 1 yang tadi kita simpan = 12. Sekali lagi tuliskan 2 dan simpan 1. 4 + 6 = 10, tambah 1 yang tadi kita simpan = 11. kemudian tuliskan 1 dan simpan 1. Terakhir angka paling kiri, 4, tambahkan dengan 1 yang tadi kita simpan. Jadilah, 4657 × 11 = 51227

d.      Perkalian 5, 25, 125

Perkalian dengan 5 sama saja mengalikan dengan 10 lalu di bagi 2, Catatan : Untuk perkalian dengan 10 cukup tambahkan 0 di dibagian belakang angka. Contoh : 1000 x 5 = 5000 Lagi, 12 × 5 = (12 × 10) / 2 = 120 / 2 = 60. Contoh yang lain: 64 × 5 = 640 / 2 = 320. Juga, 4286 × 5 = 42860 / 2 = 21430. Untuk perkalian 25, sama saja kita kalikan dengan 100 (tambahkan dua angka 0 di bagian belakang) kemudian di bagi dengan 4. Catatan : Untuk pembagian dengan 4, kita bisa juga membagi dengan 2 sebanyak dua kali

64 × 25 = 6400 / 2 = 3200 / 2 = 1600.

58 × 25 = 5800 / 2 = 2900 / 2 = 1450.

Untuk perkalian 125, sama saja kita kalikan dengan 1000 (tambahkan tiga angka 0 di bagian belakang) kemudian di bagi dengan 8. Catatan : Untuk pembagian dengan 8, kita bisa juga membagi dengan 2 sebanyak tiga kali 32 × 125 = 32000 / 8 = 16000 / 4 = 8000 / 2 = 4000. 48 × 125 = 48000 / 8 = 24000 / 4 = 12000 / 2 = 6000.

e.          Mengalikan dua bilangan yang mempunyai selisih 2, 4, atau 6

Untuk perkalian seperti ini , Ambil contoh : 12 × 14. (14 – 12) = 2 jadi metode ini bisa dipakai)  Pertama kita cari angka tengah antara 12 dan 14, kemudian 12,13,14 (artinya 13 adalah angka tengah), berikutnya kita tinggal membuat perkalian 13 x 13 lalu di kurangi 1

12 × 14 = (13 × 13) - 1 = 168.

16 × 18 = (17 × 17) - 1 = 288.

99 × 101 = (100 × 100) - 1 = 10000 - 1 = 9999

 Jika selisih dua bilangan tersebut adalah 4, sama seperti tadi kita cari angka tengahnya, buat pemangkatan, lalu kurangi dengan 4, jadi  ini contohnya : 11 × 15 = (13 × 13) - 4 = 169 - 4 = 165. 13 × 17 = (15 × 15) - 4 = 225 - 4 = 221. Jika selisih dua bilangan tersebut adalah 6, sama seperti tadi kita cari angka tengahnya...buat pemangkatan, lalu kurangi dengan 9, Jadi  ini contohnya :

12 × 18 = (15 × 15) - 9 = 216.17 × 23 = (20 × 20) - 9 = 391.

f.     Pemangkatan bilangan puluhan yang berakhiran 5

Contoh kita mau ngitung berapakah 35 x 35 Kita tinggal mengalikan 3 x 4 = 12 (angka 4 di dapat dari 3 tambah 1)Kemudian 5 x 5 = 25 Jadi 35 x 35 = 1225 Contoh lagi : 65 x 65 Kalikan 6 x 7 = 42 (angka 7 di dapat dari 6 tambah 1) Kemudian 5 x 5 = 25 Jadi 65 x 65 = 4225 Dari situ kita tahu bahwa pemangkatan bilangan puluhan berakhiran 5 pasti angka belakangnya 25, jadi  85 x 85 = 7225

g.   Perkalian puluhan dimana digit pertama adalah sama dan jumlah digit kedua adalah 10

Contohnya kita ingin mengalikan 42 x 48. Disini terlihat bahwa digit pertama puluhan di atas adalah sama yaitu 4, sedangkan jumlah dari digit kedua adalah 2 + 8 = 10 Cara cepatnya sederhana saja : Kita kalikan 4 dengan 4 + 1 Jadi hasilnya 4 x (4 + 1) = 4 x 5 = 20. Tuliskan angka 20. Lanjut lagi kalikan 2 dengan 8 Jadi gini hasilnya 2 x 8 = 16. Tuliskan angka 16, Jadilah 42 x 48 = 2016, 64 x 66. Kita buat, 6 x (6 + 1) = 6 x 7 = 42, 6 x 4 = 24. Hasilnya 64 x 66 = 4224. 83 x 87 Rumusnya 8 x (8 + 1) = 8 x 9 = 72, 3 x 7 = 21 Hasilnya 83 x 87 = 7221

h.   Pemangkatan Puluhan

Ambil contoh kita ingin melakukan pemangkatan 58
Langkah 1 : Kalikan 5 dengan 5, 5 x 5 = 25, kalikan 8 dengan    8, 8 x 8 = 64, dan tuliskan ke dua hasil tadi dan jadilah 2564 Langkah 2 : Kalikan 5 dengan 8 = 40, Gandakan hasil tersebut,  40 x 2 = 80, Tambahkan 1 angka 0, jadilah 800. Langkah 3 : Jumlahkan 2564 dengan 800, 2564 + 800 = 3364 Itulah hasilnya 58 x 58 = 3364

32 x 32=  Langkah 1 : 3 x 3 = 9, tapi tuliskan 09 ya supaya 2 digit bisa tercipta, 2 x 4 = 4, tapi tuliskan 04 ya supaya 2 digit bisa tercipta Kedua hasil di tulis menjai 0904 . Langkah 2 : 3 x 2 = 6, gandakan 6 x 2 = 12. Tambahkan satu 0 dibelakangnya dan jadilah 120 Langkah 3 : 120 + 0904 ----> artinya 120 + 904 = 1024  32 x 32 = 1024  67 x 67   6 x 6 = 36   7 x 7 = 49  3649, 6 x 7 x 2 = 84 tambah satu 0 jadi 840, 3649 + 840 = 4489, Sehingga 67 x 67 = 4489

i.        Kalikan dengan 2, bagi dengan 2

  jika siswa mengalami kesulitan pengalian yang besar kita bisa ajarkan ke mereka untuk membagi dengan 2 dan mengalikan dengan 2. Ini contohnya : kita ingin mengalikan 14 x 16. Maka yang kita lakukan adalah...kalikan salah satu (antara 14 atau 16) dengan 2, dan bagikan salah satu (14 atau 16)  dengan 2, hingga kita mendapatkan perkalian yang mudah 14 × 16 = 28 × 8 = 56 × 4 = 112 × 2 = 224. Contoh lain: 12 × 15 = 6 × 30 = 180. 48 × 17 = 24 × 34 = 12 × 68 = 6 × 136 = 3 × 272 = 816.

Dan masih banyak lagi cara berhitung cepat yang dapat dilakukan untuk menyelesaikan perhitungan dalam matematika.

j.        Soal 1 : 102 x 103

Yang anda lakukan Langkah 1 : tulis oleh anda 1 • langsung ingat dan tulis 1 ,Langkah 2 : Jumlahkan (02 + 03 = 05) ,  langsung ingat dan tulis 05 , Langkah 3 : Kalikan 2 dan 3 (2x3=6) , langsung ingat dan tulis 06 Susun langkah 1 sampai dengan langkah 3 sehingga hasil perkalian adalah 10506

k.      Soal 1 : 12 x 25

12 x 25 , 12 saya namakan Angka yang dikali, Langkah yang harus anda lakukan : Bagi angka yang dikali dengan 4 : 12 : 4 = 3 , langsung tulis 3, Kalikan hasil bagi dengan 100 : 3 x 100 = 300, jadi langsung tulis 300

l.        Menebak Tanggal Kelahiran

1.      Tuliskan tanggal lahirmu tanpa bulan dan tahun.

2.       Kalikan dengan 100.

3.       Tambah dengan bulan kelahiran.

4.      Kalikan dengan 2.

5.      Tambah dengan 2.

6.      Kalikan dengan 5.

7.      Tambah dengan 1.

8.      Kalikan dengan 10.

9.      Tambah dengan 1.

10.  Tambahkan dua angka terakhir dari tahun kelahiranmu.

11.  Hasilnya kurangi dengan 111

m.    Pengurangan

Pangkat 2 yang berdekatan cukup ditambahkan saja bilangan tersebut, contoh 3^2-2^2 = 9-4=5 cara cepatnya cukup 3+2=5

Pangkat 2 yang berdekatan  tapi lalang 1 cukup ditambahkan bilangan tersebut dan dikali 2  saja bilangan tersebut, contoh 3^2-1^2 = 9-1=8 cara cepatnya cukup (3+1)x2=8, Pangkat 2 yang berdekatan  tapi lalang 2 cukup ditambahkan bilangan tersebut dan dikali 3  saja bilangan tersebut, contoh 4^2-1^2 = 16-1=15 cara cepatnya cukup (4+1)x3=15

n.                                                          Cara hitung cepat dengan angka 9

Karena setiap bilangan sembarang jika dikalikan 9 maka jumlah hasilnya = 9
maka :

1   x 9 = 9

2   x 9 = 18, jumlah 1 + 8 = 9

3    x 9 = 27, jumlah 2 + 7 = 9

4   x 9 = 36, jumlah 3 + 6 = 9
dan seterusnya..................

Cara hitung cepat dengan angka 9 :
Contoh : 22 x 9 = 198, ( cara cepatnya 2 x 9 = 18, lalu selipkan angka 9 ditengah ), jadi jumlahnya adalah 198, simak cara cepatnya berikut ini : 33 x 9 = 297 ( cara cepat 3 x 9 = 27, selipkan 9 ditengah )
44 x 9 = 396
55 x 9 = 495
66 x 9 = 594
77 x 9 = 693
88 x 9 = 792
99 x 9 = 891
lalu bagaimana jika dengan 3 angka kembar, selipkan saja angka 99 ditengahnya.
Contoh :

5         222 x 9 = 1998 (cara cepat 2 x 9= 18, selipkan 99 ditengah )
333 x 9 = 2997
444 x 9 = 3996
555 x 9 = 4995